湖南省平江县颐华学校九年级科创班2027年中考数学培优 第9节 反比例函数图象与性质

湖南省平江县颐华学校初三科创班中考数学培优 第 9 节 反比例函数图象与性质（命题细目表） 题号 题型 分值 考查知识点 预估难度 核心素养 备注 1 选择 3 反比例函数的概念 易 抽象思维 基础 2 选择 3 k的符号与图象所在象限 易 直观想象 基础 3 选择 3 待定系数法求反比例函数 易 运算能力 基础 4 选择 3 反比例函数的增减性 中 逻辑推理 易错题 5 选择 3 k的几何意义（矩形面积） 中 直观想象 6 选择 3 反比例函数图象上点的函数值比较 中 逻辑推理 7 选择 3 反比例函数与一次函数的交点 中 直观想象 8 选择 3 k的几何意义（三角形面积） 中 直观想象 9 选择 3 反比例函数的值域 中 逻辑推理 10 选择 3 反比例函数的实际应用 中 数学建模 11 填空 3 求反比例函数解析式 易 运算能力 基础 12 填空 3 k的几何意义求k 中 直观想象 13 填空 3 k的符号与增减性 中 逻辑推理 14 填空 3 两函数交点坐标 中 运算能力 15 填空 3 反比例函数值的计算 中 运算能力 16 填空 3 两函数共点求参数 中 运算能力 两空 17 解答 8 求解析式与判断点是否在图象上 中 运算能力 18 解答 8 k的几何意义与矩形周长面积 中 直观想象 19 解答 8 两函数交点与三角形面积 难 直观想象 20 解答 8 面积不变模型 难 直观想象 创新题 21 解答 10 反比例函数的实际应用 中 数学建模 22 解答 10 反比例函数与一次函数综合 难 直观想象 23 解答 10 面积不变模型与综合计算 难 直观想象 24 解答 10 新定义与反比例函数综合 难 综合创新 压轴 说明：本专练满分120分，共24题（10选择+6填空+8解答），严格对齐2026年湖南省中考数学新结构；易、中、难题比例约 2:5:3（尖子班）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校初三科创班中考数学培优 第 9 节 反比例函数图象与性质（学生版） 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 若反比例函数的图象经过点 ，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 随 的增大而增大 B. 随 的增大而减小 C. 在每个象限内， 随 的增大而减小 D. 图象经过原点 5. 如图，点 是反比例函数 （）图象上一点，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、，则矩形 的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 反比例函数 的图象与一次函数 的图象交点情况是（ ） A. 只有一个交点 B. 有两个交点 C. 没有交点 D. 有三个交点 8. 如图，点 是反比例函数 图象上一点，过 作 轴的垂线交 轴于 ，连接 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某密闭容器内有一定质量的气体，气体密度 （千克/立方米）与体积 （立方米）成反比例关系。当 立方米时， 千克/立方米，则当气体体积变为 立方米时，密度为（ ） A. 千克/立方米 B. 千克/立方米 C. 千克/立方米 D. 千克/立方米 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若反比例函数的图象经过点 ，则其解析式为 ______。 12. 如图，点 在反比例函数 的图象上，过 作 轴于 ，若 的面积为 ，则 的值为 ______。 13. 若反比例函数 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ______。 14. 反比例函数 与一次函数 在第一象限内的交点坐标为 ______。 15. 若点 、 在反比例函数 的图象上，则 ______。 16. 若反比例函数 与一次函数 的图象都经过点 ，则 ______， ______。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知反比例函数 的图象经过点 。 （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点 、 是否在该函数的图象上。 18. 如图，点 在反比例函数 的图象上，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、。 （1）求 的值； （2）求矩形 的周长与面积。 19. 已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 、 两点。 （1）求 、 两点的坐标； （2）求 的面积（ 为坐标原点）。 20. 如图，点 、 是反比例函数 图象上任意两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、，连接 、。 （1） 与 的面积相等吗？请说明理由； （2）若 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，求四边形 的面积。 21. 湘潭某电厂的输出功率 （千瓦）保持不变，输出电压 （千伏）与电流 （安）满足 。 （1）写出 关于 的函数关系式，判断它是什么函数； （2）当输出电压为 千伏时，电流为 安，求该电厂的输出功率 ； （3）若要将电流控制在 安以内（含 安），输出电压至少应为多少千伏？ 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 。 （1）求反比例函数的解析式与点 的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式 的解集； （3）求 的面积。 23. 已知反比例函数 的图象上有一点 ，过 作 轴于 ，作 轴于 。 （1）求证：矩形 的面积恒为定值，并求出该定值； （2）若点 是该反比例函数图象上另一点，过 作 轴于 ，连接 ，设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，求梯形 的面积； （3）在（2）的条件下，求 的面积。 24. 定义：在反比例函数 的图象上任取两点 、，若线段 平行于 轴，则称 为该函数的一对“水平点对”。 （1）反比例函数 的图象上是否存在水平点对？请说明理由； （2）设点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，再过点 作 轴的平行线，交 轴于点 。若四边形 为正方形，求 满足的条件及此时 的关系； （3）在（2）的条件下，若 ，求点 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校初三科创班中考数学培优 第 9 节 反比例函数图象与性质（解析版） 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【解析】【解析】反比例函数的形式为 （， 为常数）。 A 是正比例函数；B 符合 （）； C 是二次函数；D 的分母是 ，不是 ，不是反比例函数。 故选 B。 【知识点】（）也可写成 或 。 【易错点】把 误认为反比例函数。 【方法总结】分母必须只含 的一次方，且 为非零常数。 2. 若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【解析】【解析】 时图象在第一、三象限； 时图象在第二、四象限。 题设图象在第二、四象限，故 。 故选 B。 【知识点】反比例函数图象是双曲线， 的符号决定所在象限。 【易错点】与一次函数 的符号规律混淆。 【方法总结】记住：“正”在一三、“负”在二四。 3. 若反比例函数的图象经过点 ，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【解析】【解析】设 ，把 代入：，得 。 故解析式为 。 故选 A。 【知识点】由一点求 ：（横纵坐标之积）。 【易错点】把 算成 与 的商。 【方法总结】反比例函数只需一个点即可确定：。 4. 对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 随 的增大而增大 B. 随 的增大而减小 C. 在每个象限内， 随 的增大而减小 D. 图象经过原点 【解析】【解析】，图象在第一、三象限。 在每一个象限内， 随 的增大而减小； 但在整个定义域上不能笼统这样说（如 时 ， 时 ，虽 增大但 也增大）。 A、B 都缺少“在每个象限内”的前提，错误；C 正确； D 错误：反比例函数图象不经过原点（）。 故选 C。 【知识点】反比例函数的增减性必须强调“在每个象限内”。 【易错点】忽略“在每个象限内”这一关键限制。 【方法总结】描述增减性时务必加上范围限制，这是中考的高频失分点。 5. 如图，点 是反比例函数 （）图象上一点，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足为 、，则矩形 的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】【解析】设 ，则 。 矩形 的长为 ，宽为 ， 面积 。 因为 ，故 。 故选 A。 【知识点】反比例函数中 的几何意义：图象上一点向两坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积为 。 【易错点】忘记取绝对值（当 时面积为 ）。 【方法总结】“矩形面积、三角形面积”是核心结论。 6. 已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【解析】【解析】因为 ，在第二象限内（）， 随 的增大而增大。 由于 ，且两点都在第二象限，故 。 （也可计算：，，确实 。） 故选 A。 【知识点】 时，在每个象限内 随 的增大而增大。 【易错点】不判断两点是否在同一象限就直接用增减性。 【方法总结】比较大小时先确认两点是否在同一象限（同支），若不同支则需分别计算或结合图象。 7. 反比例函数 的图象与一次函数 的图象交点情况是（ ） A. 只有一个交点 B. 有两个交点 C. 没有交点 D. 有三个交点 【解析】【解析】联立 ，得 ， 即 ，。对应 。 故交点有两个： 和 。 故选 B。 【知识点】联立两函数解析式，转化为方程求解，方程组有几组解就有几个交点。 【易错点】只解出正根 ，漏掉 。 【方法总结】转化为 型方程时，注意正负两个根（当 时）。 8. 如图，点 是反比例函数 图象上一点，过 作 轴的垂线交 轴于 ，连接 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【解析】【解析】设 ，则 。 ，， 。 故选 B。 【知识点】过双曲线上一点作一坐标轴的垂线，该点与垂足、原点构成的三角形面积为 。 【易错点】误认为三角形面积也是 。 【方法总结】矩形面积 ，三角形面积 ，两者相差一半。 9. 已知反比例函数 ，当 时， 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】【解析】当 时，点在第一象限，。 又 ，故 。 综合得 。 故选 B。 【知识点】结合图象与增减性确定函数值的范围。 【易错点】只写 ，忽略 的限制（双曲线不与坐标轴相交）。 【方法总结】反比例函数的值域问题：先看所在象限定正负，再用增减性定上界或下界。 10. 某密闭容器内有一定质量的气体，气体密度 （千克/立方米）与体积 （立方米）成反比例关系。当 立方米时， 千克/立方米，则当气体体积变为 立方米时，密度为（ ） A. 千克/立方米 B. 千克/立方米 C. 千克/立方米 D. 千克/立方米 【解析】【解析】由 与 成反比例，设 。 代入 ：，得 。 故 。当 时，（千克/立方米）。 （物理含义： 即气体质量，质量不变。） 故选 A。 【知识点】密度体积质量（定值），故成反比例。 【易错点】把 算错（应为乘积而非商）。 【方法总结】实际问题中先找出“乘积为定值”的两个量，再设反比例关系式。 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若反比例函数的图象经过点 ，则其解析式为 ______。 【解析】【解析】，故解析式为 。 【答案】 【知识点】。 【易错点】 的负号遗漏。 【方法总结】代入横纵坐标相乘即得 ，注意符号。 12. 如图，点 在反比例函数 的图象上，过 作 轴于 ，若 的面积为 ，则 的值为 ______。 【解析】【解析】由三角形面积公式 ，得 ，。 又因为图象在 的分支上且点 与原点构成的三角形在第二象限， 说明图象位于第二、四象限，故 ，所以 。 【答案】 【知识点】三角形面积，再由象限定 的符号。 【易错点】只求 而未判断 的正负。 【方法总结】由面积得 ，由所在象限（或题给条件）定符号，两步缺一不可。 13. 若反比例函数 的图象在每个象限内 随 的增大而增大，则 的取值范围是 ______。 【解析】【解析】在每个象限内 随 增大而增大，说明 。 故 ，得 。 【答案】 【知识点】 时，在每个象限内 随 增大而增大。 【易错点】增减性与 符号的对应关系记反。 【方法总结】先由增减性定 的符号，再解关于参数的不等式。 14. 反比例函数 与一次函数 在第一象限内的交点坐标为 ______。 【解析】【解析】联立：，两边同乘 ：， ，，得 或 。 题目要求第一象限内的交点，故 ，此时 。 （另一交点 在第三象限。） 【答案】 【知识点】联立方程求交点，注意按象限取舍。 【易错点】漏掉“第一象限”的限制，把两个交点都写上。 【方法总结】解出所有交点后，务必按题目要求的象限（或范围）筛选。 15. 若点 、 在反比例函数 的图象上，则 ______。 【解析】【解析】，， 故 。 【答案】 【知识点】代入横坐标求函数值。 【易错点】计算顺序搞错。 【方法总结】直接代入计算最可靠，避免用增减性时出错。 16. 若反比例函数 与一次函数 的图象都经过点 ，则 ______， ______。 【解析】【解析】先由一次函数求 ：。 再由反比例函数求 ：。 【答案】； 【知识点】两个函数图象的公共点同时满足两个解析式。 【易错点】先求 时缺少 而无法下手。 【方法总结】先代入能直接求出一个量的解析式，再求另一个。 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知反比例函数 的图象经过点 。 （1）求这个反比例函数的解析式； （2）判断点 、 是否在该函数的图象上。 【解析】【解析】 （1），故解析式为 。 （2）判断方法：看横纵坐标之积是否等于 。 对 ：，故点 在图象上； 对 ：，故点 也在图象上。 【知识点】点在反比例函数图象上 。 【易错点】只代入求 值而不用乘积判断，运算稍繁。 【方法总结】判断点是否在 上，最快捷的方法是比较 与 。 18. 如图，点 在反比例函数 的图象上，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 、。 （1）求 的值； （2）求矩形 的周长与面积。 【解析】【解析】 （1）。 （2）由 知：，。 矩形 的长为 （沿 方向）、宽为 （沿 方向）， 周长 ； 面积 。 （可见面积恰好等于 ，验证了 的几何意义。） 【知识点】 的几何意义：矩形面积。 【易错点】把周长也算成与 有关（周长与 无直接关系）。 【方法总结】涉及矩形、三角形面积时优先用 结论，涉及周长时才需要具体的坐标值。 19. 已知反比例函数 与一次函数 的图象交于 、 两点。 （1）求 、 两点的坐标； （2）求 的面积（ 为坐标原点）。 【解析】【解析】 （1）联立：，两边同乘 ： ，，， 得 或 。 当 时，，得交点 ； 当 时，，得交点 。 故 、（或互换）。 （2）求 面积可用“割补法”： 先求直线 与 轴交点：令 得 ，记 。 。 【知识点】联立求交点；坐标系中三角形面积的“割补法”（沿坐标轴分割）。 【易错点】直接用两点间距离与点到直线距离求面积，运算量大。 【方法总结】求不规则三角形面积，常用“以坐标轴上的线段为底，把三角形分成左右（或上下）两块”的割补法。 20. 如图，点 、 是反比例函数 图象上任意两点，过 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、，连接 、。 （1） 与 的面积相等吗？请说明理由； （2）若 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，求四边形 的面积。 【解析】【解析】 （1）相等。理由： 设 、 都在 上， 则 ，。 ； 。 故两三角形面积相等，均为 。 这就是反比例函数的“面积不变模型”。 （2） 横坐标 ，纵坐标 ，即 ； 横坐标 ，纵坐标 ，即 。 故 ，，，，。 四边形 是梯形（，都垂直于 轴）， 面积 。 【知识点】面积不变模型（与点的位置无关，恒为 ）、梯形面积。 【易错点】第（2）问误用三角形面积公式，忽略 是梯形。 【方法总结】“面积不变”是反比例函数最重要的几何性质，凡涉及图象上动点与坐标轴围成的三角形，面积恒为 。 21. 湘潭某电厂的输出功率 （千瓦）保持不变，输出电压 （千伏）与电流 （安）满足 。 （1）写出 关于 的函数关系式，判断它是什么函数； （2）当输出电压为 千伏时，电流为 安，求该电厂的输出功率 ； （3）若要将电流控制在 安以内（含 安），输出电压至少应为多少千伏？ 【解析】【解析】 （1）由 得 ，因为 为常数， 所以 是 的反比例函数。 （2）把 、 代入：（千瓦）。 故输出功率为 千瓦。 （3）由 ，要求 ， 即 （）， 两边同乘正数 ：，。 故输出电压至少应为 千伏。 答：（1），是反比例函数；（2） 千瓦；（3）至少 千伏。 【知识点】物理公式与反比例函数、不等式的实际应用。 【易错点】解 时不等式变形出错。 【方法总结】实际问题中要注意自变量的取值范围（如本题 ），这是解不等式时“同乘正数不变号”的依据。 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 和点 。 （1）求反比例函数的解析式与点 的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式 的解集； （3）求 的面积。 【解析】【解析】 （1）由 在 上，得 。 故反比例函数为 。 联立 ，两边同乘 ：， ，，得 或 。 对应点 ； 时 ，故 。 （2） 即反比例函数图象在一次函数图象上方， 由图象观察（）：在 之间双曲线位于直线上方， 故解集为 。 （3）设直线 与 轴交于点 ：令 得 ，即 。 用割补法： 。 【知识点】求交点、利用图象解不等式、割补法求三角形面积。 【易错点】第（2）问写成 或 （那是直线在上方）；第（3）问用加而非减（两交点在 轴同侧时应用差）。 【方法总结】用图象解不等式就是比较两图象上下的位置关系；求面积时先看两交点是否在 轴同侧。 23. 已知反比例函数 的图象上有一点 ，过 作 轴于 ，作 轴于 。 （1）求证：矩形 的面积恒为定值，并求出该定值； （2）若点 是该反比例函数图象上另一点，过 作 轴于 ，连接 ，设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，求梯形 的面积； （3）在（2）的条件下，求 的面积。 【解析】【解析】 （1）设 在 上，则 。 矩形 的两邻边长为 与 ， 面积 ，与点 的具体位置无关，恒为定值 。 （2） 横坐标为 ，故 ； 横坐标为 ，故 。 于是 ，，，且 。 梯形 面积 $=\frac{1}{2}\times(PA+QC)\times AC =\frac{1}{2}\times(6+2)\times2=8$。 （3）用割补法求 ： 其中 ， 。 故 。 【知识点】面积不变模型、梯形面积、割补法。 【易错点】第（3）问直接用 结论（那只适用于过一点作两轴垂线的情形）。 【方法总结】双曲线上两点的三角形面积需结合梯形与两个直角三角形割补，不能生搬 结论。 24. 定义：在反比例函数 的图象上任取两点 、，若线段 平行于 轴，则称 为该函数的一对“水平点对”。 （1）反比例函数 的图象上是否存在水平点对？请说明理由； （2）设点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴的平行线，交 轴于点 ，再过点 作 轴的平行线，交 轴于点 。若四边形 为正方形，求 满足的条件及此时 的关系； （3）在（2）的条件下，若 ，求点 的坐标。 【解析】【解析】 （1）不存在。理由： 若 、 在同一水平线上，则 。 又两点都在 上，故 ，。 由 得 ，即 与 重合。 所以不存在两个不同的点构成水平点对。 （这也说明反比例函数图象与任意水平直线最多只有一个交点。） （2）由 在第一象限部分，四边形 中： （ 在 轴上，与 同纵坐标）， （ 在 轴上，与 同横坐标）。 四边形 是矩形（由两组垂线构成），要成为正方形需 ， 即 。 又 在 上，故 。 由 且 得 ，故 ，且 （第一象限）。 所以 必须为正数，此时 。 （3）当 时，。 故点 的坐标为 。 （检验：，且四边形 的边长为 ，确为正方形。） 【知识点】反比例函数的性质（水平直线与双曲线最多一个交点）、正方形的判定、 与坐标的关系。 【易错点】第（2）问忽略 的条件（若 ，点在第二或四象限， 异号，不可能有 ）。 【方法总结】新定义问题先把定义翻译成代数条件，再与函数本身的性质（）联立，注意由实际意义（象限）确定符号。 学科网（北京）股份有限公司 $