2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中考试模拟卷01

高二数学期中考试模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1~2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线方程即可求出.联立直线方程，解得， 故交点坐标为. 故选：C. 2．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 所以，解得，即， 又因为，且， 所以，则，即， 故， 所以. 故选：A. 3．对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 【答案】C 【解析】由有：，所以，设倾斜角为， 所以，所以，故A错误； 令，解得，所以在轴上的截距为，故B错误； 由原点到直线的距离为：，故C正确； 因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，故D错误. 故选：C. 4．已知直线和互相平行，则间的距离是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线和互相平行，有，则间的距离是，选C. 5．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 6．已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的中点，则， 因为点为圆上的动点，所以， 即. 故选：D. 7．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得，所以直线与直线的交点为， 在直线上取点关于直线对称的点为， 所以，解得， 所以点关于直线对称的点为， 所以直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 故选：B. 8．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】取底面正方形中心，中点，连结， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 因为，得， 所以点在以为球心，以1为半径的球面上， 且， 则，即线段长度的取值范围为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 【答案】BD 【解析】对于A，空间中不相交的两条直线是异面直线或平行直线，故A项错误； 对于B，已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则，故B项正确； 对于C，若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线或，故C项错误； 对于D，若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线， 由共面向量定理，存在实数使得， 展开，整理得 ， 对比，可得， 所以，故D项正确． 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【解析】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① ,  ② ，A正确； 选项B：直线：，， ∵两直线垂直，，∴， 解得 或 ， 垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误； 选项C：∵ 与 平行， ∴，， ∵，∴平行线间距离：，C错误； 选项D：：点与定点连线的斜率， ∵ ，∴， ∵在线段上移动，结合图形分析： ，D正确. 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 【答案】CD 【解析】由题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 对于A选项，，， 设， 依据共线向量设坐标，故，． 若直线与所成的角是，则， 整理得，即，解得， 故直线与所成的角不可能是，所以A选项错误； 对于B选项，当时，即，此时，故， 而， 设此时平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为，则即， 取，得为平面的一个法向量， 故， 故二面角的平面角的正弦值为，所以B选项错误； 对于C选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以为定值， 所以C选项正确； 对于D选项，当时，即，故，故， 而， 设平面的法向量为，则即 取，得为平面的一个法向量， 又，故到平面的距离为，所以D选项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 13．已知直线与圆交于两点．若弦的长为，则的值是___________ 【答案】 【解析】因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得：，即，解得. 故答案为：. 14．《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为_______. 【答案】 【解析】根据题意可知，直线的方程为， 由可得，所以直线的方程为， 联立直线和的方程，可得； 由圆与延长线、延长线及线段都相切，由对称性可得圆心在的平分线上，即上；如下图所示： 设，且， 由直线与圆相切可得，解得或（舍）； 结合图形可知，此时圆心为，半径为； 因此圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． (1)用，，表示； (2)求； (3)证明：平面． 【解析】（1）为的重心，即， 所以， 又， 所以. （2）记，，， 则， 所以可得， ，所以，所以. （3）记,,, ， 所以，即， ， 所以，即， 又，平面，， 所以平面． 16．（15分） 已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 【解析】（1） 证明：圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，因为，故两圆相交. （2）将两圆方程相减得， 化简得，即， 所以两圆公共弦所在直线的方程. （3）经过两圆交点的圆中，面积最小者是以两交点为直径的圆 联立两圆方程，由公共弦方程得， 代入圆方程：，解得交点， 中点（圆心）坐标为， 半径为， 故圆方程为： 17．（15分） 在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，正方体棱长为， 各点坐标： 是中点：， 向量：， ， 两向量点积：， ，即. （2）设直线与平面所成角，，是平面法向量， 平面的向量：， 设平面法向量， ，令，取， ， ， ， . （3）平面是底面，法向量可取， 平面：， 向量，设平面法向量， ，又第一式：，代入第二式： ，令，取， ， 锐二面角余弦值为. 18．（17分） 已知圆C过点和且半径为1． (1)求圆C的方程； (2)当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【解析】（1）因圆C过点和，则线段的中点为，斜率为1，则其中垂线方程为，即， 设圆心为，因圆的半径为1，则可得，解得或 当时，，圆的方程为； 当时，，圆的方程为. （2）依题意圆心纵坐标，则圆心，半径，圆的方程为. （ⅰ）因过点斜率不存在的直线恰与圆相切，即一条切线方程为； 设另一条切线斜率为，则可设其方程为，即. 由圆心到直线的距离 ，解得，则得切线方程为. 综上，切线方程为或； （ⅱ）联立，消去整理得. 依题意，解得， 设，则， 则， ， 因该函数的对称轴为，故， 即的取值范围为. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，，，求平面的方程； (2)若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）， 设是平面的一个法向量， 则令，得，所以． 设点是平面内任意一点，， 由，得， 所以平面的方程为． （2）方程经过点， 则集合所围成的几何体为如下图的正八面体. 则的内切球球心为，半径为点到平面的距离. 由得. 由得. 则，解得. 所以的内切球的表面积为. （3）记平面的方程为， 在平面上任取一条直线，直线上任取两点， 则有 因为， 所以． 所以，即垂直于平面上任意一条直线， 所以是平面的一个法向量． 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为； 因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为. 由已知得， 设为平面的一个法向量，则. 令，得，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，所以． 因为平面， 所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直， 所以，解得，所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 第4页，共16页 第3页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第1~2章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 3．对于直线，有以下说法，其中正确的是（   ） A．倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到直线的距离为2 D．直线的一个方向向量为 4．已知直线和互相平行，则间的距离是 A． B． C． D． 5．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线，则直线关于直线的对称直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．正四棱锥底面边长与侧棱长均为为空间任一点，且满足，则线段长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的有（    ） A．空间中不相交的两条直线是异面直线 B．已知A，B，C，D，E是空间中的任意五点，则 C．若两个非零向量，满足，则A，B，C，D四点共线 D．若E，B，C，D四点共面，且点B，C，D不共线，则存在，使得，且 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D．设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 11．在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成的角是 B．若，则二面角的平面角的正弦值为 C．三棱锥的体积不变 D．当时，点到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 13．已知直线与圆交于两点．若弦的长为，则的值是___________ 14．《测圆海镜》是金元时期李治所著中国古代数学著作，是中国古代论述容圆的一部专著，如第2卷第8题的“弦外容圆”问题是一个勾股形（直角三角形）外与弦相切的旁切圆问题，已知在中，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． (1)用，，表示； (2)求； (3)证明：平面． 16．（15分） 已知圆和圆 (1)求证：圆与圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程； (3)求经过圆与圆的交点，且面积最小的圆的方程． 17．（15分） 在正方体中，棱长为4，点E为棱的中点． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值． 18．（17分） 已知圆C过点和且半径为1． (1)求圆C的方程； (2)当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中，，，）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线上，是直线的一个方向向量，则直线上任意一点满足，化简得直线的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，，，，且），类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面． (1)若点，，，求平面的方程； (2)若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积， (3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，，，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值． 第2页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $