专题02 空间向量数量积及坐标运算8大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02空间向量数量积及坐标运算 题型图谱导航总览 题型1空间向量求数量积 基础固本强基 题型2空间向量的坐标表示 题型3空间向量坐标表示平行与垂直（重点） 题型4空间向量坐标表示夹角（重点） 提升进阶突破 题型5空间向量坐标表示投影向量（重点） 题型6空间向量坐标表示向量共面（重点） 题型7空间向量数量积的应用（难点） 拔高·压轴破难 题型8空间向量数量积的最值（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1空间向量求数量积 【方法总结】根据数量积公式、基底转化来求数量积，空间向量数量积与平面向量数量积方法一致。 1.(2627高二上山东枣庄阶段检测已知空间向金m,元，设网，风=2,2m+万与m-3领垂直， a=4m-n b=7m+2na.b= ,则 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BCD A0.AB= 2.(25-26高二下江苏镇江期末)正四面体 CD的楼长为'，O为底面5 的中心， ABCD-ABCD 3.(25-26高二全国暑假作业)（多选)在正方体 中，下列结论正确的是() A.四边形MBCD的面积为ABBC B.AD与AB的夹角为60 c.(M+4D+4B}=34B D.AC-(4B-4D)=0 4.(2026北京朝阳二模)在四面体OABC中，OA⊥BC,H∈平面ABC且OH⊥平面ABC,给出下列三 个结论： B11C,则C丽=丽：c=丽AC ①若 ②若1B=4C,刚C丽.B=0 ,则 OB=OC BH·AB=CH.AC ③若 ,则 其中所有正确结论的序号是() A.③ B.①③ C.①② D.①②③ .(2526有二下江苏准安阶段检测)在正三枝柱48C-4BG巾，4B=2,B服=3，则瓜·AC () A.2 B.3 C.4 D.6 题型2空间向量的坐标表示 【方法总结】。先建系，找原点和一个单位正交基底，再把向量写成坐标形式x,y,Z。坐标运算直接 对应分量：加减法分量相加减，数乘各分量乘入，数量积为对应分量乘积之和。求点坐标时，用终点坐 标减起点坐标；投影点：求点在坐标轴、坐标面或某直线上的投影，就是让无关分量为0或沿指定方向 取分量。对称点：关于坐标面对称，改一个分量符号：关于坐标轴对称，改两个分量符号：关于原点对 称，三个分量都变号。 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(26-27高二上河南平顶山阶段检测)已知 点44-2,0)，若向量B=(B6-2）, 则点B的坐标是 () A.（7,4,2) B.(7,4-2) c.（18-2) D.（0-8,2) 2.(2627高二上陕西西安阶段检测)在空间直角坐标系0-中，点 P(-2,3,-4) 关于2轴对称的点的 坐标为() A.(2,34) B.(2,34) c.（-2-3,4) D.(2,3-4) 3.(2526高二上浙江绍兴阶段检测)若=(L0),6=1,02),则与+6同方向的单位向量是 () 529 A.0 Ba52 05.25 c.055 0,-5_25 5’5 D.(01,2) 4.(26-27高二上·宁夏银川阶段检测)在空间直角坐标系中，已知点 41),点P,-5)关于坐标平 面O对称的点为B,则1 A.6 B.25 C.v5 D.2V6 三，(2526店上广东满江菊中)已如-2列，则点4在0平百内(0为型标原)的时能标是 () 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(423) B.（120) c.(0,2,3) D （-1,0,0) 提升进阶突破 题型3空问向量坐标表示平行与垂直 【方法总结】空间向量坐标表示平行与垂直： 平行：a‖b对应分量成比例，即a=λb。垂直：a⊥b对应分量乘积之和为0，即a·b=0。 注意：平行包括同向和反向；垂直与平行不能同时成立（零向量除外）。 1. (26-27高二上北京期中)已知向量a=(2,-l),6=(,m,2),且a-6)1a,则m=（) A.-2 B.2 C.4 D.6 2.(2627高二上北京期中)已知向量a=(1,20,方=(2x川，且a1历，那么同（) 2V6 B.6 C.4v6 D.12 3.(26-27高二上河南安阳阶段检测)（多选）设向量i=(si6,hcos0),6=(cos8,sin6ina,sin6cosa） 则() A.当8=π时，a⊥b B.同=25 c.当alb时，sin+osa)-sima D.2a-b≤2+sin20 4.(2526高-下浙江宁波期末)已知向量a=(4,24,6=-2,2),若(a+)1(a-2）,则2= () A.1 B.-1 C.2 D.-2 m=（-1,2,-3),n=(3,6,x 5.(25-26高二下福建宁德期中)（多选)已知空间向量 ，则下列选项中正确 ” 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的是() A.当mln时，x=9 B.当m⊥i时，x=5 C.当x=-l时， m+n=6 D.当x=1时， cos(m)=6v161 161 题型4空问向量坐标表示夹角 【方法总结】空间向量坐标表示夹角公式：cos日=一 āb,其中a6=x1x2+y1y2+z12 llb 当cos0>0,则9为锐角或者0（此时a、b向量共线）；cos日=0则为直角；cos0<0则为钝角或者π (此时a、b向量共线)。 注意：注意利用数量积判断锐角与钝角时，要排除两向量共线的情况。 1.(26-27高二上河南平顶山阶段检测)已知向量ā=8-1,4)，6=(6,2m 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是一 2。（26-27高二上天津津南阶段检测)若向量0=(3x,-54)与6=(，2x-2) 的夹角为钝角，则实数x的取 值范围为■ 3.(25-26高二下湖南娄底开学考试)已 知a=(3,2-x,6=(x2,0),且与6的夹角为锐角，则实 数x的取值范围是 4.(26-27高二上天津南开阶段检测)已知向量8=-2,0)，5=L3,》,则os(a,=（) 4v55 4V55 55 v55 A.55 B.55 C.11 D11 5.(2627高=上满南衡阳阶段检测)已知向量a+6-(0,5,0),a-6=(5,-2),则0s2a,36 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () 6 6 G √6 A. 3 B.3 C.6 D.6 题型5空间向量坐标表示投影向量 【方法总结】 1、 向量ā在向量b上的投影向量与向量a在平面B上的投影的区别 2、 可利用c=|dcos<a,b> 固来求向量ā在向量6上的投影向量 1. （2026山西太原二模)已知空间向量a=(7,-, ,平面a的一个法向量为”=(3,04)，则向量“在平面 x上的投影向量是() A.（-4,1,3) B C.(4,-1,-3) 2。（26-27高二上陕西宝鸡开学考试)已知向量0=(00,2），6=(-，1) ,则向量a+b在向量a上的投 影向量为. 3.（25-26高二下江苏苏州阶段检测)已空间向量8=0，-2，)方=01，-)，则向量6在向量云上的投 影向量是() a B（a- e 。（ 4.(25.26高=上江西新余期末)已知向量0=(2,21小，6=11,0)，则6-á在i方向上投影向量的坐标 为() 6/10 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.（-2,2,) B.(22-) c.（6,6,3) D.(6,-6-3) 5.(2025湖北装阳二模)已知空间向量a=(2.2-,平面“的个法向量为=(4,0)，则向量0在平 面w上的投影向量是() 。传2)(g2- 题型6空间向量坐标表示向量共面 【方法总结】设三向量坐标，设三向量为ā，b,c。先找其中两个不共线的向量，比如ā，b,再看能否找到 实数X,y,使c=xā+yb能表示，则三向量共面；不能表示，则不共面。 坐标形式：把上式按X,y,Z分量展开，得到三个方程，解出X,y看是否同时满足三个方程即可。 1.(26-27高二上河北阶段检测)己知空间中 2,0.080,i0c00,3)、D(,-)四点共面，则 九=() 2 9 A.9 B.1 C.2 D.2 2.(26-27高二上新疆喀什阶段检测)（多选）已知A,B,C,D是空间直角坐标系0-2中的四点， P是空间中任意一点，则下列说法正确的是() A.若44，-3,2列与B(ac)关于平面0：对称，则a+b+c=3 B.若孤=C+D,则4,8，C,D共面 c.若PD-名m+号m-名Pc,则4g:C:D共面 D.者400,2)，BL2,0),C(2m川=点共线，则m+n=2 3.(2627高三上江苏常州阶段检测)己知向量i=(-1,3)万=4，-2），c=,5,,若a,万，c 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 共面，则() A.存在无数个实数x符合题意 B.存在唯一的正整数x符合题意 C.不存在正整数x符合题意 D.不存在任何实数x符合题意 4.(25-26高二上全国期末)设xeR,己知向量 =-1,3)万=(142）=(5，.若a6,c共 面，则x= 5.(2526商二上广东矿广州期中)a=(2),6=(01-),=(3,5),若8、万、c共面，则实数 k为() A.1 B.2 C.3 D.4 拔高压轴破难 题型7空间向量数量积的应用 【方法总结】空间向量利用数量积公式来求模长、求夹角（夹角为钝角、锐角），判断向量平行、垂直关 系、求投影向量或数量 1. (26-27高三上广东广州阶段检测）（多选）在△ABC中，AB=6,AC=BC=5,将△ABC绕AB向 上旋转a得△ABD.点O为△ABC外心，面ABD内有一点E满足EA=EB,且EC⊥CD.若三棱锥 D-ABC的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有() 5 A.AB⊥CD B.△4BC的外接圆半径为4 C.ooe D.0D.0E=-975 64 ABCD 2.(26-27高三上·安徽六安·开学考试)已知正四面体 的棱长为3，球O与正四面体1BCD 2W3 的四 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个面分别相切于点E,F,G,H,P为球O的球面上一点，则PA+PE2+PF2+PG+PH的最大值为 3.(26-27高二上·河北：阶段检测)在四面体ABCD中，平面ABD与平面CBD互相垂直，AB⊥AD, AB+AD=10,△BCD为等腰三角形，且BC=CD=5,BD=8,则异面直线AC与BD夹角的余弦值为 ABCD-ABCD 4.(25-26高二全国暑假作业)（多选)在正方体 中，下列结论正确的是() A.四边形4BCD的面积为ABC B.AD与4B的夹角为60 C.(M+4D+4B)=34B1 D.4C(4B-4D)=0 5.(25.26高-上辽宁大连阶段检测)若空间向量5、名满足日-3g-同-2，则5在9方向上投影狗 量的长度的最小值是() 8V3 4v2 35 3 A.3 B.3 C.2 D.2 题型8空间向量数量积的最值 【方法总结】数量积的最值问题常见的方法有： 1、 坐标法：用坐标表示出数量积，然后利用函数求最值的方法求出最值。常见的在空间向量建系后解决 问题。 2定义法与基底转化：用基底表示向量：然后再用定义来求数量积的最值，注意根据模长或者夹角的范！ 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 围来求最值。 3、 极化恒等式或者投影法：注意利用数量积的几何意义来解决，注意用于有动点的问题上。 1. (25-26高二下·上海·阶段检测)已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、 AB·AC C,则 的最小值为 BCD-ABGD中，AB=4,P是技的中点，五，F是矩 AA 2.(25-26高二上辽宁辽阳期末)在正方体 BDD B 形 内的任意两点《包括边界)，则PEPF的最小值是 3.(25-26高二上辽宁·阶段检测)三角 ABC AB=4BC=AC=25,P为空间中一动点，则 (PA+PB)-PC 的最小值是() A.-2 B.22 C3 D.4 ABC-AB,C中， AB=AA= 2,点P为侧面 ABB A 4.(25-26高三上陕西榆林·阶段检测)在正三棱 PC.PC 内的一点，则 的最小值为() A.2 B.2 D.2N2 5.(25-26高二上广东汕头·阶段检测)已知EF是棱长为6的正方体的一条体对角线，点M在正方体表 面上运动，则ME.MF的最小值为() A.0 B.-9 C.-18 D.-36 10/10专题02 空间向量数量积及坐标运算 基础·固本强基 题型1 空间向量求数量积 题型2 空间向量的坐标表示 提升·进阶突破 题型3 空间向量坐标表示平行与垂直（重点） 题型4 空间向量坐标表示夹角（重点） 题型5 空间向量坐标表示投影向量（重点） 题型6 空间向量坐标表示向量共面（重点） 拔高·压轴破难 题型7 空间向量数量积的应用（难点） 题型8 空间向量数量积的最值（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 空间向量求数量积 【方法总结】根据数量积公式、基底转化来求数量积，空间向量数量积与平面向量数量积方法一致。 1．（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 【答案】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 2．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 4．（2026·北京朝阳·二模）在四面体中，，平面且平面，给出下列三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．③ B．①③ C．①② D．①②③ 【答案】B 【分析】建系，根据向量内积以及向量模的计算公式进行计算验证即可. 【详解】将设为原点，平面为平面，由平面， 得 ， ， ， . 因为，所以 ，推出， ①因为，所以 ，推出， 因此， ， ， 三者相等，①正确. ②因为，所以， 化简得​，但不一定有 . 举反例：取 ，满足和， 计算得 ， ，②错误. ③因为，，推出. ， ， 则 . 故，③正确. 综上，正确结论为①③. 5．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 题型2 空间向量的坐标表示 【方法总结】。先建系，找原点和一个单位正交基底，再把向量写成坐标形式 。坐标运算直接对应分量：加减法分量相加减，数乘各分量乘 ，数量积为对应分量乘积之和。求点坐标时，用终点坐标减起点坐标；投影点：求点在坐标轴、坐标面或某直线上的投影，就是让无关分量为0或沿指定方向取分量。对称点：关于坐标面对称，改一个分量符号；关于坐标轴对称，改两个分量符号；关于原点对称，三个分量都变号。 1．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于轴对称的坐标变换规律为：竖坐标保持不变，横坐标、纵坐标均变为原坐标的相反数， 所以点关于轴对称的点的坐标为. 3．（25-26高二上·浙江绍兴·阶段检测）若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】可知，则， 所以与同方向的单位向量是. 4．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，点关于坐标平面对称的点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到点的坐标，再利用两点间距离公式计算即可． 【详解】关于坐标平面对称的点为， 由可得． 5．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知，则点在Oyz平面内（O为坐标原点）的射影坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点在Oyz平面上的射影坐标特征是不变，变为0， 所以点在平面上的射影坐标为． 提升·进阶突破 题型3 空间向量坐标表示平行与垂直 【方法总结】空间向量坐标表示平行与垂直： 平行： 对应分量成比例，即 。垂直： 对应分量乘积之和为0，即 。 注意：平行包括同向和反向；垂直与平行不能同时成立（零向量除外）。 1．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求得的值. 【详解】由， 因为，， 所以由. 2．（26-27高二上·北京·期中）已知向量，，且，那么 （    ） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】由两空间向量共线求出，再由向量模的坐标公式计算即可. 【详解】因为 ，，且， e则存在，满足，即 也即，解得， 则 ，故. 3．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）（多选）设向量，，则（    ） A．当时， B． C．当时， D． 【答案】ACD 【分析】对于A，结合向量垂直的坐标表示即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，利用向量平行的坐标表示结合同角三角函数关系即可判断；对于D，利用向量的数量积坐标公式结合辅助角公式即可判断. 【详解】向量，， 则当时，向量，，，所以，A选项正确； 当时，向量，，，B选项错误； 当时，， 所以，C选项正确； 向量，， 所以 ， 其中，， . D选项正确； 4．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 5．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 题型4 空间向量坐标表示夹角 【方法总结】空间向量坐标表示夹角公式：，其中 。 当，则为锐角或者0（此时向量共线）；则为直角；则为钝角或者（此时向量共线）。 注意：注意利用数量积判断锐角与钝角时，要排除两向量共线的情况。 1．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 2．（26-27高二上·天津津南·阶段检测）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 4．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，， 所以，， 所以. 5．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 可得，， 则，， 所以， 所以． 题型5 空间向量坐标表示投影向量 【方法总结】 1、向量在向量上的投影向量与向量在平面上的投影的区别 2、可利用来求向量在向量上的投影向量. 1．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 2．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义即可求解． 【详解】由，，则， 则向量在向量上的投影向量为． 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 4．（25-26高二上·江西新余·期末）已知向量，则在方向上投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，再利用投影向量公式即可得解. 【详解】由题意，得，， 则， 所以在方向上的投影向量为. 故选：B 5．（2025·湖北襄阳·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得向量在法向量上的投影，再由向量的加法法则即可求解. 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 题型6 空间向量坐标表示向量共面 【方法总结】设三向量坐标，设三向量为 。先找其中两个不共线的向量，比如 ，再看能否找到实数 ，使能表示，则三向量共面；不能表示，则不共面。 坐标形式：把上式按 分量展开，得到三个方程，解出 看是否同时满足三个方程即可。 1．（26-27高二上·河北·阶段检测）已知空间中、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，， 因为、、、四点共面，且、不共线，设， 即， 所以，解得. 2．（26-27高二上·新疆喀什·阶段检测）（多选）已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】ABD 【分析】选项A利用空间点关于面对称坐标规则算出B点坐标验证；选项B由共面向量定理，三个向量共起点且满足，可得，，，四点共面；选项C验证系数之和不等于1，可得，，，四点不共面；选项D由三点共线则向量平行求出，即可得到． 【详解】选项A，关于平面对称的两点，坐标相同，坐标互为相反数． 由可得的坐标为， 故，A正确． 选项B，根据共面向量定理，可由、线性表示， 说明三个向量共面，且三个向量有公共起点A， 因此，，，四点共面，B正确． 选项C，若，，，共面，则对任意点P， 需满足． 已知，其中， 故四点不共面，C错误． 选项D，已知，，三点共线， 则，且， 故对应坐标成比例：，解得，所以，D正确． 3．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 【答案】B 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 4．（25-26高二上·全国·期末）设，已知向量，，，若共面，则______． 【答案】5 【分析】利用空间向量共面定理即可求解. 【详解】因为共面，所以可设， 即， 所以，解得，所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·广东广州·期中），，，若、、共面，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】因为、、共面，不妨设，即， 所以，解得. 故选：D. 拔高·压轴破难 题型7 空间向量数量积的应用 【方法总结】空间向量利用数量积公式来求模长、求夹角（夹角为钝角、锐角），判断向量平行、垂直关系、求投影向量或数量 1．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）（多选）在中，，，将绕向上旋转得．点为外心，面内有一点满足，且．若三棱锥的外接球球心在该棱锥外部，则以下说法正确的有（     ） A． B．的外接圆半径为 C． D． 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，利用，即可得出答案；对于B，利用正弦定理即可得出答案；对于C，求出点，判断三棱锥的外接球球心的位置，假设外接球球心在该棱锥内部，求出此时的取值范围，取反即可得出答案；对于D，根据题目条件代入计算即可得出答案 【详解】取的中点为原点，连接，由题可得， 以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 如图所示 因为，所以，，因为，所以是等腰三角形， 底边上的高，所以点的坐标为， 由于是由绕旋转角得到的，点到的距离也是，且在平面上，点绕原点旋转角得到点， 所以点的坐标为，假设点向上旋转，， 对于A，由于，，，所以，故A正确； 对于B，已知三边长，，，则底边上的高， 所以的面积，得到， 由正弦定理，可得，故B错误； 对于C，根据等腰三角形的性质，的外心在的中垂线，即上， 设，由得， ，解得， 所以外心，外接圆半径平方， 球心必在过外心且垂直于平面的直线上，故设， 又球心到，距离相等，即， 且，， 则， 根据，化简得， 则， 直线在平面的方程斜率， 方程为， 假设外接球球心在该棱锥内部， 即， 由得，，，， 解得， 因为题目要求球心在外部，所以，又因为是旋转角，，所以，故C正确； 对于D，因为，所以点在的垂直平分面上，即平面上， 在平面内，平面过轴，且与平面夹角为， 所以点坐标设为， 因为 ，，， 所以， 化简得 因为，消去得， 所以的坐标为， 因为， 所以，， 则原式 ，故D正确. 2．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知正四面体的棱长为，球与正四面体的四个面分别相切于点，，，，为球的球面上一点，则的最大值为________． 【答案】12 【分析】首先用向量展开四个切点到球面点的距离平方和，结合正四面体内切球四个切点关于球心对称的向量和为零的性质，可得四段距离平方和为定值，原总和的最大值等价于球面上点到顶点的最大距离. 【详解】设球的半径为，正四面体的高为，正四面体的一个面的面积为， 利用正四面体的体积公式可得：， 将内切球的球心和正四面体的4个顶点相连， 则正四面体分割成了4个完全相同的小三棱锥：、、 、，每个小三棱锥的底面都是正四面体的一个面（面积为）， 高就是球心到面的距离，也就是内切球半径， 因此单个小三棱锥的体积是，4个小三棱锥的总体积为： ，则，化简可得， 记，，，，， 由对称性可知， 为定值， 所以要求的最大值，即求的最大值， 又因为的最大值为，故所求的最大值为， 正四面体的棱长为，则， 所以的最大值为12． 3．（26-27高二上·河北·阶段检测）在四面体中，平面与平面互相垂直，，，为等腰三角形，且，，则异面直线与夹角的余弦值为_________． 【答案】 【分析】取中点构造垂直关系，将向量分解简化运算，结合已知条件求解向量模长与数量积，最终计算夹角余弦值. 【详解】如图，取BD的中点O，连接OA，OC，则由题易得，，， 又因为平面平面CBD，平面平面，平面BCD， 所以平面ABD，所以，所以． ， 因为，所以， 设，由题意得 则，所以， 则，则． 设AC与BD夹角为，则． 4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．四边形的面积为 B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由正方体的结构特征，判断四边形为矩形，验证A；再区分异面直线所成角与向量夹角的定义，结合为等边三角形，判断B；接着利用空间向量加法法则，将左边化简为，再结合正方体体对角线长度验证C；最后将向量差化简为，由正方体中验证D． 【详解】 对于A，因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形，面积为，A正确； 对于B，是等边三角形，所以， 又因为，所以异面直线与所成的角为， 结合图象向量与的夹角为，B错误； 对于C，由向量加法的运算法则可以得到， 因为，所以，C正确； 对于D，易得， 在正方体中，平面， 所以，所以，D正确． 5．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量数量积的运算性质可得出，利用投影向量的定义结合基本不等式可求得在方向上投影向量的长度的最小值. 【详解】因为空间向量、满足， 所以，故， 故在方向上的投影向量为， 故在方向上投影向量的长度为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故在方向上投影向量的长度的最小值是. 故选：B. 题型8 空间向量数量积的最值 【方法总结】数量积的最值问题常见的方法有： 1、坐标法：用坐标表示出数量积，然后利用函数求最值的方法求出最值。常见的在空间向量建系后解决问题。 2、定义法与基底转化：用基底表示向量，然后再用定义来求数量积的最值，注意根据模长或者夹角的范围来求最值。 3、极化恒等式或者投影法：注意利用数量积的几何意义来解决，注意用于有动点的问题上。 1．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知在底面半径为2且高为10的圆柱体的表面上有三个动点A、B、C，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图：过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆，，，    设点在圆，上的射影点为，，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由， 则，当且仅当时取等， 如图在圆所在平面，取点为圆与轴负半轴交点，建立平面直角坐标系.    则，设，， 所以，， 则 当，时，等号成立. 故， 所以的最小值为. 2．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面，， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 3．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）三角形，，，为空间中一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析出三角形为直角三角形，建立空间直角坐标系，计算向量坐标求出最值. 【详解】因为中，，. 所以，所以为直角三角形，且. 所以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，以点竖直向上垂直于底面为轴，建立空间直角坐标系. 所以.设. ；；.. 即配方得：. 所以当且仅当时，取得最小值为. 故选：. 4．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，并求出的最小值，得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 则，，两式平方后相减可得 ，即， 其中，故， 故当取得最小值时，取得最小值， 当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即， 故. 故选：B 5．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C $