2.1认识实数教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

2.1 认识实数（教学设计） 课题 2.1 认识实数 单元 第二章 实数（2.1 认识实数 第1课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、经历“剪拼正方形—估计边长”的过程，感受确实存在既不是整数也不是分数的数，理解无理数的意义； 2、知道无限不循环小数称为无理数，有理数和无理数统称实数；能按要求把给出的数归入有理数或无理数； 3、会用逼近的方法估计一个无理数的大小，能在数轴上找到表示一个无理数的点，理解实数与数轴上的点一一对应； 4、了解无理数发现的历史，体会数系扩充的必要性，发展数感和推理能力。 5、【核心素养】发展数感、抽象能力和推理能力，在数系扩充的过程中感受理性精神。 教材分析 1、内容地位：本节是第二章“实数”的起始课，也是初中阶段数系扩充的关键一课。教材把“数不够用了”这一矛盾真实地摆在学生面前，引导学生从有理数走向实数。 2、编写思路：教材先用“两个边长 1 的小正方形剪拼成一个大正方形”的问题（图2-1），设大正方形边长为 a，得到 a²=2，并指出 “满足等式 a²=2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数”；接着用“尝试·思考”把问题推广到 b²=5（图2-2）；再用“思考·交流”借助计算器逐位逼近（图2-3 及表格），发现 a=1.414 213 56…、b=2.236 067 97… 都是无限不循环小数；在此基础上归纳出无理数、实数的定义，并通过图2-4 在数轴上表示 a，得到实数与数轴上的点一一对应的结论。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生“了解无理数和实数的概念”“知道实数与数轴上的点一一对应”“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，并“了解无理数的发现过程，感受数学发展中的理性精神”。 4、前后联系：本节承接七年级“有理数”的学习，是数系的第二次扩充；同时为 2.2“平方根与立方根”、2.3“二次根式”以及后续学习函数、不等式提供基础。 学情分析 1、已有基础：学生已掌握有理数的概念、分类与运算，知道有理数都可以写成有限小数或无限循环小数，也学过用数轴上的点表示有理数。 2、主要障碍： （1）难以相信“存在一个数的平方等于 2 却写不成分数”，容易凭直觉认为 a 一定是一个具体的小数； （2）对“无限不循环小数”缺乏感性认识，容易把“无限小数”与“无理数”混为一谈； （3）用逼近法估计 a 的大小时，不知道怎样一位一位地确定整数部分、十分位、百分位； （4）容易误认为数轴上的点只能表示有理数。 3、教学策略：让学生亲手剪拼、亲手按键计算，在“算不完”的体验中产生认知冲突；用“夹逼”的表格把估计过程显性化；用图2-4 的作图把抽象的数“放”到数轴上，突破“一一对应”这一难点。 教学重点 无理数、实数的概念；用逼近的方法估计无理数的大小。 教学难点 理解无理数是无限不循环小数；理解实数与数轴上的点一一对应。 教学准备 多媒体课件（PPT）；两个边长 1 的正方形纸片（每人一份，可剪拼）；计算器（每人一台）；直尺、圆规。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：剪一剪、拼一拼】 教师：图2-1 中是两个边长为 1 的小正方形，请同学们剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形。 （1）设大正方形的边长为 a，a 满足什么条件？ （2）a 可能是整数吗？说说你的理由。 （3）a 可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流。 学生（动手剪拼后回答）：把两个小正方形沿对角线剪开，可以拼成一个大正方形，它的面积是 2，所以 a²=2。 教师：a 可能是整数吗？ 学生：因为 1²=1，2²=4，而 1<2<4，所以 a 在 1 和 2 之间，不是整数。 教师：a 可能是分数吗？ 学生：如果 a 是十分之几，试出来 1.4²=1.96，1.5²=2.25，所以 a 在 1.4 和 1.5 之间，也不是十分之几。 教师：这样一位一位地试下去，能不能试出一个分数来呢？ 学生：好像总是差一点。 教师：事实上，满足等式 a²=2 的 a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数。 教师：那么 a 究竟是一个什么样的数？这就是我们这节课要研究的问题。（板书课题） 1、动手剪拼两个边长为 1 的小正方形，得到大正方形； 2、由面积关系写出 a²=2； 3、用平方运算判断 a 不是整数、也不可能是十分之几。 通过剪拼活动让学生亲身感受“面积是 2 的正方形确实存在”，再用平方运算排除整数和分数，制造“数不够用了”的认知冲突，激发学习需求。 探究 新知 【活动一：再试一个——b 是有理数吗】 教师：请看“尝试·思考”。如图2-2，以直角边分别为 1、2 的直角三角形的斜边为边作正方形。 （1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为 b，b 满足什么条件？ （3）b 是有理数吗？ 学生：由勾股定理，斜边的平方 = 1²+2² = 5，所以这个正方形的面积是 5，即 b²=5。 教师：b 是有理数吗？请同学们用刚才的方法估计一下 b 的大小。 学生：因为 2²=4，3²=9，所以 b 在 2 和 3 之间；2.2²=4.84，2.3²=5.29，所以 b 在 2.2 和 2.3 之间…… 教师：在上面的两个问题中，数 a，b 确实存在，但都不是有理数。 教师：面积为 2 的正方形的边长 a 究竟是多少呢？请看“思考·交流”。 （1）如图2-3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 学生：边长 1 的正方形面积是 1，边长 a 的正方形面积是 2，边长 2 的正方形面积是 4，所以 1<a<2。 （2）边长 a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器进行探索。 （3）小明将他的探索过程整理如下： 　　边长 a｜面积 S 　　1<a<2｜1<S<4 　　1.4<a<1.5｜1.96<S<2.25 　　1.41<a<1.42｜1.988 1<S<2.016 4 　　1.414<a<1.415｜1.999 396<S<2.002 225 　　1.414 2<a<1.414 3｜1.999 961 64<S<2.000 244 49 教师：还可以继续算下去吗？a 可能是有限小数吗？ 学生：算不完，位数再多也夹不住 2，所以 a 不可能是有限小数。 教师：请同学们用计算器再算一算面积为 5 的正方形的边长 b，看看 b 可能是有限小数吗。 学生：b 也算不完。 教师：事实上，a=1.414 213 56…，b=2.236 067 97…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 1、用勾股定理求出以斜边为边的正方形的面积，得到 b²=5； 2、仿照估计 a 的方法估计 b 的大小； 3、用计算器逐位计算，把结果填入表格，体会“永远夹不住”； 4、用自己的语言描述 a、b 的小数特征。 让学生亲手“算不完”，在反复逼近的体验中建立“无限不循环小数”的直观感受，为抽象出无理数的定义作好铺垫。 探究 新知 【活动二：无理数与实数】 教师：其实不是有理数的数，用小数表示都是无限不循环小数。我们先看看有理数的小数表示有什么共同特征。 教师：请把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 　　3，4/5，5/9，−8/45，2/11。 学生：3=3.0，4/5=0.8（有限小数）；5/9=0.555…，−8/45=−0.1777…，2/11=0.1818…（无限循环小数）。 教师：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 教师：那些不是有理数的数，用小数表示是无限不循环小数，无限不循环小数不是有理数。 教师：无限不循环小数称为无理数。 教师：除了前面所述的 a，b 是无理数外，我们十分熟悉的圆周率 π=3.141 592 65… 也是一个无理数。再如 0.585 885 888 588 885…（相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1），也是无理数。 教师：请看例题——下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 　　3.14，−4/3，0.5̇7̇，0.101 000 100 000 1…（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2）。 学生：3.14 是有限小数，−4/3 是分数，0.5̇7̇ 是无限循环小数，它们都是有理数； 学生：0.101 000 100 000 1… 是无限不循环小数，是无理数。 教师：解这类题的关键是看小数的“无限”与“循环”两个特征：有限小数、无限循环小数都是有理数；无限不循环小数才是无理数。 教师：有理数和无理数合起来，就得到了一个新数集——有理数和无理数统称实数。 教师：实数也可以按照有理数的分类方法进行分类。请同学们把上面例题中的各数分别填入“正数集合”和“负数集合”，再说一说实数可以怎样分类。 学生：实数可以分为有理数和无理数；也可以按正负分为正实数、0、负实数。 1、把给定的分数化成小数，归纳有理数的小数表示特征； 2、在例题中逐个判断有理数与无理数，并说明理由； 3、说出无理数、实数的定义； 4、把例题中的数填入正数集合、负数集合，尝试对实数进行分类。 通过“分数化小数”的回顾，把有理数与“有限小数或无限循环小数”对应起来，从而给无理数一个准确的刻画；用例题落实判断方法，用分类活动建立实数的整体结构。 探究 新知 【活动三：实数与数轴上的点一一对应】 教师：前面讨论的两个正方形，边长分别是 a，b，且满足 a²=2，b²=5。 （1）如图2-4，OA=OB，数轴上点 A 对应 a，b 中的哪个数？ （2）你能在数轴上找到另一个数对应的点吗？与同伴进行交流。 学生：图中以原点 O 和一个边长为 1 的正方形的顶点 B 为端点作线段 OB，再以 O 为圆心、OB 为半径画弧，与数轴正半轴交于点 A。 学生：因为 OB 是边长为 1 的正方形的对角线，OB²=1²+1²=2，所以 OB=a；又 OA=OB，所以点 A 表示数 a。 教师：那么 b（b²=5）能不能也在数轴上表示出来？ 学生：可以，只要作出以 1 和 2 为直角边的直角三角形，用它的斜边作半径画弧即可。 教师：事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。 教师：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一样。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 教师：在实数运算中，当遇到无理数且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数代替无理数进行计算。例如求 a 与 π 的和（结果保留小数点后两位）： 　　因为 a≈1.414，π≈3.141，所以 a+π≈1.414+3.141=4.555≈4.56。 教师（追问）：计算前为什么可以先取近似值？取近似值时要注意什么？ 学生：因为无理数取不到精确值；取近似值时要看精确度要求，并且要按“四舍五入”多保留一位再取舍。 教师（阅读·思考）：教材第29页的“阅读·思考”介绍了无理数的发现。公元前 5 世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现，边长为 1 的正方形的对角线的长无法用整数或整数之比表示，这个发现动摇了该学派“万物皆数”的信条，引起了第一次数学危机。教材还用“设对角线长为 p/q（p，q 互质）”推出矛盾的方法给出了证明。 教师：无理数并不“无理”。有理数是能写成分数形式的数，无理数则是不能写成分数形式的数。 1、对照图2-4，说明点 A 为什么表示数 a； 2、尝试在数轴上表示 b，并交流作图方法； 3、理解并复述实数与数轴上的点一一对应； 4、用近似值计算 a+π，交流取近似值的注意事项； 5、阅读“无理数的发现”，谈一谈自己的感受。 用尺规作图把无理数“放”到数轴上，直观地支撑“一一对应”这一抽象结论；结合数学史料进行理性精神与文化自信的教育。 巩固 练习 【随堂练习】 1、（教材第26页）如图，等边三角形 ABC 的边长为 2，高为 h，h 可能是有理数吗？ 【提示】由等腰三角形“三线合一”，高把等边三角形分成两个直角三角形，直角边为 1 和 h，斜边为 2， 所以 h²=2²−1²=3，即 h²=3。仿照本节课的估计方法可知 h 不是有理数，h=1.732 050 8…。 2、（教材第28页）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 　　0.458 3，3.7̇，−π，−1/7，18。 【答案】0.458 3（有限小数）、3.7̇（无限循环小数）、−1/7（分数）、18（整数）都是有理数；−π 是无理数。 3、（教材第28页）比较 −3.14 与 −π 的大小。 【答案】因为 π≈3.141 59…>3.14，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 −3.14>−π。 4、（教材第28页）a 是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 a≠0，则它的倒数如何表示？ 【答案】a 的相反数是 −a，绝对值是 |a|；当 a≠0 时，a 的倒数是 1/a。 1、独立完成第1题，先算出 h² 再判断； 2、第2题逐个数说出判断理由，强调“无限”与“循环”两个特征； 3、第3题先比较 π 与 3.14 的大小，再结合负数比较法则作答。 练习覆盖估计、判断、比较大小和表示方法四个方面，全面检测本节的核心目标，其中第3题把实数的比较与负数比较法则结合起来。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、无理数：无限不循环小数称为无理数（如 a=1.414 213 56…，b=2.236 067 97…，π=3.141 592 65…） 二、有理数的小数特征：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数 三、实数：有理数和无理数统称实数；实数可以按定义分为有理数和无理数，也可以按正负分为正实数、0、负实数 四、实数与数轴：每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；数轴上的每一个点都表示一个实数——一一对应 五、实数的运算：相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内完全一样；运算法则与运算律仍然适用 六、估计方法：用“夹逼”的办法逐位估计（整数部分→十分位→百分位→…） 1、对照板书口头梳理知识结构； 2、用自己的话说一说“无理数”与“有理数”的区别； 3、完成学习任务单上的自我评价。 以“数系扩充”为主线梳理全课，突出无理数的本质特征与一一对应这一核心结论，帮助学生形成结构化的认识。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第30页 习题2.1 知识技能 第1题；数学理解 第2题（判断正误）。 2、提升题：教材第30页 习题2.1 数学理解 第3题（举出三个有关无理数的实例）。 3、实践题：教材第30页 习题2.1 问题解决 第5题——在 4×4 的方格纸中，分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 4、拓展题：教材第30页 习题2.1 问题解决 第6题（设计三边长度分别恰有一边、恰有两边、三边都不是有理数的直角三角形）。 5、阅读：教材第29页“阅读·思考——无理数的发现”，写一段不少于 100 字的读书笔记。 1、记录作业内容； 2、实践题与拓展题在方格纸上作图完成，保留作图痕迹； 3、认真阅读数学史料，写出自己的感受。 作业分层：基础题巩固概念，提升题联系生活，实践题与拓展题在方格纸中综合运用勾股定理与实数的概念，阅读题落实数学文化的育人价值。 板书 设计 2.1 认识实数 一、a²=2，b²=5 —— a、b 既不是整数，也不是分数 二、无理数：无限不循环小数 　　有理数：有限小数或无限循环小数（反之亦然） 三、实数 = 有理数 + 无理数 四、实数与数轴上的点一一对应 五、估计方法：夹逼（1＜a＜2 → 1.4＜a＜1.5 → 1.41＜a＜1.42 → …） （副板书：图2-4 数轴上表示 a 的作图过程） 教学 反思 1、成功之处：剪拼正方形的活动让学生亲眼看到“面积是 2 的正方形确实存在”，随后的逐位逼近又让学生体验了“永远算不完”，认知冲突产生得自然；借图2-4 用圆规把 a 画到数轴上，学生对“一一对应”的理解比单纯讲解要深刻得多。 2、不足之处：仍有学生把 3.7̇（无限循环小数）误判为无理数，说明“无限”与“循环”两个特征还没有完全区分开；个别学生对“用近似值代替无理数计算”的必要性理解不够。 3、改进设想：下次教学可增加一组对比题（如 0.101 001 000 1… 与 0.101 010 101…），让学生在对比中牢固区分无限循环与无限不循环；近似计算可增加一道检验精确度的练习。 学科网（北京）股份有限公司 $