2026-2027学年浙教版数学九年级上册专题复习：几何与二次函数综合

2026-2027年浙教版九上专题复习：几何图形与二次函数图像结合问题 【思维导图】 【知识梳理】 1. 求抛物线解析式，算出顶点、与 x/y 轴交点，标注在草图上。 2. 标注定点坐标，把已知点写在图旁；动点统一设坐标： · 抛物线上动点：P(t,at2+bt+c) · 直线上动点：P(t,kt+m) 技巧：只用一个参数t，减少未知数，简化计算。 1. 画草图！草图是压轴题的生命线，预判点的位置，预判有几组解，防止漏解。 一阶学习（基础训练） 1. 如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上 C. 最大时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定与性质，梯形，等边三角形的判定，动点问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，二次函数最值，解决本题的关键是综合运用所学知识能力．根据已知条件，进行严格缜密的推理与计算即可判断． 【详解】解：如图， 过点作，交于点， 则， ， ， 是等边三角形 ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形为等腰梯形． ， 即点，点运动路程相等， 又它们同时到达终点， 点，点速度相等． 由图象可知，当时，点到达点， 又， ，，． ． 故A错误； 设点到的距离为， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 即图中曲线与线段的交点坐标为， 直线过点和， 利用待定系数法求出直线的解析式为：， 当时，， 点不在该函数图象上， 故B错误； 当点在边上时， 设点到的距离为， 此时， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，， 此时，， 当时，有最大值， 此时，，， 根据含30度角的直角三角形的性质可得，点到的距离为， ， 故C正确； 当时， ， ， 解得，或， 故D错误； 综上，C选项正确． 故选：C． 2.如图1，在矩形中，点在边上，连接.点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止.连接.设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，； ④当在线段上，且平分时，. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 3.如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ） A. 当，S为关于x的一次函数 B. ， C. 当，S为关于x的二次函数 D. 图象过点 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分点在矩形内部和外部两种情况讨论，根据重叠部分的面积为S，列出关系式，逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：， 当点在矩形内部时（包含边界）， 则重叠部分的面积为， 的长为定值， 此时，S为关于x的一次函数； 由函数图象可得：当时，点刚好落在边上， ∴当，S为关于x的一次函数；故A选项说法正确； 如图，当时， 此时，与重合，则， ， 此时，四边形是矩形， ， 此时，四边形是正方形， ∴， 此时，， ∴， 当点在矩形外部时， 如图，过点P作于点H，设交于点G，则四边形是矩形， ， ∴， 设，则， 在中，，即， ， 则重叠部分的面积为， 此时，S不是关于x的二次函数；则当，S不是关于x的二次函数；故C选项说法错误； 由函数图象可得：当时，点P与点D重合， 此时，， ∴，故选项B说法正确； 当时，， ∴图象过点，故选项D说法正确； 故选：C． 4.如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，垂径定理，勾股定理，连接，作，则，证明，得到，进而得到，根据函数图象得到圆的半径为1，设，得到，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，当时，，此时为直径， ∴圆的直径为， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴； 故选D． 5.如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得的长度为，可得；画出时的图形，计算的面积即可；根据题意可得当时，的面积最大；画出时的图形，计算和的面积即可． 【详解】解：根据函数图象可得的长度为， ， ，故A正确； 当时，如图，则， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即时，， ∴点不在函数图象上，故B错误； 可得当时，的面积最大， 此时， ，故C正确； 当时，如图，则，， ， ， 即当时，，故D正确． 6.如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像可知，当时，点P与点B重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出m的值为8，故A选项错误；根据图像当时，此时，，过P点作于D点，根据面积公式求得，证明，列出比例式求得，进而可得 ，故C选项正确；当时，可得，， ， ．由列出比例式求得，，则可得，．由勾股定理的逆定理可得不是直角三角形，故B选项错误；求出S与t的关系式为，则可得当时，，故D选项错误． 本题考查动点的函数图像，相似三角形的判定和性质，从函数图像中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：观察图像可知，当时，点P与点B重合， ∵动点P，Q均以1cm/s的速度从点C同时出发， ∴， ∵， ∴， 故A选项错误； 由图像可知，当时，此时，， 过P点作于D点，如图，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴P点是的中点， ∴， ∴， 故C选项正确； 当时，，， ， ， ∵， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴不是直角三角形， 故B选项错误； 由题意得，， ∵， ∴， 解得， ∴， 当时，， 故D选项错误． 故选：C． 如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与几何图形，读懂题意建立正确的函数关系是解题的关键．根据题意可知四个三角形的面积相等并用表示出其面积为，然后再表示出小正方形的面积，最后根据二次函数图象的性质得到其开口方向、对称轴和自变量的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，边长为1 ， 小正方形的面积 所求函数是一个开口向上，抛物线对称轴是直线，且取值范围是． 故选：B． 如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．当时，；当时，，结合图形，即可求解． 【详解】解：当时，如图， ∴，， ∴，此时抛物线开口向上． 当时，如图， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴ ，此时抛物线的开口向下． 综上，选项A符合题意， 故选：A． 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：如图，，，， ①当时， 正方形的边长为， ； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选：A． 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的位置对分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：当点到点时，；当点到点时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴； 当，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设与交于点 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ，是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴． 综上所述： 结合图像可得只有项符合题意， 故选：． 如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点函数图象，分别求出和时的函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：当时，如图， ∵三个动点同速， ∴三个动点路程相同， ∴， ∵ ∴， ∴ 当时，如图， 此时 ∴， ∴， ∴ ∴结合两个函数判断B符合题意， 故选：B 二阶学习（提升训练） 如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质. 分别求出，，求出直线的解析式，将代入即可. 【详解】如图， ∵，， ∴ ∵， ∴动点到达点时，动点到达点， 此时， ∴ ∵， ∴的面积降为0时，， ∴ 设直线的解析式为， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为， 当时， 解得： ∴当面积时，对应的运动时间的值是4 故答案为：4 如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 【答案】96 【分析】由题意可知：：：，设，则，过点作垂直于的延长线于点，过点作垂直于的延长线于点，由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12，得出，则，在中，，得出，进而根据平行四边形的面积公式，即可求解． 【详解】解：由题意可知：：：，设，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， ，则， ， 在中，， ， 则，化简得：， 由二次函数图象可知，函数的顶点纵坐标为12， ， ， 为正数， ， ，则， 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，则， ， ， ． 故答案为：96． 在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察图象可得结论． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴． 故答案为：． 三阶学习（培优训练） 1.如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，函数的图象与直线有两个交点 【分析】本题考查动点函数图象问题，二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想是解题的关键． （1）分两种情况，当时，点P在上，当时，点P在上，根据三角形面积公式分别列式即可； （2）根据（1）中所得解析式描点连线可得函数图象； （3）找出临界点：当直线经过点和时，直线与的图象只有一个交点，分别求出b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； （2）解：根据（1）中解析式列表得： x 2 4 5 6 8 y 8 16 15 12 0 作图如下： （3）如图，当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点； 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年浙教版九上专题复习：几何图形与二次函数图像结合问题 【思维导图】 【知识梳理】 1. 求抛物线解析式，算出顶点、与 x/y 轴交点，标注在草图上。 2. 标注定点坐标，把已知点写在图旁；动点统一设坐标： · 抛物线上动点：P(t,at2+bt+c) · 直线上动点：P(t,kt+m) 技巧：只用一个参数t，减少未知数，简化计算。 1. 画草图！草图是压轴题的生命线，预判点的位置，预判有几组解，防止漏解。 一阶学习（基础训练） 1. 如图1，四边形，，，，点从点出发，沿以每秒个单位的速度匀速运动到点．同时，点从点沿着线段向终点做匀速运动，它们同时到达终点．连结，，，设运动时间为（秒），的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列选项正确的是（ ） A. B. 点在该函数图象上 C. 最大时， D. 当时， 2.如图1，在矩形中，点在边上，连接.点、都以的速度同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿线段运动到点时停止.连接.设点的运动时间为秒，的面积为，两点运动的过程中，与的函数关系如图2所示，则下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③当时，； ④当在线段上，且平分时，. A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图1，在矩形中，P为边上一点，连结，将矩形沿折叠，记与矩形重叠部分的面积为S，设的长为x，S关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（ ） A. 当，S为关于x的一次函数 B. ， C. 当，S为关于x的二次函数 D. 图象过点 4.如图1，已知是中位于圆心O上下两侧的两条弦，且满足，设弦，，y关于x的函数图象如图2所示，当时，求的长（ ） A. B. C. D. 5.如图，在中，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连接．设点的运动路径长为的面积为，的面积为关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点在函数图象上 C. 的最大值为4 D. 当时， 6.如图1，在中，，，.动点，均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示，则下列正确的是（ ） A. B. 时，为直角三角形 C. D. 时，面积最大 7.如图，正方形边长为1，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 8.如图，点和点同时从正方形的顶点出发，点沿着运动，点沿着运动，速度都为，终点都是点．若，则的面积S（cm2）与运动时间之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 9.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为 ，的面积为 ，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 10.如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为，且与在同一条直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11.如图，在四边形中，，，，，三个动点，，同时分别沿，，的方向以的速度匀速运动，运动过程中的面积与运动时间 的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 二阶学习（提升训练） 1.如图1，在中，，，动点从点，出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为．表示与之间关系的图象如图2所示，则当面积时，对应的运动时间的值是 ． 2.如图1，在平行四边形中，，已知动点以的速度从点向点运动，动点的速度是点的倍，从点向点运动．若点，同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间之间的函数关系图象（点为图象的最高点），则平行四边形的面积为 ． 3.在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是 ． 三阶学习（培优训练） 1.如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $