圆锥曲线定点定值问题中午30min限时练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线定点定值问题中午30min限时练 1．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆必过一个定点，该定点坐标为 A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知P是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于另一点A，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 4．（多选）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（    ） A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若为正三角形，则该三角形的面积为 5．双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为_____________． 6．已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案 1．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆必过一个定点，该定点坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线为的准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点. 【详解】由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点，故选A. 【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题. 2．在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值． 【详解】解：双曲线的a＝， A（﹣，0），B（，0）， 设P（m，n），m≠±， 则﹣＝1，即n2＝4（﹣1）， 则tanα＝，tan（π﹣β）＝﹣tanβ＝， 则﹣tanαtanβ＝＝， 即tanαtanβ＝﹣， 故选：A． 3．已知P是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，直线交椭圆于另一点A，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】D 【解析】由题意可得，，再由椭圆的定义知，的周长为，即可得到答案. 【详解】由题意，，又由椭圆定义知，，， 即的周长：. 故选：D. 4．（多选）在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（    ） A．四边形ABCD不可能为平行四边形 B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2 D．若为正三角形，则该三角形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据平行四边形的性质可判断A；利用对应边成比例，三角形相似可判断B；由两点求斜率可判断C；利用三角形的面积公式可判断D. 【详解】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点， 因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确； B，如图所示，连接， 则当，， 则，则∠A=∠C，故B正确； C，设，，， ，解得，所以，故C错误； D，设若为正三角形，如图： 由抛物线的对称性可知，， 则直线：， 则 ，解得，， ， ，故D正确. 故选：ABD 5．双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为_____________． 【答案】 【分析】由双曲线离心率求出，设出点A，M的坐标并代入双曲线方程相减，再结合斜率坐标公式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距c，由题意知， 设，，根据对称性可得， 则，，两式相减得，即， 由斜率坐标公式得， 所以的值为. 故答案为： 6．已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切． (1)求抛物线的方程； (2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）由题意得点的坐标为，焦点的坐标为， 根据抛物线的定义得，即以线段为直径的圆的直径为． 记线段的中点为，则点的坐标为， 因为以线段为直径的圆与直线相切， 所以有，解得， 所以抛物线的方程为． （2）设直线的方程为，易验证必存在且不为0． 与抛物线方程联立得， 不妨设，则可得， 由（1）得点的坐标为， ， 化简得所以直线的方程为， 所以直线恒过定点． 因为于点所以在直角三角形中， 令为线段的中点，坐标为， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $