第6讲 圆的概念及性质 优等生讲义 (知识梳理+典例+练习) 2026-2027学年 苏科版九年级数学上册

第6讲 圆的概念及性质 2026-2027 苏科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的定义及相关概念（弦、弧、圆心角、圆周角），能准确区分各类概念 · 掌握确定圆的条件，理解三角形外接圆与外心的概念，能作出三角形的外接圆 · 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决圆的计算与证明问题 · 理解圆心角、弧、弦之间的关系，能在同圆或等圆中进行等量代换 · 掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角性质解决角度计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的相关概念 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 概念辨析例题：下列说法中正确的是：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧。 解析：①直径是经过圆心的弦，故正确；②弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径，故错误；③半圆是弧，但弧包括优弧、劣弧和半圆，故正确；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故错误。所以正确的是①③。 ☆ 2.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，经过同一直线上的三点不能作圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部 直角三角形外接圆半径：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，即R= 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求这个三角形的外接圆半径。 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=====10。直角三角形的外接圆直径就是斜边，所以外接圆半径R===5。 ☆ 3.圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=18，CE=6，求⊙O的半径。 解析：设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OB-BE=r-18。因为CD⊥AB，由垂径定理得CE=DE=6。在Rt△OCE中，由勾股定理得OC2=OE2+CE2，即r2=(r-18)2+62，展开得r2=r2-36r+324+36，化简得36r=360，解得r=10。但r=10<18，说明E在OB延长线上，OE=18-r，重新计算得r=10不合理，实际应为r=10时OE=8，BE=OB+OE=18，符合题意。 ☆ 4.圆周角 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 概念辨析例题：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为DC延长线上的一点，求证：∠BCE=∠A。 解析：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）。又因为∠BCD+∠BCE=180°（邻补角的定义），所以∠BCE=∠A（同角的补角相等）。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/定理 注意事项 圆的定义 定点O为圆心，定长r为半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及弧 弦不能是直径时推论才成立 圆心角定理 等圆心角⇔等弧⇔等弦 前提是在同圆或等圆中 圆周角定理 圆周角=圆心角 同弧所对的圆周角相等 外接圆半径 直角三角形R= 外心是三边垂直平分线交点 圆内接四边形 对角互补，外角=内对角 四个顶点都在同一个圆上 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的相关概念 · 直径是最长的弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆 · 等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧 · 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上且两边与圆相交，注意区分 · 优弧用三个字母表示，劣弧用两个字母表示，半圆既不是优弧也不是劣弧 1．（2026秋•北碚区校级同步）下列说法正确的个数是（　　） ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据弦的定义对A进行判断；根据弧的定义对B，C，D进行判断． 【解答】解：A、弦不一定是直径，故不符合题意； B、半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； C、能完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、同圆或等圆中优弧一定大于劣弧，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．（2025秋•江门期末）下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 【分析】根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，正确，不符合题意； B、半圆属于弧，正确，不符合题意； C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，原说法错误，符合题意； D、圆上各点到圆心的距离都相等，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键． 3．（2026•金平县模拟）如图，AB是半圆O的直径，AC＝CD＝DE，∠COD＝40°，∠BOE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理推出∠AOC＝∠DOE＝∠COD＝40°，由平角定义即可求出∠BOE的度数． 【解答】解：∵AC＝CD＝DE， ∴∠AOC＝∠DOE＝∠COD＝40°， ∴∠BOE＝180°﹣40°﹣40°﹣40°＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握圆心角、弧、弦的关系定理． 4．（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 5．（2026•冠县二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，若∠ABC＝100°，则∠AOC＝（　　）°． A．80 B．100 C．140 D．160 【分析】先根据，得∠AOC＝2∠AEC，则∠ABC＝100°，∠AEC＝80°，故∠AOC＝160°，即可作答． 【解答】解：如图，在优弧AC中取点E，连接AE，CE， ∵，∠ABC＝100°， ∴∠AOC＝2∠AEC， ∴∠AEC＝180°﹣100°＝80°， ∵∠AOC＝2∠AEC， ∴∠AOC＝160°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 6．（2026•太和县模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°，则∠OBD的度数是　70°　 ． 【分析】先根据圆周角定理求出∠BOD的度数， 【解答】解：∵直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°， ∴， ∴∠BOD＝2∠A＝40°， ∵OB＝OD， ∴． 故答案为：70°． 【点评】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键． 7．（2026•长沙校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝18，CE＝6，则⊙O的直径为　20　 ． 【分析】连接OC，在Rt△OCE中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：如图，连接OC，设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r， ∵BE＝18， ∴OE＝18﹣r， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴∠OEC＝90°， ∵OC2＝CE2+OE2， ∴r2＝62+（18﹣r）2， 解得r＝10， ∴⊙O的直径为20． 故答案为：20． 【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 8．（2026•邗江区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于　55°　 ． 【分析】利用⊙O是△ABC的外接圆，可得BO＝CO，再根据等腰三角形底角相等和三角形的内角和为180°，可求得∠BOC的大小，最后再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可解答． 【解答】解：如图：⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，连接BO，则BO＝CO， ∴∠OCB＝∠OBC＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣35°﹣35°＝110°， 根据圆周角定理可知，． 故答案为：55°． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键． 9．（2026•南京一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，点B是的中点．若CE＝6，则⊙O的半径为　3　 ． 【分析】连接OB，则OB＝OC，由，得∠BOC＝∠BOD＝90°，则∠OBC＝∠OCB＝45°，∠A∠BOC＝45°，由AB＝AC，求得∠ABC＝∠ACB＝67.5°，则∠CEB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝67.5°，所以∠CEB＝∠ABC，则CB＝CE＝6，由CBOC＝6，求得OC＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB，则OB＝OC， ∵点B是的中点， ∴， ∴∠BOC＝∠BOD180°＝90°， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∠A∠BOC＝45°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠CEB＝180°﹣∠ABC﹣∠OCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°， ∴∠CEB＝∠ABC， ∴CB＝CE＝6， ∵CBOC＝6， ∴OC＝3， ∴⊙O的半径为3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10．（2026•垦利区二模）如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙O交于点B，且AB＝OC，若∠A＝24°，则∠DOE的度数是　72°　 ． 【分析】连接OB，利用等腰三角形的性质得到∠AOB＝∠A＝24°，以及三角形外角的性质求出∠OBE＝∠E＝48°，结合∠DOE＝∠E+∠A即可求解． 【解答】解：如图，连接OB， ∵AB＝OC，OB＝OC，∠A＝24°， ∴AB＝OB， ∴∠AOB＝∠A＝24°， ∵∠OBE是△OAB的外角， ∴∠OBE＝∠A+∠AOB， ∴∠OBE＝2∠A＝48°， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠E＝48°， ∴∠DOE＝∠E+∠A＝48°+24°＝72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 11．（2026•淄博）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠ABC＝58°，CD平分∠ACO，DE⊥AB交⊙O于点E，垂足为F，则∠COE＝　84　 °． 【分析】设CD交AB于点H，由AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，得∠ACB＝90°，因为∠ABC＝58°，所以∠ACO＝∠BAC＝90°﹣∠ABC＝32°，∠OCB＝∠ABC＝58°，则∠BOC＝2∠BAC＝64°，而∠ACD＝∠OCD∠ACO＝16°，所以∠AHD＝∠OHC＝∠BOC﹣∠OCD＝48°，由DE⊥AB交⊙O于点E，垂足为F，得∠DFH＝90°，则∠D＝90°﹣∠AHD＝42°，求得∠COE＝2∠D＝84°，于是得到问题的答案． 【解答】解：设CD交AB于点H， ∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点， ∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝OB， ∵∠ABC＝58°， ∴∠ACO＝∠BAC＝90°﹣∠ABC＝32°，∠OCB＝∠ABC＝58°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝64°， ∵D是⊙O上的点，CD平分∠ACO， ∴∠ACD＝∠OCD∠ACO＝16°， ∴∠AHD＝∠OHC＝∠BOC﹣∠OCD＝64°﹣16°＝48°， ∵DE⊥AB交⊙O于点E，垂足为F， ∴∠DFH＝90°，∠D∠COE， ∵∠D＝90°﹣∠AHD＝42°， ∴∠COE＝2∠D＝84°， 故答案为：84°． 【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、圆周角定理等知识，正确理解和应用圆周角定理及其推论是解题的关键． 12．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OA⊥CD于点P．请在图中找出相等的弧，并说明理由． 【分析】根据垂径定理即可求解． 【解答】解：，， 理由：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【点评】本题考查了圆的认识，关键是熟练掌握垂径定理． 13．（2025秋•玄武区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 【分析】连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1＝∠3，∠2＝∠B，加上∠B＝∠3，则∠1＝∠2，于是根据圆心角、弧、弦的关系得到，则AC＝CD． 【解答】证明：连接OD，如图， ∵OC∥BD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠B， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴， ∴AC＝CD． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了平行线的性质． 14．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AD＝BC，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 【分析】利用弧，弦，圆心角之间的关系一一判断即可． 【解答】解：相等的线段有：AD＝BC，AB＝CD； 相等的弧：，； 相等的角有：∠A＝∠C，∠D＝∠B． 【点评】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【考点2】确定圆的条件 · 不在同一直线上的三点确定一个圆，经过同一直线上三点不能作圆 · 三角形外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部 · 直角三角形外接圆半径=斜边一半，这是常用的快速计算方法 15．（2026•海门区校级模拟）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由AE⊥BD可得推出∠AEB＝90°，推出点E在以AB为直径的圆上运动，可得CE的最小值为CO′﹣O′E． 【解答】解：∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴点E在以AB为直径的圆上运动， 设AB的中点为O′， ∴当C、E、O′共线时CE的最小，最小值为CO′﹣O′E， ∵△ABC是等边三角形， ∴CO′经过点O，∠BCO′∠ACB＝30°，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵OB＝OC， ∴∠BCO′＝∠OBC＝30°， ∴∠OBO′＝∠ABC﹣∠OBC＝30°， ∴O′B＝O′E＝OB•cos∠OBO′＝2， ∴O′C＝O′B•tan∠ABC＝3， ∴CE的最小值为（3）cm． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，确定点E的运动轨迹是解题的关键． 16．（2026春•龙岗区期末）如图1，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．我们用尺规作图得到如图2所示的△ABC，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【分析】根据ASA判定三角形全等． 【解答】解：由作图可知根据ASA可以判定三角形全等． 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 17．（2026秋•同步）⊙O的弦AB的长为4cm，弦AB的弦心距为1cm，则⊙O的直径长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设⊙O的直径CD⊥AB于点P，连结OA，则AP＝BPAB＝2cm，OP＝1cm，由勾股定理得OAcm，则⊙O的直径长为2cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，AB和CD分别是⊙O的弦和直径，且CD⊥AB于点P，连结OA， ∵AB＝4cm，弦AB的弦心距为1cm， ∴AP＝BPAB＝2cm，OP＝1cm， ∵∠APO＝90°， ∴OA（cm）， ∴CD＝2OA＝2cm， ∴⊙O的直径长为2cm， 故选：D． 【点评】此题重点考查垂径定理、勾股定理等知识，正确地画出图形并且添加相应的辅助线是解题的关键． 18．（2025秋•城关区期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BDC＝52°，则∠ABC的大小为（　　） A．26° B．38° C．52° D．57° 【分析】连接AC，求出∠A，∠ACB，即可解决问题． 【解答】解：连接AC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠A＝∠D＝52°， ∴∠ABC＝90°﹣52°＝38°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19．（2026•南岗区校级三模）如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 　72　 °． 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°． 【解答】解：连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°， 又∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°， 故答案为：72． 【点评】本题考查了圆的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 20．（2026•靖边县模拟）如图，AD是⊙O的直径，已知AD＝6，，∠AOB＝120°，则CD的长为　3　 ． 【分析】由圆心角的性质可得∠AOC＝∠AOB＝120°，进而可判断△OCD是等边三角形，因此CD＝OC＝3． 【解答】解：∵AD是⊙O的直径，AD＝6，，∠AOB＝120°， ∴∠AOC＝∠AOB＝120°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOC＝60°， ∵， ∴△OCD是等边三角形， ∴CD＝OC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 21．（2026•拱墅区校级开学）在⊙O中，弦AB等于圆半径r的倍，即ABr，则该弦所对的弧的度数为　90°或270°　 ． 【分析】连接OA，OB，由OA2+OB2＝AB2，推出∠AOB＝90°，于是得到答案． 【解答】解：连接OA，OB， ∵OA＝OB＝r，ABr， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∴该弦所对的劣弧的度数为90°，所对的优弧的度数是360°﹣90°＝270°， ∴该弦所对的弧的度数为90°或270°， 故答案为：90°或270°． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由勾股定理的逆定理得到∠AOB＝90°． 22．（2025秋•湖南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为　40°　 ． 【分析】由平角的定义可得∠BOE，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°， ∴∠BOD∠BOE120°＝40°， 故答案为：40°． 【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 23．（2026•原州区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点D是劣弧AB中点，连接OB，OD，其中OD交AB于点E，若∠BOD＝60°，OD＝1，则AC的长为　　 ． 【分析】证明OD⊥AB，AE＝BE，求解，进一步可得答案． 【解答】解：∵点D是劣弧AB中点， ∴OD⊥AB，AE＝BE， ∵∠BOD＝60°，OD＝1， ∴OB＝OD＝1，∠OBE＝30°， ∴， ， ∴， ∵AB＝AC， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 24．（2026•秦都区校级模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D为上一点，且AC＝CD，连接AD，若∠ABC＝32°，则∠DAB的度数为　26°　 ． 【分析】利用圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据圆周角定理得到∠CAD＝∠ABC＝32°，∠ACB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠CAB，计算即可． 【解答】解：∵AC＝CD， ∴， ∴∠CAD＝∠ABC＝32°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣32°＝58°， ∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝58°﹣32°＝26°， 故答案为：26°． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． 【考点3】圆的对称性 · 垂径定理基本图形：半径、半弦、弦心距构成直角三角形，用勾股定理计算 · 遇到弦的问题，常作弦心距（过圆心作弦的垂线），构造垂径定理基本图形 · 圆心角、弧、弦三组量中，一组相等可推出另两组相等（同圆或等圆中） · 圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身（直径是线段不是直线） 25．（2026•铜梁区校级一模）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　） A．9° B．18° C．36° D．45° 【分析】连接OB，如图，先根据相等的弧所对的圆心角相等得到∠BOC＝∠AOC＝36°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：连接OB，如图， ∵， ∴∠BOC＝∠AOC＝36°， ∴∠D∠BOC＝18°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系． 26．（2025秋•南湖区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°，D是弧AC的中点，则∠AOD的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据已知得出∠AOC＝100°，根据D是弧AC的中点，即可求得∠AOD的度数． 【解答】解：如图，连接OC、OD， ∵AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°， ∴∠AOC＝100° ∵D是弧AC的中点， ∴∠AOD∠AOC100°＝50°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 27．（2025秋•赛罕区期末）下列说法正确的是（　　） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 【分析】根据圆的基本概念（半径、直径、对称性、等弧）的定义，逐一分析每个选项的正误． 【解答】解：半径相等仅在同圆或等圆中成立，否则不一定相等，所以A选项错误，不符合题意； 直径是通过圆心且两端点在圆上的线段，而过圆心的直线是无限延伸的，不是直径，所以B选项错误，不符合题意； 圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且绕圆心旋转180度后与自身重合，故圆既是轴对称图形又是中心对称图形，所以C选项正确，符合题意； 等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定是等弧，所以D选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了圆的认识，轴对称图形，重心对称图形，熟练掌握这些概念的定义及限制条件是解题的关键． 28．（2026•泸州模拟）如图，⊙O是△ABC外接圆，，若，，弦AB的弦心距为2，则弦AB的长是（　　） A．10 B． C．12 D．15 【分析】作半径OD⊥BC，交BC于点E，过点O作OH⊥AB于H，连接OB，根据垂径定理得到BEBC，，AH＝BH，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出BD，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，作半径OD⊥BC，交BC于点E，过点O作OH⊥AB于H，连接OB， 则BEBC，，AH＝BH， ∵2， ∴BD＝AC＝2， 由勾股定理得：DE5， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即r2＝（）2+（r﹣5）2， 解得：r＝6， 则BH4， ∴AB＝2BH＝8， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键． 29．（2026•南京一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是（　　） A．5 B．10 C．4 D．3 【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边即可求解． 【解答】解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°， ∴， ∴这个三角形的外接圆的直径是10， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理，熟记直角三角形的斜边就是外接圆直径是解题关键． 30．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为　13　 mm． 【分析】先根据题意，则AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE＝5mm，CD＝12mm，由勾股定理列式计算，即可作答． 【解答】解：如图，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，AB是⊙O的直径，连接OD，过O作OC⊥TE， 由图可知，TE＝10mm，ED＝7mm， ∵OC⊥TE， ∴，CD＝5+7＝12（mm）， ∴， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：， 即这枚古钱币的直径为13×2＝26（mm）， 故答案为：26． 【点评】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 31．（2026春•锦江区校级月考）如图，已知∠MAN＝90°，按以下步骤作图：在∠MAN的边AM上取一点O，以点O为圆心，2为半径画弧，交AM于点B，C，再以点B为圆心、OB的长为半径画弧，与上一段弧相交于点D，作射线CD交∠MAN的边AM于点E，若AC＝7，则DE＝ 　　 ． 【分析】先按要求画出图形，连接BD，由尺规作图可知BD＝OB＝OC＝2，点D在以点O为圆心，以半径为2的圆上，则BC＝4，∠BDC＝90°，解Rt△BCD得∠BCD＝30°，CD，再解Rt△ACE得CE，则DE＝CE﹣CD，据此即可得出答案． 【解答】解：连接BD，如图所示： 由尺规作图可知：BD＝OB＝OC＝2，点D在以点O为圆心，以半径为2的圆上， ∴BC＝4，∠BDC＝90°， 在△BCD中，∠BDC＝90°， ∴sin∠BCD， ∴∠BCD＝30°， ∵cos∠BCD， ∴CD＝BC•cos∠BCD＝4×cos30°， 在△ACE中，∠EAC＝∠MAN＝90°，∠ACE＝∠BCD＝30°，AC＝7， ∴cos∠ACE， ∴CE， ∴DE＝CE﹣CD． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了尺规作图，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握尺规作图，圆周角定理，灵活利用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 32．（2026•西青区校级开学）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形ABCD的顶点A，D均在格点上，B，C在网格线上． （1）线段AD的长为　5　 ； （2）在直线CD上找一点P，连接BP，使得BP平分∠ABC．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点P． 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）连接AC，BD交于点O，在AB的延长线上取格点T，使得AT＝5，连接TO并延长，交CD延长线于点P，连接BP即可． 【解答】解：（1）线段AD的长为； （2）如图，点P即为所求． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝5，OA＝OC，AB∥CD， ∴∠DCO＝∠BAO， 又∵∠AOT＝∠COP， ∴△AOT≌△COP（ASA）， ∴PC＝AT＝5＝BC， ∴∠CPB＝∠CBP， ∵AB∥CD， ∴∠CPB＝∠ABP， ∴∠CBP＝∠ABP， ∴BP平分∠ABC， ∴点P为所求点的位置． 【点评】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 33．（2025秋•泉山区校级期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于 　64°　 ． 【分析】根据圆周角定理先求出∠ABC＝64°，再根据圆内接四边形的性质求解． 【解答】解：∵∠AOC＝128°， ∴∠ABC＝64°， ∴∠CDE＝∠ABC＝64°． 故答案为：64°． 【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键． 34．（2026•宿迁一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝60°，则∠C＝　30°　 ． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角求得∠DAB的度数，再根据同弧所对的圆周角相等可知∠DAB＝∠C＝30°． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD＝60°， ∴∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， 又∵对应的圆周角为∠DAB和∠DCB， ∴∠DAB＝∠DCB＝30°（圆周角定理）， 即∠C＝30°． 则∠C的度数为30°． 故答案为：30°． 【点评】本题考查了圆周角定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 35．（2026•营山县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为　65　 °． 【分析】由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，而∠ABC＝25°，则∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝65°， 又∵所对应的圆周角相等， ∴∠CAB＝∠BDC＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【考点4】圆周角 · 见直径想直角：直径所对的圆周角是90°，这是常用的辅助线思路 · 同弧所对的圆周角相等，常用于角度等量代换和证明相似 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，注意与邻补角结合使用 · 圆周角是圆心角的一半，注意是同一条弧所对的角，不要混淆弧的对应关系 36．（2025秋•呈贡区期末）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的个数是（　　） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 【分析】逐一分析结论：①需三点不共线才能确定一个圆；②需在同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧才相等；③需弦不是直径时，平分弦的直径才垂直于弦；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等． 【解答】解：①若三点共线，则不能确定一个圆，此结论错误； ②相等的圆心角，需在同圆或等圆中所对的弧才相等，此结论错误； ③被平分的弦若为直径，则直径不一定垂直于弦，此结论错误； ④圆内接四边形的对角互补，此结论正确； ⑤三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等，此结论正确； 综上，正确的是④⑤，对应选项D． 故选：D． 【点评】本题考查了圆的基本性质、圆内接四边形的性质、三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的相关定理的前提条件． 37．（2026秋•杭州月考）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，且AB与CD位于圆心O的同侧．若AB与CD之间的距离为2，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【分析】过点O作OE⊥CD于点E，交AB于 F，连接OC，OA，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：如图，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA， ∵AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∵AB＝12，CD＝16， ∴， 设OE＝x，则OF＝x+2， 在Rt△OCE中，OC2＝x2+82， 在Rt△OAF中，OA2＝（x+2）2+62， ∵OA＝OC， ∴x2+82＝（x+2）2+62， 解得x＝6， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理及平行线之间的距离，熟知以上知识是解题的关键． 38．（2025秋•宜州区期末）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【分析】根据圆周角定理进行解答即可． 【解答】解：由题意可知：∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°， 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 39．（2025秋•坪山区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 【分析】根据弦的定义、弧的定义解答即可． 【解答】解：A、圆上任意两点之间的部分叫做弧，原说法错误，不符合题意； B、长度相等的两条弧不一定重合，故不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； C、圆的两条弦所对的两条弧不一定是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆上任意两点之间的部分叫做弧，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆的认识，熟知圆上任意两点之间的部分叫做弧是解题的关键． 40．（2026•仪陇县模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．75° B．80° C．90° D．100° 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可． 【解答】解：如图，连接BC，作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线相交于点Q， 则点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 连接AQ，CQ， 在△APQ与△QNC中 ， ∴△APQ≌△QNC（SAS）， ∴∠AQP＝∠QCN，∠PAQ＝∠CQN， ∵∠AQP+∠PAQ＝90°， ∴∠AQP+∠CQN＝90°， ∴∠AQC＝90°， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 二．填空题（共23小题） 41．（2026秋•拱墅区校级月考）如图，在⊙O中，AB＝2AC，则　＞　 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【分析】连接BC，由三角形的三边关系得到AB＜AC+BC，结合AB＝2AC，可得AC＜BC，因此，从而可推出． 【解答】解：连接BC， ∵AB＝2AC，AB＜AC+BC， ∴2AC＜AC+BC， ∴AC＜BC， ∴， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 42．（2026•邗江区二模）已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则该等腰三角形的面积为　　 cm2． 【分析】根据题意，分腰长为2cm和4cm两种情况，结合三角形三边关系，确定出三角形，然后根据勾股定理求得等腰三角形底边上的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm， 当腰长为2cm时，三角形三边长为2cm，2cm，4cm， ∵2+2＝4， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为4cm时，三角形三边长为2cm，4cm，4cm， ∵2+4＞4，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形底边长为2cm，根据等腰三角形三线合一，底边的一半为1cm， 由勾股定理得底边上的高：， 三角形面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，三角形的面积，解题的关键是根据题意，确定出三角形的三边长． 43．（2025秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，4），C（5，2），则△ABC的外接圆的半径为　　 ． 【分析】作AB的垂直平分线、BC的垂直平分线交于点D，则点D是△ABC的外接圆的圆心，AD是该圆的半径，设AB的垂直平分线交AB于点E，由A（1，4），D（2，1），E（2，4），得AE＝1，DE＝3，求得AD，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，作AB的垂直平分线、BC的垂直平分线交于点D，连接AD、BD、CD， ∵AD＝BD＝CD， ∴点D是△ABC的外接圆的圆心，AD是该圆的半径， 设AB的垂直平分线交AB于点E，则∠AED＝90°， ∵A（1，4），D（2，1），E（2，4）， ∴AE＝2﹣1＝1，DE＝4﹣1＝3， ∴AD， ∴△ABC的外接圆的半径为， 故答案为：． 【点评】此题重点考查坐标与图形性质、三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 44．（2026•海珠区二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，，AE＝3，则⊙O的半径为　　 ． 【分析】连接OB，由垂径定理得到BE＝AE＝3，由勾股定理求出CE＝2，设⊙O的半径为r，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+32，求出r，即可得到答案． 【解答】解：连接OB， ∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， ∴BE＝AE＝3， ∵∠BEC＝90°，BC， ∴CE2， 设⊙O的半径为r， ∴OE＝r﹣2， 由勾股定理得到：OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝（r﹣2）2+32， ∴r， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理得到关于r的方程． 45．（2026•东坡区校级模拟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC＝　2　 ． 【分析】根据题意“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角二倍”定理可知∠AOC＝60°，将图中OA⊥BC交点命名为E，根据垂径定理在△COE中应用勾股定理，即可得到本题答案． 【解答】解：将图中OA⊥BC交点命名为E， ， ∵OA⊥BC，， ∴，BA＝CA， ∵∠ADB＝30°， ∴∠AOC＝60°，∠OCE＝30°， ∴设OC＝x，则， 在△COE中应用勾股定理得：， 解得：x＝2， ∴OC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查垂径定理，圆周角和圆心角关系，勾股定理，解一元二次方程，灵活运用所学知识是关键． 三．解答题（共18小题） 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记圆的基本概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、圆周角，注意概念间的包含关系 · 掌握垂径定理基本图形：过圆心作弦的垂线，构造半径、半弦、弦心距的直角三角形，用勾股定理求解 · 理解三组量关系：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量知一推二，注意前提条件 · 熟练运用圆周角定理：见直径想直角，同弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补 · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每一步推理都要有定理依据，注意逻辑严密性 【作业1】（2026秋•同步）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长． 【分析】分别作AC、BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OC为半径画圆即为所求；易得∠OCD＝30°，解△OCD即可． 【解答】解：△ABC的外接圆如图， 作图提示：分别作AC、BC的垂直平分线，交于点O， 以O为圆心，OC为半径画圆即为所求； 连接OB、OC，取BC中点为D， 则BD＝CDBC＝1， ∵∠A＝60°， ∴∠BOC＝2∠A＝120°， ∵OB＝OC， ∴∠OCD＝30°， 设OD＝x，则OC＝2x， ∴CDx＝1， ∴x， ∴OC＝2x，即外接圆的半径长为． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、等边三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业2】（2026•阜阳模拟）△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ACD，使∠ACD＝90°； （2）在图2中的圆上找一点F，使得BF平分∠ABC． 【分析】（1）取格点D，连接AD，CD，由勾股定理及其逆定理可知∠ACD＝90°； （2）取格点G，H，连接GH，此时交AC于一点I，作直线OI，交⊙O于点F，连接BF，此时点F为优弧AC的中点，则，则∠ABF＝∠CBF，可得到BF平分∠ABC． 【解答】解：（1）如图所示，∠ACD即为所求； （2）如图所示，点F即为所求： 【点评】本题考查作图﹣与设计作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 【作业3】（2026秋•同步）用直尺和圆规作已知圆的内接正三角形． 【分析】①作直径AB；②以B为圆心，OB长为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．△ACD即为所求． 【解答】解：如图，△ADC即为所求． 【点评】本题考查作图，﹣复杂作图，等边三角形的判定，三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【作业4】（2026秋•同步）如图，P为⊙O内一点．你能用尺规作一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？请说明理由． 【分析】连接并延长OP交⊙O于点C，过点P作AB⊥OC，交⊙O于点A、B，由OC是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点P，根据垂径定理可知，点P为弦AB的中点． 【解答】解：能， 理由：连接并延长OP交⊙O于点C，过点P作AB⊥OC，交⊙O于点A、B， ∵OC是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，且OC⊥AB于点P， ∴PA＝PB， ∴点P为AB的中点． 【点评】此题重点考查垂径定理、尺规作图等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 【作业5】（2026秋•同步）如图，指出下列哪个图形中的线段AB是圆的直径． 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断即可． 【解答】解：由题知， 三幅图中只有图（1）中的∠ACB是圆周角且等于90°， 所以图（1）中的线段AB是直径． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 【作业6】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠BOD＝130°，求∠ECD的度数． 【分析】先根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质、邻补角的定义解答． 【解答】解：由圆周角定理得：∠A∠BOD130°＝65°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠ECD+∠BCD＝180°， ∴∠ECD＝∠A＝65°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【作业7】（2026秋•同步）在航海中，常用海里（单位：nmile）作为路程的度量单位．把地球看作球体，1nmile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长．已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为6370km，1nmile约等于多少米（结果取整数）？ 【分析】先把1分化为度，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：1′＝（）°， 1852（m）， 答：1nmile约等于1852米． 【点评】本题考查了弧长的计算：弧长公式：熟记弧长公式是解题的关键． 【作业8】（2026•成安县模拟）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【分析】（1）根据在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等证明； （2）根据垂径定理的推论得到OB⊥AC，再根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD， ∴； （2）解：∵BD＝8， ∴AC＝8， ∵E为AC的中点， ∴OB⊥AC，AEAC＝4， ∴OE3， ∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【作业9】（2026秋•同步）分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再作出每个三角形的外接圆．它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系？ 【分析】（1）在锐角△ABC中，分别作AC，AB的垂直平分线交于点O，连接OA，OB，OC，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，则⊙O是△ABC的外接圆，此时点O在△ABC的内部； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB的垂直平分线交AB于点O，连接OC，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，则⊙O是△ABC的外接圆，此时点O是Rt△ABC的斜边AB的中点； （3）在钝角△ABC中，∠ACB＞90°，分别作AC，AB的垂直平分线交于点O，连接OA，OB，OC，以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，则⊙O是△ABC的外接圆，此时点O在△ABC的外部；综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）在锐角△ABC中，分别作AC，AB的垂直平分线交于点O， 连接OA，OB，OC， 以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，如图1所示： 由线段垂直平分线的性质得：OA＝OB＝OC， ∴点C，B都在⊙O上， ∴⊙O是△ABC的外接圆， 此时点O在△ABC的内部； （2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，作AB的垂直平分线交AB于点O，连接OC， ∴点O是AB的中点， 以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，如图2所示： ∵点O是AB的中点， ∴根据直角三角形斜边中线的性质得：OA＝OB＝OC， ∴点C，B都在⊙O上， ∴⊙O是△ABC的外接圆， 此时点O是Rt△ABC的斜边AB的中点； （3）在钝角△ABC中，∠ACB＞90°，分别作AC，AB的垂直平分线交于点O， 连接OA，OB，OC， 以点O为圆心，以OA为半径作⊙O，如图3所示： 由线段垂直平分线的性质得：OA＝OB＝OC， ∴点C，B都在⊙O上， ∴⊙O是△ABC的外接圆， 此时点O在△ABC的外部； 综上所述：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边上（斜边的中点），钝角三角形外心在三角形外部． 【点评】此题主要考查了三角形的外心和外接圆，熟练掌握三角形外心的定义，线段垂直平分线的性质，尺规作图是解决问题的关键． 【作业10】（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，经过A，B，D三点的圆与边AC交于点E，连结BE． （1）求证：BE＝CE． （2）若BC＝13，AB＝5，求圆的直径． 【分析】（1）连接DE，先证BE是直径，再证DE垂直平分BC，即可得解； （2）易得AC＝12，设BE＝x，则BE＝CE＝x，AE＝AC﹣CE＝12﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接DE， ∵∠BAC＝90°，点A在过A，B，D三点的圆上， ∴BE是该圆的直径， ∴∠BDE＝90°，即DE⊥BC， ∵D是BC边的中点， ∴DE是线段BC的垂直平分线， ∴BE＝CE． （2）解：∵∠BAC＝90°， ∴在Rt△ABC中，BC＝13，AB＝5， 由勾股定理得， 设BE＝x，则BE＝CE＝x， ∴AE＝AC﹣CE＝12﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2， ∴52+（12﹣x）2＝x2， 解得：， ∵BE是该圆的直径， ∴圆的直径为． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂直平分线、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【作业11】（2026秋•重庆校级同步）综合与实践 学习了平行四边形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE⊥AC于点E．用尺规完成基本作图：过点B作直线AC的垂线，垂足为点F，连接BE、DF． 【问题提出】 他们猜想：四边形BEDF是平行四边形． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【分析】（1）利用基本作图，过点B作直线AC的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，得到∠BAF＝∠DCE，再利用垂直的定义得到BF∥DE，接着证明△BAF≌△DCE（AAS），所以BF＝DE，然后根据平行四边形的判定方法得到四边形BEDF是平行四边形． 【解答】（1）解：如图，BF即为所作； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， ∵BF⊥AC，DE⊥AC， ∴∠BFA＝∠DEC＝90°，∠BFE＝∠DEF＝90°， ∴BF∥DE， 在△BAF和△DCE中， ， ∴△BAF≌△DCE（AAS）， ∴BF＝DE， ∵BF＝DE，BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点评】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业12】（2026秋•同步）使用曲尺检验工件的凹面．已知凹面成半圆时工件为合格品．如图所示的三种情况中，哪个工件可能是合格的？哪个工件是不合格的？为什么？ 【分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断即可． 【解答】解：第2个工件可能是合格的，第1，3个工件是不合格的，理由如下： 因为90°的圆周角所对的弦是直径， 所以三个工件中只有第2个工件符合该要求， 则该凹面为半圆， 所以第2个工件可能是合格的，第1，3个工件是不合格的． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知90°的圆周角所对的弦是直径是解题的关键． 【作业13】（2026秋•同步）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，∠CAB＝25°，求∠ADC的度数． 【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ADB＝90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB＝25°，从而进行计算即可解答． 【解答】解：连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠CAB＝25°， ∴∠CAB＝∠CDB＝25°， ∴∠ADC＝∠ADB﹣∠CDB＝65°． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【作业14】（2026秋•单元）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm，4cm，将这个三角形绕直角顶点按逆时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°． （1）试画出每次旋转前后的三角形； （2）将所得的所有三角形看成一个图形．你将得到怎样的图形？ 【分析】（1）根据旋转的性质即可画出每次旋转前后的三角形； （2）结合（1）将所得的所有三角形看成一个图形．将得到一个风车图形． 【解答】解：（1）如图即为每次旋转前后的三角形； （2）将所得的所有三角形看成一个图形．得到的是风车图形． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、旋转的性质，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【作业15】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为DC延长线上的一点．求证：∠BCE＝∠A． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠A＝180°，根据邻补角的定义得到∠BCE+∠BCD＝180°，再根据等角的补角相等证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠A＝180°， ∵∠BCE+∠BCD＝180°， ∴∠BCE＝∠A． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 圆的概念及性质 2026-2027 苏科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解圆的定义及相关概念（弦、弧、圆心角、圆周角），能准确区分各类概念 · 掌握确定圆的条件，理解三角形外接圆与外心的概念，能作出三角形的外接圆 · 掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决圆的计算与证明问题 · 理解圆心角、弧、弦之间的关系，能在同圆或等圆中进行等量代换 · 掌握圆周角定理及其推论，能运用圆周角性质解决角度计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.圆的相关概念 圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 概念辨析例题：下列说法中正确的是：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧。 解析：①直径是经过圆心的弦，故正确；②弦不一定经过圆心，所以弦不一定是直径，故错误；③半圆是弧，但弧包括优弧、劣弧和半圆，故正确；④在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，故错误。所以正确的是①③。 ☆ 2.确定圆的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，经过同一直线上的三点不能作圆 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 三角形外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，都等于外接圆半径；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部 直角三角形外接圆半径：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，即R= 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求这个三角形的外接圆半径。 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=====10。直角三角形的外接圆直径就是斜边，所以外接圆半径R===5。 ☆ 3.圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等 概念辨析例题：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=18，CE=6，求⊙O的半径。 解析：设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OB-BE=r-18。因为CD⊥AB，由垂径定理得CE=DE=6。在Rt△OCE中，由勾股定理得OC2=OE2+CE2，即r2=(r-18)2+62，展开得r2=r2-36r+324+36，化简得36r=360，解得r=10。但r=10<18，说明E在OB延长线上，OE=18-r，重新计算得r=10不合理，实际应为r=10时OE=8，BE=OB+OE=18，符合题意。 ☆ 4.圆周角 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等 概念辨析例题：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为DC延长线上的一点，求证：∠BCE=∠A。 解析：因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）。又因为∠BCD+∠BCE=180°（邻补角的定义），所以∠BCE=∠A（同角的补角相等）。 📋 知识总结表 核心概念 关键公式/定理 注意事项 圆的定义 定点O为圆心，定长r为半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦及弧 弦不能是直径时推论才成立 圆心角定理 等圆心角⇔等弧⇔等弦 前提是在同圆或等圆中 圆周角定理 圆周角=圆心角 同弧所对的圆周角相等 外接圆半径 直角三角形R= 外心是三边垂直平分线交点 圆内接四边形 对角互补，外角=内对角 四个顶点都在同一个圆上 ⚠️ 核心考点 【考点1】圆的相关概念 · 直径是最长的弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆 · 等弧必须在同圆或等圆中，长度相等的弧不一定是等弧 · 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上且两边与圆相交，注意区分 · 优弧用三个字母表示，劣弧用两个字母表示，半圆既不是优弧也不是劣弧 1．（2026秋•北碚区校级同步）下列说法正确的个数是（　　） ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025秋•江门期末）下列说法错误的是（　　） A．直径是圆中最长的弦 B．半圆是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 3．（2026•金平县模拟）如图，AB是半圆O的直径，AC＝CD＝DE，∠COD＝40°，∠BOE的度数为（　　） A．40° B．60° C．80° D．100° 4．（2026•五华区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 5．（2026•冠县二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC，若∠ABC＝100°，则∠AOC＝（　　）°． A．80 B．100 C．140 D．160 6．（2026•太和县模拟）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，点E为垂足，∠A＝20°，则∠OBD的度数是________ ． 7．（2026•长沙校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝18，CE＝6，则⊙O的直径为_______ ． 8．（2026•邗江区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝35°，则∠A的度数等于________ ． 9．（2026•南京一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，直径CD与AB边交于点E，点B是的中点．若CE＝6，则⊙O的半径为________________ ． 10．（2026•垦利区二模）如图，CD是⊙O的直径，E是⊙O上一点，A为DC延长线上一点，连接AE与⊙O交于点B，且AB＝OC，若∠A＝24°，则∠DOE的度数是________ ． 11．（2026•淄博）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠ABC＝58°，CD平分∠ACO，DE⊥AB交⊙O于点E，垂足为F，则∠COE＝_______ °． 12．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OA⊥CD于点P．请在图中找出相等的弧，并说明理由． 13．（2025秋•玄武区期末）如图所示，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，OC∥BD，求证：AC＝CD． 14．（2026秋•同步）如图，在⊙O中，AD＝BC，请写出图中相等的线段、相等的弧、相等的角． 【考点2】确定圆的条件 · 不在同一直线上的三点确定一个圆，经过同一直线上三点不能作圆 · 三角形外心是三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等 · 锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部 · 直角三角形外接圆半径=斜边一半，这是常用的快速计算方法 15．（2026•海门区校级模拟）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，点D是弧ACB上的一个动点（不与点A、B重合）连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若⊙O的半径为2cm，则CE长的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．（2026春•龙岗区期末）如图1，已知∠α、∠β和线段c，试作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．我们用尺规作图得到如图2所示的△ABC，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 17．（2026秋•同步）⊙O的弦AB的长为4cm，弦AB的弦心距为1cm，则⊙O的直径长为（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•城关区期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BDC＝52°，则∠ABC的大小为（　　） A．26° B．38° C．52° D．57° 19．（2026•南岗区校级三模）如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为 _______ °． 20．（2026•靖边县模拟）如图，AD是⊙O的直径，已知AD＝6，，∠AOB＝120°，则CD的长为_____ ． 21．（2026•拱墅区校级开学）在⊙O中，弦AB等于圆半径r的倍，即ABr，则该弦所对的弧的度数为_____________ ． 22．（2025秋•湖南期末）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为________ ． 23．（2026•原州区校级三模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点D是劣弧AB中点，连接OB，OD，其中OD交AB于点E，若∠BOD＝60°，OD＝1，则AC的长为_______________ ． 24．（2026•秦都区校级模拟）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D为上一点，且AC＝CD，连接AD，若∠ABC＝32°，则∠DAB的度数为________ ． 【考点3】圆的对称性 · 垂径定理基本图形：半径、半弦、弦心距构成直角三角形，用勾股定理计算 · 遇到弦的问题，常作弦心距（过圆心作弦的垂线），构造垂径定理基本图形 · 圆心角、弧、弦三组量中，一组相等可推出另两组相等（同圆或等圆中） · 圆的对称轴是直径所在的直线，不是直径本身（直径是线段不是直线） 25．（2026•铜梁区校级一模）如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　） A．9° B．18° C．36° D．45° 26．（2025秋•南湖区校级月考）如图，AB是半圆O的直径，∠BOC＝80°，D是弧AC的中点，则∠AOD的度数是（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 27．（2025秋•赛罕区期末）下列说法正确的是（　　） A．所有半径都相等 B．过圆心的直线是圆的直径 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧 28．（2026•泸州模拟）如图，⊙O是△ABC外接圆，，若，，弦AB的弦心距为2，则弦AB的长是（　　） A．10 B． C．12 D．15 29．（2026•南京一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是（　　） A．5 B．10 C．4 D．3 30．（2026•琅琊区校级一模）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为_______ mm． 31．（2026春•锦江区校级月考）如图，已知∠MAN＝90°，按以下步骤作图：在∠MAN的边AM上取一点O，以点O为圆心，2为半径画弧，交AM于点B，C，再以点B为圆心、OB的长为半径画弧，与上一段弧相交于点D，作射线CD交∠MAN的边AM于点E，若AC＝7，则DE＝ ____________________ ． 32．（2026•西青区校级开学）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．平行四边形ABCD的顶点A，D均在格点上，B，C在网格线上． （1）线段AD的长为_____ ； （2）在直线CD上找一点P，连接BP，使得BP平分∠ABC．请用无刻度的直尺在如图所示的网格中，画出点P． 33．（2025秋•泉山区校级期中）如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于 ________ ． 34．（2026•宿迁一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝60°，则∠C＝________ ． 35．（2026•营山县二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝25°，则∠BDC的度数为_______ °． 【考点4】圆周角 · 见直径想直角：直径所对的圆周角是90°，这是常用的辅助线思路 · 同弧所对的圆周角相等，常用于角度等量代换和证明相似 · 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，注意与邻补角结合使用 · 圆周角是圆心角的一半，注意是同一条弧所对的角，不要混淆弧的对应关系 36．（2025秋•呈贡区期末）下列有关圆的一些结论： ①任意三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧； ④圆内接四边形对角互补； ⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等． 正确的个数是（　　） A．①④⑤ B．③④⑤ C．③④ D．④⑤ 37．（2026秋•杭州月考）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，且AB与CD位于圆心O的同侧．若AB与CD之间的距离为2，则⊙O的半径为（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 38．（2025秋•宜州区期末）如图，在⊙O中，∠ABC＝60°，则∠AOC等于（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 39．（2025秋•坪山区校级月考）下列说法正确的是（　　） A．任意两点之间的部分叫做弦 B．长度相等的两条弧是等弧 C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧 D．圆上任意两点之间的部分叫做弧 40．（2026•仪陇县模拟）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三个格点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．75° B．80° C．90° D．100° 二．填空题（共23小题） 41．（2026秋•拱墅区校级月考）如图，在⊙O中，AB＝2AC，则_____ 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 42．（2026•邗江区二模）已知等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，则该等腰三角形的面积为________________ cm2． 43．（2025秋•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（1，4），B（3，4），C（5，2），则△ABC的外接圆的半径为________________ ． 44．（2026•海珠区二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，，AE＝3，则⊙O的半径为___________________ ． 45．（2026•东坡区校级模拟）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，，则OC＝_____ ． 三．解答题（共18小题） 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记圆的基本概念：弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、圆心角、圆周角，注意概念间的包含关系 · 掌握垂径定理基本图形：过圆心作弦的垂线，构造半径、半弦、弦心距的直角三角形，用勾股定理求解 · 理解三组量关系：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量知一推二，注意前提条件 · 熟练运用圆周角定理：见直径想直角，同弧所对圆周角相等，圆内接四边形对角互补 · 规范几何证明步骤：作图→已知→求证→证明，每一步推理都要有定理依据，注意逻辑严密性 【作业1】（2026秋•同步）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长． 【作业2】（2026•阜阳模拟）△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点D（点D不与点C重合），画出∠ACD，使∠ACD＝90°； （2）在图2中的圆上找一点F，使得BF平分∠ABC． 【作业3】（2026秋•同步）用直尺和圆规作已知圆的内接正三角形． 【作业4】（2026秋•同步）如图，P为⊙O内一点．你能用尺规作一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？请说明理由． 【作业5】（2026秋•同步）如图，指出下列哪个图形中的线段AB是圆的直径． 【作业6】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠BOD＝130°，求∠ECD的度数． 【作业7】（2026秋•同步）在航海中，常用海里（单位：nmile）作为路程的度量单位．把地球看作球体，1nmile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长．已知地球半径（也就是赤道所在圆的半径）约为6370km，1nmile约等于多少米（结果取整数）？ 【作业8】（2026•成安县模拟）如图，A，B，C，D是半径为5的⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，BD＝8． （1）求证：； （2）若E为AC的中点，求BE的长． 【作业9】（2026秋•同步）分别作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再作出每个三角形的外接圆．它们外心的位置与所在的三角形分别有怎样的关系？ 【作业10】（2026秋•同步）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边的中点，经过A，B，D三点的圆与边AC交于点E，连结BE． （1）求证：BE＝CE． （2）若BC＝13，AB＝5，求圆的直径． 【作业11】（2026秋•重庆校级同步）综合与实践 学习了平行四边形的知识后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究． 【动手操作】 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE⊥AC于点E．用尺规完成基本作图：过点B作直线AC的垂线，垂足为点F，连接BE、DF． 【问题提出】 他们猜想：四边形BEDF是平行四边形． 【问题解决】 任务： （1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明． 【作业12】（2026秋•同步）使用曲尺检验工件的凹面．已知凹面成半圆时工件为合格品．如图所示的三种情况中，哪个工件可能是合格的？哪个工件是不合格的？为什么？ 【作业13】（2026秋•同步）如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，∠CAB＝25°，求∠ADC的度数． 【作业14】（2026秋•单元）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为2cm，4cm，将这个三角形绕直角顶点按逆时针方向连续旋转三次，每次都旋转90°． （1）试画出每次旋转前后的三角形； （2）将所得的所有三角形看成一个图形．你将得到怎样的图形？ 【作业15】（2026秋•同步）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为DC延长线上的一点．求证：∠BCE＝∠A． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $