17.2用公式法分解因式（分层作业，9大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 17.2 用公式法分解因式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断能否用公式法分解因式 题型02 用平方差公式分解因式 题型03 用完全平方公式分解因式 B组 能力进阶 题型01 综合用提公因式法和公式法分解因式 题型02 因式分解在有理数简便运算中的应用 题型03 因式分解的应用 题型04 用公式法分解因式 C组 思维拔高 题型01 用十字相乘法分解因式 题型02 分组分解法 判断能否用公式法分解因式题型01 1．（25-26八年级·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的基本特点去判断解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A. ，不符合标准式，不符合题意； B. ，符合标准式，符合题意； C. ，不符合标准式，不符合题意；     D. ，不符合标准式，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案. 【详解】解：不能分解因式，故①不符合题意； 故②符合题意； 不能分解因式，故③不符合题意； 故④符合题意； 故⑤符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键. 4．（25-26八年级·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解，不符合题意； B、，不能用平方差公式分解，不符合题意； C、 ，能用平方差公式分解，符合题意； D、，不能用平方差公式分解，不符合题意． 5．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)可以用公式法因式分解，结果为 (2)不可以用公式法因式分解 (3)可以用公式法因式分解，结果为 (4)不可以用公式法因式分解 【详解】（1）解：可以用完全平方公式分解因式； ； （2）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式； （3）解：可以用完全平方公式分解因式： （4）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式． 用平方差公式分解因式题型02 1．（25-26七年级·浙江杭州·学情自测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 2．多项式x2﹣9因式分解的结果是____． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式（）因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用公式法因式分解．熟记平方差公式是解题关键． 3．在实数范围内分解因式：________________________________． 【答案】 【分析】本题先用平方差公式分解因式后，再把剩下的式子中的写成，符合平方差公式的特点，可以继续分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末） （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算，掌握公式法因式分解是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解即可； （2）先根据整式的乘法计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 5．将下列多项式因式分解： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方差公式因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式因式分解； （2）根据平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 用完全平方公式分解因式题型03 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解：该多项式为二次三项式，符合完全平方公式的结构，可直接应用公式因式分解． 【详解】解：， 故选：A． 2．整式可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 根据完全平方公式的特征进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．方程的解是____________． 【答案】= 【分析】通过完全平方公式法进行因式分解，然后解方程即可解答. 【详解】解：∵， ∴， 解得，= 【点睛】本题考查了用完全平方公式法进行因式分解，熟练掌握是解题的关键. 4．若与互为相反数，则分解因式为_______. 【答案】 【详解】∵与互为相反数 ∴即有； ∵而且 ∴要令成立，只须且 由此解得，；把它们代入可得： 故填． 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 综合用提公因式法和公式法分解因式题型01 1．多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的提取公因式法与完全平方公式的综合应用，解题关键是先提取公因式，再对剩余部分套用公式． 先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：∵ ， ， ∴ 故选：B． 2．，，的公因式是：_________． 【答案】## 【分析】本题考查公因式的定义．对各项进行因式分解，再找出公因式即可． 【详解】 公因式为． 故答案为：． 3．因式分解：__________________________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解—提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是先提取公因式，然后再根据平方差公式进一步分解即可．因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式因式分解即可． （2）利用平方差公式因式分解，然后提公因式即可； （3）连续利用平方差公式因式分解即可； （4）利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，进行因式分解； （2）先将式子变形，提取公因式，再对剩余部分进行整理化简； （3）先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ， ． （3）解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解是解题的关键． 因式分解在有理数简便运算中的应用题型02 1．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．计算：1252-50×125+252=(    ) A．100 B．150 C．10000 D．22500 【答案】C 【详解】试题分析：原式＝1252﹣2×25×125＋252＝(125－25)2＝1002＝10000． 故选C． 点睛：本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式的特点是解决此题的关键． 3．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，平方差公式的应用，按照有理数混合运算的顺序，以此类推可以计算结果． 【详解】 因为 所以与最接近的正整数为25． 故选：A． 4．（25-26八年级上·山东威海乳山·期末）利用因式分解计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；通过提取公因式进行因式分解后计算． 【详解】解： ． 故答案为 ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)314 (2)428 【分析】（1）逆用乘法分配律进行简便运算即可； （2）先将变形为、变形为，然后逆用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 因式分解的应用题型03 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．将多项式因式分解是解题的关键，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止． 将所给的多项式因式分解，然后结合已知的密码确定出文字信息即可解答． 【详解】解：∵， 又∵分别对应下列四个字我，爱，惠，济 ∴结果呈现的密码信息是：我爱惠济． 故选：C． 2．（2026·广东深圳·质检）已知，则_____． 【答案】8 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件的值计算即可． 【详解】解：由平方差公式得， 把，代入得， ． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 【答案】624 【分析】设n为正整数，则是两个连续的正奇数，可证明，则所有的“奇衍数”一定是8的倍数，求出100以内所有能被8整除的正整数的和即可得到答案． 【详解】解：设n为正整数，则是两个连续的正奇数， ， ∵n为正整数， ∴为正整数， ∴所有的“奇衍数”一定能被8整除， ∴100以内所有“奇衍数”的和为． 4．已知 是的三边长，且满足，试判断三角形的形状，并说明理由． 【答案】 是等腰三角形或等边三角形， 理由： 均为正数， ， 当时，为等边三角形； 当时，为等腰三角形，． 综上，是等腰三角形或等边三角形． 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形，等边三角形的判断．解题的关键是将已知等式提公因式和平方差公式因式分解，求出，即可判断出的形状． 【详解】略 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；② (2)2024 【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键． （1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可； ②利用换元法进行因式分解即可； （2）设，，则原式，整体代入计算即可． 【详解】（1）①该同学没有完成因式分解； 设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） ． ∴最后的结果为． ②设， 原式 ． ； （2）设，， 则， ， 原式 ． 用公式法分解因式题型04 1．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 2．因式分解：(1) ____________,       (2) ____________． 【答案】 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再同（1）运用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【点睛】此题考查提公因式法和公式法分解因式，掌握平方差公式是解题关键． 3．某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)不正确，最后结果应为 (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是要注意完全平方公式的应用和换元法的应用． （1）根据完全平方公式可知可继续分解，从而可得答案； （2）设，整理后再根据完全平方公式把原式进行分解即可． 【详解】（1）解：不正确，正确解答如下： 设， 原式 ； （2）解：设， 则 ． 4．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________．（直接写出结果） (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中a，b的值． 【答案】(1) (2)有最大值，最大值为 (3)， 【分析】（1）用配方法化为，用平方差公式，即可求解； （2）用配方法化为，即可求解； （3）化为，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； 故答案：； （2）解：原式 ， 故有最大值，最大值为； （3）解： ， 解得：， 故，． 【点睛】本题考查了配方法因式分解，求多项式的最值，非负数的和为零，掌握配方法是解题的关键． 5．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得， 解得，， 所以． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键． 用十字相乘法分解因式题型01 1．（25-26八年级上·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 2．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式：____________． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解． 【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）． ∴， 故答案为：． 3．阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： (1)x2-3x-4； (2)x2-7x+12． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据-4=1×(−4)，1-4=-3即可分解因式； （2）根据-3×(-4)=12，-3-4=-7即可分解因式． 【详解】（1）解：x2−3x−4 =x2+(1-4)x+1×(−4) =(x+1)(x−4)； （2）解：x2−7x+12 =x2+(−3−4)x+(−3)×(−4) =(x−3)(x−4)． 【点睛】本题考查了十字相乘法，解题的关键是把常数项拆成两个数的积，而两个数的和正好等于一次项的系数． 4．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种常用方法． 连续两次运用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解： 5．（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）54或 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （4）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解； （5）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解． 【详解】 解：（1）， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴，， ∴ 故答案为： （5）当时， ∴，，， ∴ 当时， ∴，，， ∴ ∴关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 的值为54或． 分组分解法题型02 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 2．分解因式：________． 【答案】 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 3．分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法“提取公因式法、公式法、十字相乘法等”是解题关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ． 4．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，三角形的分类，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）先把原式变形为，进而分解因式得到，再根据三角形三边的关系得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）略 5．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3），9 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 17.2 用公式法分解因式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 判断能否用公式法分解因式 题型02 用平方差公式分解因式 题型03 用完全平方公式分解因式 B组 能力进阶 题型01 综合用提公因式法和公式法分解因式 题型02 因式分解在有理数简便运算中的应用 题型03 因式分解的应用 题型04 用公式法分解因式 C组 思维拔高 题型01 用十字相乘法分解因式 题型02 分组分解法 判断能否用公式法分解因式题型01 1．（25-26八年级·期末）下列多项式能用平方差公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级·期中）若多项式可以用平方差公式进行因式分解，则表示的单项式可以是（     ） A． B． C． D． 5．下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 用平方差公式分解因式题型02 1．（25-26七年级·浙江杭州·学情自测）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 2．多项式x2﹣9因式分解的结果是____． 3．在实数范围内分解因式：________________________________． 4．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末） （2）计算： 5．将下列多项式因式分解： (1)． (2) 用完全平方公式分解因式题型03 1．（25-26八年级上·河南许昌·月考）多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 2．整式可以写成（   ） A． B． C． D． 3．方程的解是____________． 4．若与互为相反数，则分解因式为_______. 5．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：； 综合用提公因式法和公式法分解因式题型01 1．多项式因式分解，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 2．，，的公因式是：_________． 3．因式分解：__________________________． 4．（24-25八年级上·河南周口·月考）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．分解因式： (1)． (2)． (3)． 因式分解在有理数简便运算中的应用题型02 1．计算（    ） A． B． C． D． 2．计算：1252-50×125+252=(    ) A．100 B．150 C．10000 D．22500 3．设，则与最接近的正整数是(      ) A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东威海乳山·期末）利用因式分解计算：_____． 5．计算： (1)； (2)． 因式分解的应用题型03 1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小刚是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：济、爱、我、惠、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．惠济游 C．我爱惠济 D．美我惠济 2．（2026·广东深圳·质检）已知，则_____． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）定义：若一个正整数能表示成两个连续正奇数的平方差形式，那么我们把这样的正整数叫做“奇衍数”，如，正整数8就是“奇衍数”．那么100以内所有“奇衍数”的和为__________． 4．已知 是的三边长，且满足，试判断三角形的形状，并说明理由． 5．整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下： 解：设，则原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 问题： (1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果； ②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解； (2)请你模仿以上方法尝试计算： ． 用公式法分解因式题型04 1．把因式分解得（    ） A． B． C． D． 2．因式分解：(1) ____________,       (2) ____________． 3．某同学对多项式进行因式分解的过程如下： 设，原式． (1)该同学因式分解的结果是否正确？若不正确，请直接写出因式分解的最后结果； (2)请仿照以上方法对多项式进行因式分解． 4．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题． 例如：分解因式：． 解：原式； 再如：求代数式的最小值． 解：．可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：__________．（直接写出结果） (2)当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)利用配方法，尝试求出等式中a，b的值． 5．因式分解： (1) (2) 用十字相乘法分解因式题型01 1．（25-26八年级上·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式：____________． 3．阅读材料： 由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x²+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x²+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 请用上述方法分解因式： (1)x2-3x-4； (2)x2-7x+12． 4．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解：． 5．（24-25八年级下·广东深圳·期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 分组分解法题型02 1．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 2．分解因式：________． 3．分解因式： 4．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法，但有的多项式只用上述的一种方法无法分解，如细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分再分别分解因式后就会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下： ． 这种分解因式的方法叫作分组分解法，请利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若三边，，满足，请判断的形状，并说明理由． 5．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $