专题04 数轴上的动点与新定义型探究问题6大题型35题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04数轴上的动点与新定义型探究问题 题型图谱导航总览 基础固本强基 题型1单个动点问题（重点） 题型2动点的规律探究问题 提升进阶突破 题型3双动点的恒速运动问题（难点） 题型4动点的定值问题 拔高·压轴破难 题型5双动点的变速运动问题 题型6数轴上的新定义型问题（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1单个动点问题（共6小题） 【模型】动点位置用“起点士速度×时间”表示，两点距离用“大减小”或加绝对值。 【步骤】设时间t→标出各点位置→列距离等式→分左右两侧讨论求解。 【易错】漏掉动点经过定点后的另一侧情况，忘记检验时间t是否符合实际范围。 1. (25-26七年级上·重庆期中)数轴上的点A、B、C、D所表示的数如图所示，点M为线段AB的中 点，线段AB沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m个单位长度向左平移.当 点M和点C重合时同时停止运动.若在运动过程中始终满足3MC=DA,则m的值为() A M B C D -1 36 14 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.2 C.4 D.5 2.(25-26七年级上陕西咸阳期中)已知数轴上点A对应的数为-3，将点A沿数轴向正方向移动a个单 位长度得到点B,若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含的代数式表示点C对应的数为() -6 a-3 a+3 A.2 a+6 B.2 C. 2 D. 2 3.(25-26七年级上江苏徐州期中)数轴上点A表示的数是-5，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运 动，那么t秒后，点A表示的数是一（用含有t的代数式表示）· 4.(25-26七年级上·陕西西安·期中)点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单 位长度到达点B,若点B表示的数是-2，则点A表示的数是 5.(25-26七年级上山西临汾期中)如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为-7， 点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动。 6 87=65-4321012方45→ (I)点A和点B之间的距离为 (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 6.(25-26七年级下·安徽芜湖期中)已知在数轴1上，一动点Q从原点0出发，沿直线以每秒钟2个单 位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3 个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… 0 (1)求出5秒钟后动点Q所处的位置： (2)如果在数轴1上还有一个定点A,且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点 A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由， 提升进阶突破 题型2动点的规律探究问题（共6小题) 【模型】掌握左右跳跃与周期循环两类核心模型。 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】按“画图→写点→表距离→列式”四步操作，用含t代数式表示动点位置。 【易错】警惕绝对值距离未分类讨论、时间范围未检验致多解或漏解。 7. (25-26六年级上山东泰安·期中)边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时 针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是() B A 0 34 A.点C B.点B C.点A D.点O 8.(25-26七年级上江苏无锡期中)如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单 位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示-1的点重合，再将 数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示-2的点重合…），则数轴上表示 -2025的点与圆周上表示数字_的点重合.（) -4 -3 -2 -1 0 A.0 B.1 C.2 D.3 9.(25-26山东淄博·期中模)在数轴上，点O表示原点，现将点A从0点开始沿数轴按如下规律移动： 第一次点向左移动1个单位长度到选点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点 A 向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点4，，按照这种移动 A、 A 规律移动下去，第”次移动到点4，当”=2025时，点与原点的距离是 个单位. 1 10.(25-26七年级上江苏南京期中)在数轴上，点p表示的数是a'点p表示的数是-a,我们称点 尸是点P的“相关点”，已知数轴上4的相关点为么，点4的相关点为4，点的相关点为4“，这样 ,A3 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依次得到点A、A、A、A,…,A,.若点A在数轴表示的数是2，则点A24在数轴上表示的数是 1业.（25-26七年级上河北沧州期中)如图，数轴上的点4，B分别表示有理数“，b,且4=5.6-2 A B a (I)求a,b的值： (2)A,B两点相距多少个单位长度？ (③)若点C在数轴上，且点C到点B的距离是点C到点4的距离的3，求点C表示的数： (4)点P从点A出发，第1次向左移动1个单位长度，第2次向右移动2个单位长度，第3次向左移动3个单 位长度，第4次向右移动4个单位长度，…，依次操作2025次后，求点P表示的数 12.(25-26七年级上·河北邢台·期中)如图5，数轴上A,B两点所对应的数分别是a和b,且 (a+5)'+b-7=0 A 0 (1)a=】 b= ·一，A,B两点之间的距离为 (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单 位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…， 按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数： (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数. 题型3双动点的恒速运动问题（共6小题） 【模型】掌握“相遇（路程和）”“追及（路程差）”“距离公式（绝对值） 【步骤】设t→表坐标→列方程→验t范围。 【易错】漏绝对值讨论、忽视t≥0或运动终止条件。 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26七年级上黑龙江哈尔滨期中)如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数C, b是最小的正整数，且a,b满足a+2+(c-6=0 (1)a= b= C= (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求此时在数轴上与点B重合的点表示的数. (3)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍， 2秒钟后，点P到达点A点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，当点Q改变方向后， 点P与点Q相距2个单位时，求点Q表示的数. 14.(25-26七年级上山东菏泽期中)如图，在数轴上A点表示有理数a,B点表示有理数b,已知a,b 互为相反数，若@=5 且a<0 A O B → (1)求ab: (2)数轴上有两个动点P、Q,动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同 时动点从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点O,求点 C表示的有理数C. 15.(25-26七年级上广东广州期中)如图，数轴上的点A,B,C分别表示数a,b,c,其中b是最大 a+5)x3+3x2+7x+2 的负整数，且多项式 是关于x的二次多项式，一次项系数为C. A B (1)a= b= ;C= (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时与点B重合的点所表示的数为 (3)若动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点C出发，以每秒6个单 位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为s, ” 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①请你用含t的代数式表示线段CP和线段CQ的长； ②是否存在常数m,使mCQ-CP的值为定值？若存在，请求出m的值和mCQ-CP的值；若不存在请说明 理由 16.(25-26七年级上河南郑州期中)己知M,N在数轴上，M对应的数是-3，点N在M的右边，且距 点M4个单位长度，点，0是数轴上两个动点 M -543-2-012345> (1)写出点N所对应的数一： (2)如果点P从点M出发，沿数轴先向右移动6个单位长度，再向左移动1个单位长度，求此时点P所表示 的数一，以及M,P两点之间的距离一： (3)如果P,Q分别从点M,N同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3 个单位长度，3秒后，点P,Q之间的距离是多少？ 17.(25-26七年级上：湖北孝感期中)如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点0出发，以2 个单位秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后 立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， (说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、,我们常用符号“AB”表示A、B两点的距离，且 AB=m-n P O O A (1)当t=0.5时，求点Q到原点O的距离： (2)当t=3时，求点到原点0的距离： (3)当点到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离. 18.(25-26七年级上湖南张家界·期中)如图，已知数轴的单位长度为1，D的长度为1个单位长度. D E 4B C→ C (I)如果点A,B表示的数是互为相反数，A点表示的数是一，B点表示的数是一，C点表示的数是 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若点A为原点，在数轴上有一点F,当EF=3时，求点F表示的数， (3)如果点B,卫表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度， 动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点 0? 拔高·压轴破难 题型4动点的定值问题（共5小题） 【模型】线段定值（中点/和差倍分）与代数式定值（含t项系数为0）。 【步骤】设t表坐标一列距离式→化简，令含t项系数为0求参数。 【易错】忽略绝对值多解、参数范围（如相遇前后）及“值不变”即t系数为零的条件。 19. (25-26七年级上全国期中)如图，数轴上点A对应的数为5，点B对应的数为-2，点M、N分别 从原点O、A同时出发，分别以a、b的速度沿数轴负方向运动(M在O、B之间，N在O、A之间)， 动时间为，点O为O、N之间一点，日N=BN,若M、N运动过程中M0的值固定不变，则万的 值为() BM OO N A 1 B. A.3 C.3 D.4 20.(25-26七年级上江苏南通期中)如图，数轴上点M,N表示的数分别为m,n,m-n=8.P为数轴 上一点，其表示的数为P,若点P移动时， p-m+p-n 的值始终保持不变，则当P-m=4P-”时， p-n= N M n O m 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(25-26七年级上·福建龙岩·期中)在数学中，点A与点B之间的距离用AB表示.如图，在数轴上点 A表示数0，点B表示数b,点C表示数9，已知数b是最小的正整数，且a,c满足a+2+(c-7=0 C (1)填空：a=_,b=,c=-· ②若在此数轴上有一动点2表示的数为'，则少+2+少- 的最小值为 (3)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别 m(m<4) 以每秒 个单位长度和4个单位长度的速度向右运动. ①运动t秒后，A,B,C三点在数轴上分别所表示的数为_，-，一·（用含m，t的式子表示）： ②若在此过程中，BC-AB的值保持不变，求m的值. 22.(25-26七年级上全国期中)已知b是最小的正整数，且4，b,c满足 (c-5)2+|a+b=0 A B G→ (1)填空：a=_,b=-,c=_-: (2)定义：在数轴上A,B两点之间的距离记作AB.a,b,c在数轴上所对应的点分别为A,B,C,P为数 轴上一动点，其对应的数为x,点P在点A与点C之间运动时（即-1≤x≤5时），满足PA+PC=4PB, 求出x的值： (3)在(1)，(2)的条件下，点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动， 同时，点B和点C分别以每秒m(m<)个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设s后，B,C两点之 间的距离记作BC.若BC-AB的值始终保持不变，求m的值. 23.(25-26七年级上：广东深圳期中)如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、 24,其中a,b满足a+12+b-8=0 点C到原点距离是点B到原点距离的2倍. 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 B C D 0 b 24 图1 (1)填空：a= b= ,C= (2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和m(m>4)个单位长度的速度匀速向 左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为AD, ①当t= 时，AD=3BD: ②若AB-2AC的值始终保持不变，求m的值. 题型5双动点的变速运动问题（共6小题) 【模型】属数轴动点压轴题，考查“折线数轴”中速度分段变化，涉及相遇、追及及距离定值。 【步骤】先分段表示动点坐标（注意“左减右加”及速度切换节点），再根据距离公式列绝对值方程分 类求解。 【易错】先分段表示动点坐标（注意“左减右加”及速度切换节点），再根据距离公式列绝对值方程分 类求解。 24. (25-26七年级上广东深圳期中)如图1，已知数轴上的三个点A,B,C表示的数分别为-8,9， 15.如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示.现有一动点P从点 A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动， 当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回.己知点P和点Q在“折线数轴”的水平方 向(AO,BC段)运动期间速度为2个单位长度/秒，在OB上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半， 在B0下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 B 图2 B 0 备用图 (1)点P沿OB方向上坡的速度为—个单位长度秒，点沿BO方向下坡的速度为一个单位长度/秒： (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段OQ的中点时，求此时t的值. 25.(25-26七年级上四川达州期中)如图，在数轴上，点A,B在原点0的两侧，分别表示-3，x, B0-了40.点D以每秒1个单位的速度从点4向右运动，同时，点Q以每秒3个单位的速度从点B向左运 3 动，N是线段PO的中点，设运动时间为t. A 0 B 、A 0 备用图 (1)求点A与点B之间的距离： (2)当t为何值时，Q0=2P0,并求出此时点N表示的数： (3)在P,Q两点开始运动时，点M以每秒k个单位的速度从点O向左运动.点Q经过原点后，其速度变为 原来的2倍，点Q变速后，若线段MN的长度始终是一个定值，求k的值. 26.(25-26七年级上·甘肃张掖期中)已知a、b为常数，且关于x、y的多项式 (-202+m-y+12)小-(r+12x+6y-3）的值与取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的 数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向 右运动，设运动时间为秒. 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)求a、b的值： (2)用表示点E在数轴上对应的数为： ,点F在数轴上对应的数为： (3)当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍， 在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间t的值。 27.(25-26七年级上四川成都期中)如图，点A,B分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为a,b C,知a=4,AB=A0.若动点P从原点O出发，以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，动点从点 B出发，以V个单位长度/秒的速度向左匀速运动 A B p (1)点B表示的数为，点P表示的数为一；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，P吧=2，求v的值； 4 (3)若v=3,现将0，B两点之间变为点Q的“变速区”，规定为：点从点B运动到点A期间速度变为 原来的两倍，从点A到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点P从原点O出发，仍以1 个单位长度/秒的速度向右匀速运动.请问，是否存在符合条件的，使P，,Q两点到点O的距离相等？若 存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由.。 28.(25-26七年级上·重庆奉节期中)如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是-24，点B对 应的数是-8.点C对应的数是8；数轴上有两个动点M,N,点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿 数轴向点C匀速运动，到达点C后立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从点B 出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点C匀速运动：点N与点M同时出发，设点M,N的运动时间为x秒， 当x=10秒时，点M,N同时停止运动. A M -24 罗8令 (I)求A,C两点之间的距离AC: (②)求M,N两点相遇时对应的x的值； (3)在全部运动过程中，当点M,N,O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 满足条件的x的值. 29.(25-26七年级上：广东茂名期中)在数轴上，点0为原点，点A表示的数为a,点B表示的数为b, 且a、b满足(a+36+b+20=0 (I)求线段AB的长： (2)P,Q两点分别从A，B两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P,Q两点的运动速度分别为 4个单位长度/秒和2个单位长度/秒.当点P经过点O后，它的速度变为原速度的一半；点Q经过点0后， 它的速度变为原速度的2倍.设运动时间为秒， ①当点P为线段AB的中点时，求线段OQ的长： ②数轴上点M表示的数为12且P,Q两点运动到点M即停止，当OP=QM时，求t的值. 题型6数轴上的新定义型问题（共6小题） 【模型】紧扣“距离公式”与“倍数关系”建立方程。 【步骤】先读懂定义，再列式表达距离，最后分类求解。 【易错】忽略动点位置多解性，或未检验结果是否符合定义。 30.(25-26七年级上北京期中)对于有理数4、b,定义一种新运算“*”，规定 a*b=a+b+a-b b 0 a (1)直接写出 +2)*(-3) 的值为一； (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简a*b: a*(a*b)= (3)在条件(2)下，直接写出 31.(25-26七年级上四川绵阳期中)对于有理数4，b,定义两种新运算“※”与“©”，规定： xb=a+2ab,a0ba+b-la-b例如， 2※(-1)=22+2×2×(-1)=0，(-2)©3=-2+3--2-3=-4 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a (1)计算(-3)※2的值。 (②)若a,b在数轴上的位置如图所示，化简aOb, 6)若-2列*x=20(-4) 求x的值 ④对于任意有理数m,儿请你定义一种新运算“★”，使得(-3)大5=4 直接写出你定义的运算： m★n=一。《用含m,n的代数式表示) 32.(25-26七年级上湖南湘潭期中)对于有理数a,b,定义两种新运算“※”与“回”，规定： ab=a-b aOb=a+b+a-b ,例如 2※(-1)=2-（-1)=2+1=3 (-2)©3=-2+3+-2-3=1+5=6 A B -1 a 0 1 b 2©(-1)= (1)填空： 2※(-3)= (2) 2※x=20(-)+x,求x的值 (3)a,b在数轴上的位置如图所示，化简aOb 33.(25-26七年级上江苏泰州期中)对于有理数a,b,定义一种新运算“⊙”，规定 aOb=a+b-2a-b ⊙(4) (1)计算 的值； (2)已知a,b对应的点在数轴上的位置如图所示： a 0b 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①a+b0,a-b0(填“>”“=”“<”)： ②化简a⊙b(化简结果用含有a,b的代数式表示)· 34.(25-26七年级上·福建厦门·期中)对于有理数a、b,定义一种新运算“⊙”，规定 a⊙b=a+bl+a-b 6 0 ①计算-3)o(4)的值。 (2)当a、b在数轴上的位置如图所示时，化简aob. (3)当a⊙b=a⊙c时，是否一定有b=c或者b=-c?若是，则说明理由；若不是，则举例说明. 35.(25-26七年级上·湖南衡阳期中)对于有理数a,b,定义一种新运算“⊙”，规定： aOb=a+b+b2-a2 例如：1o2=l+2+2-=3+3=6 (1)计算：2⊙(-4)： (2)若4，b在数轴上的位置如图所示，化简： (a⊙b)-a2+b2 a 0b 14/14专题04 数轴上的动点与新定义型探究问题 基础·固本强基 题型1 单个动点问题（重点） 提升·进阶突破 题型2 动点的规律探究问题 题型3 双动点的恒速运动问题（难点） 拔高·压轴破难 题型4 动点的定值问题 题型5 双动点的变速运动问题 题型6 数轴上的新定义型问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 单个动点问题（共6小题） 【模型】动点位置用“起点±速度×时间”表示，两点距离用“大减小”或加绝对值。 【步骤】设时间t→标出各点位置→列距离等式→分左右两侧讨论求解。 【易错】漏掉动点经过定点后的另一侧情况，忘记检验时间t是否符合实际范围。 1．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（   ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解． 【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，， 开始运动后，， ∵， ∴，整理得：； ∵在运动过程中始终满足， ∴，解得：， 故选：C． 2．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期中）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可． 【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是， ∴点表示的数为； 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山西临汾·期中）如图所示，已知在数轴上点A表示的数为3，点B表示的数为，点P为数轴上一个动点，点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动． (1)点和点之间的距离为________． (2)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离？此时，点P对应的数为多少？ (3)经过多少秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍？此时，点P对应的数为多少？ 【答案】(1)10 (2)经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是 (3)经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，数轴上的动点问题，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）根据点P到点B的距离等于点P到点A的距离，结合两点间距离，求出点P运动的距离，再根据运动速度求出点P运动时间，最后求出点P表示的数即可； （3）分两种情况，当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列式求出结果即可． 【详解】（1）解：点和点之间的距离为； （2）解：，（秒）， 此时，点P对应的数为， 答：经过秒，点P到点B的距离等于点P到点A的距离，此时点P对应的数是； （3）解：当点P在点A的左边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为． 当点P在点A的右边时， ， （秒）． 此时，点P对应的数为， 综上：经过或10秒后，点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，此时点P对应的数分别是或13． 6．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）已知在数轴上，一动点从原点出发，沿直线以每秒钟个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，又向右移动个单位长度 (1)求出秒钟后动点所处的位置； (2)如果在数轴上还有一个定点，且与原点相距个单位长度，问：动点从原点出发，可能与点重合吗？若能，则第一次与点重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，或秒． 【分析】本题考查了数轴和数字类规律，解题的关键是掌握用数轴表示有理数，注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法． （）先根据“路程速度时间”求出秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解； （）分当点在原点右边时，当点原点左侧时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点走过的路程是， 处于：； （2）当点在原点右边时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是 ， ， ， ∴时间秒分钟； 当点在原点左侧时，即表示的数为，设需要第次到达点， 根据题意得， 则， 解得， ∴动点走过的路程是， ， ， ， ∴时间秒分钟． 提升·进阶突破 题型2 动点的规律探究问题（共6小题） 【模型】掌握左右跳跃与周期循环两类核心模型。 【步骤】按“画图→写点→表距离→列式”四步操作，用含t代数式表示动点位置。 【易错】警惕绝对值距离未分类讨论、时间范围未检验致多解或漏解。 7．（25-26六年级上·山东泰安·期中）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 8．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 9．（25-26·山东淄博·期中模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 10．（25-26七年级上·江苏南京·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【分析】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 12．（25-26七年级上·河北邢台·期中）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 题型3 双动点的恒速运动问题（共6小题） 【模型】掌握“相遇（路程和）”“追及（路程差）”“距离公式（绝对值）”。 【步骤】设t→表坐标→列方程→验t范围。 【易错】漏绝对值讨论、忽视t≥0或运动终止条件。 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最小的正整数，且a、b满足 (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，求此时在数轴上与点B重合的点表示的数． (3)动点P、Q同时从原点出发，点P向负半轴运动，点Q向正半轴运动，点Q的速度是点P速度的3倍，2秒钟后，点P到达点点Q到达点C后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，当点Q改变方向后，点P与点Q相距2个单位时，求点Q表示的数． 【答案】(1)；1；6 (2)3 (3)或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、非负数的性质、数轴上的动点问题等知识点． （1）根据题中已知条件及绝对值与平方的非负性，即可确定a，b，c； （2）根据折叠及轴对称的性质进行求解即可； （3）求出点P的速度，点Q的速度，设经过t秒后点P与点Q相距2个单位，分两种情况作答即可. 【详解】（1）解：， ，， ，， 是最小的正整数， 故答案为：；1；6； （2）解：点A与点C重合时，折痕表示的数为， 设与点B重合的点表示的数为x， ， 解得， 故与点B重合的点表示的数为3； （3）解：点P从原点出发，2秒钟后到达点A， ， 即点P的速度为1个单位长度每秒， ， 即点Q的速度为3个单位长度每秒， 设经过t秒后点P与点Q相距2个单位， 此时点P表示的数为， 点Q到达点C所用时间为秒， 点Q表示的数为， 根据题意，当点P在点Q左边时，， 解得， 此时点Q表示的数为； 当点P在点Q右边时，， 解得， 此时点Q表示的数为， 点P与点Q相距2个单位时，点Q表示的数为或 14．（25-26七年级上·山东菏泽·期中）如图，在数轴上A点表示有理数a，B点表示有理数b，已知a，b互为相反数，若，且． (1)求a，b； (2)数轴上有两个动点P、Q，动点P从A点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P在点C处追上点Q，求点C表示的有理数c． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查了绝对值、相反数及数轴上两点间的距离等知识，掌握这些知识是关键； （1）由绝对值可求得a的值，再由相反数的意义可求得b的值； （2）根据点P运动的路程与点Q运动的路程的差等于，得到方程，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵a，b 互为相反数， ∴． （2）解：由题意可知：A、B 两点之间的距离为10， 设运动了t秒，点P追上点Q，则， ∴， ∴C点表示的有理数c为． 15．（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)___________；___________；___________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为___________； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为， ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)①，；②存在，，定值为 【分析】本题考查了多项式的概念，数轴上两点间的距离，折叠问题，以及整式的加减无关问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点重合的点所表示的数； （3）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于的二次多项式，一次项系数为， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 16．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点． (1)写出点所对应的数_____； (2)如果点从点出发，沿数轴先向右移动6个单位长度，再向左移动1个单位长度，求此时点所表示的数_____，以及，两点之间的距离_____； (3)如果分别从点同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点，之间的距离是多少？ 【答案】(1)1 (2)2；5 (3)7或1 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离、有理数的运算，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据点的移动方式得出点所表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式即可求解； （3）分2种情况讨论：①均沿数轴向右运动；②均沿数轴向左运动，分别求出3秒后点所表示的数，再利用数轴上两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度， ∴点所对应的数为， 故答案为：1； （2）解：由题意得，点所表示的数为， ，两点之间的距离为， 故答案为：2；5； （3）解：①若均沿数轴向右运动，3秒后， 点所表示的数为， 点所表示的数为， ∴点，之间的距离是； ②若均沿数轴向左运动，3秒后， 点所表示的数为， 点所表示的数为， ∴点，之间的距离是； ∴综上所述，点，之间的距离是7或1． 17．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒， （说明：如果A、B两点在数轴上表示的数分别为m、n，我们常用符号“”表示A、B两点的距离，且） (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)当时，点Q到原点O的距离为6； (2)当时，点Q到原点O的距离为4； (3)点P到点Q的距离为6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， ∴当时，点Q到原点O的距离为6； （2）解：∵动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动， ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ∴当时，点Q向右运动，， ∴当时，点Q到原点O的距离为4； （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分三种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ， ， 运动时间为（秒）， ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ②点Q向右运动时且还没经过点A时， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为4； ； ③点Q向右运动时且经过点A后， ， ， 运动时间为（秒）， ； ∴此时P在数轴上表示的数为，Q在数轴上表示的数为12； ； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 18．（25-26七年级上·湖南张家界·期中）如图，已知数轴的单位长度为1，DE的长度为1个单位长度． (1)如果点A，B表示的数是互为相反数，A点表示的数是______，B点表示的数是______，C点表示的数是______． (2)若点A为原点，在数轴上有一点F，当时，求点F表示的数． (3)如果点B，E表示的数的绝对值相等，动点P从点B出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度，动点Q同时从点C出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1) (2)或1 (3)4秒 【分析】本题考查了相反数、数轴及两点间的距离、数轴上的动点问题，解题的关键是利用数形结合的思想及分类讨论的思想进行求解． （1）、互为相反数，，得到、分别表示，从而确定原点位置，即而得出表示的数； （2）分两种情况进行讨论，当点在点左边时，当点在点的右边时； （3）、E表示绝对值相等，则到原点距离相等，从而确定出原点位置，根据追及问题即可求得点P追上点Q所用时间． 【详解】（1）解：∵A、B互为相反数，且， 所以A表示－1，B表示1， 所以C表示的数为5． （2）解：因为A为原点表示O，E在点A点左侧距离2个单位，所以E点表示的数是－2， 因为，所以当F点在E点左侧，点F表示的数是； 当F点在E点右侧，点F点表示的数是， 所以点F表示的数或1． （3）解：因为B、E表示的数的绝对值相等，即互为相反数，可确定原点为点A，则点B表示的数为2，点C表示的数为6， 所以点P追上点Q所用时间为， 答：运动4秒后，点P可以追上点Q． 拔高·压轴破难 题型4 动点的定值问题（共5小题） 【模型】线段定值（中点/和差倍分）与代数式定值（含 t 项系数为 0）。 【步骤】设 t 表坐标→列距离式→化简，令含 t 项系数为 0 求参数。 【易错】忽略绝对值多解、参数范围（如相遇前后）及“值不变”即 t 系数为零的条件。 19．（25-26七年级上·全国·期中）如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 20．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如图，数轴上点表示的数分别为，．为数轴上一点，其表示的数为，若点移动时，的值始终保持不变，则当时，______． 【答案】 【分析】先根据绝对值的几何意义、数轴的性质可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：表示的是在数轴上，点到点的距离之和， 点移动时，的值始终保持不变， 点在点的之间移动，此时， ， 又， ， 解得， 故答案为：． 21．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）在数学中，点与点之间的距离用表示．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，已知数是最小的正整数，且，满足． (1)填空： ， ， ． (2)若在此数轴上有一动点表示的数为，则的最小值为 ． (3)点，，开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动． ①运动秒后，，，三点在数轴上分别所表示的数为 ， ， ．（用含，的式子表示）； ②若在此过程中，的值保持不变，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)①，，；② 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，绝对值的几何意义，数轴上两点之间距离的表示方法，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0，以及数轴上两点之间距离的表示方法． （1）根据数是最小的正整数，得出，根据绝对值和平方的非负性得出，即可得出a和c的值； （2）根据绝对值的几何意义，可得表示点Q和的距离，表示点Q和7的距离，则当点Q在和7之间时，的值最小，即可求解； （3）①根数两点之间的距离表示方法，即可得出t秒后A、B、C三点表示的数即可；②根据①得出关于t的表达式，根据的值保持不变可知，的值与t无关，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵数是最小的正整数， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，7； （2）解：∵， ∴表示点Q和的距离， ∵表示点Q和7的距离， ∴当点Q在和7之间时，的值最小， 此时． （3）解：①∵， ∴t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为；点C表示的数为， 故答案为：，，； ②根据题意得：，， ∴， ∵的值保持不变， ∴的值与t无关，即， 解得：． 22．（25-26七年级上·全国·期中）已知b是最小的正整数，且a，b，c满足． (1)填空： ， ， ； (2)定义：在数轴上A，B两点之间的距离记作，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，P为数轴上一动点，其对应的数为x，点P在点A与点C之间运动时（即时），满足，求出x的值； (3)在（1），（2）的条件下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设后，B，C两点之间的距离记作．若的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题考查绝对值与平方的非负性，数轴上两点之间的距离，一元一次方程，整式的加减无关型，掌握知识点是解题的关键． （1）求出，，，即可解答； （2）分类讨论：①当点P在点A和点B之间时，②当点P在点B和点C之间时，逐个分析求解即可； （3）先求出，，，由的值不变，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴，， 解得， ∵b是最小的正整数， ∴， 则 故答案为：． （2）①当点P在点A和点B之间时， ， ， ； ②当点P在点B和点C之间时， ， ， 值的为或； （3）由题意知后，A，B，C对应的数分别为，，， ，， ， 的值不变， ， 23．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图1，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、，其中a、b满足，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． (1)填空：________，________，________； (2)如图1，若点A、B、C分别同时以每秒4个单位长度、1个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为． ①当________时，； ②若的值始终保持不变，求m的值． 【答案】(1)，8， (2)①；② 【分析】本题考查了一元一次方程，数轴上的动点问题，如何表示线段的长度，绝对值的非负性，解题的关键是读懂题意，找到等量关系并列出方程，分类讨论，还需注意运动过程中速度的变化． （1）由可得：，，从而可求出a、b，再根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可求出c； （2）①把，用含有t的式子表达，根据列出关于t的方程即可求解； ②先把、的长度分别用含有t的式子表达，然后再用含有t的式子表达出，由的值始终保持不变，最后列出关于m的一元一次方程即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，，即， ∵点C到原点距离是点B到原点距离的2倍， ∴， ∴， 故答案为：，8，； （2）解：①由（1）得：，，， ∴点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是，点向左平移对应的点的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：； ②已知点以每秒4个单位长度向左运动，点以每秒1个单位长度向左运动，点以每秒个单位长度向左运动， ∴，， 第一种情况，当，即， 即， ∵的值始终保持不变， ∴， 解得：； ∵， ∴（舍去）； 第二种情况，当，即， 即， ∵的值始终保持不变， ∴， 解得：；符合； 综上所述，的值始终保持不变，； 题型5 双动点的变速运动问题（共6小题） 【模型】属数轴动点压轴题，考查“折线数轴”中速度分段变化，涉及相遇、追及及距离定值。 【步骤】先分段表示动点坐标（注意“左减右加”及速度切换节点），再根据距离公式列绝对值方程分类求解。 【易错】先分段表示动点坐标（注意“左减右加”及速度切换节点），再根据距离公式列绝对值方程分类求解。 24．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图1，已知数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15．如果将数轴在原点O和点B处各折一下，就得到一条“折线数轴”，如图2所示．现有一动点P从点A出发，沿着“折线数轴”向右运动，同时，点Q从点C出发，以相同速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P和点Q相遇后，两点改变原来的运动方向，沿原路返回．已知点P和点Q在“折线数轴”的水平方向（，段）运动期间速度为2个单位长度/秒，在上坡段运动时速度变为水平方向速度的一半，在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，设运动的时间为t秒． (1)点P沿方向上坡的速度为______个单位长度/秒，点Q沿方向下坡的速度为______个单位长度/秒； (2)t为何值时，点P和点Q相遇？ (3)当点P是线段的中点时，求此时t的值． 【答案】(1)1；4 (2) (3)或 【分析】（1）根据在上坡段运动时速度为水平方向速度的一半，得出点P沿方向上坡的速度即可；根据在下坡段运动时速度变为水平方向速度的2倍，求出点Q沿方向下坡的速度即可； （2）先根据数轴上两点间距离公式得出，，，再根据点P与点Q在上运动的路程之和为，列出方程，解方程即可； （3）分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点P沿方向上坡的速度为个单位长度/秒；点Q沿方向下坡的速度为个单位长度/秒； （2）解：∵数轴上的三个点A，B，C表示的数分别为，9，15， ∴，，， 点在上运动时间为：， 点Q在上运动时间为：， 根据题意得：， 解得：； 答：时，点P和点Q相遇； （3）解：点P、Q相遇时，， P、Q相遇前：， 解得：； P、Q相遇后：， 解得：； 综上，点P是线段的中点时，或． 25．（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示，，．点以每秒个单位的速度从点向右运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向左运动，是线段的中点，设运动时间为． (1)求点A与点B之间的距离； (2)当为何值时，，并求出此时点表示的数； (3)在，两点开始运动时，点以每秒个单位的速度从点向左运动．点经过原点后，其速度变为原来的倍，点变速后，若线段的长度始终是一个定值，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或，点表示的数为或 (3) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间距离公式，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）根据点表示的数为， 得，即得，进而可得点表示的数为，再根据两点间距离公式计算即可； （）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的 数为， 进而可得，解方程即可求解； （）由得，即得当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示 的数为，点表示的数为，得到，即可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵点表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∵点在原点的两侧， ∴点表示的数为， ∴ ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得或， 当时，； 当时，； 答：当的值为或时，，此时点表示的数为或； （3）解：若，则， 当时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点变速后，若线段的长度始终是一个定值， ∴， ∴． 26．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式的值与取值无关，其中a、b分别为点、点在数轴上表示的数，如图，动点E、F分别从A、B同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒． (1)求a、b的值； (2)用表示点在数轴上对应的数为：__________，点在数轴上对应的数为：__________； (3)当E、F相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后继续向右运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为120个单位时，求运动时间的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查数轴和一元一次方程的应用，整式的加减无关型问题，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键． （1）首先根据整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，即可求出a、b； （2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解； （3）首先求出当点E和点F相遇时，，然后正确列出方程进行分析计算即可． 【详解】（1） ∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关， ∴， 解得，； （2）由题意得：点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：， 故答案为：，； （3）当点E和点F相遇时， 解得， 根据题意得， 解得． 27．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点，分别为数轴正半轴上两点，对应的数分别为，，，知，．若动点从原点出发，以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)点表示的数为_____，点表示的数为_____；（用含的式子表示） (2)若经过3秒时，，求的值； (3)若，现将，两点之间变为点的“变速区”，规定为：点从点运动到点期间速度变为原来的两倍，从点到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，动点从原点出发，仍以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动．请问，是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8， (2)或 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出方程是解题的关键： （1）求出的长，即可得出点表示的数，根据点的平移规则，求出点表示的数即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为8， 由题意，点表示的数为； （2）解：由题意，点表示的数为，点表示的数为， ∵， ∴或， 解得或； （3）解：存在； 点从点运动到点的速度为每秒个单位长度，点从点运动到点的速度为每秒个单位长度， 故从点运动到点的时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， 点从点运动到点所用时间为， 由题意，当时，，解得； 当时，，解得； 综上：或． 28．（25-26七年级上·重庆奉节·期中）如图，点O是数轴的原点，数轴上的点A对应的数是，点B对应的数是．点C对应的数是8；数轴上有两个动点M，N，点M从点A出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向点C匀速运动，到达点C后立即返回，速度变为每秒3个单位沿数轴向点A匀速运动，点N从点B出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点C匀速运动；点N与点M同时出发，设点M，N的运动时间为x秒，当秒时，点M，N同时停止运动． (1)求A，C两点之间的距离； (2)求M，N两点相遇时对应的x的值； (3)在全部运动过程中，当点M，N，O中的任意一点为另外两个点连接成的线段的中点时，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)32 (2)或10 (3)4或或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用数轴上两点间的距离公式，可求出的长； （2）利用时间＝路程÷速度，可求出点M到达点C所需时间，当时，点M对应的数为，点N对应的数为，根据两点相遇时两点在数轴上对应的数相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；当时，点M对应的数为，点N对应的数为，根据两点相遇时两点在数轴上对应的数相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值； （3）分点N在点O的左侧及点N在点O的右侧两种情况考虑，当点N在点O的左侧时，若点N是的中点或点O是的中点或点M是的中点时，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值；当点N在点O的右侧时，若点N是的中点或点O为中点时，根据中点到两端点的距离相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值． 【详解】（1）解：∵点A对应的数是，点对应的数是8， ∴， 即两点之间的距离为32； （2）解：（秒）． 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：，解得， 当时，点M对应的数为，点N对应的数为， 根据题意得：， 解得：， 即两点相遇时对应的的值为或10. （3）解：当点N在点O的左侧时，若点N是的中点（图1）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点M是的中点（图2）， 则， 解得：； 当点N在点O的左侧时，若点O是的中点（图3）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点N是的中点（图4）， 则， 解得； 当点N在点O的右侧时，若点O是的中点（图5）， 则， 解得：，不符合题意舍去； 综上，的值为4或或或． 29．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足． (1)求线段的长； (2)，两点分别从，两点同时沿数轴的正方向运动，在到达点前，，两点的运动速度分别为个单位长度/秒和个单位长度/秒．当点经过点后，它的速度变为原速度的一半；点经过点后，它的速度变为原速度的倍．设运动时间为秒． ①当点为线段的中点时，求线段的长； ②数轴上点表示的数为且P，Q两点运动到点M即停止，当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②秒或秒或秒 【分析】（1）根据偶次方、绝对值的非负性求出、的值，再根据数轴上两点距离的计算方法求出线段的长即可； （2）①利用数轴上两点距离的计算方法即可得到结论； ②分不同情况，分别用含有的代数式表示，，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴线段的长为； （2）解：①∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为； ②当点、都在原点的左侧时， ，， ∵， ∴， 解得：； ∵点到达原点需要：（秒），点到达原点需要（秒）， 当点在原点的右侧、点在原点的左侧时，， 当点、在原点的右侧，在点的左侧时， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点、都在点的右侧时， ，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当时，的值为秒或秒或秒． 题型6 数轴上的新定义型问题（共6小题） 【模型】紧扣“距离公式”与“倍数关系”建立方程。 【步骤】先读懂定义，再列式表达距离，最后分类求解。 【易错】忽略动点位置多解性，或未检验结果是否符合定义。 30．（25-26七年级上·北京·期中）对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定． (1)直接写出的值为_____； (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简； (3)在条件（2）下，直接写出_____． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据题干的新定义列式计算即可得解； （2）由数轴可得： ，得出，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解； （3）由（2）可得，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解． 本题考查了新定义运算、绝对值的意义、利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：6． （2）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∴ ， 故答案为：． 31．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义化简，根据绝对值的代数意义得到结果即可； （3）原式利用题中的新定义化简； （4）根据题意只要写出一个符合要求的式子即可，这是一道开放性题目，答案不唯一． 【详解】（1）解：（1）根据题中的新定义得： ； （2）解：由在数轴上位置，可得， 则； （3）解：∵， ∴ 解得：； （4）解：∵， 故答案为：(答案不唯一)． 32．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空：______；______． (2)若，求x的值 (3)a，b在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)5；4 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的新定义运算及绝对值的化简，解题的关键是根据新运算的定义进行计算和化简． （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值进行计算； （1）根据新运算“※”与“◎”的定义，分别代入相应数值，再通过移项等方法求解未知数； （3）在化简含有绝对值的式子时，根据数轴判断绝对值内式子的正负，再根据新运算的定义，去掉绝对值符号化简． 【详解】（1）解：根据，可得， 根据，可得， 故答案为：5，4； （2）解：， 则， 移项可得， 解得：； （3）由数轴可知， ，， 根据， 可得， 原式=， ． 33．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）对于有理数，，定义一种新运算“⊙”，规定． (1)计算的值； (2)已知，对应的点在数轴上的位置如图所示： ①______，_______（填“”“”“”）； ②化简（化简结果用含有，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；；② 【分析】本题考查了新定义，利用数轴判断式子的正负，有理数的混合运算，整式加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序及绝对值的性质． （1）根据新定义计算可得； （2）①根据数轴得出且，从而得出、； ②根据绝对值性质解答可得． 【详解】（1）解： ； （2）解：①由图可知且， ∴、． ② ． 34．（25-26七年级上·福建厦门·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3) 解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）略 35．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“”，规定：．例如： (1)计算：； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)14 (2) 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据数轴上的位置，以及新定义计算即可求出值． 【详解】（1）解：， （2）， ， 由数轴可知：，， 即， 原式， ． $