专题02 有理数的运算及规律、新定义型问题9大题型58题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02有理数的运算及规律、新定义型问题 题型图谱导航总览 题型1有理数加减的混合运算（重点） 基础固本强基 题型2有理数乘除的混合运算（重点） 题型3含乘方的有理数的混合运算 提升进阶突破 题型4有理数混合运算错题复原问题（难点） 题型5程序流程图与有理数的计算（难点） 题型6算“24”点 拔高压轴破难 题型7混合运算中的新定义问题（重难点） 题型8有理数运算中规律性探究问题（重难点） 题型9有理数运算与古代文化中的应用 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1有理数加减的混合运算（共6小题） 【模型】代数和式（统一成加法后省略加号）。 【步骤】减法化加法→写成省略加号和的形式→运用运算律简便计算。 【易错】减法变加法时符号遗漏、交换加数时忘记带符号。 (25-26七年级上四川广元期中)计算： 1/18 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0四1-1)+(-12-6 9+I1_21_7 (2)22'18(2218 2.(25-26七年级上湖南岳阳期中)有理数的加减运算： ①43+(-77)+27+(-43) 5-(25-(7》 3.(25-26七年级上湖北孝感期中)计算： @12-(18)+(-7）-15 2(引 4.(25-26六年级上山东泰安·期中)计算下列各题： @-59)-(46)+(-34)-(+73) 2←72)-(37)-(-22)-17 e()325号 )+6别 5.(25-26六年级上山东泰安·期中)某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论， 请仔细阅读并完成任务 小明：我看到了一道试题：“计算20十 31) :”，对于此算式，我的方法是直接按照运 算顺序从左往右依次计算. 2/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 2[别 -2+(+2*[0+号 =A十B -C 任务： (①)小亮的解题过程中，A,B,C处依次代表的数据是 -2025 +20241 (2)按小亮的方法计算 2023 420223 6.(25-26七年级上·湖南长沙期中)错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠 错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养.仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任 务 计算：（ 引-1+()(2 解：原式=（+-15)+引+25第-步 [-+2第= =-1+40第三步 =39第四步 任务1：①第一步将原式的减法转化为加法的依据是 ② 运算从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务2：请你写出正确的解答过程. 3/18 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2有理数乘除的混合运算（共7小题） 【模型】同级乘除混合，先定符号再算绝对值。 【步骤】带化假→除变乘→从左往右约分。 【易错】先乘后除颠倒顺序，或误用分配律于除数。 7. (25-26七年级上广东河源期中)计算： 2=(3)-(-8x) +5动 8.(25-26七年级上广东惠州期中)计算： ①3+(-7)-(-9)-2 ail1i 9.(25-26七年级上海南省直辖县级单位期中)计算： (-12)-6+(-13)-(-39) (①) 3+5_7)1 (2)4'91236 10.(25-26七年级上贵州毕节期中)计算 ①2-(4)+8=(-2+(-3) g25-+5到 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(25-26七年级上·宁夏固原期中)计算： 阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原武=((》6第步 =（←15)*()第二步 =15.第三步 任务： (1)上面解题过程中，第 步开始就出现了错误，错误的原因是 (2)把正确的解题过程写出来。 12.(25-26七年级上：江西赣州期中)老师在黑板上写了一道计算题： 计：(15-兮月 下面是小丽的解答过程： 解：原式=(15)+(}x3(第一步) =(-15)÷(-5) (第二步) =-3.(第三步) (1)小丽的解答过程从第 步开始是错误的. (2)请你写出这道题正确的解答过程， 13.(25-26七年级上·云南期中)学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分 别用正、负表示.记录如下： 每袋与标准重量的差千克 -3 -2 -1.5 0 2.5 袋数/袋 1 2 3 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型3含乘方的有理数的混合运算（共5小题） 【模型】多层括号、分数小数混合、乘方结合简便运算的复合式。 【步骤】先乘方，再乘除，最后加减；同级从左至右：括号由内向外。 【易错】注意区分负数的乘方中底数是否带括号，乘除同级从左到右，除法误用分配律。 14. (25-26七年级上新疆和田期中)计算： m引 el-5. 83 ④[-(-2订 15.(25-26七年级下·广东佛山期中)计算 0--3r5 10002-1001×999 (2 16.(25-26七年级上·吉林长春·期中)有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次 后，厚度为22×0.1毫米. (1)对折2次后，厚度为多少毫米？ (2)对折6次后，厚度为多少毫米？ 17.(25-26七年级上·江西赣州期中)阅读以下解题过程. 求1+2+22+2+2的值 解：令S=1+2+22+23+…+23, 则25=2x0+2+2+2++2)=2+2+2+2+…+20+2 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以25-5=(2+2+2+2++2+2）-+2+2+2++2) 即S=24-1, 所以1+2+22+23+…+28=24-1 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 1+6+62+63+…+630 18.(25-26七年级上广东东莞期中)观察下列算式： ①22-12=2+1： ②32-22=3+2： ③42-32-4+3： ④52-42=5+4： ⑤62-52=6+5： (1)根据以上规律写出第⑧条算式： (2)计算：102-92+82-72++22-： (3)计算：2-22+32-4+52-62+…+192-202 题型4有理数混合运算错题复原问题（共7小题） 【模型】识别“先乘方→再乘除→后加减→括号优先”的层级结构。 【步骤】圈出错误步骤，标注错因（如符号、顺序），再按正确法则逐级重算。 【易错】混淆-24与(-2)4，以及去括号时漏变号。 19.(25-26七年级上河南周口期中)某同学在计算-16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是-24，则 -16÷a的正确结果是() A.2 B.-2 C.4 D.-4 20.(25-26七年级上：内蒙古通辽期中)小明在计算-15÷a时，误将“÷”看成“+”，得到的结论是 -45,则-15÷a的正确结果为() 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 分 C. D.2 21。(25-26七年级上安徽阜阳期中)某同学在计算-8)÷ 时，误将“÷”看成“+”而算得结果是5， 则（8)* 的正确结果是 22.(25-26七年级上河北邯郸期中)文文在计算 24)÷“时，误将“*”看成“+”，结果是8，则 -16÷a的正确结果是一 23.(25-26七年级上全国期中)小明与小红两位同学计算 的过程如下： 小明： 小红： 原式=8()x(日周 (第一 原式=16=(-8r(8 (第一步) 步) =16=[-8x8 (第二步) （ (第二步) 名（宽》 =16÷1(第三步) =16(第四步) (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤： (2)写出正确的解答过程。 24.(25-26七年级上河北沧州期中)下面是两位同学有理数运算的过程： (+3)+(-9)+(-3) 嘉嘉： (-28 =(+3)+(-3)+(-9) …步骤一 =16(80 =[(+3)+(-3刃+(-9).…步骤 6 =0+(-9) ② …步骤 8/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三 =-16÷1 .③ =一9.…步骤四 =-16 ⑦ ()嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是 ;琪琪是从第 (填序号)步开始出现错 误的： (2)请你对琪琪的原算式重新进行正确计算. 25.(25-26七年级上·山西临汾·期中)阅读下面的解题过程并解决问题. 4a2b+2ab2-3(a2b-2ab2） 化简： 解：原式=4a2b+2ab2-3a2b+2ab2…(第一步) =(4ah-3a2b)+(2ab2+2ab）…（第二步) =a2b+4ab2.…（第三步) (1)上面的计算过程，第一步变形的依据是 (2)上面的计算过程，从 步开始出现错误，错误的原因是」 (3)请写出正确的解答过程. 拔高压轴破难 题型5程序流程图与有理数的计算（共6小题） 【模型】理解程序框图的“输入一判断一输出”结构，识别循环与分支。 【步骤】按箭头顺序代入求值，注意条件判断决定是否进入下一轮。 【易错】易在“是否满足条件”处误判，或乘方与乘除混淆，导致循环次数算错。 26. (25-26七年级上·四川泸州期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为-1，则输出y的值为() 输入x平方乘以3→减去5→结果大于0 是 输出y 否 A.187 B.8 C.7 D.5 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.(25-26七年级上吉林长春·期中)按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x=6,则最后输出的 结果是() 输入x 计算+的值 是 >100 2 输出结果 否 A.6 B.21 C.115 D.231 28.(25-26七年级上：广东江门期中)根据流程图中的程序，若输入x的值为-1，则输出'的值为 输入x 平方 乘以3 减去6 →结果大于0一 是 输出y 否 29. (25-26七年级上：河北石家庄·期中)琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的 程序运算，如果输入1，则输出的结果是 输入x x32)→(1) YES 输出 NO 30. (25-26七年级上四川成都期中)如图是一个运算程序： 是 m=x+3y 输入x,y x大于y 输出结果m m=x-3y 否 ()若x=-3,y=4,求m的值： (2)若x=4,输出结果m的值为1，求y的值. 31.(25-26七年级上北京东城期中)小明设计了一个如图所示的数值转换程序. 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M=la-bl+3 输入a,b b2外于-0 输出M 否 M=a2-3b ()当输入a=-5,b=-3时，求输出M的值为多少？ (2)若a=-3,M的值大于4，直接写出一个符合条件的b的值. 题型6算“24”点（共6小题） 【模型】固定因数凑24（如3×8、4×6），用其他数配凑搭档。 【步骤】先扫因数定方向，再试凑剩余数，注意括号改变优先级。 【易错】漏用某数或重复使用，符号处理失误（红牌为负），去括号忘变号。 32. (25-26七年级上·云南保山期中)有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个 数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24.现有四个有理数：3,4,6， 10.运用上述规则，下列算式中不正确的是() A.4x3-(-6)+10 B.4-(-6)÷3x10 c.10-(-6)x3-4 D.[4+(-6)+10]x3 33.(25-26七年级上·陕西咸阳期中)“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合 运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24.现有3，-3,5,9，列出一个求 “24点”的算式是一·（写出一个即可） 34.(25-26七年级上·安徽宿州期中)根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用 一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为-24，可以列出综合算式是 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.(25-26七年级上河南安阳·期中)有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学 过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次），有一次小明在做“24点游戏” 时抽到的4个数分别是-1,4,5,11，请你写出一个算式使其结果为24： 36.(25-26七年级上安徽阜阳·期中)小徽有5张卡片，分别写有数字-9，-5,4,7,2，请你按要求抽 出卡片，完成下列各题. (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结 果为24，请写出其中一种算式： (2)()若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ ()若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 37.(25-26七年级上浙江金华期中)如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片， 完成下列问题： -63410 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是_： (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“+，，×，÷”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一 次)，请设计1个算式，并写出计算过程， 题型7混合运算中的新定义问题（共7小题） 【模型】识别“定义一套用一转化”结构，将新符号转为有理数混合运算。 【步骤】读定义划关键词→代入数值→按序算→逆向解参。 【易错】混淆运算顺序、负号处理不当、忽视括号内整体代入。 38.(25-26七年级上：广东潮州期中)定义一种新运算“*”，规定a*b=a-2b,例如： 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2*3=2-2x3=4,则3)*2 值为() A.6 B.1 C.-7 D.-6 39.(25-26七年级上全国期中)定义新运算“®”：a⊕b=2-b,则(-3)⊕(2©)的值为() A.6 B.10 C.12 D.14 40.(25-26七年级上吉林长春期中)若定义一种新运算“*”：a*b=a-ab+1,如 23=2-2x3+1=3.则3)2 41.(25-26七年级上吉林长春期中)我们定义一种新运算“★”如下： a★b=(a-b)2 例如： 5★3=(5-3)2=4 3★(-2)=2 ,下面给出了关于这种新运算的几个结论：① 5:②若a=0,则★h= ③a★b>b★a;④若a★b=0,则a=b.其中正确的有 一.（填序号） 42.(25-26七年级上福建龙岩·期中)在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助 有理数的运算对有理数0,6定义了一种新运算*，规定a*b=口-，例如：3()-3”-(-=26 ①计算-2列3的位. ②计算-1*2](4的值 43.(25-26七年级上河南洛阳期中)若定义一种新运算“⑧”，规定有理数a⑧b=2-2b+2b2.例如： 2⑧3=22-2×2×3+2×32=4-12+18=10. 0求38(-2 的值； ②求-2)®(2@1)的值， (3)运算“⑧”是否具有交换律，即a⑧b=b⑧a是否成立？请说明理由. 44.(25-26七年级上·山西临汾·期中)阅读材料，并完成相应的任务. 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义新运算：aAb=1_1 =ab(其中a≠0，b≠0)，若aAb=a☆b,则有理数a为b的“隔 数”， 例如： 243=}=.23=1=2 236: 2×36 因为2△3=2☆3，所以有理数2为3的“隔一数” (①)下列各组数中，a为b的“隔一数”的是：一·（请将正确的序号填入横线处） ①a=-1,b=1；②a=4,b=5. (②i计算-3到A4-(-3到☆4 题型8有理数运算中规律性探究问题（共7小题） 四g男四ggg男gg四男四gg四四g四g四男gg四四g四g四四gg四四g四g四男gg 【模型】掌握“裂项相消”“错位相减”及图形递推模型。 【步骤】标序号→找差值或比值一验证通项→求和。 【易错】符号规律看奇偶、裂项后系数勿漏、结论需代回验证。 45.(25-26七年级上山西运城期中)为了确定322“的末位数字，我们可以先从简单的特例入手探究.通 过计算得到3=3,32=9,33=27,34=81,3=243,3=729,37=2187，.观察归纳上述算式中 的规律，可知322的末位数字是(） A.1 B.3 C.7 D.9 46.(25-26七年级上山东滨州期中)观察下列算式： 2=222=423=824=162=322=6427=12828=256 根据上述算式中的规律，你认为24的末位数字是一 47.(25-26七年级上吉林辽源期中)观察下列等式：2=2,2=4,23=8,24=16,2=32， 14/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26=64.. 2+22+23+24+25+…+22022 根据这个规律，则 的末尾数字是一· 48.(25-26七年级上河北邯郸期中)用数学的眼光观察，无须计算结果也能去掉绝对值符号.例如： -++业 6-=7-6.根据上述提律，计算：1-232+4司十54+…+20252024 49.(25-26七年级上江西赣州期中)观察下列等式： 5=-1-11=1-11-11111 1 1×2 2,2×323,3×434’4×545,… 1 (1)按照上述规律填空：5×6 —n(n+1)— 1,1,11 1 (②计算：1×2+2×3+3×4+4x5++ 2023×2024· 11 11 3)探究并计算：1x3+3x5+5×7+7x9 2021×2023 50.(25-26七年级上·山东日照期中)观察下面有规律排列的三行数： 第一行数：-2,4，-8,16，-32,64... 第二行数：-3,3，-9,15，-33,63.·· 第三行数：6,6,18，-30,66，-126.·· (1)第一行数中，第7个数是 ,第二行数中，第7个数是 第三行数中，第7个数 是 ； (2)取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？ 51.(25-26七年级上广东梅州期中)阅读材料，根据材料回答： 例1.（-2)八×3=(-2)x(-2)×(-2)×3x3x3 =[(-2)×3x[(-2)×3]×[-2)×3] =[(-2)×3]=(-6)}°=-216 例2：8×0.125=8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125)×(8×0.125) =(8×0.125)°=1 (①)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）ab”=一： (2)仿照上面材料或规律计算： g )根据山的提律计算：04[月。 题型9有理数运算与古代文化中的应用（共7小题） 【模型】掌握《九章算术》正负术、格子乘法等古代运算模型，将文化情境转化为有理数运算。 【步骤】先提取数学信息，再列式运算，注意“得失相反”的正负对应关系。 【易错】符号处理与括号前负号是失分点，绝对值化简需分类讨论。 52.(25-26七年级上吉林长春期中)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出了名为“正 负术”的算法，其中含有“同名相益”，即同号两数相加时，括号前为加数的符号，括号内为加数的绝对 (+5)+(+3)=+(5+3)(-5)+(-3)=-(5+3) 值之和.例如： 下列式子中，正确反映“同名相益”的是 () A.(+3)+(-2)=+3-2) B.（-3+(+2)=-(3-2) c.（+3)-(-2)=+3+2) D.（-3)+(-2)=-(3+2) 53.(25-26七年级上·山东济宁·期中)约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆 周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家.用 四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为() A.3.14 B.3.141 C.3.142 D.3.1416 54.(25-26七年级上·广东佛山期中)在我国古代数学名著《九章算术》中，曾有关于“正负术”的记载， 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 体现了古人对有理数运算的智慧.现定义运算符号“&”，当a>0时，&a=-a；当a<0时，&a=a;当 a=0时，&a=0, &(-2+&5) 根据这种运算.则 等于() A.7 B.-7 C.3 D.-3 55.(25-26七年级上·山东滨州期中)我们平常生活中用的是10进制进行计算，如27+158，在进行计算 时两数最右边对齐，7+8=15，满10后5留在最右边，向左进一，从而结果为185：在计算减法35-18时， 最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17.在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一，即当 数字为8时，记做 3)，那么类比十进制的加减法，在计算23-(B时，它的结果为 (答案也记录为五进制)· 56.(25-26六年级上·山东威海期中)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结 来记录数量，即“结绳记数”，一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方 法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天( 1×62+2×6+3=51 ，按同样的方法，图2表示的天数是」 图1 图2 57.(25-26七年级上广西来宾·期中)《九章算术》是我国古代数学最重要的著作之一，全书分成九章. 第八章《方程》的第八题讲述一个人有一次到家畜市场，卖了牛和羊，买了猪，钱还有剩余.把卖牛和羊 得到的钱记作正，把买猪付出的钱记作负.按照这种记法，假设王大爷某天在农贸市场的收支（单位： 元)情况为+40，-5，-30，+20，-16，请回答以下问题： (1)计算王大爷当天的收支余额是多少？ (2)假设王大爷在开始交易前身上有55元钱，那么经过这些买卖后，他身上总共有多少钱？ (3)王大爷核对账目时，发现当天的总收支余额应该是+5元，他怀疑有一笔交易被漏记了，请问被漏记的 那笔交易是多少元？并说明理由 58.(25-26七年级上·福建福州期中)算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶算筹是 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）·它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千 位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示.如3123，表示为： 如 405,表示为 1 2 3 4 5 6 8 9 纵式 I‖ⅢⅢ TTW而 横式 三 ⊥业业皿 (1)835用算筹可表示为() C D. (2)算式“7403+2366”可用如图①中的算筹表示，如图②中的算筹表示两个三位数的运算，其算式为 图① 图② 18/18专题02 有理数的运算及规律、新定义型问题 基础·固本强基 题型1 有理数加减的混合运算（重点） 题型2 有理数乘除的混合运算（重点） 提升·进阶突破 题型3 含乘方的有理数的混合运算 题型4 有理数混合运算错题复原问题（难点） 拔高·压轴破难 题型5 程序流程图与有理数的计算（难点） 题型6 算“24”点 题型7 混合运算中的新定义问题（重难点） 题型8 有理数运算中规律性探究问题（重难点） 题型9 有理数运算与古代文化中的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 有理数加减的混合运算（共6小题） 【模型】代数和式（统一成加法后省略加号）。 【步骤】减法化加法→写成省略加号和的形式→运用运算律简便计算。 【易错】减法变加法时符号遗漏、交换加数时忘记带符号。 1．（25-26七年级上·四川广元·期中）计算∶ (1) (2) 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）有理数的加减运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加减的混合运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）去括号运算即可； （2）把小数变成分数运算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 3．（25-26七年级上·湖北孝感·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2)7 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数加减混合运算法则，进行计算即可； （2）变减法为加法，根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)10 【分析】（1）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （2）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （3）化简符号，运用加法交换律与结合律计算； （4）化简符号，运用加法交换律与结合律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 5．（25-26六年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务． 小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C 任务： (1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______； (2)按小亮的方法计算． 【答案】(1)，， (2)4046 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键． （1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可； （2）仿照题中拆项法求解过程求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，． （2）解： ． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．仔细阅读嘉木同学进行有理数混合运算的过程并完成相应任务． 计算： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 任务：第一步将原式的减法转化为加法的依据是___________； 运算从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务：请你写出正确的解答过程． 【答案】 任务1：有理数的减法运算法则 三，将误算为 任务2：正确的解答过程： ． 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数加法运算律． 任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数减法的运算法则；根据运算法则逐步检查，即可求解； 任务2：按照运算法则，结合有理数加法运算律，写出正确的解答过程即可． 【详解】解：任务1：第一步将原式的减法转化为加法的依据是有理数的减法运算法则， 故答案为：有理数的减法运算法则． ， ∴运算从第三步开始出现错误，这一步错误的原因是将误算为， 故答案为：三，将误算为． 任务2：略 题型2 有理数乘除的混合运算（共7小题） 【模型】同级乘除混合，先定符号再算绝对值。 【步骤】带化假→除变乘→从左往右约分。 【易错】先乘后除颠倒顺序，或误用分配律于除数。 7．（25-26七年级上·广东河源·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 （1）先算乘除，再算加减即可； （2）将除法化为乘法，然后利用乘法分配律展开并计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 8．（25-26七年级上·广东惠州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查有理数的加减乘除运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的乘除运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)8 (2)26 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先将除法转化成乘法，再根据乘法分配律计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26七年级上·贵州毕节·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，乘法分配律的运用，掌握其运算法则是关键． （1）根据有理数的加减，乘除运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26七年级上·宁夏固原·期中）计算：．阅读下面的解答过程并完成相应任务： 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： (1)上面解题过程中，第___________步开始就出现了错误，错误的原因是___________； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)二，运算顺序错误 (2) 解：原式 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则进行分析即可； （2）根据有理数四则混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ， 解题过程中，第二步出错，没有按运算顺序进行运算，乘除是同级运算，应从左到右依次进行； 故答案为：二；运算顺序错误． （2）略 12．（25-26七年级上·江西赣州·期中）老师在黑板上写了一道计算题： 计算： 下面是小丽的解答过程： 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） (1)小丽的解答过程从第_______步开始是错误的． (2)请你写出这道题正确的解答过程． 【答案】(1)二 (2)27 【分析】本题考查有理数的四则运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可以解答； （2）先算括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：小丽的解答过程从第二步开始是错误的，错误的原因是没有按照运算顺序计算， 故答案为：二； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·云南·期中）学生食堂要购进20袋土豆，以每袋50千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示．记录如下： 每袋与标准重量的差/千克 0 2 袋数/袋 1 3 2 3 6 5 (1)20袋土豆中，最轻的一袋比最重的一袋要轻多少？ (2)与标准重量比较，20袋土豆总计超过或不足多少千克？ (3)若土豆每千克的售价为2元，求买这20袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克 (2)超过千克 (3)元 【分析】（1）根据题意，列出式子，由有理数加减运算直接计算即可得到答案； （2）根据题意，列出式子，由有理数加减乘法运算直接求解即可得到答案； （3）根据题意，求出土豆总重量，利用有理数乘法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：（千克）， 答：最轻的一袋比最重的一袋要轻千克； （2）解： （千克）， 答：与标准重量比较，袋土豆总计超过千克； （3）解： （千克）， （元）， 答：买这袋土豆共需元． 提升·进阶突破 题型3 含乘方的有理数的混合运算（共5小题） 【模型】多层括号、分数小数混合、乘方结合简便运算的复合式。 【步骤】先乘方，再乘除，最后加减；同级从左至右；括号由内向外。 【易错】注意区分负数的乘方中底数是否带括号，乘除同级从左到右，除法误用分配律。 14．（25-26七年级上·新疆和田·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 15．（25-26七年级下·广东佛山·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【详解】（1）解： ； （2）解： 16．（25-26七年级上·吉林长春·期中）有一种纸的厚度为毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为毫米． (1)对折次后，厚度为多少毫米？ (2)对折次后，厚度为多少毫米？ 【答案】(1)（毫米） (2)（毫米） 【分析】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可； （2）根据对折规律确定出所求厚度即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（毫米）． （2）解：根据题意得：（毫米）． 17．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．令，然后两边同乘以6，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：令， 则 ， 所以， 即， 所以， 即． 18．（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 题型4 有理数混合运算错题复原问题（共7小题） 【模型】识别“先乘方→再乘除→后加减→括号优先”的层级结构。 【步骤】圈出错误步骤，标注错因（如符号、顺序），再按正确法则逐级重算。 【易错】混淆 -2^4 与 (-2)^4，以及去括号时漏变号。 19．（25-26七年级上·河南周口·期中）某同学在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，将错就错求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选：A． 20．（25-26七年级上·内蒙古通辽·期中）小明在计算时，误将“”看成“”，得到的结论是，则的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算和有理数的除法运算．通过错误运算求出的值，再代入正确运算求解即可解答． 【详解】解：误将“”看成“”， ， ， ， 故选：． 21．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）某同学在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是，则的正确结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算．根据错误操作列出方程，求出b的值，再根据有理数除法计算正确结果，即可作答． 【详解】∵在计算时，误将“”看成“+”而算得结果是， ∴， 解得， 因此，， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）文文在计算时，误将“”看成“”，结果是，则的正确结果是____． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减法和除法，根据误操作列出方程求出a的值，再代入正确表达式计算． 【详解】由题意得，， ∴． 故答案为：． 23．（25-26七年级上·全国·期中）小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） =16（第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，请指出小红出错的步骤； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)小红第二步计算出现错误 (2) 【分析】本题考查含有理数的乘方的混合运算，掌握运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）小红的第二步计算出现错误，第二步运算顺序出现错误； （2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：小红第二步计算出现错误，运算顺序出现了错误； （2）解：原式 ． 24．（25-26七年级上·河北沧州·期中）下面是两位同学有理数运算的过程： 嘉嘉： ……步骤一 ……步骤二 …………………步骤三 ………………………步骤四 琪琪： ………① …………② ………………………③ …………………………④ (1)嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是________；琪琪是从第________（填序号）步开始出现错误的； (2)请你对琪琪的原算式重新进行正确计算． 【答案】(1)加法交换律；② (2) 解： ． 【分析】本题考查了有理数的加法交换律、含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）根据有理数的加法交换律即可得；琪琪正确的运算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，由此即可得； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法即可得． 【详解】（1）解：嘉嘉计算过程中，“步骤一”运用的运算律是加法交换律； 琪琪正确的运算顺序是：先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法， 所以琪琪是从第②步开始出现错误的， 故答案为：加法交换律；②． （2）略 25．（25-26七年级上·山西临汾·期中）阅读下面的解题过程并解决问题． 化简： 解：原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） (1)上面的计算过程，第一步变形的依据是______． (2)上面的计算过程，从______步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)乘法对加法的分配律 (2)第一；去括号时，括号内第二项漏乘 (3) 原式 ． 【分析】（）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可判断求解； （）根据整式的加减运算法则解答即可； 本题考查了整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：上面的计算过程，第一步变形的依据是乘法对加法的分配律， 故答案为：乘法对加法的分配律； （2）解：上面的计算过程，从第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号内第二项漏乘， 故答案为：第一；去括号时，括号内第二项漏乘； （3）略 拔高·压轴破难 题型5 程序流程图与有理数的计算（共6小题） 【模型】理解程序框图的“输入—判断—输出”结构，识别循环与分支。 【步骤】按箭头顺序代入求值，注意条件判断决定是否进入下一轮。 【易错】易在“是否满足条件”处误判，或乘方与乘除混淆，导致循环次数算错。 26．（25-26七年级上·四川泸州·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是程序框图的循环执行，理解流程图的逻辑、重复代入计算是解题的关键．根据流程图的规则，当计算结果不大于时，需要将该结果作为新的输入值再次代入计算，直到结果大于时输出该结果． 【详解】解：根据流程图，当时，， 此时，， ． 故选：． 27．（25-26七年级上·吉林长春·期中）按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（    ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【分析】本题考查程序流程图的循环运算；解题方法是按步骤重复计算，直到满足输出条件；解题关键是准确执行每一步运算；易错点是计算过程中的算术错误．从开始，依次计算并判断是否大于100，不满足则重复代入，直到结果大于100时输出． 【详解】解：输入：，，返回输入； 输入：，，输出结果． 故选：D． 28．（25-26七年级上·广东江门·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为___________ 【答案】21 【分析】本题考查代数式的求值与程序运算，解题的关键是按照程序流程图的步骤逐步计算． 将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘以3、减去6，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为21． 故答案为：21． 29．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）琪琪在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是_______． 【答案】 【分析】本题考查了程序图． 输入1，根据程序图计算后得到，输出即可． 【详解】解：， 即输出的结果是． 故答案为：． 30．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值，代数式的求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后代入即可求解； （）分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 31．（25-26七年级上·北京东城·期中）小明设计了一个如图所示的数值转换程序． (1)当输入吋，求输出的值为多少？ (2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值． 【答案】(1) (2)（答案不唯一，符合要求即可） 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图是解题的关键． （1）由题意知，，由，可知，计算求解即可； （2）由题意知，，当时，，可知，进而可知，符合要求． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴输出的值为； （2）解：由题意知，， 当时，，且， ∴， ∴符合条件． 题型6 算“24”点（共6小题） 【模型】固定因数凑24（如3×8、4×6），用其他数配凑搭档。 【步骤】先扫因数定方向，再试凑剩余数，注意括号改变优先级。 【易错】漏用某数或重复使用，符号处理失误（红牌为负），去括号忘变号。 32．（25-26七年级上·云南保山·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 33．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，每个数必须且只用一次，可以添加括号，使其运算结果等于24．现有3，，5，9，列出一个求“24点”的算式是__．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中“24点”的游戏规则，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键．根据“24点”的游戏规则组合成结果为24的算式即可解答． 【详解】解：通过观察数字，发现，，则， 因此可列算式． 故答案为：（答案不唯一）． 34．（25-26七年级上·安徽宿州·期中）根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 35．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 36．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 37．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 题型7 混合运算中的新定义问题（共7小题） 【模型】识别“定义—套用—转化”结构，将新符号转为有理数混合运算。 【步骤】读定义划关键词→代入数值→按序算→逆向解参。 【易错】混淆运算顺序、负号处理不当、忽视括号内整体代入。 38．（25-26七年级上·广东潮州·期中）定义一种新运算“”，规定，例如：，则的值为（    ） A．6 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握运算法则是解题的关键．根据新定义列出算式，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 39．（25-26七年级上·全国·期中）定义新运算 “”：，则的值为(    ) A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算的理解及有理数的混合运算，解题的关键是遵循运算顺序，先计算括号内的新运算，再进行外层运算，准确代入新运算公式． 根据新运算“”的定义，先计算括号内的，得到结果后，再用该结果计算与它的新运算，最后将结果与选项匹配． 【详解】解：由新运算，先算； 再算．该结果与选项A一致， 故选：A． 40．（25-26七年级上·吉林长春·期中）若定义一种新运算“”：，如．则___________． 【答案】16 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，根据新定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：16． 41．（25-26七年级上·吉林长春·期中）我们定义一种新运算“”如下：，例如：，下面给出了关于这种新运算的几个结论：①；②若，则；③；④若，则．其中正确的有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了新定义运算，代数式求值， 根据新运算“★”的定义，即，逐一验证各结论的正确性． 【详解】①，故①正确； ②当时，，故②正确； ③，， ∵， ∴，结论③错误； ④若，则，即，故④正确． 故答案为：①②④． 42．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）在学习完有理数的运算后，小丽对运算产生了浓厚的兴趣，她借助有理数的运算对有理数，定义了一种新运算，规定，例如：． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． （1）根据有理数的新定义运算计算即可求解； （2）根据有理数的新定义运算进行两次计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 43．（25-26七年级上·河南洛阳·期中）若定义一种新运算“”，规定有理数．例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)运算“”是否具有交换律，即是否成立？请说明理由． 【答案】(1)29 (2)20 (3) 不具有交换律； 理由：，， 当时，， 当时，， ∴运算“”不具有交换律． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键， （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据新运算的法则，列式计算即可； （3）根据新运算的法则，进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）略 44．（25-26七年级上·山西临汾·期中）阅读材料，并完成相应的任务． 定义新运算：，（其中，），若，则有理数a为b的“隔一数”． 例如：， 因为，所以有理数2为3的“隔一数” (1)下列各组数中，a为b的“隔一数”的是：______．（请将正确的序号填入横线处） ①，；②，． (2)计算． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）分别计算和的值，再根据“隔一数”的定义即可得出结论； （2）根据新定义运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①当，时， ，， ∴， ∴a不为b的“隔一数”，故①不符合题意； ②当，时， ，， ∴， ∴a为b的“隔一数”，故②符合题意； 故答案为：②； （2）解： ． 题型8 有理数运算中规律性探究问题（共7小题） 【模型】掌握“裂项相消”“错位相减”及图形递推模型。 【步骤】标序号→找差值或比值→验证通项→求和。 【易错】符号规律看奇偶、裂项后系数勿漏、结论需代回验证。 45．（25-26七年级上·山西运城·期中）为了确定的末位数字，我们可以先从简单的特例入手探究．通过计算得到，，，，，，，…．观察归纳上述算式中的规律，可知的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字找规律，准确分析计算是解题的关键． 观察末位数的变化规律：3，9，7，1，即4个数循环，即可得出答案． 【详解】解：由，，，，，，，…， ∴个位数变化规律为： 3，9，7，1，3，9，7，1…． ∴． 即和第的末位数字相同，为9． 故选：D． 46．（25-26七年级上·山东滨州·期中）观察下列算式： ，，，，，，，，… 根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，找出题中个位数出现的规律，即可求出的末位数字，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，，，， ， 可 以看出个位数按照、、、的顺序循环出现， ， 是第个循环的最后一个数， 的个位数是 故答案为： ． 47．（25-26七年级上·吉林辽源·期中）观察下列等式：，，，，，，，根据这个规律，则的末尾数字是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了尾数特征和数字变化类，先通过计算求出尾数的规律，根据规律即可求解，根据已知算式得出规律是解题的关键． 【详解】解：，，，，，， ， ， 的末尾数字为， 故答案为：． 48．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）用数学的眼光观察，无须计算结果也能去掉绝对值符号．例如：．根据上述规律，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的加减运算． 先化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 49．（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列等式： ，，，， (1)按照上述规律填空：______，______． (2)计算：． (3)探究并计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字类的规律问题，找出规律是解题的关键： （1）根据规律即可得出答案； （2）根据已知等式将等式依次拆项相加可得结论； （3）先依次拆项得出，再计算即可． 【详解】（1）； （2）      （3） 50．（25-26七年级上·山东日照·期中）观察下面有规律排列的三行数： 第一行数：，4，，16，，64．．． 第二行数：，3，，15，，63．．． 第三行数：6，，18，，66，．．． (1)第一行数中，第7个数是___________，第二行数中，第7个数是___________，第三行数中，第7个数是___________； (2)取每行数的第2024个数，计算这三个数的和是多少？ 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，乘方， 对于（1），根据第一行数的变化特点可知，可得第7个数，再根据第二行数是对应的第一行数减1，第三行数是对应的第二行的数的倍，进而得出答案； 对于（2），分别写出这三个数，再求和即可． 【详解】（1）解：第一行数为，所以第7个数为，则第二行数中，第7个数为；第三行数中，第7个数为； 故答案为：； （2）解：第一行数中，第2024个数是； 第二行数中，第2024个数是； 第三行数中，第2024个数是， 所以这三个数的和为． 51．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 题型9 有理数运算与古代文化中的应用（共7小题） 【模型】掌握《九章算术》正负术、格子乘法等古代运算模型，将文化情境转化为有理数运算。 【步骤】先提取数学信息，再列式运算，注意“得失相反”的正负对应关系。 【易错】符号处理与括号前负号是失分点，绝对值化简需分类讨论。 52．（25-26七年级上·吉林长春·期中）我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，给出了名为“正负术”的算法，其中含有“同名相益”，即同号两数相加时，括号前为加数的符号，括号内为加数的绝对值之和．例如：，．下列式子中，正确反映“同名相益”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加法， “同名相益”适用于同号两数相加，选项D中两数均为负号，符合条件，且计算正确． 【详解】解：∵“同名相益”规则为同号两数相加，取相同符号，括号内为绝对值之和． 选项D中，与同负号，相加取负号，绝对值求和， ∴，则正确， 选项A、B为异号相加，选项C为减法，均不符合“同名相益”． 故选：D． 53．（25-26七年级上·山东济宁·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入，将圆周率精确到千分位（小数点后第三位），需看万分位（第四位小数）的数字决定是否进位，据此进行求解即可． 【详解】解：∵，精确到千分位时，万分位数字为5， ∴根据四舍五入规则，需进位，千分位1变为2， ∴近似数为3.142； 故选C． 54．（25-26七年级上·广东佛山·期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，曾有关于“正负术”的记载，体现了古人对有理数运算的智慧．现定义运算符号“ &”，当时，；当时，；当时，，根据这种运算．则等于（   ） A．7 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据运算符号“&”的定义，先计算内部的值，再计算与的和，最后对结果应用“&”运算即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∴ ； 故选：B 55．（25-26七年级上·山东滨州·期中）我们平常生活中用的是进制进行计算，如，在进行计算时两数最右边对齐，，满后留在最右边，向左进一，从而结果为；在计算减法时，最右边一位对齐，向左借位，借一得十，结果为17．在古代，有个部落采用的是五进制，满五进一．即当数字为时，记做，那么类比十进制的加减法，在计算时，它的结果为____________（答案也记录为五进制）． 【答案】 【分析】本题考查进制运算，读懂题意，理解进制运算方法是解决问题的关键． 直接进行五进制减法运算，从右向左逐位相减，需要借位时借一当五，即可得到答案． 【详解】解：由阅读材料中的方法可知，， 故答案为：． 56．（25-26六年级上·山东威海·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天（），按同样的方法，图2表示的天数是______． 【答案】308 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数×+百位上的数×+十位上的数×6+个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是． 故答案为：308． 57．（25-26七年级上·广西来宾·期中）《九章算术》是我国古代数学最重要的著作之一，全书分成九章．第八章《方程》的第八题讲述一个人有一次到家畜市场，卖了牛和羊，买了猪，钱还有剩余．把卖牛和羊得到的钱记作正，把买猪付出的钱记作负．按照这种记法，假设王大爷某天在农贸市场的收支（单位：元）情况为，，，，，请回答以下问题： (1)计算王大爷当天的收支余额是多少？ (2)假设王大爷在开始交易前身上有55元钱，那么经过这些买卖后，他身上总共有多少钱？ (3)王大爷核对账目时，发现当天的总收支余额应该是元，他怀疑有一笔交易被漏记了，请问被漏记的那笔交易是多少元？并说明理由． 【答案】(1)9元 (2)64元 (3) 元；理由：（元） ∴被漏记的交易是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算. （1）将各数相加即可； （2）用（1）的结果加上55即可； （3）用正确结果减去（1）的结果即可. 【详解】（1）解：由题意得 （元） 答：王大爷当天的收支余额是9元； （2）解：由题意得（元） 答：他身上总共有64元； （3）略 58．（25-26七年级上·福建福州·期中）算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）．它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如3123，表示为：：如405，表示为． (1)835用算筹可表示为（   ） A．　B． C． 　D． (2)算式“”可用如图①中的算筹表示，如图②中的算筹表示两个三位数的运算，其算式为______． 【答案】(1)B； (2)． 【分析】本题考查了算筹问题． （1）根据题意可得8335用算筹的表示方法； （2）由算筹表示方法的到算式，再计算． 【详解】（1）解：835用算筹可表示为： ， 故选：B； （2）解：由题意得：图②中算式为：， 故答案为：. $