5.3.5随机事件的独立性（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第五章 统计与概率 5.3.5 随机事件的独立性 5.3概率 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 结合实例理解相互独立事件的概念，掌握定义式 P(AB)=P(A)P(B)，会判断两个随机事件是否相互独立。 掌握相互独立事件的性质：若 A,B 独立，则 A 与 、与 B、 与 也相互独立。 能运用独立事件乘法公式求解简单实际问题，分清互斥事件（加法）与独立事件（乘法）的区别，会综合解题。 重点：相互独立事件概念、乘法公式应用 难点：区分互斥与独立，独立事件的判定与综合计算 甲、乙两名同学放假各自随机选择一天去敬老院做志愿者，三天假期：第一天、第二天、第三天。 记事件 A：甲选择第一天； 记事件 B：乙选择第一天。 情境问题 提问：甲选哪一天，会不会影响乙的选择？直观上看事件 A 发生，是否改变 B 发生的可能性？ 分别计算：P(A)、P(B)、甲乙同时都选第一天的概率 P(AB)。 观察三个数值，P(AB) 与 P(A)P(B) 有什么数量关系？ 生活中很多两件事发生互不干扰，这种事件关系就是本节课要学习的——随机事件的独立性，从直观感受上升到严格的数学定义。 P(A)=，P(B)=，P(AB)=，得到 P(AB)=P(A)P(B)。 目标一：两个事件独立性概念 尝试与发现 知识讲解 互动探究 新课引入 五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天。记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天。 (1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？ (2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系。 如果用(i,j)表示甲选的是第i天，乙选的是第j天，则样本空间可以记为 Ω={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} 共包含6个样本点。 又因为 A={(1,1),(1,2)}， B={(1,1),(2,1),(3,1)}， AB={(1,1)} 因此，可以算出 P(A)=，P(B)=，P(AB)=。 5 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，当时，就称事件与相互独立（简称独立）。事件与相互独立的直观理解：事件是否发生不会影响事件发生的概率，事件是否发生也不会影响事件发生的概率 性质 若事件与相互独立，则与，与，与也相互独立。 证明：①对于与，因为，而且与互斥， 所以 ， 所以 。 由事件的独立性定义，知与相互独立。 6 说明 知识讲解 互动探究 新课引入 ②对于与，因为，而且与互斥， 所以 ， 所以 。 由事件的独立性定义，知与相互独立。 ③对于与，因为，而且与互斥， 所以 ， 所以 。 由事件的独立性定义，知与相互独立。 7 推广 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”。 多个事件独立具有与两个事件独立类似的性质。例如，若相互独立，则也相互独立等。 (2)如果事件相互独立，那么这个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即，并且上式中任意多个事件换成其对立事件后等式仍成立，如 。 8 下列事件A,B是相互独立事件的是( )。 A. 把一枚硬币掷两次，事件A=“第一次为正面”，事件B=“第二次为反面” B. 一个不透明袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球” C. 掷一枚骰子，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为偶数” D. 事件A为“甲灯泡能用1 000 h”，事件B为“甲灯泡能用2 000 h” 对点体验 解 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，事件是否发生不会影响事件发生的概率，事件是否发生也不会影响事件发生的概率，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然事件与事件不相互独立；对于C，为互斥事件；D中事件受事件的影响。 互斥事件与相互独立事件的辨析 知识讲解 互动探究 新课引入   相互独立事件 互斥事件 条件 事件(或)是否发生对事件(或)发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件 符号 相互独立事件同时发生，记作 与互斥记作（或） 计算公式 若与互斥，则 10 给出下列四对事件： (1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”。 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”。 (3)袋中有3个红球，2个白球，采取不放回式取球，事件:第一次取到白球，事件:第二次取到白球。 (4)甲、乙两人各射击1次，事件:至少有1人射中目标，事件:甲射中目标，但乙没有射中目标。 其中既不是互斥事件，又不是相互独立事件的为______。 对点体验 解 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件。 给出下列四对事件： (1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”。 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”。 (3)袋中有3个红球，2个白球，采取不放回式取球，事件:第一次取到白球，事件:第二次取到白球。 (4)甲、乙两人各射击1次，事件:至少有1人射中目标，事件:甲射中目标，但乙没有射中目标。 其中既不是互斥事件，又不是相互独立事件的为______。 对点体验 (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为。可见前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，又两件事可以同时发生，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件。 给出下列四对事件： (1)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”。 (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”。 (3)袋中有3个红球，2个白球，采取不放回式取球，事件:第一次取到白球，事件:第二次取到白球。 (4)甲、乙两人各射击1次，事件:至少有1人射中目标，事件:甲射中目标，但乙没有射中目标。 其中既不是互斥事件，又不是相互独立事件的为______。 对点体验 (3)由于是采取不放回式取球，若发生，则，若不发生，则，可见是否发生，对事件发生的概率有影响，故不相互独立，又与可以同时发生，故与也不是互斥事件。 目标二：相互独立事件概率求法 特别提醒 利用互斥事件求相互独立事件的概率 (1)用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： ①用恰当的字母表示题中有关事件； ②根据题设条件，分析事件间的关系； ③将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须相互独立)； ④利用乘法公式计算概率。 (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面计算较繁琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算。 (3)利用相互独立事件求概率时，应注意解决此类问题的关键是将事件看成若干个事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分以及对立 特别提醒 利用对立事件求相互独立事件的概率 (1)由于当事件与相互独立时，，因此式子表示相互独立事件中至少有一个不发生的概率，它在概率的计算中经常要用到。 对于个随机事件，有，这个公式叫作概率的和与积的互补公式。 (2)在求事件的概率时，有时会遇到求“至少……”或“至多……”等问题，如果从正面考察这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但“至少……”或“至多……”这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出。此时可逆向思考，先求其对立事件的概率，再利 图4 用互为对立事件的概率之和为1求得原来事件的概率。这是“正难则反”思想的具体体现。 特别提醒 事件 表示 互斥 相互独立 中至少有一个发生的事件 都发生的事件 都不发生的事件 恰有一个发生的事件 中至多有一个发生的事件 破译密码 例1 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译出密码的概率为0.8，乙破译出密码的概率为0.7。记事件A：甲破译出密码，事件B：乙破译出密码。 (1)求甲、乙二人都破译出密码的概率； (2)求恰有一人破译出密码的概率； (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下： 解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译出密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B，所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5。请指出小明同学错误的原因，并给出正确的解答过程。 典例分析 牛刀小试 答 (1)由题意可知，且事件相互独立，事件“甲、乙二人都破译出密码”可表示为，所以。 (2)事件“恰有一人破译出密码”可表示为，且互斥，所以。 破译密码 例2 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______。 典例分析 牛刀小试 错解 错因分析 求解本题时易误认为恰有两人破译出密码的概率为。错因在于事件表示“甲、乙两人破译出密码，丙可能破译出密码也可能未破译出密码”，即并非“恰有两人破译出密码”这一事件。 破译密码 例2 甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别是，且他们是否破译出密码互不影响，则恰有两人破译出密码的概率为______。 典例分析 牛刀小试 正解 设甲、乙、丙三人破译出密码的事件分别是，由题意，相互独立，所以恰有两人破译出密码的事件为， 故。 围棋 例3 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为。假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢。 (1)求第四盘棋甲赢的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率。 典例分析 牛刀小试 答 (1)第四盘棋甲赢分两种情况。 ①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率；②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率。设事件为“第四盘棋甲赢”，则。 围棋 例3 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为。假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢。 (1)求第四盘棋甲赢的概率； (2)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率。 典例分析 牛刀小试 (2)若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况。 ①甲第三盘棋赢，此时的概率；②甲第四盘棋赢，此时的概率；③甲第五盘棋赢，此时的概率。设事件为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，则。 投篮 例4 甲投篮命中率为0.8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是______。 典例分析 牛刀小试 解析 设事件“甲第次投篮命中”，“乙第次投篮命中”(其中)，则甲恰有2次命中为事件，乙恰有2次命中为事件，则，同理，故。 摸球 例5 甲、乙两个不透明的袋子中有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球，现分别从甲、乙两袋中各抽取1个球，则取出的两个球都是红球的概率为______。 典例分析 牛刀小试 解 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球”两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为，从乙袋中取出红球的概率为，所以所求事件的概率为。 答题 例6 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且每道题他猜对的概率均为。 (1)求该同学三道题都猜对的概率； 典例分析 牛刀小试 记事件：该同学第题猜对了，其中，则 三道题都猜对可以表示为，又因为相互独立，因此 答题 例6 某同学在参加一次考试时，有三道选择题不会，每道选择题他都随机选择了一个答案，且每道题他猜对的概率均为。 (2)求该同学至少猜对一道题的概率。 典例分析 牛刀小试 “至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”，后者可以表示为，所以 因此所求概率为 目标三：针对训练 举一反三 1.掷一枚硬币，记事件表示“出现正面”，事件表示“出现反面”，则( ) A.与相互独立 B. C.与不相互独立 D. 解析： 由题意得，，为不可能事件，所以，故与不相互独立，，，不正确. 故选：C. 举一反三 2.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为( ) A.0.16 B.0.36 C.0.48 D.0.52 解析： 只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为. 举一反三 3.“事件，相互独立”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 由，结合公式，可得，即事件互斥，事件相互独立的定义为. 充分性：若，相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即，互斥，无法推出，相互独立. 综上，“事件，相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 举一反三 4.甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.7，两人做题互不影响，下列说法错误的是( ) A.两人都做对的概率是0.56 B.恰好有一人做对的概率是0.38 C.两人都做错的概率是0.44 D.至少有一人做对的概率是0.94 解析： 设事件表示“甲做对”，事件表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确. 举一反三 5.甲、乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.6，乙获奖的概率为0.4，甲、乙两人同时获奖的概率为0.24，则甲、乙两人恰有一人获奖的概率为( ) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.52 解析： 记“甲获奖”为事件，“乙获奖”为事件，易知，且，显然，即可得事件与事件相互独立， 因此甲、乙两人恰有一人获奖的概率为： 故选：D. 目标四：小结 学海拾贝 1. 核心概念 相互独立事件：若 P(AB)=P(A)P(B)，称事件 A 与 B 相互独立；直观含义：一个事件发生与否，不改变另一事件发生的概率。 重要性质：若 A,B 相互独立，则 A 与 、 与 B、 与 均相互独立。 学海拾贝 2. 易混辨析（必强调） 事件关系 本质含义 概率公式 互斥事件 不能同时发生 （加法） 相互独立事件 发生互不影响 （乘法） 注意：独立 ≠ 互斥，一般情况下，独立和互斥不能同时成立。 学海拾贝 3. 解题方法 判断独立：① 实际意义直接判断；② 用公式 P(AB)=P(A)P(B) 验证。 同时发生用乘法；至少有一个发生可转化对立事件简化运算。 复杂概率问题，先把事件拆分为互斥、独立的基本事件，再选用加法、乘法公式计算。 学海拾贝 4. 易错警示 •看到"同时发生"不要直接用乘法，必须先确认事件相互独立； •对立事件、互斥事件、独立事件三者定义不要混淆； •多个独立事件同时发生，概率等于各个事件概率相乘。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $