5.3.3古典概型（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第五章 统计与概率 5.3.3 古典概型 5.3概率 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解基本事件、样本点的概念；掌握古典概型的两个核心特征：有限性、等可能性。 掌握古典概型概率公式：。 会用列举法（列表、树状图）计数样本点，能利用公式求解简单古典概型问题，会结合互斥、对立事件简化计算。 重点：古典概型的特征、概率计算公式及简单应用。 难点：准确计数样本点，区分有序与无序，判断是否满足"等可能性 问题 1：抛掷一枚质地均匀的硬币，有哪些可能结果？每个结果发生的可能性大小一样吗？写出样本空间。 试验探究 结果——正面朝上、反面朝上；Ω={"正","反"}，两种结果可能性相等。 Ω={1,2,3,4,5,6}，共 6 个结果，每个点数等可能。 问题 2：抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上点数，样本空间是什么？每个点数出现机会相同吗？ 上面两个随机试验，结果都是有限个，而且每一个结果发生的可能性相等。现实中很多抽奖、抽签问题都属于这类试验，这类模型就是本节课学习的古典概型。 目标一：古典概型概念 实例探究 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)抛一枚均匀的硬币，观察落地后哪一面朝上，这个试验的样本空间可以记为 Ω_1={正面向上，反面向上}， 记事件A：正面向上，你认为P(A)应该是多少？理由是什么？ (2)掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数. 这个试验的样本空间可记为 Ω_2={1，2，3，4，5，6}， 记事件B：出现的点数不超过4，你认为P(B)应该是多少？理由是什么？ (1)抛硬币试验中，因为样本空间含有2个样本点，而且因为硬币是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件A包含1个样本点，因此： P(A)=； (2)掷均匀骰子的试验中，因为样本空间共有6个样本点，而且因为骰子是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件B包含4个样本点，因此 P(B)=. 5 古典概型的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型. 古典概型的计算公式 古典概型中，事件发生的概率可以通过下述方式得到： 假设样本空间包含n个样本点，由古典概型的定义可知，每个基本事件发生的可能性大小都相等，又因为必然事件发生的概率为1，因此互斥事件的概率加法公式可知每个基本事件发生的概率为，此时，如果事件C包含有m个样本点，则再由互斥事件的概率加法公式可知： P(C)= 6 古典概型的特点 知识讲解 互动探究 新课引入 一个随机试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. 因此，并不是所有的随机试验都能归结为古典概型. 例如：抛一个瓶盖，观察落地后的状态，不是古典概型； 在一定条件下，种下一粒种子，观察种子是否发芽也不能归结为古典概型. 7 下列试验中是古典概型的是（ ）。 A.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C.向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D.射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 对点体验 解 A项这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型；B项具备有限性和等可能性；C项，点可以落在圆面内任一位置，不具备有限性；D项，因为10环，9环，…，面积各不相同，故命中的概率不同，不具备等可能性。 （多选）掷两枚均匀的硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，则下列判断中，正确的是（ ）。 A. B. C. D. 对点体验 解 掷两枚均匀的硬币，所有可能结果为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4个。所以出现“两个正面”的概率为；出现“两个反面”的概率为；出现“一正一反”的概率为。故A错误，B,C,D正确。 某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一(1)班先抽，求他们抽到的出场序号小于4的概率. 对点体验 考虑高一(1)班从10个出场序号签中抽一个签的试验，其样本空间可记为： ， 共包含10个样本点. 记A：抽到的出场序号小于4，则不难看出： ， A包含的样本点个数为3，所以. 按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率. 对点体验 解法一：这个试验的样本空间可记为 共包含4个样本点. 记A：至少出现一个正面，则 A包含的样本点个数为3，所以. 解法二： 因为，所以，从而 古典概型的性质 假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则： (1)由与，可知； (2)因为中包含的样本点个数为，所以 ， 即； (3)若事件B包含有k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而 。 目标二：典型例题 摸球 例1 一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为，4个黑球记为，从中一次摸出2个球。 (1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率。 典例分析 牛刀小试 答 (1)这个试验的样本空间 ，共15个样本点。 摸球 例1 一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球记为，4个黑球记为，从中一次摸出2个球。 (1)写出这个试验的样本空间及样本点总数； (2)求摸出的2个球颜色不同的概率。 典例分析 牛刀小试 (2)因为(1)中的15个样本点出现的可能性是相等的，事件“摸出的2个球颜色不同”包含的样本点有 ，共8个，故所求事件的概率。 答题模板 古典概型的概率求解步骤 第一步 阅读题目，判断试验是否为古典概型 第二步 计算所有可能的样本点个数n 第三步 计算所求事件C包含的样本点个数m 第四步 计算所求事件C的概率，P(C)= 正品与次品 例2 从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品恰有一件次品的概率. 典例分析 牛刀小试 按照题意，取产品的过程可以用如图所示的树形图直观表示. （树形图：第一次取为，第二次取为、；第一次取为，第二次取为、；第一次取为，第二次取为、） 因此样本空间可记为 共包含6个样本点. 正品与次品 例2 从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品恰有一件次品的概率. 典例分析 牛刀小试 用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则 . A包含的样本点个数为4，所以. 对于例2进行变形：如果把条件“每次取出后不放回”换成“每次取出后放回”，其他不变，求取出的两件产品恰有一件次品的概率？ 此时树形图将有所变化，且样本空间共包含9个样本点.而事件 ， A包含的样本点个数为4，所以. 游戏 例3 甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求： (1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)甲不输的概率. 典例分析 牛刀小试 因为甲有3种不同的出拳方法，乙同样也有3种不同的出拳方法，因此一次出拳共有3×3=9种不同的可能. 因为都是随机出拳，所以可以看成古典概型，而且样本空间中共包含9个样本点，样本空间可以用如图直观表示. 游戏 例3 甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏，假设两人都随机出拳，求： (1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)甲不输的概率. 典例分析 牛刀小试 因为锤子赢剪刀，剪刀赢布，布赢锤子， 因此若记事件A为“平局”，B为“甲赢”， 则： (1)事件A包含3个样本点（图中的△），因此P(A)=3/9=1/3； (2)事件B包含3个样本点（图中的※），因此P(B)==； (3)因为A+B表示“甲不输”，且A与B互斥， 因此所求概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)= 游戏 例4 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，，P(B)，P(AB). 典例分析 牛刀小试 用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为 ， 样本空间可如图表示，则样本空间中共包含36个样本点. 不难看出， ， A包含6个样本点（即橙色框中的点），因此. 由对立事件概率之间的关系可知 . 类似地，可以看出， 游戏 例4 先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，求P(A)，，P(B)，P(AB). 典例分析 牛刀小试 ，图中绿色框中的点可以代表事件B，B包含11个样本点.从而. 不难知道，，因此 . 生物学 例5 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的. 生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因(记为b)；基因总是成对出现(如BB，bB，Bb，bb)，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮(也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”)；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的. 有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率. 典例分析 牛刀小试 我们用连着写的两个字母来表示孩子的成对的基因，其中第一个字母表示父亲提供的基因，第二个字母表示母亲提供的基因. 由右图所示的树形图可知，样本空间中共含有4个样本点，即 Ω={BB，bB，Bb，bb}. 孩子要是单眼皮，成对的基因只能是bb，因此所求概率为. 生物学 例5 人的眼皮有单眼皮与双眼皮之分，这是由对应的基因决定的. 生物学上已经证明：决定眼皮单双的基因有两种，一种是显性基因(记为B)，另一种是隐性基因(记为b)；基因总是成对出现(如BB，bB，Bb，bb)，而成对的基因中，只要出现了显性基因，那么这个人就一定是双眼皮(也就是说，“单眼皮”的充要条件是“成对的基因是bb”)；如果不发生基因突变的话，成对的基因中，一个来自父亲，另一个来自母亲，但父母亲提供基因时都是随机的. 有一对夫妻，两人成对的基因都是Bb，不考虑基因突变，求他们的孩子是单眼皮的概率. 典例分析 牛刀小试 思考一下：样本空间和样本点是可以随意选取吗？ 例5中，若我们考虑的样本空间为Ω={BB，Bb，bb}，那么事件“他们的孩子是单眼皮”只包含Ω中的一个样本点bb，但由此并不能得出该事件发生的概率为，因为样本空间Ω={BB，Bb，bb}中的各个基本事件不具有等可能性. 因此，用古典概型求概率时，要选择合适的方式表示样本点及样本空间，以使得基本事件具有等可能性，并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集. 目标三 ：针对训练 举一反三 1.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是() A. B. C. D. 解析：记2名男生为，2名女生为1,2，任意选出两人的样本空间为 ，共6个样本点，设选出的两人恰好是两名女生为事件A， 则，共1个样本点，故选出的两人恰好是两名女生的概率是. 故选：B. 举一反三 2.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为() A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 解析：设2名男同学为，，3名女同学为，，，从以上5名同学中任选2人总共有，，，，，，，，，，共10种可能，选中的2人都是女同学的情况有，，，共3种可能，则选中的2人都是女同学的概率.故选D. 举一反三 3.下列关于古典概型的说法中正确的是() ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③每个基本事件出现的可能性相等； ④基本事件的总数为，随机事件A若包含个基本事件，则. A.②④ B.③④ C.①④ D.①③④ 解析：在①中，由随机试验的定义知，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，故①正确； 在②中，由随机试验的定义知，每个基本事件出现的可能性相等，故②错误； 在③中，由随机试验的定义知，每个基本事件出现的可能性相等，故③正确； 在④中，基本事件总数为，随机事件A若包含个基本事件，则由古典概型及其概率计算公式知，故④正确.故选D. 举一反三 4.下列是古典概型的是() A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C.从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止 解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型； B项中的样本点个数是无限的，故B不是古典概型； C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型； D项中样本点个数不是有限个，故D不是古典概型.故选C. 举一反三 5.已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为() A. B. C. D. 解析：由数据1，2，3，4，的平均数， 可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种，这2个数字之积小于5的结果有：，共4种，所以所求概率为 .故选：B 目标四：小结 学海拾贝 1. 基本事件（样本点）：一次试验的每一个可能结果。 2. 古典概型两个必要条件（缺一不可）： ￮有限性：样本空间中样本点总数有限； ￮等可能性：每一个样本点发生的可能性相等。 只要缺少其中一条，就不是古典概型。 学海拾贝 概率公式：若试验为古典概型，则 P(A)= 解题一般步骤： ① 判断：是否为古典概型； ② 计数：算出样本空间总样本点 n，事件 A 包含样本点 k（列举、树状图、列表）； ③ 代入公式求 P(A)； ④ 也可以借助互斥事件、对立事件概率公式简化运算。 学海拾贝 易错点警示 使用公式前提：必须同时满足有限性、等可能性； 计数时注意区分有序、无序，防止多算、漏算样本点； 概率是比值，结果 0⩽P(A)⩽1。 思想方法 本节课从抛硬币、掷骰子实例抽象出概率模型，体现数学建模思想；用列举完成计数，是解决古典概型最基础的手段。 课后思考：如果抛掷一枚不均匀硬币，还能用古典概型公式计算概率吗？为什么？ 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $