5.3.2事件之间的关系与运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第五章 统计与概率 5.3.2 事件之间的关系与运算 5.3概率 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解事件的包含、相等关系；理解并事件（和事件）、交事件（积事件）的含义，会用符号表示事件运算。 掌握互斥事件、对立事件的概念，分清二者区别与联系，记住对立事件概率公式 P( )=1-P(A)。 能把复杂随机事件拆解、表示为简单事件的并、交运算，会借助韦恩图分析事件关系。 重点：用平均变化率比较增长速度；三类函数增长特点。 难点：区分互斥与对立；复杂事件用简单事件运算表示。 上一节课我们学习了样本空间与随机事件。做掷一枚骰子的试验，样本空间 Ω={1,2,3,4,5,6}，我们定义几个事件： 掷骰子试验 事件 A：掷出点数为 2； 事件 B：掷出偶数点 {2,4,6}； 事件 C：掷出点数大于 4：{5,6}。 提问： ① 如果事件 A 发生，事件 B 会不会一定发生？ ② "点数是偶数或大于4"这个新事件，怎么用 B、C 描述？ ③ "点数既是偶数又大于4"又是什么事件？ 我们发现：不同随机事件之间存在联系，复杂事件可以由简单事件组合得到。今天就来研究事件之间的关系与运算。 目标一：事件之间的关系 事例分析 知识讲解 互动探究 新课引入 各事件的实际意义如下： 事件 E={1}：老师选择第1小组的成果进行展示。 事件 F={1,2}：老师选择第1小组或第2小组的成果进行展示。 事件 G={1,3}：老师选择第1小组或第3小组的成果进行展示。 事件 H={1,2,3}：老师选择第1小组、第2小组或第3小组的成果进行展示。 事件 I={4,5}：老师选择第4小组或第5小组的成果进行展示。 某班数学建模课分成5个小组(编号为1，2，3，4，5)采用合作学习的方式进行，课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示. 这一试验的样本空间可记为 Ω={1，2，3，4，5}， 记事件E={1}，F={1，2}，G={1，3}，H={1，2，3}，I={4，5}. 说出每一事件的实际意义，并尝试理解上述各事件之间的关系. 根据集合论中事件包含与相等的定义，我们可以得出以下关系： 5 包含关系 知识讲解 互动探究 新课引入 事件包含的性质 如果A⊆B，根据定义可知，事件A发生的可能性不比事件B发生的可能性大，直观上我们就能得到 P(A)≤P(B). 事件的包含的概念 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B(或B⊇A).这一关系可用图表示，如右图. A⊆B可用充分必要的语言表述为： A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件 6 事件的相等 知识讲解 互动探究 新课引入 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A=B. 不难看出 A=B ⇔ A⊆B且B⊆A. A=B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充要条件. 当A=B时，应该有P(A)=P(B). 7 解读 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)①不可能事件记作∅,任何事件都包含不可能事件,即C⊇∅(C为任一事件)。 ②事件A也包含于事件A,即A⊆A。 ③事件B包含事件A,其含义就是事件A发生,事件B一定发生,而事件B发生,事件A不一定发生。 (2)①两个相等事件总是同时发生或同时不发生。 ②所谓事件A=B,就是说事件A,B是同一事件。 ③在验证两个事件是否相等时,常用到相等事件的定义。 ④A=B⇔A⊆B且B⊆A。A=B也可用充分必要的语言表述:A发生是B发生的充要条件。 ⑤如果两个事件相等,那么它们的样本点完全相同。 8 在掷骰子试验中,可以得到以下事件: A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}。 请判断下列两个事件的关系: (1)B________H;(2)D________J; (3)E________I;(4)A________G。 对点体验 解 因为出现的点数小于5包含出现1点、出现2点、出现3点、出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;因为出现的点数不大于1,也就是只能出现1点,所以A=G。 答 (1)⊆ (2)⊆ (3)⊆ (4)= 掷一枚质地均匀的硬币三次,得到如下三个事件:A为“3次正面向上”,B为“只有1次正面向上”,C为“至少有1次正面向上”,试判断事件A,B,C之间的包含关系。 对点体验 答 当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定发生,因此有A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发生时,事件A一定不发生,因此事件A与事件B之间不存在包含关系。 综上,事件A,B,C之间的包含关系为: A⊆C,B⊆C。 目标二：事件的运算 事件的和（并） 知识讲解 互动探究 新课引入 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并）.记作A+B(或A∪B). 事件A与B的和可以用如图的阴影部分表示. 事件A+B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生. 前述情境与问题中，H=F+G. 事件的和（并）的性质 从事件包含关系的角度，A⊆(A+B)，B⊆(A+B)，因此 P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B)， 而且，直观上可知P(A+B)与P(A)+P(B)的大小关系为： P(A+B)≤P(A)+P(B). 12 事件的积（交） 知识讲解 互动探究 新课引入 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积（或交）.记作AB(或A∩B). 事件A与B的积可以用如图的阴影部分表示. 事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B中都发生. 前述情境与问题中，E=FG. 事件的积（交）的性质 直观上可知P(AB)与P(A)的大小关系，以及P(AB)与P(B)的大小关系： P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B). 事件的和、并可以类似地推广到有限多个的情形. 13 （多选）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品。从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：“恰有1件次品”； 事件B：“至少有2件次品”； 事件C：“至少有1件次品”； 事件D：“至多有1件次品”。 则下列结论中正确的是（ ）。 A. A+B=C B. D+B是必然事件 C. AB=C D.AD=C 对点体验 解 A+B表示的事件为“至少有1件次品”，即事件C，所以A正确； D+B表示的事件为“至少有2件次品”或“至多有1件次品”，包括了所有情况，所以B正确； AB=∅，C不正确； AD表示事件为“恰有1件次品”，即事件A，所以D不正确。 答 AB 目标三：互斥与对立 互斥的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB=∅(或A∩B=∅). 事件A与B的关系可以下图表示. 特殊的互斥事件：任意两个基本事件都互斥；∅与任意事件互斥. 16 互斥事件的加法 知识讲解 互动探究 新课引入 互斥事件的加法的概念 直观上可以看出，如果事件A与B互斥(即AB=∅)时，有 P(A+B)=P(A)+P(B)， 这称为互斥事件的概率加法公式. 多个互斥事件的加法的概念 一般地，如果A₁，A₂，…，Aₙ是两两互斥的事件，则 P(A₁+A₂+…+Aₙ)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(Aₙ). 前面的情境与问题中的互斥的事件有E与I，F与I，G与I，H与I. 17 对立事件的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作Ā，用集合的观点来看，Ā是A在Ω中的补集，如图所示. 如果B=Ā，则称A与B相互对立. 相互对立的性质 每次随机试验，在事件A与Ā中，有一个发生，而且只有一个发生.注意到必然事件的概率为1，因此 P(A)+P(Ā)=1 前面的情境与问题中，相互对立的事件为H与I. 18 互斥互对立关联 (1)如果A与B相互对立，则A与B互斥，但反之不成立，即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件。 (2)对立事件是特殊的互斥事件，若事件A，B是对立事件，则A+B是必然事件 在一次随机试验中，事件A，B，C彼此互斥，它们的和为必然事件，则下列说法正确的是（ ）。 A与C是互斥事件，也是对立事件 B. A+B与B是互斥事件，也是对立事件 C. A+C与B是互斥事件，但不是对立事件 D. A与B+C是互斥事件，也是对立事件 对点体验 解 由于A，B，C彼此互斥，且A+B+C是必然事件，所以A与C是互斥事件，但不是对立事件，A错误；A+B与B可以同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；任何一个事件与其余两个事件的和事件必然是对立事件，故C错误，D正确。故选D。 答 D 如果事件M与N是互斥事件，那么（ ）。 A. M+N是必然事件 B. 与一定是互斥事件 C. 与一定不是互斥事件 D. +是必然事件 对点体验 解 因为M,N为互斥事件,则有如图所示两种情况: 无论哪种情况,都有+是必然事件。故选D。 目标四：事件综合运算 事件混合运算 知识讲解 互动探究 新课引入 问题1:事件 B+A所表示的实际意义是什么? 答案:事件A与事件B中恰有一个发生。 问题2:若A,B互斥但不对立,那么①与也互斥吗？②与B或A与呢？③B与A互斥吗? 答案:①从集合的Venn图可以看出当A,B互斥时,有,故与不互斥。②因为,即,,故与,与都不互斥。③由②知,,因为A与B互斥,故与互斥。 23 事件混合运算 知识讲解 互动探究 新课引入 问题3:若A,B,C为三个事件,那么下列式子的意义是什么? ①;②。 答案:①式的意义是A,B,C三个事件都不发生。 ②式的意义是A,B,C三个事件恰有一个发生，而式子的意义则为A,B,C三个事件恰有一个不发生。 24 中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为______。 对点体验 解 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为。 在一次宠物狗的智力测试中,已知“小白”得分90以上(不含90分)的概率为0.3,“小白”得分不高于60的概率为0.4,记事件A=“小白得分高于90”,事件B=“小白得分不高于60”。求下列事件的概率:(1);(2);(3)。 对点体验 答 由题知,A,B互斥,故。 (1)表示事件A与B均不发生,所以。 (2)由Venn图知。 (3)表示A,B恰有一个发生,因为与互斥,,,所以。 已知数学考试中,李明成绩高于90分的概率为0.3,不低于60分且不高于90分的概率为0.5,求: (1)李明成绩不低于60分的概率; (2)李明成绩低于60分的概率. 对点体验 记事件A:李明成绩高于90分,B:李明成绩不低于60分且不高于90分,则不难看出A与B互斥,且,. (1)因为“李明成绩不低于60分”可表示为,由A与B互斥可知 . (2)因为“李明成绩低于60分”可表示为,因此 任意给定两个事件A,B,考虑,,,之间的等量关系,得出一般的关系式. (1)对于事件A,B,有,只有当事件A,B互斥时,等号才成立; (2)A,B不互斥时,且. (3)一般事件的概率加法公式,即,当A,B互斥时,,,可见互斥事件的概率加法公式满足一般事件的概率加法公式. 目标五：典型例题 判断事件之间关系 例1 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”。判断下列每组事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件: (1)A与C;(2)B与D;(3)B与E;(4)A与E。 典例分析 牛刀小试 答 (1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件。 (2)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件。 (3)由于事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件。 (4)事件A“只订甲报”与事件E“一种报纸也不订”不可能同时发生,故A与E是互斥事件。但A与E不是必有一个发生,比如“只订乙报”,故A与E不是对立事件。 概率运算 例2 黄种人中各种血型的人所占的比例如下 已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何血型的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问： (1)任找一个黄种人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个黄种人，其血不能输给小明的概率是多少？ 典例分析 牛刀小试 答 对任一黄种人，记其血型为A，B，AB，O型分别为事件A’，B’，C’，D’，这四个事件是彼此互斥的。 (1)由已知，有，，，。因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“其血可以输给小明”为事件。根据互斥事件的概率加法公式，有。即任找一个黄种人，其血可以输给小明的概率为0.64。 (2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“其血不能输给小明”为事件，。即任找一个黄种人，其血不能输给小明的概率为0.36 概率运算 例3 据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下表所示求：(1)等候人数不超过1的概率； (2)等候人数大于或等于4的概率。 典例分析 牛刀小试 解 等候人数不超过1包括等候人数为0和1两种情况；等候人数大于或等于4包括等候人数为4和等候人数大于4（即大于或等于5）两种情况。 答 设A，B，C，D分别表示等候人数0，1，4，大于或等于5的事件，则A，B，C，D互斥。 (1)设事件E表示“等候人数不超过1”，则，故，即等候人数不超过1的概率为0.19。 (2)设事件F表示“等候人数大于或等于4”，则，故，即等候人数大于或等于4的概率为0.16。 概率运算 例4 某医院要派医生下乡义诊，派出的医生人数及其概率如表所示 (1)求至多派出2名医生的概率； (2)求至少派出2名医生的概率。 典例分析 牛刀小试 答 设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且，，，，，。 (1)至多派出2名医生的概率为。 (2)方法一：至少派出2名医生的概率为。 方法二：至少派出2名医生的概率为。  【思路分析】准确表示事件⇒分析事件之间的关系⇒计算概率。 目标六：针对训练 举一反三 1.打靶3次,事件表示“击中发”,其中.那么表示() A.全部击中 B.至少击中1发 C.至少击中2发 D.以上均不正确 解析：所表示的含义是，，这三个事件中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. 举一反三 2.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件A表示“向上的点数为3”，事件B表示“向上的点数为6”，事件C表示“向上的点数为3或6”，则有() A. B. C. D. 解析：若事件A表示“向上的点数为3”发生，则事件B表示“向上的点数为6”一定不发生，故选项A不正确； 事件C“向上的点数为3或6”发生，事件B“向上的点数为6”不一定发生，但事件B“向上的点数为6”发生，事件C“向上的点数为3或6”一定发生，所以，故选项B不正确； 事件A和事件B不能同时发生，，故选项C不正确； 事件A“向上的点数为3”或事件B“向上的点数为6”发生，则事件C“向上的点数为3或6”发生，故选项D正确.选D. 举一反三 3.某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：连续射击两次，基本事件有A:“两次都中靶”，B:“两次都没中靶”，C:“第一次中靶且第二次没中靶”，D:“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.故选：D. 举一反三 4.在投掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件发生的概率是() A. B. C. D. 解析：易知事件A与事件互斥，且，，所以.故选C. 举一反三 5.随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件A，记“向上的点数之差为奇数”为事件B，则() A. B. C.A，B互斥但不对立 D.A，B对立 解析：A包括：两枚骰子都出现偶数点，其和是偶数；两枚骰子都出现奇数点，其和是偶数； B包括：一枚骰子出现偶数点，另一枚骰子出现奇数点，其差是奇数；故事件A、B对立.故选：D.   目标七：小结 学海拾贝 1. 事件的两种关系 包含：若 A 发生必导致 B 发生，则 A⊆B；若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。 2. 事件两种运算 并事件（和事件）A∪B（A+B）：A、B至少有一个发生； 交事件（积事件）A∩B（AB）：A、B同时发生。 学海拾贝 3. 互斥与对立（高频易错） 互斥：A∩B=∅，A、B不能同时发生，但可以都不发生； 对立：A∩B=∅ 且 A∪B=Ω，二者有且仅有一个发生； 是 A 的对立事件，P()=1-P(A)。 结论：对立一定互斥，互斥不一定对立。 4.思想方法 1. 类比思想：事件 ↔ 集合；样本空间 ↔ 全集；互斥 ↔ 交集为空集；对立 ↔ 补集。 2. 工具：韦恩图直观刻画事件之间关系，把复杂事件拆成简单事件的并、交。 学海拾贝 后续铺垫 下节课我们将利用互斥事件，学习互斥事件的概率加法公式，实现由简单事件概率求复杂事件概率。 易错提醒： •"至少一个发生"是并事件，不是交事件； •互斥只要求不同时发生；对立还要保证二者必有一个发生。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $