5.1.4⽤样本估计总体（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第五章 统计与概率 5.1.4 ⽤样本估计总体 5.1统计 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解用样本估计总体的统计思想，知道合理抽样、恰当样本容量是估计可靠的前提，认识估计存在随机误差。 会用样本平均数、样本方差（标准差）估计总体平均数、总体方差（标准差）；掌握分层随机抽样下总体平均数、方差的计算。 能结合频率分布直方图提取数字特征，用来估计总体分布与数字特征，会解释统计结果。 重点：用样本数字特征估计总体数字特征；分层抽样的总体均值计算。 难点：理解样本估计总体的随机性与误差，对统计结果做出合理解释。 同学们，如果想要了解全校高一全体同学的平均身高，我们有两种做法：第一种，把每一位同学都测一遍，算出全部人的平均身高；第二种，抽取一部分同学测身高，用这一部分同学的平均身高去推测全校同学的平均身高。 问题情境 提问：1.如果总体数量很大，普查会有什么缺点？（费时、费力，有些试验具有破坏性，不能普查） 2.抽取一部分人的身高，一定和真实全校平均身高一模一样吗？ 很多时候我们无法或者不适合做普查，只能抽取样本，用样本的信息去推断总体的情况，这就是本节课《用样本估计总体》要研究的内容。 目标一：用样本的数字特征估计总体的数字特征 用简单随机抽样的样本估计 知识讲解 互动探究 新课引入 以下是某高校高一年级98位学生的身高(单位：cm)： 161 168 166 168 152 152 163 164 170 167 143 166 153 165 168 167 163 157 160 159 153 169 172 175 165 161 158 172 147 164 171 149 158 155 169 150 173 170 162 157 152 180 178 158 162 164 172 165 165 155 163 178 159 168 161 151 168 168 165 158 162 165 163 166 174 163 163 175 165 160 161 177 163 170 155 156 161 169 167 151 156 158 165 179 161 176 162 168 153 169 155 165 163 166 172 160 173 164 已知这组数的总体平均数为163.5，总体方差为56.3． 用简单随机抽样的方法从总体中抽取容量为10的样本3次，分别计算样本平均数与样本方差，并与总体对应的值进行比较。 5 知识讲解 互动探究 新课引入 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大． 例如：如果用简单随机抽样抽得的序号分别为90，35，63，68，66，9，30，56，50，49，则对应的样本为 169，169，163，175，163，170，164，151，155，165， 容易算出，样本均值为164.4，样本方差为45.84，它们与总体对应的值差别都不大． 结论： 在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等． 另外，有时候总体的数字特征不可能获得，比如质监部门想知道市场上节能灯的平均使用寿命，不可能把所有节能灯都拿来检测，此时只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征． 用简单随机抽样的样本估计 6 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 根据前面的例子，尝试总结一下用样本估计总体的缺点？ 需要强调的是，估计一般是有误差的.例如：如果总体平均数记为μ，样本均值记为，一般来说，都有可能.但是，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大. 一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可. 用简单随机抽样的样本估计 7 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，分别从这两台机床某天加工的零件中随机抽取6件作为样品进行测量，测得数据如下。 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断这一天哪台机床加工零件的质量更稳定。 对点体验 答 (1) x̄甲 = × (99 + 100 + 98 + 100 + 100 + 103) = 100，x̄乙 = × (99 + 100 + 102 + 99 + 100 + 100) = 100。 s²甲 = × [(99 - 100)² + (100 - 100)² + (98 - 100)² + (100 - 100)² + (100 - 100)² + (103 - 100)²] = 7/3， s²乙 = × [(99 - 100)² + (100 - 100)² + (102 - 100)² + (99 - 100)² + (100 - 100)² + (100 - 100)²] = 1。 (2)由(1)可估计这一天甲机床加工的零件直径的平均数为100，方差为7/3，乙机床加工的零件直径的平均数为100，方差为1。 甲、乙两台机床所加工零件的直径的平均数估计值相同，又甲机床加工的零件直径的方差估计值大于乙机床加工的零件直径的方差估计值，所以估计这一天乙机床加工零件的质量更稳定。 知识讲解 互动探究 新课引入 尝试与发现： 在考察某中学的学生的平均身高时，如果采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，方差为16；女生身高的平均数为165，方差为25. (1)如果没有其它信息，怎样估计总体的平均数与方差？ (2)如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎么估计总体的平均数与方差？ 方法一： 作为估计来说，我们可以选择男生（或女生）样本的平均数与方差作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已知的数据，显然不够好. 用分层随机抽样的样本估计 方法二： 取每一层样本数字特征的算术平均值作为总体的估计，即估计总体平均数为 = 167.5 类似地，总体方差可估计为 = 20.5 但第二种估计方法也还不太理想，因为对于分层抽样来说，每一层所抽取的个体数目一般来说是不相等的，简单的求数字特征的算术平均值体现不出这一点. 9 知识讲解 互动探究 新课引入 思考一下： 怎样才能体现这一点呢？尤其是，当我们把各层中得到的个体放在一起作为一个样本时，样本均值与样本方差该如何计算呢？ 此时，当然可以把各层数据集中在一起重新计算，但也可以去考虑整个样本的数字特征与每一层的数字特征之间的关系来实现，后者在大数据时代的并行计算中经常使用. 我们以分两层抽样的情况为例. 假设第一层抽取m个数，分别为x₁, x₂, …, xₘ，平均数为x̄，方差为s²； 第二层抽取n个数，分别为y₁, y₂, …, yₙ，平均数为ȳ，方差为t². 则，，，。如果记样本均值为 ，样本方差为 ，则可以算出 用分层随机抽样的样本估计 10 知识讲解 互动探究 新课引入 用分层随机抽样的样本估计 依照上述公式可以算出，尝试与发现(2)中总体的平均数可以估计为167.86，总体的方差可以估计为25.98. 11 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？ 对点体验 答 把样本中男生的身高记为 ，其平均数记为 ，方差记为 ；把样本中女生的身高记为 ，其平均数记为 ，方差记为 ，把样本的平均数记为 ，方差记为 。 则 ， ，即样本的方差为51.4862。 因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.4862。 目标二：用样本的分布估计总体的分布 知识讲解 互动探究 新课引入 尝试与发现： 通过对某中学1257名高一学生期中考试的数学成绩进行整理（具体数据参见这一小节的附录），可以得到如下数据，并由此可作出频率分布直方图和折线图，如图所示. 用样本的分布估计 分组 频数 频率 [40,50) 7 0.01 [50,60) 65 0.05 [60,70) 276 0.22 [70,80) 480 0.38 [80,90) 330 0.26 [90,100] 99 0.08 从附录的数据中抽取容量为100的样本，整理类似的表格，并制作频率分布直方图. 同前面一样，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多. 特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大. 如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为100的样本(分别记为样本A，样本B，具体数据参见这一小节的附录)，则可以得到如下频数、频率对应表： 14 知识讲解 互动探究 新课引入 用样本的分布估计 分组 总体频数 总体频率 样本A频数 样本A频率 样本B频数 样本B频率 [40,50) 7 0.01 0 0 0 0 [50,60) 65 0.05 5 0.05 8 0.08 [60,70) 276 0.22 23 0.23 21 0.21 [70,80) 480 0.38 37 0.37 43 0.43 [80,90) 330 0.26 27 0.27 19 0.19 [90,100] 99 0.08 8 0.08 9 0.09 15 知识讲解 互动探究 新课引入 用样本的分布估计 这就说明，如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布. 而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布. 同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差. 如果总体在每一个分组的频率记为π₁, π₂, …, πₙ，样本在每一组对应的频率记为p₁, p₂, …, pₙ，一般来说， 不等于零. 同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大. 16 为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图所示，估计这个学校学生体重的平均数和方差． 4 | 5 9 7 9 6 6 5 | 1 8 9 6 | 0 对点体验 将样本中的每一个数都减去50，可得 -5，-1，-3，-1，-4，-4，1，8，9，10， 这组数的平均数为 = 1， 方差为 = 30.4． 因此估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成了5组，制成了如图所示频率分布直方图. (1)求图中a的值； 对点体验 因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以 (0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1， 解得a=0.18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成了5组，制成了如图所示频率分布直方图. (2)设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3t的家庭数； 对点体验 抽取的样本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例为 (a+0.12)×1=0.3=30%， 因此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也为30%，所求家庭数为10000×30%=30000. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成了5组，制成了如图所示频率分布直方图. (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数. 对点体验 因为 0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46， 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成了5组，制成了如图所示频率分布直方图. (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数. 对点体验 因为 0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46， 估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如图所示的不完整的频率分布直方图。在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图中的信息，据此估计本次考试的平均分为________。 对点体验 解 在频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70，80)的小长方形面积为x，则(0.01 + 0.015×2 + 0.025 + 0.005)×10 + x = 1，解得x = 0.3，即该组频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.15 + 75×0.3 + 85×0.25 + 95×0.05 = 71(分)。 目标三：针对训练 举一反三 1.某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为() A.120分，75 B.120分，20 C.115分，65 D.115分，140 解析： 因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，所以该公司的平均成绩为 = 115分，该公司成绩的方差为 = 140. 举一反三 2.2020年第1期深圳车牌摇号竞价指标共6668个，某机构从参加这期车牌竞拍且报价在1~8万元的人员中，随机抽取了若干人的报价，得到的部分数据整理结果如下： 解析： 设竞拍人员总数为a，由 = 0.05解得a=200；第三组的频数为0.30×200=60，报价低于5万元的人数为10+36+40+60=146，报价不低于5万元的人数为200-146=54人.故选：C. 报价区间（单位：万元） [1,2) [2,3) [3,4) 频数 10 36 40 则在这些竞拍人员中，报价不低于5万元的人数为() A.30 B.42 C.54 D.80 举一反三 3.某学校食堂为了解学生对食堂的满意度，从高一、高二两个年级分别随机调查了100名学生，根据学生对食堂的满意度评分，分别得到高一和高二学生满意度评分的频率分布直方图.若高一和高二学生的满意度评分中位数分别为x₁，x₂，平均数分别为y₁，y₂，则() A.x₁＞x₂,y₁＞y₂ B.x₁＞x₂,y₁＜y₂ C.x₁＜x₂,y₁＜y₂ D.x₁＜x₂,y₁＞y₂ 解析： 由频率分布直方图，进行数据分析可得：x₁ = 60 + (0.5-0.15-0.2)/0.025 = 66. x₂ = 70 + (0.5-0.05-0.2)/0.035 = 540/7.所以满意度评分中位数x₁＜x₂. y₁ = 45×0.15 + 55×0.2 + 65×0.25 + 75×0.2 + 85×0.1 + 95×0.1 = 67. y₂ = 55×0.05 + 65×0.2 + 75×0.35 + 85×0.25 + 95×0.15 = 77.5 所以满意度评分平均数y₁＜y₂.故选：C 举一反三 4.某社区有青年100人，老年人100人.为调查该社区全体居民每月零花钱情况，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得青年每月零花钱均值为600元，方差为100，老年人每月零花钱均值为400元，方差为100.若青年、老年人样本量按比例分配，则可估计总体方差为() A.11000 B.10101 C.10110 D.10100 解析： 由题意得，总体的均值为 ×600 + ×400 = ×600 + ×400 = 500， 所以总体的方差为： ×[100+(600-500)²] + ×[100+(400-500)²] = 5050+5050 = 10100，故选：D. 举一反三 5.某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行实时监测.对当地甲、乙两家企业20天内已处理的废水的某项指标值的检测结果如下图，则下列说法正确的是( C ) A.甲企业样本数据的中位数是72 B.甲企业样本数据的平均数大于80 C.甲企业样本数据的众数大于乙企业样本数据的众数 D.不低于80的样本数据个数，甲企业多于乙企业 解析： 对于A：甲企业样本数据的中位数是= 73，故A错误； 对于B：甲企业样本数据的平均数为： x̄ = (57×2+58+59+66+68×2+69×2+72+74+79×4+87+88×2+89+95) = 74 故甲企业样本数据的平均数小于80，故B错误； 对于C：甲企业样本数据的众数为79，由频率分布直方图可得乙企业样本数据的众数为75，故C正确； 对于D：不低于80的样本数据个数甲企业为5个，乙企业为20×(0.02+0.005)×10 = 5，故D错误.故选：C. 目标四：小结 学海拾贝 1.核心思想：用样本估计总体，由局部推断整体；估计会存在随机误差，不是绝对精准，样本要抽样合理、容量适当，估计才有参考价值。 2.两类估计： ①用样本数字特征（平均数、方差、标准差）估计总体数字特征；分层抽样要会加权计算总体平均数。 ②用样本频率分布（频率分布直方图）估计总体的分布。 3.统计的一般流程：确定总体→合理抽取样本→分析样本数据→对总体作出推断。 学海拾贝 4.易错提醒：样本得到的结果只是估计值，不等于总体真实值；不同样本算出来结果可以不一样，这是抽样的随机性造成的。 思想升华：统计不是给出确定答案，而是借助数据做出合理推断。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $