5.1.4 用样本估计总体-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，系统讲解样本数字特征（平均数、方差等）和分布估计总体的方法，通过体育彩票中奖号码分析情境导入，衔接抽样方法与数字特征计算知识，帮助学生构建从数据处理到统计推断的学习支架。 其亮点是结合打靶成绩分析、居民身高调查等实例，以数据分析和数学运算培养数学思维，用频率分布直方图、茎叶图等工具体现数学语言，提升学生用统计方法解决实际问题的能力，教师可借助情境导学和分层例题高效开展教学。

第五章 统计与概率 5.1　统计 5.1.4　用样本估计总体 学习任务 1．会求样本的平均数、标准差、方差．(数学运算) 2．理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法．(数据分析) 3．会应用相关知识解决实际统计问题．(数据分析) 5.1.4　用样本估计总体 中国体育彩票的种类有很多．体育彩票市场曾创造了无数的神话，相当一部分中奖者在谈及自己的中奖经历时都表示他们能够中奖，是长期研究体育彩票的走势及中奖号码分布特点后(即作出频率分布表)，精心选号的结果，所以说彩民能中大奖是因为他们“推测”的方法是科学的，“推测”的结果是比较可靠的．那么他们是如何“推测”的呢？ 必备知识·情境导学探新知 5.1.4　用样本估计总体 问题：(1)你认为应该从哪些方面对彩票进行“推测”？ (2)他们是如何处理中奖数据的？ [提示]　(1)他们把中奖号码绘制成图、表等进行观察，分析中奖号码的分布、走势，以此去推测、估计下次的中奖号码． 其主要是利用中奖号码的分布去估计下期中奖号码的分布． (2)绘成图、表进行分析． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 知识点1　用样本估计总体 (1)前提 样本的容量恰当，抽样方法合理． (2)必要性 ①在容许一定____存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等． ②有时候总体的________不可能获得，只能用样本的数字特征去估计总体的数字特征． 误差 数字特征 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 (3)误差 估计一般是有误差的．但是，________可以保证，当样本的容量越来越大时，估计的误差很小的可能性将越来越大． 大数定律 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 知识点2　用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)一般来说，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可． (2)样本是用分层抽样的方法得到的，由每一层标本的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例． 条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 结论 如果记样本均值为，样本方差为b2， 则＝， b2＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 知识点3　用样本的分布来估计总体的分布 (1)如果样本的容量恰当，抽样方法又合理，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大． (2)同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差．如果总体在每一个分组的频率记为1，2，…，n，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，＝[(1－p1)2＋(2－p2)2＋…＋(n－pn)2]不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量________时，上式____的可能性将越来越大． 越来越大 很小 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)样本的数字特征有随机性． (　　) (2)只要样本抽取合理，样本平均数与总体平均数相等． (　　) (3)一般地，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确． (　　) × √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [提示]　(1)√．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也具有随机性． (2)×．一般地，样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的． (3)√．大数定律保证，样本容量越大，用样本去估计总体就越准确． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 2．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其质量(单位：克)分别为150，152，149，148，146，151，150，152，147，153，由此评估这车苹果单个质量的平均值是(　　) A．150.2克　　　　　　 B．149.8克 C．149.4克 D．147.8克 √ B　[这车苹果单个质量的平均值约是×(150＋152＋149＋148＋146＋151＋150＋152＋147＋153)＝149.8(克)．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 3．为了了解青少年的课外锻炼情况，某高中随机调查了该校200名学生某月的课外锻炼时间，制成了如图所示的频率分布直方图，则该校学生这个月课外锻炼时间的平均值约为________小时． 22.2 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 22.2　[由4×(0.012 5＋0.062 5＋0.1＋a＋0.025)＝1，得a＝0.050 0． 则该校学生这个月课外锻炼时间的平均值约为 14×0.012 5×4＋18×0.062 5×4＋22×0.1×4＋26×0.05×4＋30×0.025×4＝22.2(时)．] 类型1　用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例1】　【链接教材P84例1】 甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示： 关键能力·合作探究释疑难 5.1.4　用样本估计总体 (1)填写下表：   平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2   1 乙   5.4   3 (2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中9环及以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上两人打靶命中环数及走势分析谁更有潜力． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)乙的打靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，所以＝(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的打靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是＝7.5；甲的打靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7．于是填充后的表格如下表所示：   平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲、乙的平均数相同，均为7，但，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大． ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙打靶成绩比甲好． ③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9环以上(包含9环)的次数比甲多2次，可知乙的打靶成绩比甲好． ④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力． 【教材原题·P84例1】 例1　为了快速了解某学校学生体重(单位：kg)的大致情况，随机抽取了10名学生称重，得到的数据整理成茎叶图如图5-1-17所示．估计这个学校学生体重的平均数和方差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　将样本中的每一个数都减去50，可得 －5，－1，－3，－1，－4，－4，1，8，9，10， 这组数的平均数为 ＝1， 方差为 ＝30.4． 因此可估计这个学校学生体重的平均数为51，方差为30.4． 发现规律　样本数字特征所反映的样本的特征 一般地，______反映的是样本个体的平均水平，众数和______则反映样本中个体的“重心”，而标准差则反映了样本的____程度、离散程度，即均衡性、稳定性、差异性等．因此，我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题． 平均数 中位数 波动 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [跟进训练] 1．某班有50名学生，男、女生人数不相等．随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如图所示．下列说法一定正确的是(　　) 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 A．这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差 B．这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数 C．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数 D．这种抽样方法是一种分层抽样 √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 A　[这5名男生成绩的平均数为＝90， 这5名女生成绩的平均数为＝91， 这5名男生成绩的方差为×[22＋42＋(－4)2＋(－2)2]＝8， 这5名女生成绩的方差为×[22×3＋(－3)2×2]＝6， 男生成绩的方差大于女生成绩的方差，所以男生成绩的标准差大于女生成绩的标准差，所以A对； 这5名男生成绩的中位数是90，这5名女生成绩的中位数是93，所以B错； 该班男生和女生成绩的平均数可通过样本估计，但不能通过样本计算得到平均数的准确值，所以C错； 若抽样方法是分层抽样，因为男女生人数不等，所以分别抽取的人数不等，所以D错．] 类型2　用样本的分布来估计总体的分布 【例2】　在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，采用分层抽样的方法抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62，你能由这些数据计算出样本的方差，并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　把样本中男生的身高记为x1，x2，…，x23，其平均数记为，方差记为；把样本中女生的身高记为y1，y2，…，y27，其平均数记为，方差记为s2． 则＝＝165.2，s2＝ ＝ ＝51.486 2，即样本的方差为51.486 2． 因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2． 反思领悟　样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例． 条件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2 结论 如果记样本均值为，样本方差为b2，则＝， b2＝ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [跟进训练] 2．在某学校为了调查高一年级学生每周的锻炼时间(单位：h)时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值与样本方差． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　由题意知，甲同学抽取的样本容量m＝10，样本平均值为＝6，样本方差t2＝16．故合在一起后的样本均值为＝≈5.44．样本方差为＝≈12.36． 类型3　频率分布直方图与数字特征的综合应用 【例3】　【链接教材P84例2】 统计局就某地居民的月收入(单位：元)情况调查了10 000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(如图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[500，1 000)内． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析，则月收入在[2 000，2 500)内的应抽取多少人？ (2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； (3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数． [思路导引]　结合频率分布直方图求解． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)因为(0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.5，所以a＝＝0.000 5，月收入在[2 000，2 500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[2 000，2 500)内的人数为0.25×100＝25(人)． (2)因为0.000 2×500＝0.1， 0.000 4×500＝0.2，0.000 5×500＝0.25， 0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以样本数据的中位数是 1 500＋＝1 900(元)． (3)样本平均数为(750×0.000 2＋1 250×0.000 4＋1 750×0.000 5＋ 2 250×0.000 5＋2 750×0.000 3＋3 250×0.000 1)×500＝1 900(元)． [母题探究] (变结论)本例条件不变． (1)若再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出若干人，分析居民收入与幸福指数的关系，已知月收入在[2 000，2 500)内的抽取了40人．则月收入在[3 000，3 500)内的该抽多少人？ (2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)因为(0.000 2＋0.000 4＋0.000 3＋0.000 1)×500＝0.5． 所以a＝＝0.000 5． 故月收入在[2 000，2 500)内的频率为0.000 5×500＝0.25． 所以新抽样本容量为＝160(人)． 所以月收入在[3 000，3 500)内的该抽：160×(0.000 1×500)＝8(人)． (2)由题图估计众数为2 000元． 【教材原题·P84例2】 例2　我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据按照[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成5组，制成了如图5-1-18所示的频率分布直方图． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 (1)求图中a的值； (2)设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数； (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1，所以 (0.12＋0.22＋0.36＋a＋0.12)×1＝1，解得a＝0.18． (2)抽取的样本中，月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为 (a＋0.12)×1＝0.3＝30%， 因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%，所求家庭数为100 000×30%＝30 000． (3)因为0.12×0.5＋0.22×1.5＋0.36×2.5＋0.18×3.5＋0.12×4.5＝2.46， 所以估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46． 反思领悟　1．利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点； (2)中位数左右两侧直方图的面积相等； (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 2．利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [跟进训练] 3．为了促进五一假期期间全区餐饮服务质量的提升，某旅游管理部门需了解游客对餐饮服务工作的认可程度．为此该部门随机调查了500名游客，根据这500名游客对餐饮服务工作认可程度给出的评分分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 (1)求直方图中x的值和80%分位数； (2)为了解部分游客给餐饮服务工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的游客中用分层抽样的方法随机选取30人做进一步调查，求应选取评分在[60，70)的游客人数； (3)若游客的“认可系数” 不低于0.85．餐饮服务工作按原方案继续实施，否则需进一步整改，根据你所学的统计知识，结合“认可系数”，判断餐饮服务工作是否需要进一步整改，并说明理由． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)由图可知：10×(x＋0.015＋0.02＋0.03＋0.025)＝1，解得x＝0.01． 因为[50，90)内的频率为0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75＜0.8，所以80%分位数位于区间[90，100]内， 设为m，所以0.75＋(m－90)×0.025＝0.8，解得m＝92， 所以80%分位数为92． (2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1∶0.15∶0.2＝2∶3∶4， 则应选取评分在[60，70)的学生人数为30×＝10(人)． (3)由题图可知，认可程度平均分为： ＝55×0.1＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.25＝79.5＜0.85×100＝85， 所以“餐饮服务工作”需要进一步整改． 1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数 学习效果·课堂评估夯基础 √ B　[标准差和方差都能反映一组数据的稳定程度．] 5.1.4　用样本估计总体 2．为了了解某地区10 000名高三男生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．根据图示，估计该地区高三男生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是(　　) A．40 B．400 C．4 000 D．4 400 √ C　[依题意得，该地区高三男生中体重在[56.5，64.5)的学生人数是10 000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4 000．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 3．某校高一年级900名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，则该校高一年级学生数学成绩的平均值为(　　) A．121.2 B．120.4 C．119 D．115 √ B　[由频率分布直方图可得平均数为95×0.005×10＋105×0.018×10＋115×0.030×10＋125×0.022×10＋135×0.015×10＋145×0.010×10＝120.4．故选B．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 4．若用样本数据1，0，－1，2，1，3来估计总体的标准差，则总体的标准差估计值是 ________． 　[样本平均值为＝＝1， 样本方差为s2＝[(1－1)2＋(0－1)2＋(－1－1)2＋(2－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2]＝． 所以样本标准差为，则总体的标准差估计值是．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 回顾本节内容，自主完成以下问题： 怎样用样本的数字特征估计总体的数字特征？ [提示]　样本的平均数和方差是两个重要的数字特征．在应用平均数和方差解决实际问题时，若平均数不同，则直接应用平均数比较优劣，若平均数相同，则要由方差研究其与平均数的偏离程度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 一、选择题 1．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) 课时分层作业(十五)　用样本估计总体 49 A．＞，sA＞sB　　 B．＜，sA＞sB C．＞，sA＜sB D．＜，sA＜sB √ 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 B　[观察题图可得：样本A的数据均小于或等于10，样本B的数据均大于或等于10，故＜，又样本B的波动范围较小，故sA＞sB．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ 2．某校1 500名学生参加交通安全知识竞赛，随机抽取了100名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．频率分布直方图中a的值为0.0045 B．估计这100名学生竞赛成绩的中位数为73 C．估计这100名学生竞赛成绩的众数为80 D．估计总体中成绩落在[70，80)内的学生人数为525 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 51 D　[对于选项A，因为10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，可得a＝0.005，故选项A错误； 对于选项B，可知每组的频率依次为0.10，0.15，0.35，0.30，0.10，设100名学生竞赛成绩的中位数为x，则0.10＋0.15＋(x－70)×0.035＝0.5，解得x≈77.14，故选项B错误； 对于选项C，因为[70，80)的频率最大，所以这100名学生竞赛成绩的众数为75，故选项C错误； 对于选项D，总体中成绩落在[70，80)内的学生人数为0.35×1 500＝525，故选项D正确．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 52 3．(多选)下列说法中正确的为(　　) A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定 D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 53 ACD　[由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 54 二、填空题 4．用一组样本数据8，x，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 　[因为样本数据的平均数为10，由(8＋x＋10＋11＋9)＝10，得x＝12，∴s2＝(4＋4＋0＋1＋1)＝2，∴s＝．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 55 5．中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3 318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为________石． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 435 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 56 435　[设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得x＝434.5，所以粮仓内的秕谷约为435石．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 57 三、解答题 6．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民用水费用实施阶梯式水价制度，即确定月均用水量标准m，月均用水量不超过m的部分按平价收费，超过m的部分按议价收费．为了确 定一个较为合理的用水标准，该政府部门通过简 单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水 量数据(单位：t)，并绘制如图所示的频率分布直 方图． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 58 (1)求a的值及估计该市居民用户月均用水量的众数； (2)为使该市75%的居民用户不受议价收费的影响，请确定m的值(小数点后保留一位有效数字)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)由图可知：(0.040＋0.060＋a＋0.020×2＋0.008)×5＝1，解得：a＝0.052， 又最高小矩形下边中点的横坐标为7.5，所以估计该市居民用户月均用水量的众数为7.5． (2)由图可知：居民用户月均用水量在区间[0，5)，[5，10)，[10，15)的频率分别为0.2，0.3，0.26，又0.2＋0.3＜0.75，0.2＋0.3＋0.26＞0.75，所以m∈(10，15)， 由0.2＋0.3＋(m－10)×0.052＝0.75，解得m≈14.8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 60 √ 7．是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是(　　) A．＝a＋b　　　　　 B． C． D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 C　[依题意可得100＝x1＋x2＋…＋x100，40a＝x1＋x2＋…＋x40，60b＝x41＋x42＋…＋x100，故．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 61 8．现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 7　[根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1， 则两组数据混合后，新数据的平均数＝5， 则新数据的方差s2＝×[(8×5＋8×1)＋×(3－7)2]＝7．] 7 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 62 9．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男、女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到频率分布直方图： 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 63 (1)已知样本中分数在[40，50)的学生有5人，试估计总体中分数小于40分的人数； (2)试估计测评成绩的75%分位数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70分，且样本中分数不小于70分的男、女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 [解]　(1)由频率分布直方图知， 分数在[50，90)的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 在样本中分数在[50，90)的人数为100×0.9＝90(人)， 在样本中分数在[40，90)的人数为95人， 所以总体中分数在[40，90)的人数为400×0.95＝380(人)， 所以总体中分数小于40分的人数为20人． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 65 (2)测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80)之间，所以估计测评成绩的75%分位数为70＋10×＝70＋8.75＝78.75． (3)由题干中频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男、女生各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 10．某高校进行自主选拔招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机抽取了24名笔试者的成绩，统计结果如表所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90] 人数 2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线大约是________． 80 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 5.1.4　用样本估计总体 67 80　[依题意，参加面试的频率为＝0.25， 由统计表知，样本中数据在[80，90]内的频率为＝0.25， 由样本估计总体知，分数线大约为80分，所以估计允许参加面试的分数线大约是80分．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 68 $