第三章 图形的相似（复习课件）数学新教材北师大版九年级上册

第三章 图形的相似 复习课件 北师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 基础达标 能力提升 素养目标 02 掌握核心定理 熟练掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质；掌握平行线分线段成比例定理及推论；熟练运用相似三角形的三种判定定理、相似三角形的性质；掌握平面直角坐标系中位似变换的坐标变化规律。 01 理解核心概念 理解线段的比、成比例线段、黄金分割的定义；掌握相似图形、相似三角形、位似图形的本质特征，能准确区分相似图形与位似图形，明确位似是特殊的相似变换。 03 提升应用能力 能精准识别相似三角形基本模型，熟练解决相似三角形的计算、证明问题；能利用相似知识测量物体高度、宽度等实际问题；提升几何推理、数形结合、逻辑运算能力。 04 体验数学思想 在知识梳理、例题探究、解题训练中，深度体验数形结合、转化与化归、建模、分类讨论的数学思想，培养几何直观与数学建模核心素养。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 复杂图形中相似三角形的识别与模型构造；相似三角形判定与性质的综合运用；分类讨论思想在相似问题中的应用；位似变换的双向坐标规律（放大、缩小）。 成比例线段的性质；相似三角形的判定定理与性质应用；位似图形的性质与坐标变换；相似三角形在实际问题中的应用。 4 相似多边形 相似三角形 知识图谱 平行线分线段成比例 相似 ：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ►平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 ►平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 位似图形 ►三边成比例的两个三角形相似 ►两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ►两角分别相等的两个三角形相似 判定 性质 ►对应角相等，对应边成比例 ►对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比 ►周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 基本事实 推论： 利用影长测量物高 利用标杆测量物高 利用平面镜测量物高 构造相似三角形测量距离 应用 定义 确定位似中心，连接位似中心和关键点并延长，根据相似比作各关键点的对应点，顺次连接所作各点 画图步骤 定义 性质 对应角相等， 对应边成比例 5 考点串讲 ——1：成比例线段与比例性质 2. 两条线段的比 ►定义： 如果选用同一长度单位的两条线段AB，CD的长分别是m和n，就说两条线段的比是AB∶CD = m∶n ，或写成， （两条线段长度的比叫做这两条线段的比） ►线段的比与长度单位的关系： 线段的比与线段的长度单位选取无关，但计算线段比时应将长度单位统一. ►如果AB ∶ CD=m∶ n, 把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD. 1.相似多边形 ►定义： 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形 ►性质： 对应角相等，对应边成比例 6 考点串讲 ——1：成比例线段与比例性质 （1）定义： 在四条线段a、b、c、d中，若a∶b = c∶d ，则四条线段成比例 （2）比例中项： 如果比例线段的内项是两条相同的线段， 即a∶b = b∶c ，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.  a ∶ b = c ∶ d 内项 外项 3.成比例线段 a，d称为比例外项， b，c称为比例内项 b称为a，c的比例中项，满足 7 考点串讲 ——1：成比例线段与比例性质 4. 比例性质 基本性质：若，则ad=bc（b、d≠0） 合比性质：若，则（b、d≠0） 等比性质：若（b+d+...+n≠0），则 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质： 或 （4）合比性质： （5）分比性质： ） （6）合分比性质： ） （7）等比性质： 已知，则当 时， 8 考点串讲 ——1：成比例线段与比例性质 5.黄金分割： 一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC, （AC＞BC），如果那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 (golden section) , 点 C 叫作线 段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫作黄金比。 注意：黄金比，一条线段有2个黄金分割点。 即 较长线段是较短线段与全线段的比例中项 A C B A C B 第一种 AC＞BC 第二种 AC＜BC 9 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理 平行线分线段成比例定理： 所得的对应线段成比例的有: … 上 上 下 下 全 全 对应线段成比例可用语言形象表示 考点串讲 ——2：平行线分线段成比例定理 考点串讲 ——2：平行线分线段成比例定理 2. 推论（三角形平行线定理）： 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形对应线段成比例。 在△ABC中，DE∥BC，D在AB上，E在AC上，则： 示意图：三角形平行线模型 C A B 称为“A”型 C A B C A B 称为“X”型 11 判定定理   1.两角分别相等判定： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则． 2.两边成比例且夹角相等判定： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则 3.三边成比例判定 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，如果 ， 则 ． 考点串讲 ——3：相似三角形的判定（核心考点） 条件 图形 结论 A型DE//BC   △ADE∽△ABC E型a//b//c   重心 三角形中线交点I   考点串讲 ——3：相似三角形的判定（核心考点） 2.相似三角形常见模型 13 条件 图形 结论 共角型 ∠C=∠ADE   AD•AB=AE•AC 蝴蝶型 ∠A=∠C   △ABE∽△CDE X型 AB//CD   △ABE∽△DCE 考点串讲 ——3：相似三角形的判定（核心考点） 2.相似三角形常见模型 14 条件 图形 结论 双垂直三角形   AC2=AD•AB BC2=BD•AB CD2=AD•BD 共边共角型（1）   AB2=AD•AC 共边共角型（2）   AB2=BD•BC 考点串讲 ——3：相似三角形的判定（核心考点） 2.相似三角形常见模型 15 考点串讲 ——3：相似三角形的判定（核心考点） 条件 图形 结论 角平分线型 ∠BAD＝∠CAD   1:2:3:4:5型 AD＝BD BC:AC＝1:2   CD:BC:BD＝3:4:5 特殊模型判定：直角三角形可额外用“斜边、直角边成比例”判定相似。 2.相似三角形常见模型 16 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有． ②相似三角形的对应边成比例． 如图， ，则有（ 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比 如图， ，，和AD是 中边上的中线、高线和角平分线， 和 是 中 边上的中线、高线和角平分线， 则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图， ，则有 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图， ， 则有： 考点串讲 ——4：相似三角形的性质 考点串讲 ——4：相似三角形的性质 若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，则： 1. 相似三角形对应角相等，对应边成比例（比值为k）； 2.相似三角形 对应高的比、对应中线得比、对应角平分线的比都等于相似比k； 3. 相似三角形周长比=k； 4.相似三角形面积比=（高频易错点：面积比是相似比的平方，非相似比） 相似三角形的性质一句话简记： 18 考点串讲 ——5：位似图形及坐标变换 1. 位似图形定义 如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.这时我们就说这两个图形关于这个点位似. 【解读】位似与相似的关系： 1）相似只要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上还要求对应点的连线相交于一点； 2）如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但两个相似图形不一定是位似图形，即位似是相似的特殊情况. 19 注意： 考点串讲 ——5：位似图形及坐标变换 2. 位似图形的性质 1) 位似图形是相似图形，具有相似图形的一切性质. 2）位似图形的对应顶点的连线交于一点且对应顶点到位似中心的距离比等于相似比. 3）位似图形的对应边互相平行或者在同一条直线上. 位似条件： ①图形相似； ②对应顶点连线交于同一点（位似中心）； ③对应边互相平行或共线。 20 考点串讲 ——5：位似图形及坐标变换 3. 位似图形的画法一般步骤： 1）确定位似中心. 2）分别连接位似中心和原图关键点，并延长. 3）根据位似比，确定所作的位似图形的关键点. 4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形. 注意事项： 1）两个位似图形的位似中心，有一个. 2）两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部或边上. 3）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 21 考点串讲 ——5：位似图形及坐标变换 4. 位似的坐标变换 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或(-kx，-ky). 【小结】 以原点为位似中心的位似图形的坐标符号变化： 若两个图形在原点同侧，则对应点的横、纵坐标符号相同； 若两个图形在原点异侧，则对应点的横、纵坐标符号相反. 5. 坐标规律（原点为位似中心）： 若点P(x,y)，位似比为k，则位似对应点P'(kx,ky)； k＞1图形放大，0＜k＜1图形缩小，k为负对应点在原点另一侧。 6. 核心性质：位似图形一定相似，相似图形不一定位似；位似比=相似比。 22 考点串讲 ——6：相似三角形的实际应用 1.核心思路： 将实际场景转化为相似三角形模型，利用相似边成比例列方程求解， 2.常见场景： 测量旗杆、大树、高楼高度，测量河流宽度、不可达距离。 3.解题通用步骤 （1）审题：找水平线、竖直线（垂直→直角），找平行线或等角 （2）画图：标出已知长度，找到两个相似三角形 （3）证明相似（写两角相等即可） （4）列比例式（⚠️对应边一定要对齐！易错点） （5）代入数值，解方程 （6）写答案，带单位 23 考点串讲 ——6：相似三角形的实际应用 5.常见文字表述翻译 ►“太阳光线” → 平行线 ►“平面镜反射” → 入射角等于反射角 ►“视线经过顶端” → 三点共线，构造相似 ►“垂直地面” → 90° 直角 4.高频易错点 （1）❌对应边找错（最大边对最大边，最小对最小） （2）❌忽略人眼高度，直接用总高度列式 （3）❌影子部分落在墙面：墙上影子不是地面影长，要平移光线 （4）❌单位不统一（米、厘米混用） （5）❌不同时刻太阳影子不能直接比 24 题型全解 题型01相似多边形性质与判别 例1（24-25八年级下·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 解： A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； B 25 题型全解 题型01相似多边形性质与判别 例2.（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（    ） 解：由题意可知，照片放大到，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 26 例3.如图，四边形 四边形 . （1） 的度数为____， 四边形与四边形 的相似比为_ _ ； 解（1） 四边形 四边形 ， ， ， 又 ， ∵ =9， =6， ∴相似比为. （2）分别求边与边 的长度. （2） 四边形 四边形 ， . ∵ =8， ， . 题型全解 题型01 相似多边形性质与判别 题型全解 方法总结 总结2：在判定两个多边形相似时，需满足3个条件： ①边数相同； ②对应角相等； ③对应边成比例 题型01 相似多边形性质与判别 总结1： 相似多边形的定义既是相似多边形的判定方法，又是相似多边形的性质。 题型全解 题型02 比例线段的计算 例4. 延长线段到点,使得,则 ( ) A. B. C. D. A C B 解：∵ ∴AB=2BC ∴AC=AB+BC=2BC+BC=3BC ∴AC∶AB=3BC ∶ 2BC=3 ∶ 2 C 题型全解 题型02 比例线段的计算 例5. 在某县地图(比例尺为1 ∶400000)上量得红旗乡与胜利乡之间的距离为5 cm，则两乡之间的实际距离是多少？ 解：设两乡之间的实际距离是x cm， 则5 ∶ x =1∶ 400 000， ∴ x =400 000×5 =2 000 000. 而2 000 000 cm=20 km， ∴两乡之间的实际距离是2 0 km. 比例尺1 ∶400000 图上1 厘米表示实际400000厘米 题型全解 方法总结 总结2： 比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比通常为比例尺，比例尺是两条线段的比的一种. 总结1： 两条线段的比将有关“形”(线段)的问题转化为有关“数”(线段的长度)的问题， 如果 = =k， 那么=k，或AB=k•CD 题型02 比例线段的计算 题型全解 题型03 比例性质计算与证明 例6：(1)已知，求的值。 解：（1）方法一 合比性质 ∵ ∴ ； 方法二 设a=3k，b=4k（k≠0）， 代入得： ∴ （2）设， 则a=2k，b=3k，c=4k， 代入得：2k+3k+4k=18， 解得：k=2， ∴a=4，b=6，c=8。 (2)已知，且a+b+c=18，求a、b、c的值。 32 例7．已知。 （1） 求的值；（2） 若，求的值。 题型全解 题型03 比例性质计算与证明 （1） 解：， ，。。  （2） 设， ，，。 ， 。 。 。 例8.如图，四条平行直线,,,被直线, 所截，，若 ，则线段和线段 的长度之和是___. 解：，， ∴ 又, ，解得 . ， 即 ，解得， += . 题型全解 题型03 比例性质计算与证明 6 题型全解 题型04 比例性质计算与证明 例9.如图，，，，求的值． 解:∵， ∴， ∴AG= BD 又， ∴ 即BD=5CD ∴AG= BD=5CD=2CD ∵ ∴． 分析：利用相似三角形中“”字型的线段比例关系． 35 题型全解 题型03 比例性质计算与证明 例10.如图，中，过D的直线交，及的延长线于E，F，G．求证：． 分析：根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线分线段成比例得到比例关系． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴ ，， ∴ ， 即． 36 题型全解 方法总结 方法1 ①比例计算优先使用设k法（参数法），通用且不易出错；简单题型可直接用合比、等比性质快速求解；使用等比性质需先验证分母和不为0，避免漏条件。 ②两线段的比具有顺序性，若写线段AB 与CD 的比，就必须把表示AB 长度的数字写在前面 (前项) 或分数线上面. 方法2 平行线分线段成比例是关键。先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 题型03 比例性质计算与证明 例11. 如图，点是等腰三角形的腰 上的一点，过点作直线（不与直线 重合）截 ,使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有( ) B A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 解,.如图， ①作 ,可得. ②作,可得 . ③作,可得 . 题型04 相似三角形的判定证明 题型全解 38 题型全解 题型04 相似三角形的判定证明 例12.如图，已知正方形中，平分且交边于点，将绕点顺时针旋转到的位置，并延长交于点．求证： (1)； (2)． （1）证明：由旋转可知： ， ． 平分， ， ， ， ； （2）证明： ， ， ． ． 39 题型全解 题型04 相似三角形的判定证明 例13.如图，在中，，点 在边上移动（点不与点， 重合），满足，且点，分别在边， 上. （1）求证： ； （1）证明：， . ， ， . . （2）当点移动到的中点时，求证： 平分 . （2）证明：， . 点是的中点, . . ∵ ∴, . ,即平分 . 例14. 如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 题型全解 （1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∵沿翻折得到， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． 题型04 相似三角形的判定证明 41 例14. 如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 题型全解 题型04 相似三角形的判定证明 （2）∵四边形是矩形， ，， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴，． 在中， ． 设CE的长为x， 则． ∵， ∴． ∴， 即． ∴，即． 42 例14. 如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处． (1)求证：； (2)若，，求的长． (3)当点是线段的中点时，求证：． 题型全解 题型04 相似三角形的判定证明 （3）∵， ∴， ∵为的中点， ∴，∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键． 43 题型全解 方法总结 方法1 1.判定优先找两角相等（AA），最简便，优先挖掘公共角、对顶角、平行线同位角/内错角； 2. 边长已知用SSS，两边边长已知且有夹角用SAS； 3. 证明时必须规范书写对应关系，保证顶点顺序一致。 方法2 判定两个三角形相似需要根据条件可以从以下几个方面探求： ①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形； ②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例； ③两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例； ④条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例； ⑤条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例. 题型04 相似三角形的判定证明 题型全解 题型05 相似三角形的性质计算与应用 例15.若，，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 解：∵， ∴，， ∴，， 故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意， D 45 题型全解 例16.《九章算术》中有这样一道题：如图，今有山位于树的西面，山高为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的地方，观察到树梢恰好与山峰处在同一斜线上，人眼离地7尺，则山的高为（保留到整数，1丈=10尺）（     ） A．162丈 B．163丈 C．164丈 D．165丈 解：由题意可知： EF=HD=GB=7尺=丈，CD=9丈5尺=丈， BD=GH=53里，DF=EH=3里，AB⊥BF，CD⊥BF ∴CH=CD－HD=尺，AB∥CD ∴△ECH∽△EAG ∴ 即， 解得：AG= ∴AB=AG＋GB=＋0.7≈165丈 D 题型05 相似三角形的性质计算与应用 46 题型全解 例17.一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm），则从闭合到打开B，D之间的距离减少了（　　） A．25 mm B．20mm C．15 mm D．8mm 解：如图2，连接BD， ∵AE=CF=28，BE=DF=35    ， ∴， 又∠EAF=∠BAD， ∴△AEF∽△ABD， ∴，又EF=20， ∴，解得：BD=45， 如图3，连接BD， ∵BEDF，BE=DF， ∴四边形EFDB是平行四边形， ∵∠BEF=90°， ∴四边形EFDB是矩形，则BD=EF=20， ∴从闭合到打开B，D之间的距离减少了： 45-20=25（mm）， A 题型05 相似三角形的性质计算与应用 47 题型全解 例18. 如图，在等腰三角形中， ，， 将沿其底边中线向下平移，使 的对应点满足 ，则平移前后两个三角形重叠部分的面积是_ ___. 解：如图，延长交 于点 , , 是中线， ，， 由勾股定理得： . 由平移的性质得 , , , . , . . . 重叠部分的面积 . 题型05 相似三角形的性质计算与应用 题型全解 方法总结 熟记性质口诀：线比、周比=相似比，面积比=相似比平方； 2. 已知面积比求边长、周长、高的比，需先开方得相似比； 3. 解题时分清“相似比”与“反比”，注意图形对应关系。 题型05 相似三角形的性质计算与应用 4. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，注意不要与等底(或等高)的两个三角形的面积比等于这两个三角形高(或底)的比相混淆. 题型全解 题型06 三角形内接矩形问题 例19. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，求车宽的长度． N M 解：如图，过点作，垂 足为，交于点， 则，设米， 由得，， ∵四边形是矩形，∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，，∴车宽的长度为米． ┑ 50 题型全解 方法总结 方法1 ►题型特征：矩形四个顶点，两个在三角形一条边上，另外两个顶点分别在三角形另外两条边上，叫三角形内接矩形。 ►根据相似三角形的性质可得对应高的比等于相似比进行计算，然后根据矩形的性质 相似比 = 高之比 = 底之比 方法2： ►解题口诀 内接矩形看平行， A 型相似是核心； 高之比等于底之比， 设出长宽列方程 注意： 小三角形高 = 大三角形高 − 矩形竖直方向的边长， 题型全解 题型07 黄金分割的运用 例20.五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段 的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（    ） A． B． C． D． 解：∵点C，D分别为线段的右侧和左侧的黄金分割点， ∴， ， ∴， ∴五边形的周长． D 52 题型全解 例21.（25-26九年级上·全国·期末）把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（   ） A． B． C． D． 解：线段全长， 黄金分割后较长线段的长为： ， 较短线段的长为:． A 题型07 黄金分割的运用 53 题型全解 方法总结 黄金分割的判定： 满足下面任意一条，就是黄金分割点（） 黄金分割抓等式，长段平方等于两段积； 全长乘上黄金比，算出较长线段值； 两点分割一条线，无说明要双答案； 黄金矩形切正方，剩下矩形仍黄金； 三六顶角等腰形，角平分出黄金比。 题型06 黄金分割的运用 黄金分割性质： 线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点． 较长段 较短线段： 题型全解 题型08 位似图形与坐标变换 例23.（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，则的重心坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 解：如图，为的两条中线，相交于点D， 则为的重心，， ，， ， ， ， ，， 以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到， 的重心坐标是或． D 55 例24.如图，在中，以为位似中心，作 的位似 ，且与原图形的相似比为，连接， ，若 的面积为20，则与 的面积之和为___. 解：如图，连接 平行四边形与平行四边形是以 为位似中心的位似图形，相似比为 ， ，， 三点在同一条直线上， ，， ， 平行四边形的面积为20， 和 的面积都是 ， . . ， .同理可得 ， 与的面积之和为 . 题型全解 题型08 位似图形与坐标变换 题型全解 方法总结 方法1 1.原点位似坐标直接乘位似比，k＞1放大，0＜k＜1缩小； 2. 位似中心非原点时，需通过平移+位似求解； 3. 位似图形周长比=位似比， 面积比=位似比平方。 题型07 位似图形与坐标变换 方法2 1.位似多边形是具有特殊位置关系的相似多边形，但相似多边形不一定是位似多边形(各组对应点所在的直线可能不都经过同一点)。 2.位似与平移、轴对称、旋转(中心对称)一样，是图形的变换方式，位似是图形的相似变换，而其他变换是图形的全等变换。 题型全解 题型09 相似三角形实际应用 例25.如图，建筑物上有一个旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点E、树顶F、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶F、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、E、G在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高． 解：由题意可得， ∠ACE=∠FDE=90°，∠AEC=∠FED， ∴△ACE∽△FDE， ∴，即 ， ∴， 由题意可得， ∠BCG=∠FDG=90°，∠BGC=∠FGD， ∴△BCG∽△FDG， ∴，即 ， ∴6.5BC=4（CD+6.5）， ∴， ∴BC=14， ∴这座建筑物的高BC为14米．   58 题型全解 例26.在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（　　） A．6.93米 B．8米 C．11.8米 D．12米 解：如图，∵， ∴EH=0.3×0.6=0.18， ∴AF=AE+EH+HF =4.42+0.18+0.2=4.8． ∵， ∴AB8(米)． 题型09 相似三角形实际应用 B 59 题型全解 例题27：如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点米远的点，立一根长为米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端在河里的倒影为点，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时、、三点在同一直线上，并且点、、、共线，点、、共线，若、、均垂直于河面，求河宽是多少米？ 题型09 相似三角形实际应用 H 解：延长交的反向延长线于点，则四边形是矩形， ，， ， ∵，∽， ，， ， ，米，米， （米）， ，， ∴，∽， ，， ， （米） 答：河宽是米． 60 题型全解 例28 .两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（），光屏在距小孔处，小宇测得蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为（    ） A． B． C． D． 题型09 相似三角形实际应用 解：如图，设蜡烛的高度为线段， 蜡烛的像为，于C，于， 则，．   由题知，， ， ，， 解得， 即光屏上火焰所成像的高度为． B 61 例29.如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i。这就是光的反射定律。 如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光在平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5 m，点F到地面的高度CF=1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m，木板到墙的水平距离CD=4 m。点A，B，C，D在同一条直线上。（1） 求的长；（2） 求灯泡到地面的高度。 （1） 解：由题意,可得 ，，， 。 又， 。 ，即， 解得。 的长为。 题型全解 题型09 相似三角形实际应用 例29.如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i。这就是光的反射定律。 如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光在平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度DE=3.5 m，点F到地面的高度CF=1.5 m，灯泡到木板的水平距离AC=5.4 m，木板到墙的水平距离CD=4 m。点A，B，C，D在同一条直线上。（1） 求的长；（2） 求灯泡到地面的高度。  （2） ，， 。 光在镜面反射中的反射角等于入射角， 。 又 ， 。 ，即，解得。 灯泡到地面的高度为。 题型全解 题型09 相似三角形实际应用 题型全解 方法总结 方法1 常见类型： 杠杆问题， 测量问题（建筑物高度，河宽问题等）， 影长问题， 物理实验问题 方法2 实际应用四步法： ①审题构建直角/普通相似三角形模型； ②找出对应相等角、成比例边； ③列比例方程； ④求解并检验实际意义。 题型08 相似三角形实际应用 方法3 常用理论： ①相似三角形对应边的比，对应高的比等于相似比； ②动力×动力臂=阻力臂×阻力臂 ③同一时刻影长与高成比例 即： 身（物）高：影长 =身（物）高：影长 A． B． C． D． 针对训练 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） 解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 2.近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了惊艳世界的成绩．海洋四号01星运转的轨道高度距离地表，则在比例尺是 的大屏幕上显示 为____ ． 35 针对训练 3.已知三个数1，2， ，请你再添上一个数，使这四个数成比例，则这个数是 _ ____________. 或或 解：设添上的这个数为x，若这四个数成比例 则：1×x=2× 或 2×x=1× 或：2×1=x× 解得：x=或x=或x= 针对训练 4.如图，已知，P是上一点，连接，要使，只需添加条件 ．（只要写出一种合适的条件） 解：由题意得：， ∴①若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； ②若添加时，则可根据“两组角对应相等的两个三角形相似”判定； ③若添加（）时，则可根据“两组对应边成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定； （答案不唯一） 针对训练 5.如图，中，，，，，，求的长． A B C D E F 解:， ， 即，求得：． 6.如图，为对角线上任意一点．求证：． 解：四边形为平行四边形， ， ， ∴ ∴， ． 针对训练 7.在△ABC中，DB＝CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：AD•BP＝AE•CP． 解：过点C作CG∥DP交AB于G，   ∴，， ∴，， ∴， ∵BD＝EC， ∴， ∴． 针对训练 8. 如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：． 证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ． 针对训练 9.如图①是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图②中，杠杆的端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点），要把这块石头翘起，至少要将杠杆的点向下压 ． 解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴至少要将杠杆的点向下压， 针对训练 10.如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：如图，取的中点M，连接， ∵D是边上的中点， ∴，， ∵ ∴ = ∴， ∴， ∴， ∴，∴， B 针对训练 11.小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小军的眼睛距地面1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求这座建筑物的高度． 解：由题意可得： ∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ， ∵小军的眼睛距地面1.65m， BC、CD的长分别为60m、3m， ∴， 解得：AB＝33， 答：这座建筑物的高度为33m． 解：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M， ∵，均垂直于直线， ∴， ∴，； 由题意知，四边形是矩形，则； 设，则， ∵，∴， ∴，即， 解得：； 当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于； A．小于8m B．小于9m C．大于8m D．大于9m 针对训练 12.如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6m．她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C．此时，她与左边较低的树的水平距离（    ） A 针对训练 13.《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是： 如图，四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正方形小城的边长为（     ） A．105步 B．200步 C．250步 D．305步 解：设小城的边长为x步，根据题意， Rt△CAF∽Rt△CDM， ∴， 即， 去分母并整理， 得x2+34x-71000=0， 解得x1=250，x2=-284（不合题意，舍去）， ∴小城的边长为250步． C  （2）解：的面积为其三个顶点所在矩形面积与三个直角三角形面积的差， ． 针对训练 14.（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在每个小正方形边长为1个单位长的网格中，建立平面直角坐标系，点均在格点上． (1)请在该网格内部画出，使其与关于点成位似图形，且位似比为； (2)求出的面积． （1）解：如图所示， 为所求三角形； 针对训练 15．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝，D、E分别是腰AB、AC上的点，AE＝BD，连接DE，M为DE中点． (1)如图(a)，＝60°，D、E分别是AB、AC边的中点，则CD与AM的数量关系是 ． (2)如图(b)，＝60°，D、E分别是AB、AC边的动点，(1)中结论是否仍成立？请证明你的判定． (3)如图(c)，＝90°，当最大时，的值为 ． 解：(1) CD＝2AM 设DM＝1， ∴AM＝，CD＝2， ∴CD＝2AM． CD＝2AM (2)成立 证明：延长AM至点N， 且使AM＝MN，连接DN、EN， ∴△AEM≌△NDM(SAS)， ∴∠ADN＝120°， DN＝AE＝BD， 在BC上截取BF＝BD， 则△BDF为等边三角形， 易得：△AND≌△CDF(SAS)， ∴CD＝AN＝2AM 针对训练 15．已知等腰三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝，D、E分别是腰AB、AC上的点，AE＝BD，连接DE，M为DE中点． (1)如图(a)，＝60°，D、E分别是AB、AC边的中点，则CD与AM的数量关系是 ． (2)如图(b)，＝60°，D、E分别是AB、AC边的动点，(1)中结论是否仍成立？请证明你的判定． (3)如图(c)，＝90°，当最大时，的值为 ． (3)∵AB＝AC，BD＝AE． ∴AD＝CE，过点C向下作CG⊥CA， 且使CG＝AE，连接EG， ∴△ADE≌△CEG (SAS)， ∴∠DEG＝90°， 取EG的中点F，连接DF， 设AM＝a，则DE＝EG＝2a， CF＝a，DF＝a， 当D、F、C三点共线时， CD有最大值为+1)a， 此时，△DMA≌△EFC， ∴作AH⊥DE于H，EK⊥CD于K， 可得AH＝FK， ∴＝＝＝ F 针对训练 16.如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ （1）解：设经过秒后的面积为面积的， 其中，由题意知，，， ∴， ∴． 答：点出发秒后，的面积为面积的． 针对训练 16.如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (1)点出发几秒后，的面积为面积的； (2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？ (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ （2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中， 当时，则有， ∴，∴． 当时，则有， ∴，∴． 答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似． 针对训练 16.如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动． (3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？ （3）解：如图，过点作，连接， ∵，∴是等腰三角形， ∵，∴, ∵，∴， ∴，， 在中，，， ∴，∴， 设，则，， 在中，， 即，解得， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 答：当运动时间为时，． 单元总结/易错复盘 ·知识点回顾 本章核心围绕“比例线段—相似判定—相似性质—位似变换—实际应用”展开，重点掌握比例三大性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形三种判定方法、相似图形的周长与面积性质、原点位似坐标变换规律，所有相似问题均围绕“对应边成比例、对应角相等”核心本质展开。 方法与数学思想 解题方法：设k参数法、相似模型识别法、方程法、数形结合法； 数学思想：转化思想（实际问题转化为几何模型）、数形结合思想（坐标位似、几何图形计算）、分类讨论思想（位似双向位置、相似对应关系不唯一）、建模思想。 高频易错提醒 （1）相似三角形判定中，SAS必须是夹角相等，非夹角相等不能判定相似； （2）相似图形面积比是相似比的平方，切勿直接等同于相似比； （3）使用等比性质时，必须保证分母之和不为0，避免无意义计算； （4）位似图形是特殊相似，相似图形不一定位似，位似坐标变换注意正负与缩放方向； （5）解题时必须注意三角形对应顶点顺序，避免对应边、对应角匹配错误。 82 北师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $