第一章 特殊平行四边形（复习课件）数学新教材北师大版九年级上册

第一章 特殊的平行四边形 复习课件 北师大版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 基础达标 能力提升 素养目标 02 掌握核心技能 熟练掌握矩形、菱形、正方形的边、角、对角线性质定理与各类判定定理，熟记核心计算公式，能规范完成几何推理证明与数值计算。 01 理解核心概念 精准理解矩形、菱形、正方形的定义，厘清平行四边形、矩形、菱形、正方形四者的包含与从属关系，掌握三类特殊平行四边形的轴对称、中心对称特征。 03 提升解题能力 提升几何识图、图形变式分析、逻辑推理和综合解题能力，能解决特殊平行四边形的基础计算、证明、动点、折叠、综合探究等高频题型。 04 体验数学思想 深度体验一般到特殊、类比迁移、转化建模、数形结合的数学思想，掌握几何图形 “定义 — 性质 — 判定 — 应用” 的标准化研究方法，养成严谨的几何书写思维。 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 四类平行四边形判定定理的精准辨析与灵活选用；图形折叠、动点问题中特殊平行四边形的综合应用；多结论几何压轴题型的逻辑推导。 矩形、菱形、正方形的核心性质与判定定理；特殊平行四边形的边角、对角线计算；基础几何证明题型的规范解答。 4 知识图谱 四边形 平行四边形 矩形 正方形 菱形 三个角是直角 四条边都相等 两组对边分别平行 一个角是直角 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 一个角是直角 知识图谱 （二）性质对比总表 图形 边的性质 角的性质 对角线性质 对称性 平行四边形 矩形 菱形 正方形 对边平行且相等 对角相等， 邻角互补 互相平分 中心对称 四个角均为 90°（直角） 对边平行且相等 互相平分且相等 中心对称+轴对称 （2 条对称轴） 对边平行， 四条边全相等 对角相等， 邻角互补 互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 中心对称+轴对称 （2 条对称轴） 对边平行， 四条边全相等 四个角均为 90° 互相垂直、平分且相等，平分一组对角 中心对称+轴对称（4 条对称轴） 6 知识图谱 ① 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 角判定：有三个角是直角的四边形是矩形； ③ 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。 矩形判定 （3 种方法） 菱形判定 （3 种方法） ① 定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； ② 边判定：四条边都相等的四边形是菱形； ③ 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 正方形判定 （4 种方法） ① 邻边相等的矩形是正方形； ② 有一个角是直角的菱形是正方形； ③ 对角线互相垂直的矩形是正方形； ④ 对角线相等的菱形是正方形。 （三）判定定理汇总 7 考点串讲 ——1：特殊平行四边形的概念辨析与从属关系 核心结论 概念 辨析 菱形定义：有一组邻边相等的 平行四边形叫做菱形. 正方形定义：四条边都相等， 四个角都是直角的四边形 叫做正方形. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 1.矩形、菱形、正方形都是平行四边形，满足平行四边形所有性质； 2.矩形专属特征：四个直角、对角线相等； 3.菱形专属特征：四边相等、对角线垂直、对角线平分内角； 4.正方形是唯一同时满足四边相等、四角为直角、对角线垂直且相等的四边形。 基本定义 8 1．矩形的性质： （1）矩形具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线互相平分且相等； （4）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 考点串讲 ——2：矩形性质与计算 由矩形得直角三角形的性质 2.矩形的性质推论： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． A B D C O A B C O 9 考点串讲 ——2：矩形性质与计算 1.矩形对角线相等且平分，因此对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形； 2.若矩形对角线夹角为 60° 或 120°，必然出现等边三角形，可直接利用等边三角形边长相等解题； 核心性质延伸 A B D C O 3.矩形中所有三角形均为直角三角形，可结合勾股定理、直角三角形性质解题。 核心公式： 矩形周长 = 2 (长 + 宽)，面积 = 长 × 宽 解题关键： 遇矩形对角线问题，优先找等腰、等边三角形，转化为三角形边长、角度计算。 10 1.菱形性质： （1）菱形具有平行四边形的一切性质； （2）菱形具有四条边相等； （3）菱形两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形. 考点串讲 ——3：菱形性质与计算 A B D C O ⌝ 符号语言 （1）∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC （2）∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 11 考点串讲 ——3：菱形性质与计算（重难点计算考点） 核 心 公 式 2.核心性质延伸： 1.菱形四条边相等，因此周长 = 4× 边长 2.菱形对角线互相垂直平分，将菱形分成四个全等的直角三角形； 3.菱形对角线平分一组对角，可用于角度等量代换证明。 ①菱形的面积=底×高，即 S=ah 适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半， 即 S = mn =底×高= 解题关键：所有菱形计算均可转化为 “直角三角形勾股定理计算”，半对角线、边长为直角三角形三边。 12 考点串讲 ——4：正方形性质与综合应用 相关计算 正方形对角线长度 = 边长 ×，面积 = 边长 ²= × 对角线 ² （1）正方形对边平行； （2）正方形的四个角都是直角； （3）正方形的四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有四条对称轴 正方形性质 13 考点串讲 ——4：正方形性质与综合应用 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来得到等线段或等角，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 1.正方形兼具矩形、菱形全部性质，边、角、对角线条件最完备； 性质延伸 2.正方形对角线与边的夹角为 45°，是构造等腰直角三角形的核心图形； 14 考点串讲 ——5：特殊平行四边形的判定   判定定理 符号语言 图示   边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD， ∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形 菱形的判定方法总结 考点串讲 ——5：特殊平行四边形的判定   判定定理 符号语言 图示     角 一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中， ∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 矩形的判定方法总结 考点串讲 ——5：特殊平行四边形的判定 定义法 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 判定定理 矩形+一组邻边相等 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 对角线互相垂直的矩形是正方形 菱形+一个角是直角 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+对角线相等 对角线相等的菱形是正方形 平行四边形+对角线相等+对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 正方形的判定方法总结 考点串讲 ——5：特殊平行四边形的判定 1.优先证四边形是平行四边形（基础前提）；再补 1 个特殊条件： 邻边相等→菱形； 一个直角 / 对角线相等→矩形； 双重特殊条件→正方形。 2.在四边形基础上无前提直接判定： ①三个直角的四边形→矩形； ②四边相等的四边形→菱形； ③既是矩形又是菱形的四边形→正方形。 判定方法思路（两步法） 18 考点串讲 ——5：特殊平行四边形的判定 ❌ 对角线相等的四边形是矩形 （错误，无平行四边形前提，等腰梯形对角线也相等） ❌ 对角线垂直的四边形是菱形 （错误，任意不规则四边形对角线也可垂直） ✅ 对角线相等的平行四边形是矩形 ✅ 对角线垂直的平行四边形是菱形 易 错 点 19 考点串讲 ——6：中点四边形 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 注意： （1）任意四边形↔中点四边形是平行四边形. （2）对角线相等的四边形↔中点四边形是菱形. （3）对角线互相垂直的四边形↔中点四边形是矩形. （4）对角线相等且互相垂直的四边形↔中点四边形是正方形. 特殊四边形的中点四边形特点 20 考点串讲 ——7：图形变换中的特殊平行四边形 翻折问题： 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，结合特殊平行四边形性质找等量关系; 由于图形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在图形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形的不变性，在求解几何全等型问题时，具有很重要的运用价值.一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 21 考点串讲 ——7：图形变换中的特殊平行四边形 动点问题： 关键是分辨出“动”和“定”，探寻“动点”的运动轨迹，这个轨迹一般是直线(线段)或圆，探究最值问题的理论依据有:直线外一点与这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短以及三角形的三边关系等. 抓住 “不变量”（边长、垂直、平行关系），结合判定定理，确定动点位置使图形成为矩形 / 菱形 / 正方形。 22 题型全解 题型01 概念判定辨析题 解: A 错误：需要前提 “平行四边形”，任意四边形对角线垂直相等不一定是正方形； B 正确：矩形 + 一组邻边相等，满足正方形定义； C 错误：对角线相等的菱形是正方形； D 错误：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例题 1：下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 有一组邻边相等的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形是菱形 B 23 题型全解 题型01 概念判定辨析题 解： A. 对角线相等的平行四边形四边形是矩形，故原选项错误，不合题意； B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原选项正确，符合题意； C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原选项错误，不合题意； D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项错误，不合题意． 例2.下列命题中正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是矩形． B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B 24 题型全解 方法总结 抓前提条件：区分是 “四边形” 还是 “平行四边形”，判定定理很多必须以平行四边形为基础； 对照定义：把描述拆成两个条件，看是否匹配矩形、菱形、正方形定义； 举反例排除：遇到不确定选项，举出反例（等腰梯形、普通四边形）快速排除错误说法。 题型01 概念判定辨析题 题型全解 题型02 特殊四边形性质计算题 解：∵四边形是菱形中， ∴ ∵对角线，的长分别为6，8， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 例1.如图，在菱形中，对角线，的长分别为6，8，过点A作于点E，则的长为 ． 26 题型全解 题型02 特殊四边形性质计算题 例2.已知矩形两条对角线所成的一个角为，矩形的短边长，则长边长 ，对角线长 ． 解：如图：∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形两条对角线所成的一个角为 ∴，， ∴为等边三角形 ∴， ∴， 在中，， 即长边长为，对角线长为． 【点睛】 熟练掌握矩形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理是解决本题的关键． 27 题型全解 题型02 特殊四边形性质计算题 例3（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在正方形的对角线上取点E使，连接，过点E作交BC于点F，则的大小为 ． 解：∵四边形是正方形，， ∴ ， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 题型全解 方法总结 1：矩形对角线模型解题思路 矩形对角线相等且平分，一定产生等腰三角形； 对角线夹角为 60° 或 120°，直接锁定等边三角形模型，得到线段等量； 求矩形边长，放在大直角三角形中，使用勾股定理； 模型特征识别：矩形 + 对角线夹角 60°，是中考经典固定模型，可直接记忆结论。 2.菱形计算转化法 菱形周长直接除以 4 得到边长； 菱形对角线互相垂直平分，把菱形切割成 4 个全等直角三角形； 直角三角形三边： 菱形边长、两条对角线的一半，用勾股定理求解； 面积优先选用：， 注意此公式只适用于菱形、正方形。 题型02 特殊四边形性质计算题 题型全解 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 （1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴四边形是菱形；（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 例4．如图在矩形中，对角线与相交于点O．分别过点，作，的平行线交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 30 题型全解 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 例4．如图在矩形中，对角线与相交于点O．分别过点，作，的平行线交于点． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． （2）解： ∵，， ∴矩形的面积， ∵， ∴菱形OCED的面积． 31 题型全解 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 例5.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证： (2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想. （1）证明： 四边形是平行四边形， ． 又是等边三角形， （等腰三角形底边上的中线，底边上的高，顶角平分线重合）， 即垂直平分， ． 32 题型全解 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 （2）解：四边形是正方形，理由如下： 四边形是平行四边形， ． 又是等边三角形， 平分（三线合一）， ， 又 ， 例5.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证： (2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想. （三角形的一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和）， 由（1）中，得 平行四边形是菱形， ， 四边形是正方形． 33 题型全解 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 证明：设AC交BD于点Q，EF交BD于点P， ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点， ∴EF∥AC，且EFAC，GH∥AC，且GHAC，EH∥BD， ∴EF∥GH，且EF＝GH， ∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴∠FEH＝∠FPD＝∠CQD＝90°， ∴四边形EFGH是矩形， 例6.如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，求证四边形EFGH是矩形 Q P 34 题型全解 方法总结 特殊平行四边形证明两步策略 优先路径：先证平行四边形，再加一个特殊条件 （邻边相等⇒菱形； 一个直角 / 对角线相等⇒矩形）； 证正方形两条路线： ①矩形 + 邻边相等； ②菱形 + 对角线相等 （有一个直角）； 书写规范： 每一步结论后面标注依据（定理）； 题型03 特殊平行四边形性质与判定证明题 题型全解 题型04 特殊平行四边形折叠综合题型 解：设 AD = BC = a， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴A= ADC = 90， 根据图 2 可得ADE = FDE = ADF =45  ∴ △ADE 是等腰直角三角形， ∴ DE =AD = a， 根据图 3 可得CD = DE = a， ∵AB=CD,AD=BC, ∴AB= a= BC， 例7. 取一张矩形纸片 ABCD（图 1），按如图 2 所示方式折叠，使点 A 落在CD 上，折痕为 DE ，再按如图 3 所示方式折叠，点C 与点 E 恰好重合，则 AB = ____ BC． 36 题型全解 题型04 特殊平行四边形折叠综合题型 解：如图，∵， ∴设，，∴，， 由折叠的性质知 ，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， 例8、长方形ABCD中，，，将其沿折叠，点A，B分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为（     ） A．5 B． C． D． C 37 题型全解 方 法 总 结 折叠核心： 折叠前后全等，对应边相等、对应角相等，标记等量线段； 找直角三角形： 矩形自带直角，折叠问题几乎都放在 Rt△中； 未知数设元： 把要求的线段设为 x，其余线段用含 x 代数式表达； 列方程： 利用勾股定理建立方程求解，方程法是折叠计算最常用手段。 题型04 特殊平行四边形折叠综合题型 针对训练 1．如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（    ） A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． D 2. 如图，在中，，，垂足为D，E是的中点，若，则 ． 解：∵在中，，垂足为D， ∴是直角三角形； ∵E是的中点． ∴ （直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）； 又∵， ∴； 10 针对训练 解：如图，E、F、G、H分别是四边形的边的中点， 连接， 根据三角形的中位线定理得， ， ∵四边形的对角线相等， ∴， 所以，， 所以，四边形是菱形． 针对训练 3．顺次连结对角线相等的四边形各边中点所得的四边形必定是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 A 【点睛】本题考查菱形的判定和三角形的中位线定理，解题的关键是掌握菱形的判定和三角形的中位线定理． 针对训练 4.平行四边形A添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 解： A、添加条件，可由一个角是直角的平行四边形是矩形证明是矩形，故A不符合题意； B、添加条件，可由对角线相等的平行四边形是矩形证明是矩形，故B不符合题意； C、添加条件，根据平行四边形邻角互补可得，可由一个角是直角的平行四边形是矩形证明是矩形，故C不符合题意； D、添加条件，不能证明是矩形，故D符合题意； D 针对训练 5.如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为(　　) A． B． C． D． 解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， C 6.[2026 四川内江中考]在边长为6的正方形ABCD中，点P，Q分别为对角线AC、边CD上的动点，且 ，则PQ的最小值为 . 针对训练 E 解：过点 P作PE⊥CD于点 E,如图所示,则∠PEC=90° .∵ ∴设 则DQ=2x. ∵四边形ABCD是正方形,且边长为6,AC是对角线, ∴AD=CD=6,∠D=90°,∠ACD=45°, ∴ 由勾股定理得   ∵点P，Q分别为正方形对角线AC、边CD上的动点，且. ∴0≤DQ≤DC,∴0≤2x≤6,∴0≤x≤3. ∵∠PEC=90°,∠ACD=45°, ∴△PEC是等腰直角三角形,∴PE=CE, ∴由勾股定理得 ∴ x+ PE=6 , ∴PE=6-x,∴CE=6-x,∴DE=CD-CE=6-(6-x)=x, ∴EQ=DQ-DE=2x-x=x, ∴由勾股定理得. 整理得 ∴该二次函数图象开口向上， ∴当x=3时，PQ²的值最小，最小值为18， ∴PQ的最小值为 3 7.[2026江苏苏州中考]如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,E是AB边上的动点(点E在A,B之间运动,不与A,B重合),过E作CE的垂线交AD 边于点 F,则AE+AF的最大值是 ( ) A. B.3 C. D. 针对训练 解：设AE=x,AE+AF=y. ∵四边形ABCD 是矩形,AB=3,E 是AB 边上的动点, ∴BE=3-x,∠A=∠B=90°. ∵ EF⊥CE,∴∠CEF=90°, ∴∠BEC+∠AEF=90°=∠AFE+∠AEF, ∴ ∠AFE=∠BEC, ∴ △AFE∽△BEC, C 当 时，y有最大值，最大值是 , ∴AE+AF的最大值是 针对训练 8.（2025•浙江一模）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）  A．2 B． C．3 D． 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD， ∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG， 可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAF+∠DAE＝45°，∴∠EAF＝∠EAG， ∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中，， ∴△AFE≌△AGE（SAS）， ∴EF＝EG， 即：EF＝EG＝ED+DG， ∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD， ∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°， ∴设BF＝x，则CF＝6﹣x，EF＝3+x， 在Rt△CFE中，由勾股定理得： EF2＝CE2+CF2， ∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2， 解得：x＝2，即BF＝2， A 针对训练 9.如图，将长方形沿折叠，使点D落在边上的点F，若，则 °． 解：由题意得： ∵   70 10.（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，是正方形的对角线，E，F，O，G分别是，，，的中点．若，则的长为 ． 解：设，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则，，，． ∵是正方形的对角线，E，F，O，G分别 是，，，的中点，∴，∴， ∵O是中点，，，G是中点， ∴，， 根据两点间距离公式， ， 即，解得，即的长为． 8 针对训练 11.（22-23九年级上·山西太原·期末）如图，在中，点M和N分别在边和上，，连接，点D，E，F，G分别是的中点．求证：四边形是菱形． 证明：∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可得： ，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． 针对训练 12.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） （1）证明： 四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ； 针对训练 12.（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，，点G为的中点，连接的延长线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请增加一个条件，使得四边形为正方形．（不需要说明理由） （2）解：当时，四边形是正方形． 证明： 由（1）知，， 又 ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）知，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形． 针对训练 针对训练 13．在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点． ①如图1，当点落在边上时，求的长； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． 针对训练 13．在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (1)若为线段上一点．①如图1，当点落在边上时，求的长； （1）解：①根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴； ②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由； ②，理由如下： ∵将沿直线翻折至的位置， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴； 针对训练 13．在四边形中，，，，为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点落在点处． (2)如果点在的延长线上，当为直角三角形时，求的长． （2）解：当时，如图所示： ∵，且， ∴四边形是正方形，∴； 当时，如图所示： 则，∴， ∵，∴点E、D、C三点共线， 由翻折知，根据勾股定理得， ∴， 设，则，在中，由勾股定理得： ，解得，∴； 当时，点P在线段上，不符合题意，舍去， 综上：或30． 单元总结/易错复盘 核心知识点回顾 1.从属关系：平行四边形→（直角）矩形、（邻边相等）菱形→（双重条件）正方形； 2.性质核心：边角看专属特征，对角线是解题关键，对称性辅助解题； 3.判定核心：先定平行四边形，再补特殊条件，无前提直接用四边形判定定理。 数学方法与思想 1.一般到特殊思想：从平行四边形基础性质推导特殊图形性质； 2.转化思想：四边形问题全部转化为直角三角形、等腰三角形求解； 3.数形结合思想：结合图形边角关系，联立勾股定理列方程计算； 4.类比思想：类比矩形、菱形的研究方法，推导正方形性质与判定。 55 单元总结/易错复盘 高频易错提醒 1.判定矩形、菱形必须区分 “四边形” 和 “平行四边形” 前提，不可省略基础条件； 2.菱形面积公式易混淆，牢记对角线乘积的一半仅适用于菱形、正方形； 3.矩形对角线夹角 60° 必出等边三角形，是解题隐藏条件，切勿忽略； 4.折叠问题务必抓住 “全等、等量代换”，动点问题锁定图形不变性质。 56 北师大版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $