第四章 实数（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

第四章 实数（复习讲义） 1．理解算术平方根、平方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解算术平方根、平方根的概念；②学会计算一个数的算术平方根、平方根；③了解平方根在实际问题中的应用。 2．理解立方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解立方根的概念；②学会计算一个数的立方根；③了解立方根在实际问题中的应用。 3．理解实数的概念及其分类，学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 ①理解无理数的定义及性质；②理解实数的概念及其分类；③学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 知识点01 无理数 1）有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2）无理数：无限不循环小数称为无理数。 知识点02 算术平方根 1）算数平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0。 2）正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 平方根 1）平方根：一般地，如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根（也叫作二次方根）。 2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 3）开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点04 立方根 1）立方根：一般地，如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么这个数x叫作ɑ的立方根（也叫作三次方根）。 2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 3）开立方：求一个数ɑ的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4）数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5）一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点05 实数 1）实数：有理数与无理数统称为实数。 2）实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数（正有理数和正无理数）、0、负实数（负有理数和负无理数）。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 3） 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 4） 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 5）事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点一一对应的。 6）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的实数大。 题型一 求一个数的平方根、立方根 【例1】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、不成立，因为负数没有算术平方根，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. ，该选项正确，符合题意； B．，该选项错误，不符合题意； C．，该选项错误，不符合题意； D．，该选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：，故A项错误； ， 无意义，故B项错误； ，故C项正确； ，故D项错误． 故选：C． 【变式1-3】计算： ， ． 【答案】 2 【解析】解：； ； 故答案为：；2． 题型二 已知一个数的平方根、立方根，求这个数 【例2】已知的立方根为，是的一个平方根，求的平方根． 【答案】 【解析】解：的立方根为，是的一个平方根， ， 解得， ， 的平方根为：． 【变式2-1】若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【答案】C 【解析】解：由题意得：， 解得：， ∴这个数为； 故选C． 【变式2-2】已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴，， ∴， 将代入得：， ∴． （2）解：由（1）已得：，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 【变式2-3】（1）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根； （2）已知和是正数m的平方根，求正数m的值． 【答案】（1）；（2）或64 【解析】解：（1）由题意得，， 解得，， ， 的平方根为， 的平方根为； （2）和是正数m的平方根， 或， 即或， 当时，，， ； 当时，， ； 综上，正数m的值为或． 题型三 利用平方根、立方根解方程 【例3】求下列各式中x的值． (1)； (2) 【答案】(1)，； (2) 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式3-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 【变式3-2】利用开方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）解：， ， ， 所以或． （2）解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式3-3】求下列各式中的x． (1)． (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【解析】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同时开平方得：， 当时，， 当时，， 或； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 题型四 平方根、立方根的应用 【例4】王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：设长方体底面正方形的边长为， 依题意，得：， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， 答：长方体底面正方形的边长为； （2）解：设每一个小正方体铁块的棱长为， 依题意，得：， 解得：， 答：每一个小正方体铁块的棱长为． 【变式4-1】一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：正方体的棱长为， 则它盖住桌子的面积是． 故答案为：． 【变式4-2】小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【答案】(1)长为 ，宽为 (2)不能裁出面积为的正方形，理由见解析 (3)不能裁出面积为的完整圆形，理由见解析 【解析】（1）解：设这个纸片的长为，宽为，由题意得： ， 解得：，负值舍去， 即长为，宽为； （2）解：不能裁出想要的正方形纸片， 原长方形纸片的面积为，而要裁出的正方形的面积为， 不能裁出想要的正方形纸片； （3）解：不能裁出想要的圆形纸片，理由如下： 圆形纸片的面积为，即， 半径，负值舍去， 直径为，即， ∵， 不能裁出想要的圆形纸片． 【变式4-3】如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 题型五 实数的分类 【例5】在实数，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解：是整数，属于有理数，符合题意； 是无理数，不符合题意； 是分数，属于有理数，符合题意； 是无理数，不符合题意； 综上可得：有理数有个， 故选：． 【变式5-1】在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】是无限不循环小数，所以也是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，属于有理数； 是分数，属于有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数． 综上，无理数共有3个． 故选：B． 【变式5-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【答案】见解析 【解析】解：整数集合：{，0，，2025}； 分数集合：{，，，，，}； 非负数集合：{，π，，，0，，2025}； 负有理数集合：{，，，}． 【变式5-3】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 【答案】(1)，2013 （每两个5之间多一个0），， (2)，0， (3)（每两个5之间多一个0）， (4)，， 【解析】（1）解：正数集合：，2013，（每两个5之间多一个0），，； （2）非正整数集合：，0，， （3）无理数集合：（每两个5之间多一个0），， （4）分数集合：，，． 题型六 实数与数轴 【例6】数轴上，两点间的整数点有 个． 【答案】3 【解析】解：∵，， ∴数轴上，两点间的整数点有1，0，，共3个． 故答案为：3． 【变式6-1】如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意可知点在和之间， ∵，是有理数， ∴数轴上点P表示的无理数可能是． 故选：B． 【变式6-2】如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【解析】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 【变式6-3】数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 【答案】0或 【解析】解：当这个点在左边时，这个点对应的数为：； 当这个点在右边时，这个点对应的数为：． 故答案为：0或． 题型七 实数的混合运算 【例7】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1） （2） 【变式7-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式7-2】计算： 【答案】0 【解析】解： ． 【变式7-3】计算：． 【答案】 【解析】解： ． 题型八 新定义下的实数运算 【例8】规定一种新运算：，那么 ． 【答案】 【解析】解：根据题中的新定义得： ． 故答案为：． 【变式8-1】定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意可得： ． 故选：D． 【变式8-2】规定一种新运算，对于任意实数a，b，都有，比如，计算的值是 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：， 则， 故答案为：． 【变式8-3】对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 【答案】(1) (2) (3)相等，详情见解析． 【解析】（1）解： （2） （3）令，， 则，， 所以． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：，， 在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个， 故选：B ． 2．下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 【答案】C 【解析】解：A、实数包括有理数和无理数，说法正确，故不符合题意； B、实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故不符合题意； C、，4的算术平方根是2，原说法错误，故符合题意； D、平方根和立方根相等的数是0，原说法正确，故不符合题意； 故选C． 3．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 【答案】B 【解析】解：∵，即表示的算术平方根是3， ∴， ∴， 故选：B． 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B． 的算术平方根是3 C．1的立方根是 D．是7的一个平方根 【答案】D 【解析】 解：A、，故本选项错误； B、，根据负数没有平方根，故本选项错误； C、1的立方根是1，故本选项错误； D、是7的一个平方根，故本选项正确． 故选：D． 5．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 故选：B． 二、填空题 6．的平方根是 ， 的立方根是． 【答案】 【解析】解：，则的平方根即的平方根，等于， ，即的立方根是 故答案为：，． 7．已知与是正数的平方根，则的值是 ． 【答案】或 【解析】解：∵与是正数的平方根， ∴与相等或互为相反数， ∴或， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或． 8．设表示不小于的最小整数，如：，．根据此规律计算： ． 【答案】 【解析】根据题意，． 故答案为：． 9．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【解析】解：一个正数的平方根分别是和， 分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； 的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为， 故答案为：． 10．已知，，，，则 ． 【答案】 【解析】解： ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 【答案】(1)，，，，， (2)，， (3)，， 【解析】（1）解：，故是分数，是有理数； ，故是整数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 故有理数集合：{，，，，，}． （2）解：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无限不循环小数，是无理数； ，是开方开不尽的数，故是无限不循环小数，是无理数； 故无理数集合：{，，}． （3）解：∵，故是负实数； ∵，故是负实数； ∵，故是负实数； 故负实数集合：{，，}． 12．（1）计算：． （2）解方程．． 【答案】（1）；（2）或 【解析】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或． 13．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：由题意可得， ． （2）解：当，时，， 所以的平方根是． 14．某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 【答案】待建的三面墙的总长度是． 【解析】解：长方体池塘长、宽、高， 长方体池塘的体积为， 建造后等体积的正方体池塘的长为， 待建的三面墙的总长度是． 15．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【答案】(1)160米 (2)不能，理由见解析 【解析】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 能力提升进阶练 一、单选题 1．公元前500年，毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、是有限小数，不是无理数，本选项不符合题意； B、是无理数，本选项符合题意； C、是分数，不是无理数，本选项不符合题意； D、是整数，不是无理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．，则不符合题意， B．，则不符合题意， C．，则不符合题意， D．无意义，则符合题意， 故选：D． 3．如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解析】解：根据题意得：被阴影覆盖的数在1和3之间， ∵，， ∴，， ∴， ∴符合题意的为B． 故选：B 4．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：小宇制作的正方体礼盒的表面积为， 其棱长为， 小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小， 小恒制作的正方体礼盒的边长为， 故选：B． 5．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 二、填空题 6． 的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数为 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴的立方根是， ∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的倒数为， 故答案为：，，． 7．某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为 ． 【答案】 【解析】解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 故答案为：． 8．若，则 ． 【答案】5或1/1或5 【解析】 ， ∴或， 故答案为：5或1． 9．已知与互为相反数，的立方根是2，则的平方根为 ． 【答案】 【解析】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， ∵的立方根是2， ∴， ∴ ∴ ∴的平方根是． 故答案为：． 10．数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位： ，0，，，，2024，，（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{____________________}；“分数”席：{_____________________}． 【答案】(1)3 (2)0，2024，；， 【解析】（1）解：，0，，，，2024，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）中，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数， ∴主办方需要准备3个“无理数”的席位； 故答案为3； （2）在，0，，，，2024，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）中 0，2024，是整数； ，是分数； ∴“整数”席：{0，2024，}；“分数”席：{，}． 故答案为0，2024，；，． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； 12．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【解析】（1）解： ； （2）∵， ， ∴． 13．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， 综上； （2）解：∵， ∴， ∵5的平方根为， ∴的平方根为． 14．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵正方体金属块的体积为， ∴这个正方体金属块的棱长为； （2）解：重新铸造的长方体的底面积为：， ∴长方体容器的底面边长为：． 15．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 【答案】(1)， (2)①，画图见解析；②画图见解析 【解析】（1）解：由图1知，小正方形的对角线长是， ∴图2中点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案是：， （2）解：①长方形的面积是5，拼成的正方形的面积也应该是5， ∴正方形的边长是， 如图所示： 故答案是：； ②如图所示： 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 实数（复习讲义） 1．理解算术平方根、平方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解算术平方根、平方根的概念；②学会计算一个数的算术平方根、平方根；③了解平方根在实际问题中的应用。 2．理解立方根的概念及计算，并且能熟练应用在实际问题中。 ①理解立方根的概念；②学会计算一个数的立方根；③了解立方根在实际问题中的应用。 3．理解实数的概念及其分类，学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 ①理解无理数的定义及性质；②理解实数的概念及其分类；③学会在数轴上表示实数并且能利用数轴比较大小。 知识点01 无理数 1）有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 2）无理数：无限不循环小数称为无理数。 知识点02 算术平方根 1）算数平方根：如果一个正数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么这个正数x叫作ɑ的算数平方根，记作，读作“根号ɑ”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0。 2）正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。 知识点03 平方根 1）平方根：一般地，如果一个数x的平方等于ɑ，即x2=ɑ,那么x叫作ɑ的平方根（也叫作二次方根）。 2）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 3）开平方：求一个数ɑ（ɑ≥0）的平方根的运算叫作开平方，ɑ叫作被开方数。 知识点04 立方根 1）立方根：一般地，如果一个数x的立方等于ɑ，即x3=ɑ,那么这个数x叫作ɑ的立方根（也叫作三次方根）。 2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 3）开立方：求一个数ɑ的立方根的运算叫作开立方，立方运算与开立方运算互为逆运算。 4）数ɑ的立方根记作“”，读作“三次根号ɑ”，其中ɑ叫作被开方数，3叫作根指数。 5）一般而言，如果ɑ>0，那么=—。也就是说，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取相反数。 知识点05 实数 1）实数：有理数与无理数统称为实数。 2）实数的分类： ①按实数的符号分类：正实数（正有理数和正无理数）、0、负实数（负有理数和负无理数）。 ②按实数的概念分类：有理数（有限小数或无限循环小数）、无理数（无限不循环小数）。 3） 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 4） 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 5）事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数和数轴上的点一一对应的。 6）在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的实数大。 题型一 求一个数的平方根、立方根 【例1】下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】计算： ， ． 题型二 已知一个数的平方根、立方根，求这个数 【例2】已知的立方根为，是的一个平方根，求的平方根． 【变式2-1】若一个数的两个平方根分别是与，则这个数为（   ） A．3 B．4 C．9 D． 【变式2-2】已知的立方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值． (2)求的平方根． 【变式2-3】（1）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根； （2）已知和是正数m的平方根，求正数m的值． 题型三 利用平方根、立方根解方程 【例3】求下列各式中x的值． (1)； (2) 【变式3-1】解方程： (1) (2) 【变式3-2】利用开方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式3-3】求下列各式中的x． (1)． (2)． 题型四 平方根、立方根的应用 【例4】王师傅有一个体积为的铁块原料，王师傅想要将这个铁块熔化并重新锻造成新的形状． (1)若将原料重新锻造成一个底面为正方形、高为的长方体，求长方体底面正方形的边长． (2)王师傅现将原料锻造成三个大小相同的正方体铁块，制作完成后剩下的余料体积为，求制作成的每一个小正方体铁块的棱长． 【变式4-1】一个体积为的正方体放在桌子上，则它盖住桌子的面积是 ． 【变式4-2】小明找了一张长方形纸片，纸片的长宽之比为，纸片面积为． (1)请你帮小明求出纸片的长和宽； (2)小明将这张纸片裁出一张面积为的正方形纸片，他能够裁出想要的正方形纸片吗？请说明理由． (3)小明想利用这张纸片裁出一张面积为的完整圆形纸片，他能够裁出想要的圆形纸片吗？请说明理由（取） 【变式4-3】如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型五 实数的分类 【例5】在实数，，，中，有理数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-1】在实数，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式5-2】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，π，，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 【变式5-3】把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，2013，，（每两个5之间多一个0），， (1)正数集合：         ． (2)非正整数集合：          ． (3)无理数集合：         ． (4)分数集合：          ． 题型六 实数与数轴 【例6】数轴上，两点间的整数点有 个． 【变式6-1】如图，数轴上点P表示的无理数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【变式6-3】数轴上到表示的点距离为的点表示的数是 ． 题型七 实数的混合运算 【例7】计算： (1) (2) 【变式7-1】计算： (1) (2) 【变式7-2】计算： 【变式7-3】计算：． 题型八 新定义下的实数运算 【例8】规定一种新运算：，那么 ． 【变式8-1】定义新运算“”，规定：，如，则的运算结果为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】规定一种新运算，对于任意实数a，b，都有，比如，计算的值是 ． 【变式8-3】对有理数x、y定义一种新运算“※”，满足：． (1)求的值； (2)求的值， (3)任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和中，并比较它们的运算结果：和． 基础巩固通关测 一、单选题 1．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法不正确的是（   ） A．实数包括有理数和无理数 B．实数和数轴上的点一一对应 C．的算术平方根是4 D．平方根和立方根相等的数是0 3．已知，则的值为（    ） A．1 B．7 C．9 D．4 4．下列说法中，正确的是（    ） A． B． 的算术平方根是3 C．1的立方根是 D．是7的一个平方根 5．已知的立方根是4，则的平方根是（   ） A．5 B． C． D． 二、填空题 6．的平方根是 ， 的立方根是． 7．已知与是正数的平方根，则的值是 ． 8．设表示不小于的最小整数，如：，．根据此规律计算： ． 9．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为 ． 10．已知，，，，则 ． 三、解答题 11．把下列各数填入相应的集合中：，，，，，，，， (1)有理数集合：{                    ⋯⋯}； (2)无理数集合：{                     ⋯⋯}； (3)负实数集合：{                     ⋯⋯}． 12．（1）计算：． （2）解方程．． 13．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 14．某农户原计划利用现有的一面墙，再修三面墙，建造如图所示的长方体池塘，用来培育鱼苗，长方体池塘长、宽、高．后听从建筑师的建议改为建造等体积的正方体池塘，则待建的三面墙的总长度是多少（不考虑墙的厚度）？ 15．一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 能力提升进阶练 一、单选题 1．公元前500年，毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不能用有理数表示，人们把这些数取名为无理数．下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，数轴的一部分被阴影覆盖了，则被阴影覆盖的数可能是（    ） A． B． C． D．以上都不对 4．春节来临之际，小宇和小恒分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给爸爸妈妈已知小宇制作的正方体礼盒的表面积为，而小恒制作的正方体礼盒的棱长比小宇制作的正方体礼盒的棱长小，则小恒制作的正方体礼盒的边长为（ ） A． B． C． D． 5．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 6． 的立方根为 ，的平方根为 ，的倒数为 ． 7．某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为 ． 8．若，则 ． 9．已知与互为相反数，的立方根是2，则的平方根为 ． 10．数学文化节邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位： ，0，，，，2024，，（每两个“1”之间依次多一个“0”） (1)主办方需要准备______个“无理数”的席位； (2)请为下列席位找到对应的嘉宾： “整数”席：{____________________}；“分数”席：{_____________________}． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； 12．小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数，加键，再输入数，就可以得到运算：． (1)求的值； (2)求的值． 13．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 14．实验课上，张老师拿出一块体积为的正方体金属块，并提出了两个问题： (1)这个正方体金属块的棱长是多少？ (2)张老师将这个金属块熔化后，倒入一个底面是正方形的长方体容器中（容器壁厚度可忽略不计），重新铸造成长方体，测得重新铸造的长方体的高为，求这个长方体容器的底面边长． 15．如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法． (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______； (2)请你参照上面的方法： ①把图3中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长______．（注：小正方形边长都为1，拼接不重叠也无空隙） ②在①的基础上，参照图2的画法，在数轴上分别用点M、N表示数a以及．（图中标出必要线段的长） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $