27.3 实际问题与反比例函数(第3课时)-教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

教学设计 《27.3 实际问题与反比例函数(第3课时)》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是实际问题与反比例函数第3课时，教材安排物理实验探究：气体压强与体积. 和前面已知现成公式建模不同，本节课从实验表格数据出发，画散点图，观察分布，选择反比例函数拟合，求k平均值，建立近似模型，检验模型，再进行预测求值. 这是统计与函数结合的内容，拓展函数建模的类型. 前面课时是“已知关系写解析式”，本节课是“从实验数据找函数模型”，完善学生对函数建模完整认知. 体会实际中模型是近似拟合，不是所有点严格在曲线上. 发展数据分析、模型观念，为高中数学统计拟合打下基础，是本单元提升数学核心素养的重要一课. 学习者分析 学生已经会利用现成公式建立反比例模型，但是对于从实验表格数据建立近似函数模型没有学习经验. 学生习惯题目给出明确数量关系，对于“数据只是近似满足解析式”不容易理解. 学生会描点画图，但画散点图，观察散点形态选择函数模型对学生是新挑战. 小组合作可以分工完成读取表格、计算、画图任务. 教学严格依托教材探究完整四步，设置问题串，区分“精确模型”和“实验近似拟合模型”. 教学目标 1.了解利用实验数据建立函数模型的基本思路，会绘制散点图，能根据散点分布特征判断可选用反比例函数拟合变量间的关系． 2.完整经历画散点图→建立模型→检验模型→求解预测的全过程，会利用多组数据求参数的平均值，确定反比例函数解析式并进行求值预测． 3.通过气体压强与体积的跨学科探究，体会函数是刻画变量关系的数学模型，发展数据分析意识与模型观念． 教学重点 经历实验数据建立反比例近似模型完整四步骤，完成气体压强与体积探究. 教学难点 理解实验得到的是近似函数模型，数据点不需要全部落在函数图象上. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1.了解利用实验数据建立函数模型的基本思路，会绘制散点图，能根据散点分布特征判断可选用反比例函数拟合变量间的关系． 2.完整经历画散点图→建立模型→检验模型→求解预测的全过程，会利用多组数据求参数的平均值，确定反比例函数解析式并进行求值预测． 3.通过气体压强与体积的跨学科探究，体会函数是刻画变量关系的数学模型，发展数据分析意识与模型观念． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：前2节课的学习中，通过实际问题建立反比例模型的前提是什么？ 答案：题目给出数量关系，两个变量乘积为定值. 导入：我们知道，函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题． 学生活动2： 学生积极回答问题，并对比旧建模方式，进入新课 活动意图说明： 通过对比旧的建模方式，制造认知冲突，引出本节课实验数据拟合模型. 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：某物理实验小组研究气体的压强(单位：)与体积(单位：)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据(如表1所示). 序号 1 2 3 4 5 6 体积 20 18 16 14 12 10 压强 100 112 123 145 163 201 表1 气体的压强与体积是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位). 分析：由表可知，压强是体积的函数.由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图(如图1所示).观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现，图2中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积之间的关系. 图1 图2 (2)建立模型.设函数解析式为，根据表1中的数据，分别求出的值，列出表2. V 20 8 16 14 12 10 100 112 123 145 163 201 2000 2016 1968 2030 1956 2010 表2 计算所有值的平均值，得 我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型 ① (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强与体积的关系. (4)求解问题.将代入①，得 解得 因此，当压强为时，气体的体积约为. 思考1：“探究”的表1中的有些数对只能近似满足函数解析式，即图1中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 答案：以往解决的问题是依据实际问题中确定的变量关系建立函数模型，而对于探究栏目中的问题，需要先分析数据、直观呈现数据变化趋势后，再评估数据所满足的函数类型，建立函数模型. 思考2：结合“探究”和问题(1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤. 答案：一般步骤：根据数据画散点图；分析数据变化规律，初步建立函数模型；检验函数模型；用函数模型解决问题. 学生活动3： 小组合作探究，小组分工读取表格数据，计算各组k值，计算平均值；小组讨论实验近似模型与之前精确模型的区别；小组代表梳理建模四步骤. 活动意图说明： 通过教材探究，引导学生理解近似拟合，小组分工完成复杂计算，突破“近似模型”这个难点，落实数据分析素养. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：27.3 实际问题与反比例函数(第3课时) 一、利用实验数据建立近似反比例模型 二、注意：实验模型是近似模型，实验点不需要全部落在函数图象上 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率（单位：）与做功的时间（单位：）近似存在反比例函数关系．如表是他们实验的几组数据： （单位：） （单位：） 则功率与做功的时间之间的函数模型是（     ） A． B． C． D． 答案：A 2．某物理实验小组在探究“杠杆平衡条件”时，记录了动力臂与对应动力的部分数据如下表： 动力臂 0.1 0.2 0.4 0.8 动力 20 10 5 2.5 观察表中数据发现，与的乘积始终为定值2．若该定值保持不变，当动力臂时，所需的动力______． 答案：8 3．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系．验光师测得几组关于近视眼镜的度数与镜片焦距的对应数据如下表： 镜片焦距x（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据表格数据，求与的函数关系式； (2)小红原来佩戴度的近视眼镜，经过视力矫正和健康用眼，视力改善后，镜片焦距变为米，求小红的近视眼镜度数降低了多少度？ 解：（1）设与的函数关系式为 当时，，代入： 与的函数关系式为 （2）由（1）得与的函数关系式为 当时，（度） （度） 小红的近视眼镜度数降低了度． 选做题： 4．在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：A 【综合拓展类练习】 5．气体的密度是指单位体积内所含气体的质量．现有质量为的某种气体，将这的气体注入容积为的储气罐后，罐中气体的密度为． (1)写出用V表示的函数表达式 (2)当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为多大？ (3)要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为多少立方米的储气罐？ (4)在图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并根据图象回答： ①当储气罐的容积增大时，罐中气体的密度将怎样变化？ ②把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度在什么范围内？ 解：（1）∵， ∴当时，，即函数表达式为． （2）当时，． 答：当把这些气体注入容积为的储气罐时，罐中气体的密度为． （3）当时，，解得：． 答：要使罐中气体的密度，需把这些气体注入容积为的储气罐． （4）函数的图像是反比例函数在第一象限的一支， 列表： V …… 1 2 3 4 5 6 7 …… …… 7 1 …… 描点，连线如下： ①∵在第一象限，V增大，ρ减小， ∴这些气体的体积增大时，密度变小； ②∵容积不超过2m3，即， 当时，，且V越小，ρ越大， ∴，即把这些气体注入容积不超过的储气罐，罐中气体的密度的范围为． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在电压恒定、电功不变的条件下，物理小组利用小电动机提升同一重物，研究“用电器电流I与通电时间t”的关系，记录了5组实验数据如下表：经分析，I与t满足某种函数关系，则I与t的函数关系式为（   ） 电流I（安） 0.4 1.0 1.6 2.0 2.5 时间t（秒） 25 10 6.25 5 4 A． B． C． D． 答案：C 2．在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式传播．5G技术的发展，使得依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长λ（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长λ与频率f的部分对应值： 频率（） 波长（） 则当时，电磁波的波长为________． 答案： 3．越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，小李决定从家骑行去某古镇．当路程一定时，小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系．根据以往的骑行两地的经验，、的一些对应值如表： (1)根据表中的数据求小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式； (2)当骑行速度为时，小李上午从家出发，请判断他能否在上午之前到达目的地，并说明理由． 解：（1）∵小李骑行的平均速度（单位：）与骑行时间成反比例关系， ∴设关系式为， 代入，得， 解得， ∴小李骑行的平均速度与骑行时间之间的关系式为； （2）不能，理由如下： 当时，则， 解得， ∴当骑行速度为时，小李的骑行时间为， ∵上午从家出发到上午为，且， ∴他不能在上午之前到达目的地． 选做题： 4．一定电压（单位：V）下电流和电阻之间近似成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流随着电阻值的变化而变化的一组数据如表格所示． … 2 3 4 6 12 … … 23.9 15.8 12.1 a 4.1 … 下列说法不正确的是（     ） A．表中 B．这个蓄电池的电压值大约是 C．图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系 D．若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是 答案：D 【综合拓展类作业】 5．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 解：（1）观察表格数据，每组x与y的乘积近似为常数，故y是x的反比例函数， 设函数解析式为， 将，代入，得， 代入其余各组数据验证，结果均与表格中y的数值近似相等， 故函数解析式为； （2）当时，代入，得， 解得， 答：该屏幕尺寸为55英寸． 教学反思 本节课学生对于四步建模流程可以记住，但不容易理解“近似模型”，很多学生依旧认为所有数据点必须在曲线上. 多组k求平均值计算量大，部分小组计算出错，需要教师巡视帮助. 后续教学可以再举一组简单表格练习，强化区分精确模型和实验拟合模型，加深对数据分析、模型观念的理解. 学科网（北京）股份有限公司 $