专题06 直线与圆的位置关系全章6考点5重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题06 直线与圆的位置关系 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线与圆的三种位置关系 考点二 切线的判定 考点三 切线的性质 考点四 切线长定理 考点五 三角形的内切圆与内心 考点六 正多边形与圆 05 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 题型二 证明圆的切线 题型三 利用切线性质求线段长或角度 题型四 切线长定理的应用 题型五 内切圆半径与阴影面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 考查形式 常见题型 分值参考 出现频次 直线与圆的位置关系判定 选择·填空 判断d与r、交点个数 3—4分 高频（几乎必考） 切线的判定与性质 解答 证明题、求线段长/角度 6—10分 必考核心 切线长定理 解答·填空 求切线长、证线段相等 3—6分 高频 三角形的内切圆（内心） 填空·解答 求半径、面积、内心性质 3—6分 中高频 正多边形与圆 填空 中心角、边心距、半径 3—4分 中频 识记 ① 位置关系由“公共点个数”定义、由“d与r”定量判定；② 切线判定定理“过半径外端”与“垂直”两条件缺一不可； 理解 ① 理解内心（内切圆）与外心（外接圆）的区别；② 理解内切圆面积公式 S△＝的由来（分割法）；③ 理解正多边形中心角、边心距、半径的含义。 应用 ① 会用d与r判定直线与圆的位置关系；② 会证明圆的切线（有切点连半径证垂直、无切点作垂线证d＝r）；③ 会求切线长、内切圆半径、阴影部分面积；④ 会用尺规作三角形的内切圆。 考点一 直线与圆的三种位置关系 三种位置关系：相离有　＿＿个公共点；相切有　＿＿个公共点（该点叫　＿＿＿＿）；相交有　＿＿个公共点。 数量判定：d　＿＿ r 相离；d　＿＿ r 相切；d　＿＿ r 相交。 圆心到直线的距离d指过圆心作直线垂线所得的　＿＿＿＿＿＿的长度，不是到直线上任意点的距离。 ⚠️概念辨析 位置关系由“公共点个数”定义，但公共点个数不易直接数出，因此常用“d与r的大小”作定量判定。d是圆心到直线的垂线段长，不是圆心到直线上任意一点的距离。 ⚠️记忆口诀 “远d离、近d交、恰d切”——d＞r相离，d＜r相交，d＝r相切。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 点与圆 vs 直线与圆的位置关系 点与圆用“点到圆心的距离”与半径比较；直线与圆用“圆心到直线的距离d”与半径比较。 相离、相交的方向 d＞r相离（远），d＜r相交（近），方向别记反。 切点个数 相切有且只有1个公共点，不是“至少1个”。 ⚠️避坑指南 ❌ 求d必须先过圆心作直线的垂线段，切勿用“圆心到直线上某个点”的距离代替； ❌ 画图时“看起来相交/相切”不算数，必须由d与r（或公共点个数）确定。 考点二 切线的判定 判定定理：经过半径的　＿＿＿＿并且　＿＿＿＿这条半径的直线是圆的切线，两条件缺一不可。 切点已知：连半径，证　＿＿＿＿；切点未知：作垂线，证 d　＿＿ r。 ⚠️概念辨析 判定定理是“已知垂直且过半径外端 → 推出切线”；只垂直但不过外端，或过外端但不垂直，都不能判定切线。 ⚠️记忆口诀 “有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径（d＝r）”。 ⚠️易混易错 　 易混点 辨析 判定定理 vs 性质定理 判定：垂直＋过外端 → 切线；性质：已知切线 → 垂直过切点半径。 漏掉“过外端” 只证垂直而漏证“点在圆上（半径外端）”，即误判为切线。 数量法的对象 数量法用圆心到直线距离d，不是切线段长。 ⚠️避坑指南 ❌ 切点已知（图中标出字母）：连半径，证垂直； ❌ 切点未知（未标出）：过圆心作垂线，证 d＝r； ❌ 不能仅凭“图形看起来垂直”下结论，要有依据（互余、平行、全等、相似等推得直角）。 考点三 切线的性质 圆的切线　＿＿＿＿于过切点的半径（OA　＿＿ l）；圆心到切线的距离　＿＿＿＿半径。 ⚠️概念辨析 性质是“已知切线 → 推出垂直”；判定是“已知垂直＋过外端 → 推出切线”，二者方向相反，切勿混淆。 ⚠️记忆口诀 “见切点，连半径，得垂直”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 切线长 vs 切线 切线是直线；切线长是“圆外一点到切点”的线段长。 垂直于“过切点的半径” 是过切点的那条半径，不是任意半径。 ⚠️避坑指南 ❌ 见到切线，第一反应“连切点与圆心，得直角”，直角是后续勾股、相似、三角比的前提； ❌ 若图形中“看起来垂直”，必须由切线性质或计算验证，不能直接当作已知条件。 考点四 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长　＿＿＿＿；这一点与圆心的连线　＿＿＿＿两切线的夹角，即 PA　＿＿ PB。 ⚠️概念辨析 “切线长”是线段长，不是切线这条直线本身；由切线性质可得 PA⊥OA、PB⊥OB，从而可构造直角三角形，用勾股定理求切线长。 ⚠️记忆口诀 “外点引两切线，切线长必相等；连心线平分夹角”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 PA、PB 是哪两条 是点P到切点A、B的两条线段长，不是割线。 OP平分哪个角 OP平分两切线的夹角（∠APB及其对应圆心角）。 ⚠️避坑指南 ❌ 切线长相等，但两条“切线”（直线）本身不比较长短，要看清比较对象是“线段长”； ❌求切线长常需连接切点与圆心构成直角三角形 考点五 三角形的内切圆与内心 与三角形各边都　＿＿＿＿的圆叫内切圆；内心是三条　＿＿＿＿＿＿的交点，到三边的距离　＿＿＿＿。 面积公式：S△＝　＿＿×　＿＿×(a＋b＋c)；内切圆半径 r＝　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（用S△与周长表示）。 直角三角形的内切圆半径 r＝　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ⚠️概念辨析 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等）与外心（三条垂直平分线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等）要分清。 ⚠️记忆口诀 “内切看内心，角分交一点，三边距相等；面积＝×周长×半径”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 内心 vs 外心 内心＝角平分线交点（内切圆）；外心＝垂直平分线交点（外接圆）。 到“三边” vs 到“三顶点” r＝ 仅适用于直角三角形。 ⚠️避坑指南 ❌ 内切圆半径公式中 a＋b＋c 是三角形周长，不是某一条边； ❌ 求阴影面积常用“分割法”：把△ABC分成三个以内心为顶点的小三角形，面积之和即 S△＝。 考点六 正多边形与圆 正n边形的中心角 α＝　＿＿＿＿＿＿＿＿（用分数表示）；半径是中心到　＿＿＿＿的距离；边心距是中心到　＿＿＿＿的距离。 ⚠️概念辨析 中心角把周角360°均分给n条边；半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，正三角形、正方形、正六边形有常用比值，建议识记。 ⚠️记忆口诀 “中心角＝；半径、边心距、半边长构直角”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 半径 vs 边心距 中心角＝；内角＝，二者不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 中心角公式中n是边数，不能带错； ❌ 半径是中心到顶点，边心距是中心到边，两者勿混。 题型一 判定直线与圆的位置关系 典例1 （25-26九年级上·湖北武汉·期中）在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 💡破题要诀 先确定圆心与半径r，再过圆心求到直线的距离d（作垂线段；坐标法可算点到直线距离），最后比较d与r。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（    ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切 D．与轴相切 3．（25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是_____． 题型二 证明圆的切线 典例2 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 💡破题要诀 ① 切点已标出：连圆心与切点，证该半径垂直于已知直线（用互余、平行、等腰、全等、相似推直角）； ② 切点未标出：过圆心作已知直线的垂线，证垂线段长等于半径（d＝r）。 要诀口诀：有切点连半径证垂直，无切点作垂线证半径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，点A在上，边交于点C，于点D．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 题型三 利用切线性质求线段长或角度 典例3 （25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 💡破题要诀 见到切线→连切点与圆心得直角→直角三角形→勾股定理/相似比/锐角三角比求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．（25-26九年级上·湖北·期中）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    (1)求证：平分 ； (2)若，求的度数． 3．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 题型四 切线长定理的应用 典例4 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C是弧上任意一点，过点C作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为______．    💡破题要诀 找到圆外一点引的两条切线→PA＝PB→常与四边形周长、半周长、角平分结合列等量关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为________． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 题型五 内切圆半径与阴影面积 典例5 （24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为______． 💡破题要诀 用分割法 S△＝ 反求半径r，或求阴影部分面积；直角三角形可用 r＝ 简化。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）； (3)如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 4．（25-26九年级上·北京·期中）若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为______． 5．（25-26九年级上·四川广安·期中）由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____． 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与相切于点D，也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． (1)小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； (2)请你帮小军计算的直径． 10．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 11．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C．是的平分线 D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，I为内心，则______． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为______． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是___________． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________时，与坐标轴相切． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知：是的直径，弦平分，于点D，E是延长线上一点，交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，． ①连接，求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆的位置关系 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线与圆的三种位置关系 考点二 切线的判定 考点三 切线的性质 考点四 切线长定理 考点五 三角形的内切圆与内心 考点六 正多边形与圆 05 重难题型突破 题型一 判定直线与圆的位置关系 题型二 证明圆的切线 题型三 利用切线性质求线段长或角度 题型四 切线长定理的应用 题型五 内切圆半径与阴影面积 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点 考查形式 常见题型 分值参考 出现频次 直线与圆的位置关系判定 选择·填空 判断d与r、交点个数 3—4分 高频（几乎必考） 切线的判定与性质 解答 证明题、求线段长/角度 6—10分 必考核心 切线长定理 解答·填空 求切线长、证线段相等 3—6分 高频 三角形的内切圆（内心） 填空·解答 求半径、面积、内心性质 3—6分 中高频 正多边形与圆 填空 中心角、边心距、半径 3—4分 中频 识记 ① 位置关系由“公共点个数”定义、由“d与r”定量判定；② 切线判定定理“过半径外端”与“垂直”两条件缺一不可； 理解 ① 理解内心（内切圆）与外心（外接圆）的区别；② 理解内切圆面积公式 S△＝的由来（分割法）；③ 理解正多边形中心角、边心距、半径的含义。 应用 ① 会用d与r判定直线与圆的位置关系；② 会证明圆的切线（有切点连半径证垂直、无切点作垂线证d＝r）；③ 会求切线长、内切圆半径、阴影部分面积；④ 会用尺规作三角形的内切圆。 考点一 直线与圆的三种位置关系 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d（即过圆心作直线l的垂线段长度），则： 相离：直线与圆没有公共点，且 d＞r； 相切：直线与圆有且只有1个公共点（切点），且 d＝r； 相交：直线与圆有2个公共点，且 d＜r。 判定方法：定义法（看公共点个数）、数量法（比较d与r的大小）。 ⚠️概念辨析 位置关系由“公共点个数”定义，但公共点个数不易直接数出，因此常用“d与r的大小”作定量判定。d是圆心到直线的垂线段长，不是圆心到直线上任意一点的距离。 ⚠️记忆口诀 “远d离、近d交、恰d切”——d＞r相离，d＜r相交，d＝r相切。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 点与圆 vs 直线与圆的位置关系 点与圆用“点到圆心的距离”与半径比较；直线与圆用“圆心到直线的距离d”与半径比较。 相离、相交的方向 d＞r相离（远），d＜r相交（近），方向别记反。 切点个数 相切有且只有1个公共点，不是“至少1个”。 ⚠️避坑指南 ❌ 求d必须先过圆心作直线的垂线段，切勿用“圆心到直线上某个点”的距离代替； ❌ 画图时“看起来相交/相切”不算数，必须由d与r（或公共点个数）确定。 考点二 切线的判定 判定切线有三种方法： ① 定义法：直线与圆有且只有一个公共点； ② 数量法：圆心到直线的距离 d＝r； ③ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定定理的两个条件——直线过半径的外端点A、且直线垂直于半径OA——缺一不可。 ⚠️概念辨析 判定定理是“已知垂直且过半径外端 → 推出切线”；只垂直但不过外端，或过外端但不垂直，都不能判定切线。 ⚠️记忆口诀 “有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂线，证半径（d＝r）”。 ⚠️易混易错 　 易混点 辨析 判定定理 vs 性质定理 判定：垂直＋过外端 → 切线；性质：已知切线 → 垂直过切点半径。 漏掉“过外端” 只证垂直而漏证“点在圆上（半径外端）”，即误判为切线。 数量法的对象 数量法用圆心到直线距离d，不是切线段长。 ⚠️避坑指南 ❌ 切点已知（图中标出字母）：连半径，证垂直； ❌ 切点未知（未标出）：过圆心作垂线，证 d＝r； ❌ 不能仅凭“图形看起来垂直”下结论，要有依据（互余、平行、全等、相似等推得直角）。 考点三 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径（OA⊥l，A为切点）； 圆心到切线的距离等于半径（d＝r）； 切线与圆有且只有一个公共点（切点）。 ⚠️概念辨析 性质是“已知切线 → 推出垂直”；判定是“已知垂直＋过外端 → 推出切线”，二者方向相反，切勿混淆。 ⚠️记忆口诀 “见切点，连半径，得垂直”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 切线长 vs 切线 切线是直线；切线长是“圆外一点到切点”的线段长。 垂直于“过切点的半径” 是过切点的那条半径，不是任意半径。 ⚠️避坑指南 ❌ 见到切线，第一反应“连切点与圆心，得直角”，直角是后续勾股、相似、三角比的前提； ❌ 若图形中“看起来垂直”，必须由切线性质或计算验证，不能直接当作已知条件。 考点四 切线长定理 定义：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长； 定理：从圆外一点P引⊙O的两条切线PA、PB（A、B为切点），则 PA＝PB；且线段PO平分两切线的夹角（即OP平分∠APB）。 ⚠️概念辨析 “切线长”是线段长，不是切线这条直线本身；由切线性质可得 PA⊥OA、PB⊥OB，从而可构造直角三角形，用勾股定理求切线长。 ⚠️记忆口诀 “外点引两切线，切线长必相等；连心线平分夹角”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 PA、PB 是哪两条 是点P到切点A、B的两条线段长，不是割线。 OP平分哪个角 OP平分两切线的夹角（∠APB及其对应圆心角）。 ⚠️避坑指南 ❌ 切线长相等，但两条“切线”（直线）本身不比较长短，要看清比较对象是“线段长”； ❌求切线长常需连接切点与圆心构成直角三角形 考点五 三角形的内切圆与内心 定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心； 内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r； 面积公式：设三角形三边为a、b、c，周长p＝a＋b＋c，内切圆半径r，则 S△＝，从而 r＝； 直角三角形（两直角边a、b，斜边c）的内切圆半径 r＝。 核心公式：， ⚠️概念辨析 内心（三条角平分线交点，内切圆圆心，到三边距离相等）与外心（三条垂直平分线交点，外接圆圆心，到三顶点距离相等）要分清。 ⚠️记忆口诀 “内切看内心，角分交一点，三边距相等；面积＝×周长×半径”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 内心 vs 外心 内心＝角平分线交点（内切圆）；外心＝垂直平分线交点（外接圆）。 到“三边” vs 到“三顶点” r＝ 仅适用于直角三角形。 ⚠️避坑指南 ❌ 内切圆半径公式中 a＋b＋c 是三角形周长，不是某一条边； ❌ 求阴影面积常用“分割法”：把△ABC分成三个以内心为顶点的小三角形，面积之和即 S△＝。 考点六 正多边形与圆 中心：正多边形外接圆的圆心；半径：外接圆半径R（中心到顶点距离）； 边心距：中心到一边的垂线段长；中心角：每一边所对的圆心角，α＝（n为边数）； 圆的外切正多边形：正多边形各边都是同一圆的切线。 ⚠️概念辨析 中心角把周角360°均分给n条边；半径、边心距、边长的一半构成直角三角形，正三角形、正方形、正六边形有常用比值，建议识记。 ⚠️记忆口诀 “中心角＝；半径、边心距、半边长构直角”。 ⚠️易混易错 易混点 辨析 半径 vs 边心距 中心角＝；内角＝，二者不同。 ⚠️避坑指南 ❌ 中心角公式中n是边数，不能带错； ❌ 半径是中心到顶点，边心距是中心到边，两者勿混。 题型一 判定直线与圆的位置关系 典例1 （25-26九年级上·湖北武汉·期中）在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】B 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 💡破题要诀 先确定圆心与半径r，再过圆心求到直线的距离d（作垂线段；坐标法可算点到直线距离），最后比较d与r。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东聊城·期中）已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点坐标，以为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（    ） A．原点在内 B．原点在上 C．与轴相切 D．与轴相切 【答案】C 【详解】解：∵点， ∴点到原点的距离 ； ∵的半径为4， ∴， 故原点在外； 又∵点到轴的距离为，等于半径， ∴与轴相切； ∵点到轴的距离为，小于半径4， ∴与轴相交，而非相切． 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京·期中）在中，的半径为3，则边所在直线与的位置关系是_____． 【答案】相离 【详解】解：∵， ∴， 故点A到直线的距离等于， 由的半径为3，且， ∴边所在直线与相离。 故答案为：相离． 题型二 证明圆的切线 典例2 （25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，是的直径，是的中点，弦与交于点，是延长线上的一点，且．求证：是的切线． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：是的切线． 💡破题要诀 ① 切点已标出：连圆心与切点，证该半径垂直于已知直线（用互余、平行、等腰、全等、相似推直角）； ② 切点未标出：过圆心作已知直线的垂线，证垂线段长等于半径（d＝r）。 要诀口诀：有切点连半径证垂直，无切点作垂线证半径。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，点在上，为的中点，延长到点，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴． ∵C为弧的中点， ∴弧＝弧， ∴． ∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为直径， ∴直线是的切线． 2．（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【详解】(1)证明：如图，连接， ，， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 即． 又点在上， 为的切线； （2）解：，设，， 在中，． ， ， ， ， ∴， ∴． 即的半径为3． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，点A在上，边交于点C，于点D．是的平分线． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为3，，求的长． 【详解】(1)证明：∵于点D， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 题型三 利用切线性质求线段长或角度 典例3 （25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是的直径，E为延长线上一点，与相切于点C，于点D，连接．求证：． 【详解】证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 💡破题要诀 见到切线→连切点与圆心得直角→直角三角形→勾股定理/相似比/锐角三角比求线段或角度。 迁移应用 1．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 2．（25-26九年级上·湖北·期中）如图， 已知 ，点O为上一点，经过点B， 与相切于点D， 点E为上一点， 连接．    (1)求证：平分 ； (2)若，求的度数． 【详解】(1)证明： 如图， 连接，    ∵与相切， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 3．（26-27九年级上·天津·期中）已知内接于，，，点是上一点． (1)如图①，若为的直径，连接，求和的大小； (2)如图②，若，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴． 题型四 切线长定理的应用 典例4 （25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，点C是弧上任意一点，过点C作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为______．    【答案】40 【详解】解：∵分别⊙O相切于点A、B，且， ∴， ∵过C作⊙O的切线分别交于点D、E， ∴，， ∴， ∴的周长为40． 故答案为：40． 💡破题要诀 找到圆外一点引的两条切线→PA＝PB→常与四边形周长、半周长、角平分结合列等量关系。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，P是外一点，、分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于D、E，若的周长为16，则长为________． 【答案】8 【详解】解：由切线长定理得：， ∴的周长为： ， 已知周长为，且，故， 解得． 故答案为：8． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知：如图，是的切线，B，C是切点，过上的任意一点P作的切线与分别交于点D，E． (1)连接和，若，则_______； (2)已知，求的周长． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵都是的切线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵都是的切线， ∴， ∴的周长 ． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、． (1)求证：； (2)若是大圆的第三条弦，且，则与小圆相切吗？请说明理由． 【详解】(1)证明：连接、． 是小圆的两条切线，切点分别为， ． ． ． (2)MN与小圆相切． 理由：连接，过点作，垂足为， ． ， ． 在和中， ， ． 与小圆相切． 题型五 内切圆半径与阴影面积 典例5 （24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为______． 【答案】1 【详解】解：连接，则， 设， 在中，， 是的内切圆，切点分别为D、E、F， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形， ， ， ∴， 而， ， ，即的半径为1 故答案为：1． 💡破题要诀 用分割法 S△＝ 反求半径r，或求阴影部分面积；直角三角形可用 r＝ 简化。 迁移应用 1．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，的内切圆分别与、相切于点、点，若，则的长为________． 【答案】 【详解】解：记与相切于点，连接，如图所示： 设， ∵的内切圆分别与、相切于点、点， ∴,，， 则， 在中，， ∴， 解得， 即的长度为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）； (3)如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值． 【详解】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的切线， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴，，， 设半径，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：延长交于，连接，取中点，连接，， ∵直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，是的内切圆，切点分别为．若，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．20 D．36 【答案】D 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为， ∴， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 4．（25-26九年级上·北京·期中）若点M在内，则过M点的直线与的公共点个数为______． 【答案】2 【详解】解：∵点M在内， 则过点M的直线与圆相交， 即过M点的直线与的公共点个数为2， 故答案为：2． 5．（25-26九年级上·四川广安·期中）由边长为4的正方形的外接圆与内切圆组成的圆环（如图）的面积S为____． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴． ∴． ∴此正方形外接圆的面积为， 此正方形内切圆的面积为． ∴此圆环的面积． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，锐角内接于，I为内心，已知，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为内心， ∴、为、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，等边三角形的边长为2，的半径为1，点是上的动点，与相切于点，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作于， ∵与相切于， ， ∵的半径为1， ， 当与重合时，最小， ∵等边的边长为2， ， ， ∴的最小值为：． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，点、、是半径为2的上的三点，．求弦的长． 【答案】 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）本题是《测圆海镜》第二卷的第8题的一道弦外容圆问题：指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与相切于点D，也与相切，切点分别为点E，F，求的直径． (1)小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； (2)请你帮小军计算的直径． 【详解】(1)解：如图1，连接， ，是的切线， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的长就是的半径； （2）解：，步，步， 步， 设的半径为x步，则步， ，是的切线， 步， ，是的切线， 步， ， ， 解得：， 的直径为步， 的直径为240步． 10．（25-26九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)连接．若，，求的长． 【详解】(1)与相切，理由如下： 连接和， ， ， ， ， 是直径，D是的中点， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线； （2）设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，是的直径，过点D作的切线，点A是上一点，且，连接交于点B，点C是的中点，连接，，为的切线． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知的半径为1，求阴影部分的面积．（结果保留π） 【详解】(1)证明：如图，连接， 与都是的切线， ，， ， ， 又点C为的中点， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， 又∵， 矩形为正方形， 阴影部分的面积是． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　） A． B． C．是的平分线 D． 【答案】D 【详解】解：A、∵， ∴， 当时，则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； C、∵， ∴，则， ∵， ∴， 若是的平分线， 即时， 则， 即， 根据切线的判定，切于点C， 该选项正确，不符合题意； D、当时， 由得到， 则是等边三角形， 无法确定， 不能得到切于点C， 该选项不正确，符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，，I为内心，则______． 【答案】 【详解】解：如图，记与分别切于点，，连结，过点作于点， ∵为的内心， ∴，，，，， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ∴， 由，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，在中，，，，以为直径作．若与有两个交点，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：如图：分别过A，O两点作、，垂足分别为点E，点F， ∴，就是圆心O到的距离， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵在中，，， ∴，解得：， ∴， ∵为的直径，且， ∴当时，与相切于F点， ∴，解得：， ∴当时，与相切； 当点C在时，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴若与有两个交点，则的取值范围为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，是边长为的等边的外接圆，P是上一个动点，连接，则四边形面积的最大值是___________． 【答案】 【详解】解：∵是边长为的等边的外接圆， ∴ 过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， 则， 则四边形面积， ∵P是上一个动点，连接，且求四边形面积的最大值， ∴要取最大值， 当点在射线上时，此时， 即最大， ∵， ∴， 则 ∴， 在中，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积的最大值为， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，半径为的的圆心从点（点在直线上）出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动．设点运动的时间为秒，则当________时，与坐标轴相切． 【答案】4或8或12 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，时，；当时，，， ， ，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时，   点是切点，的半径是， 轴，， 是等腰直角三角形， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时，   ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③如图，仅与轴相切于点，则    ， ， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； 综上所述，则当或秒或秒时，与坐标轴相切， 故答案为：或或． 7．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，已知：是的直径，弦平分，于点D，E是延长线上一点，交于点F． (1)求证：是的切线． (2)若，． ①连接，求的度数； ②若的半径为，求线段的长． 【详解】(1)证明：∵平分， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， ，且为半径， ∴是的切线． （2）解：①， ， ， =45； ②如图，作于点， 则， ，， ， ， 在中，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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