专题05 一元二次方程有关的含参问题12大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题05 一元二次方程有关的含参问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由一元二次方程的定义求参数 题型02 已知一元二次方程各系数求参数 题型03 由一元二次方程的解求参数/代数式的值 题型04配方法求解一元二次方程、逆向求参数 题型05 与配方法应用有关的参数问题 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 题型07 已知含参方程的一个根求另一个根 题型08 根据换元法解方程求代数式的值 题型09 直接利用根与系数的关系求解 题型10 根据一元二次方程两根满足的情况求参数 题型11 与解一元二次方程有关的新定义问题 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义求参数 能依据一元二次方程定义，准确确定参数取值范围 基础小题，易错点：二次项系数不为 0 由方程系数求参数 能识别一元二次方程各项系数，求出参数 基础概念题，常和定义综合考查 由方程的解求参数、代数式的值 能将方程的根代入方程，求解参数或代数式的值 高频基础题，常结合整体代入思想 配方法求解一元二次方程、逆向求参数 能用配方法解方程，并求出对应参数 中档必考，配方法是本章核心方法 配方法应用类参数问题 能利用配方变形，求解代数式最值、参数 中档高频，易忽略配方恒等变形规则 由根的判别式判断根的情况求参数 会用根的判别式，根据根的情况求参数取值范围 期中重点，易错：二次项系数≠0、区分有无实数根 已知一根求另一根（韦达定理） 能利用根与系数关系，由一个根求另一个根 中档选择填空，韦达定理基础应用 换元法解方程求代数式的值 掌握换元思想，简化高次 / 复杂方程并求值 中档题型，重点考查整体思想 直接运用根与系数关系计算 熟练运用韦达定理，计算两根和、两根积相关代数式 高频大题、填空必考，注意符号 根据两根满足的条件求参数 结合根与系数关系，根据两根数量关系求参数 压轴小题，求出参数后要检验判别式 一元二次方程新定义问题 读懂新定义，结合方程知识完成推理计算 创新题型，区分度较高 结合根的情况综合求参数 综合判别式、二次项系数限制，求解参数范围 期中高频压轴，极易漏掉二次项系数不为 0 的条件 题型一 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 易｜错｜点｜拨 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程，当_______时，是一元二次方程；当_______时，是一元一次方程． 【答案】 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，分别对二次项系数、一次项系数列方程和不等式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， ∵是一元一次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，分别对二次项系数和一次项系数提出取值要求，推导得到对应条件． 【详解】解：∵关于的方程为当方程是一元二次方程， ∴， 解得； ∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 解得：且． 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 题型二 已知一元二次方程各系数求参数 解｜题｜技｜巧 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【典例2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 题型三 由一元二次方程的解求参数/代数式的值 解｜题｜技｜巧 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 【典例3】（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）若是方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据方程根的定义得到满足的等式，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 整理得， ∴． 【变式1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 【答案】2 【分析】已知方程为一元二次方程，且一个根为，先将根代入方程得到关于的方程，再结合一元二次方程的定义舍去不符合条件的解，得到的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∵方程有一个根为，将代入原方程得， 提取公因式得， 解得，， ∵， ∴舍去，最终得． 【变式2】（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 【变式3】（26-27九年级上·北京·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 【答案】4 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ，即． 代数式． 代入，得． 题型四 配方法求解一元二次方程、逆向求参数 解｜题｜技｜巧 用配方法求相关参数值时，若求一次项系数，分两种情况讨论. 若求常数项，即为一次项系数一半的平方，注意符号. 【典例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______． 【答案】/ 【分析】将原方程用配方法整理为的形式，得到和的值，即可计算． 【详解】解：对移项得， 将二次项系数化为，两边同除以得， 配方，两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得， 对比，得，， 因此． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 1 1 【详解】解：（1） （2） （3） （4） 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【分析】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【详解】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 题型五 与配方法应用有关的参数问题 【典例5】（2026年江苏省盐城市盐都区中考第三次阶段测试数学试题）设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【答案】3 【分析】先求出方程的正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：得，， 可知方程的正根为． ， ， ， 则． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了配方法的应用，求代数式的值． 移项后配方，利用完全平方式的非负性求出x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【答案】50 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为50； 故答案为50． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 【典例6】（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0；方程有实数解则根的判别式大于等于0，列出两个不等式求解，合并得到结果． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即 ，得 ， ∵原方程有实数解， ∴根的判别式， 解得， 综上可得的取值范围是且． 【变式1】（26-27九年级上·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程无实数根的条件为判别式小于0，只需通过判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴判别式， 展开整理得， 解得， 因此的取值范围是． 【变式2】（2022·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】方程未说明是一元二次方程，需分一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，分别根据有实根的条件求的范围，再合并结果． 【详解】解：当，即时，原方程变形为，解得，有实数根，符合要求； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 即此时的范围是且； 综上，的取值范围是． 【变式3】（21-22九年级上·四川巴中·开学考试）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 【答案】且 【分析】原方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0，方程有实数根，因此根的判别式大于等于0，联立两个不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得∶ 且． 题型七 已知含参方程的一个根求另一个根 解｜题｜技｜巧 ①代入求参数，再解方程；②韦达定理（根与系数关系）直接求另一根（优先用，计算更快） 【典例7】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【答案】 【分析】设方程另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系中两根之积的公式，直接代入已知根求解即可，即对于一元二次方程，两根满足． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为，一元二次方程中，可得，，已知一个根为， ∴， 解得， 所以方程的另一个根为． 【变式1】（2026·江苏南京·一模）若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 【答案】 【分析】设一元二次方程的另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得两根之和为， ∵方程的一个根是， ∴， 解得，即另一个根是． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 利用一元二次方程根与系数的关系，根据已知根求另一个根即可． 【详解】解：设的两个实数根为，，其中， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根是t， 则， 解得， 故答案为：． 题型八 根据换元法解方程求代数式的值 解｜题｜技｜巧 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例8】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知实数满足，则代数式的值是____． 【答案】 【分析】将看作整体，利用因式分解法得到的可能取值，再利用一元二次方程根的判别式判断符合题意的取值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 设， 原方程可化为 或 解得或 当时，，整理得 ，方程无实数根，不符合题意，舍去； 当时，，整理得 ，方程有实数根，符合题意 ． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 【答案】， 【分析】令，将原方程变形后计算即可． 【详解】解：令，则原方程化为，， 解得或． 当时，，， 解得，； 当时，，即． 因为，此时方程无实数根． 故原方程的解为，． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： ． 【答案】， 【详解】设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【分析】解：， 设，则原方程可化为，即， 解得， ， 即或， 解得，． 题型九 直接利用根与系数的关系求解 易｜错｜点｜拨 使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 【典例9】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系，得：， ； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)两根和为，两根积为 (2)两根和为，两根积为 (3)两根和为，两根积为 (4)两根和为，两根积为 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系计算两根的和与积． 【详解】（1）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （2）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （3）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，； （4）解：设方程的两根分别为， 由题意得，， ∴，． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系及完全平方公式将代数式变形后代入求解即可 （2）根据根与系数的关系，将代数式通分后代入求解即可. 【详解】（1）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴； （2）解：∵是一元二次方程 的两个根， ∴， ∴. 题型十 根据一元二次方程两根满足的情况求参数 【典例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，代入通分后的分式，求解即可． 【详解】解：由已知条件可知， ， ， 解得：． 【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，试求的值． 【答案】13 【分析】根据根与系数的关系得到，代入得到，求出，分情况求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 由得， ， 即， 解得， 当时，原方程为， ， 原方程无实数根， 即不合题意，舍去； 当时， 原方程为， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ． 【变式2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； （2）解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) 即恒成立 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）通过根的判别式的恒正性证明方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数关系得到的含的代数式，代入求解的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系： ，， ， ， ， 解得． 题型十一 与解一元二次方程有关的新定义问题 【典例11】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再由题意确定，得出，代入得出，然后根据题意建立不等式求解即可． 【详解】解：， ，． 满足3的偏向方程的定义， ， ， ． ． 对于任意的实数m，都满足3的偏向方程的定义， ， ． 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新定义运算整理出关于的一元二次方程，结合方程无实数根得到根的判别式小于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 可得关于的方程为， 整理为标准一元二次方程形式得， ∵方程没有实数根， ∴， 解得． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． 根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程应能表示为的形式，通过比较系数，可求解和，进而计算． 【详解】解：根据题意，将第二个方程与展开式比较：，令其等于， 可得方程组：，解得， 故． 故答案为：7． 【变式3】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 利用一元二次方程根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0(或△≥0)及方程中根的分布情况建立关于字母系数的不等式组，然后对条件进行等价变形与转化，最后通过解方程组求解. 【典例12】（25-26九年级上·四川南充·期末）已知为实数，关于的一元二次方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 【答案】(1)方程总有两个实数根； (2)的取值范围为． 【分析】本题考查了根的判别式及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式． （）根据根的判别式即可判断； （）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合方程有一个根大于且小于可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】（1）解： ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解： ， 解得，， ∵方程有一个根大于且小于，且， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【变式1】（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】（1）先求出的值，再根据根的情况与判别式的关系即可得出答案； （2）当两根一个大于2一个小于2时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与2的差的积小于零，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）略 （2）设方程的两根为，， 则：，， ∵方程有一个根大于2，另一根小于2， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题考查了根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）直接利用根与系数的关系得出关于k的不等式进而求出即可； （2）利用根与系数的关系以及根的判别式得出关于k的不等式进而求出即可； （3）根据两根分别减1后，两根都为正，然后利用根与系数的关系及根的判别式，即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由题意可得， ， 解得，或， 即当或时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两个正根． （2）由题意可得， ，解得：1＜m＜3； 即当1＜m＜3时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有一正一负两根． （3）根据题意，得：， 即， 解得：﹣6+3≤m≤1， 即当﹣6+3≤m≤1时，方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0有两根都大于1． 【点睛】本题主要考查根与系数分关系和根的判别式，解决此类题目的关键是能熟练运用根与系数的关系，，，及根的判别式． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【答案】(1) 证明： ， 是非负数， ． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5， 则有 ， 解得， 即的取值范围是． 期中基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程需要满足两个条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，列关于的方程或者等式，解出即可． 【详解】解： 方程是关于的一元二次方程。 未知数的最高次数满足，且二次项系数 解得或， 又，即， ． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 解得． ，符合题意， 故m的值为． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 【答案】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式变形后整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴． ∵一元二次方程的两根为， ∴． ∴． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 2．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程有关的含参问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 由一元二次方程的定义求参数 题型02 已知一元二次方程各系数求参数 题型03 由一元二次方程的解求参数/代数式的值 题型04配方法求解一元二次方程、逆向求参数 题型05 与配方法应用有关的参数问题 题型06 根据一元二次方程根的情况求参数 题型07 已知含参方程的一个根求另一个根 题型08 根据换元法解方程求代数式的值 题型09 直接利用根与系数的关系求解 题型10 根据一元二次方程两根满足的情况求参数 题型11 与解一元二次方程有关的新定义问题 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义求参数 能依据一元二次方程定义，准确确定参数取值范围 基础小题，易错点：二次项系数不为 0 由方程系数求参数 能识别一元二次方程各项系数，求出参数 基础概念题，常和定义综合考查 由方程的解求参数、代数式的值 能将方程的根代入方程，求解参数或代数式的值 高频基础题，常结合整体代入思想 配方法求解一元二次方程、逆向求参数 能用配方法解方程，并求出对应参数 中档必考，配方法是本章核心方法 配方法应用类参数问题 能利用配方变形，求解代数式最值、参数 中档高频，易忽略配方恒等变形规则 由根的判别式判断根的情况求参数 会用根的判别式，根据根的情况求参数取值范围 期中重点，易错：二次项系数≠0、区分有无实数根 已知一根求另一根（韦达定理） 能利用根与系数关系，由一个根求另一个根 中档选择填空，韦达定理基础应用 换元法解方程求代数式的值 掌握换元思想，简化高次 / 复杂方程并求值 中档题型，重点考查整体思想 直接运用根与系数关系计算 熟练运用韦达定理，计算两根和、两根积相关代数式 高频大题、填空必考，注意符号 根据两根满足的条件求参数 结合根与系数关系，根据两根数量关系求参数 压轴小题，求出参数后要检验判别式 一元二次方程新定义问题 读懂新定义，结合方程知识完成推理计算 创新题型，区分度较高 结合根的情况综合求参数 综合判别式、二次项系数限制，求解参数范围 期中高频压轴，极易漏掉二次项系数不为 0 的条件 题型一 由一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(其中二次项系数不为0)的整式方程是一元二次方程，因此要求与一元二次方程有关的字母参数的值，只要先根据指数条件列方程，即指数等于2，通过解方程求得字母参数的值，再根据二次项系数不能为0的条件排除不合题意的值即可. 易｜错｜点｜拨 如果明确了为一元二次方程，就隐含了这个条件. 【典例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的方程，当_______时，是一元二次方程；当_______时，是一元一次方程． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）当_______时，关于x的方程是一元二次方程；当_____________时，关于x的方程是一元一次方程． 【变式2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【变式3】（25-26八年级·全国·暑假作业）（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 题型二 已知一元二次方程各系数求参数 解｜题｜技｜巧 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应先将方程化为一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 【典例2】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________． 【变式1】（25-26九年级上·云南曲靖·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________． 【变式2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 题型三 由一元二次方程的解求参数/代数式的值 解｜题｜技｜巧 将方程的根代入原方程，可得关于参数的方程.若要求参数的值，则需注意参数是否使二次项系数为0；若要求含参数的式子的值，则需考虑整体代入求解. 【典例3】（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）若是方程的一个根，则___________． 【变式1】（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有一个根为0，则______． 【变式2】（26-27九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【变式3】（26-27九年级上·北京·期中）已知是方程的一个根，则代数式的值是___________． 题型四 配方法求解一元二次方程、逆向求参数 解｜题｜技｜巧 用配方法求相关参数值时，若求一次项系数，分两种情况讨论. 若求常数项，即为一次项系数一半的平方，注意符号. 【典例4】（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为_______． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）填空： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 题型五 与配方法应用有关的参数问题 【典例5】（2026年江苏省盐城市盐都区中考第三次阶段测试数学试题）设方程的正根介于整数m与之间，则________． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·阶段检测）若，则的值为_____． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）已知两个整数a，b，有，则的最大值是______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 题型六 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 【典例6】（26-27九年级上·重庆万州·阶段检测）若关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围是___________． 【变式1】（26-27九年级上·北京西城·开学考试）若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________． 【变式2】（2022·甘肃武威·模拟预测）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_________． 【变式3】（21-22九年级上·四川巴中·开学考试）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________． 题型七 已知含参方程的一个根求另一个根 解｜题｜技｜巧 ①代入求参数，再解方程；②韦达定理（根与系数关系）直接求另一根（优先用，计算更快） 【典例7】（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）若关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是___________． 【变式1】（2026·江苏南京·一模）若关于的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是________． 【变式2】（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有一个根是，则另外一个根是_____． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则方程的另一个根是______． 题型八 根据换元法解方程求代数式的值 解｜题｜技｜巧 换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比较清晰合理的认识. 【典例8】（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）若，则的值为___________． 【变式1】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知实数满足，则代数式的值是____． 【变式2】（26-27九年级上·全国·单元测试）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：．令，则原式． 问题：解方程：． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）解下列方程： ． 题型九 直接利用根与系数的关系求解 易｜错｜点｜拨 使用韦达定理的前提是对于一元二次方程根与系数关系的使用条件：a≠0且△≥0. 【典例9】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（26-27九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列方程两根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】（26-27九年级上·全国·课后作业）设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）若是一元二次方程 的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型十 根据一元二次方程两根满足的情况求参数 【典例10】（26-27九年级上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根满足，求的值． 【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，试求的值． 【变式2】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【变式3】（2026九年级上·全国·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值． 题型十一 与解一元二次方程有关的新定义问题 【典例11】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）定义：如果一类关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足恒成立，这类方程叫做t的偏向方程．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且对于任意的实数m，都满足3的偏向方程，则n的取值范围是________． 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）对于实数a，b定义新运算：．例如：，若关于x的方程没有实数根，则c的取值范围是________． 【变式2】（25-26九年级上·湖南邵阳·阶段检测）新定义：关于的一元二次方程：与（均为常数）称为“同类方程”．如与是“同类方程”．若关于的一元二次方程：与是“同类方程”，那么___________． 【变式3】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 题型十二 根据一元二次方程根的情况求参数 解｜题｜技｜巧 利用一元二次方程根与系数的关系确定方程中字母的取值范围时，首先要由△>0(或△≥0)及方程中根的分布情况建立关于字母系数的不等式组，然后对条件进行等价变形与转化，最后通过解方程组求解. 【典例12】（25-26九年级上·四川南充·期末）已知为实数，关于的一元二次方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程有一个根大于且小于，试求的取值范围． 【变式1】（22-23九年级上·福建泉州·期末）已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根大于2，另一根小于2，求a的取值范围． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）m为何值时，关于x的方程3（m﹣1）x2﹣4mx+（m﹣3）＝0 (1)两个正根 (2)一正一负两根 (3)两根都大于1． 【变式3】（24-25九年级上·河南信阳·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． (2)若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：8分钟） 1．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的一元二次方程，则m的值为_________． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期末）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 4．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 3．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 4．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 5．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $