专题02 二次函数全章6考点10重难题型（期中复习讲义）九年级数学上学期新教材人教版

专题02 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移与变换 考点四 二次函数与一元二次方程 考点五 待定系数法求二次函数解析式 考点六 二次函数的最值与实际应用 05 重难题型突破 题型一 比较二次函数值的大小 题型二 二次函数图象的对称性与对称点 题型三 图象共存与图象信息判断 题型四 二次函数与一次函数的交点 题型五 含参二次函数的系数符号判断 题型六 二次函数与方程、不等式综合 题型七 含自变量取值范围的二次函数最值 题型八 实际应用建模求最值 题型九 新定义（阅读理解）型二次函数问题 题型十 二次函数综合压轴 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考查模块 常考题型 参考分值 命题特点 二次函数的概念（判别、自变量范围） 选择／填空 3~6分 直接辨析 a≠0 与化简整理，难度低 图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值） 选择／填空 6~12分 依托顶点式与一般式，考数形结合与系数符号判断 图象的平移与变换 选择／填空 3~6分 顶点平移规律“左加右减、上加下减” 二次函数与一元二次方程（Δ 与交点、求根） 选择／填空／解答 6~10分 图象与方程结合，求交点坐标、判断根的情况 待定系数法求解析式 解答 6~10分 三类设式（一般／顶点／交点）的选择与运算 最值与实际应用（利润、面积、拱桥、喷泉） 解答 8~12分 建模＋顶点最值＋自变量取值范围，综合性强 二次函数综合压轴（与一次函数／几何结合） 解答压轴 8~12分 面积最值、动点、分类讨论，区分度高 识记 熟记二次函数概念，以及 y=ax²、顶点式、一般式的开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值结论；会默写配方法、判别式与平移规律。识记是理解与应用的基础。 理解 理解图象与解析式的双向对应（数形结合），理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系；理解顶点式与一般式的配方转化；理解最值问题中自变量取值范围的约束。能解释“对称轴为何是”“Δ 为何决定交点个数”。 应用 会用待定系数法求解析式；会解决利润、面积、拱桥、喷泉等实际建模最值；能处理含参讨论、图象共存、与一次函数及几何图形综合的压轴题，做到思路正确、分类完备、计算准确。 考点一 二次函数的概念 形如y=ax²＋bx＋c （a、b、c 为常数，且____）的函数叫做二次函数。自变量 x 的取值范围是____。其特征有三：含一个未知数、未知数的最高次数为 2、二次项系数 a____。 判断是否为二次函数，须先化简整理，再看最高次数是否为 2。 ⚠️概念辨析 与一次函数y=kx+b（k≠0）、反比例函数（k≠0）区分：只有 a≠0的二次整式才是二次函数。 y=ax²＋bx＋c 中，二次项系数 a 决定“二次”，若 a=0 则退化为一次函数。 ⚠️记忆口诀 二次函数要认清，ax²加bx加c；二次项系数非零，才把函数叫二次。 ⚠️易混易错 把 a=0 的 y=ax²＋bx＋c 仍当作二次函数。 忽略“a≠0”前提，直接代入求解致错。 ⚠️避坑指南 ❌先化简再判断：如 y=x(x＋1)－x 化简后为 y=x²，是二次函数；而 y=x(x＋1)－x² 化简后为 y=x，是一次函数。 ❌不要漏掉 a≠0 这一前提条件。 ❌分母含 x、或 x 在根号内，要看化简结果是否仍为 ax² 形式。 考点二 二次函数的图象与性质 ① y=ax²：a>0____，a<0____；对称轴为 y 轴（直线 x=0），顶点为原点 (0,0)。 ② 顶点式：对称轴为直线____，顶点坐标为_____；开口方向仍由 a 决定。 ③ 一般式：配方化为顶点式后，对称轴为 ，顶点坐标为 。 ④ 增减性与最值：a>0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大，在顶点处取最小值 ；a<0 时相反，顶点处取最大值。 ⚠️概念辨析 对称轴是直线 ，不是 ；顶点纵坐标为 。 开口方向只由 a 决定，与 b、c 无关；a 的绝对值大小决定开口宽窄（|a|越大开口越窄）。 ⚠️记忆口诀 开口看 a 别含糊，a 正向上 a 负向下；对称轴 x 负 b 除 2a；顶点纵标 4a 分 4ac 减 b 方。 ⚠️易混易错 增减性叙述不分左右区间而致错。 对称轴 的负号漏写，顶点坐标算错。 把开口方向与 a 的符号对应反。 ⚠️避坑指南 ❌ 求对称轴可化为顶点式，或直接套公式 。 ❌ 顶点横标 ，纵标，两个公式切勿混用。 ❌ 叙述增减性要分“对称轴左侧／右侧”两段，不要笼统说“y 随 x 增大而增大”。 考点三 二次函数图象的平移与变换 由y=ax²到：向右（h>0）或向左（h<0）平移 个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 个单位。实质是顶点 (0,0) 平移到 (h,k)，a 不变（形状不变）。 ⚠️概念辨析 平移改变顶点与对称轴的位置，不改变开口方向与开口大小（因为 a 不变）。 “左加右减”是对 x 本身而言：向右平移 h 个单位，x 换成 x－h；“上加下减”是对解析式末尾常数项而言。 ⚠️记忆口诀 左加右减管横轴，上加下减管纵标；顶点平移跟着走，开口大小永不变。 ⚠️易混易错 把“左加右减”与“上加下减”的方向记反。 忽略平移前后 a 不变，误改开口或开口大小。 ⚠️避坑指南 ❌ 左加右减针对自变量 x；上加下减针对整个函数值的常数项 k。 ❌ 平移问题转化为“顶点平移”最直观：先找顶点坐标，再平移顶点。 ❌ 注意平移前后 a 保持不变 考点四 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax²＋bx＋c =0（a≠0）的根，恰是抛物线 y=ax²＋bx＋c 与x 轴交点的____。由判别式决定交点个数： ：两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点； ：两个相等的实数根（重根），顶点恰在 x 轴上，有一个交点； ：无实数根，抛物线与 x 轴无交点。 ⚠️概念辨析 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ 决定；与 y 轴交点的纵坐标为 c（即 f(0)=c）。 两交点横坐标 x₁、x₂ 即方程 ax²＋bx＋c=0 的两根，可用求根公式或因式分解求出。 ⚠️记忆口诀 判别式定交点：大于零两交点，等于零恰相切，小于零无交点。 ⚠️易混易错 把 Δ 符号与交点个数对应记反。 把“与 x 轴交点”误记为“与 y 轴交点”。 ⚠️避坑指南 ❌ Δ 是 b²－4ac，不是 b²－4a，勿漏常数 c。 ❌ 求抛物线与一次函数交点，须联立方程组消元求解。 ❌ 图象法解不等式 ax²＋bx＋c>0（或<0）：看抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x 范围。 考点五 待定系数法求二次函数解析式 三种设式：① 一般式（已知 ）；② 顶点式（已知 ）；③ 交点式（已知 ）。代入条件列方程（组）求系数。 ⚠️概念辨析 条件决定设式：已知顶点＋一点，用顶点式最简；已知两交点＋一点，用交点式最简；已知一般三点，用一般式。 交点式中 x₁、x₂ 为抛物线与 x 轴两交点的横坐标，且 a≠0。 ⚠️记忆口诀 三点联立一般式，顶点一点顶点式，两交点用交点式，怎么省事怎么设。 ⚠️易混易错 顶点式符号代错（把 h、k 当作相反数）。 已知两交点却误设一般式，徒增计算量。 解方程组运算失误。 ⚠️避坑指南 ❌ 交点式要确认 x₁、x₂ 是与 x 轴交点的横坐标，不能代错。 ❌ 顶点式设 y=a(x－h)²＋k，代 h、k 时注意符号（h 是顶点横坐标本身）。 ❌ 求出 a 后，代回任一点验证。 考点六 二次函数的最值与实际应用 a>0 开口向上，在对称轴 处取最 值；a<0 开口向下，在对称轴处取最 值。实际应用先建立二次函数模型（利润=单件利润×销量、面积、抛物线形拱桥／喷泉），再限定自变量取值范围求最值。 ⚠️概念辨析 顶点最值 ≠ 区间最值：当对称轴不在自变量取值范围内时，最值在区间端点取得，而不是在顶点。 利润问题中，“利润=（售价－进价）×销量”，要分清“售价”与“成本”。 ⚠️记忆口诀 二次函数求最值，先看 a 定开口向；顶点在区间内取，在外端点来坐庄。 ⚠️易混易错 无视自变量取值范围，直接套顶点公式求最值。 利润、面积中的单位或关系混淆，列式错误。 ⚠️避坑指南 ❌ 先确定自变量 x 的实际意义与取值范围（如 x≥0、x 为整数、面积中 x 有上下限）。 ❌ 比较对称轴与取值区间的位置，再确定最值取在顶点还是端点。 ❌ 拱桥、喷泉问题常建坐标系，把实际问题转化为抛物线上点的坐标。 题型一 比较二次函数值的大小 典例1 （25-26九年级上·湖北荆门·期中）在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则和的大小关系用“”排列为_______． 💡破题要诀 先定开口方向（a 决定）与对称轴 。 开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大；开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）抛物线上有三点，，，则满足的关系式为（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数图象的对称性与对称点 典例2 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 点 (x,y) 关于对称轴 x=h 的对称点横坐标为 2h－x，纵坐标不变。 两横坐标之和为 2h（即 x₁＋x₂=2h）时，两点关于对称轴对称，函数值相等 迁移应用 1．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型三 图象共存与图象信息判断（数形结合） 典例3 （25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 💡破题要诀 一开口、二对称轴、三交点、四增减：先看 a 定开口，再由对称轴与 a 定 b，由与 y 轴交点定 c，由 Δ 定与 x 轴交点。 巧用“赋值法”：f(0)=c、f(1)=a+b+c、f(－1)=a－b+c，代入图象对应点判断符号 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 题型四 二次函数与一次函数的交点 典例4 （25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 💡破题要诀 联立 y=ax²＋bx＋c 与 y=kx+b 消元化为一元二次方程，用判别式判断交点个数：Δ>0 两交点、Δ=0 相切、Δ<0 无交点。 交点横坐标是分界点，图象在上方者函数值大。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围______． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期中）已知抛物线经过点． (1)求及的值； (2)若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； (3)若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 题型五 含参二次函数的系数符号判断 典例5 （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为________． 💡破题要诀 开口定 a；对称轴位置与 a 结合定 b；c=f(0)；Δ 定交点；a+b+c=f(1)、a－b+c=f(－1)。 图象共存问题：先固定一个函数的图象判断 a 等符号，再看另一函数是否匹配。 迁移应用 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是___________．（填序号） 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，对称轴是直线．对于二次函数，给出下面5个结论：①；②、、；③；④点一定在该二次函数的图象上；⑤． 上述结论中，正确结论的序号是__________． 3．（25-26九年级上·全国·期中）抛物线的对称轴为直线，且经过点（如图所示），康康依据图象写出了四个结论：①如果点和都在抛物线上，那么；②；③（m为不等于1的实数）；④；康康所写结论正确的有____（只填序号）． 题型六 二次函数与方程、不等式综合 典例6 （25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 图象在上方，则对应函数值大；交点横坐标是分界点。 求两函数交点，联立方程组消元化为一元二次方程，用判别式判断交点个数。 迁移应用 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 3．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是_____． 题型七 含自变量取值范围的二次函数最值 典例7 （25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为_____． 💡破题要诀 先求对称轴 ，再比较 x₀ 与区间 [m,n]。 分三类：x₀<m、m≤x₀≤n、x₀>n 分别求最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知关于的二次函数，其中为实数．当时，该二次函数有最小值10，则的值为______． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 题型八 实际应用建模求最值（利润／面积／拱桥／喷泉） 典例8 （25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 💡破题要诀 正确建立函数关系：找准自变量与等量关系（利润=单价×销量、面积公式、抛物线上点坐标）。 限定自变量范围，最值在范围内取顶点，否则取端点。 迁移应用 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）舞龙是在铜梁非遗文化，在实验中学举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批舞龙文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，维持社团正常运转，调查发现文化衫的价格不得低于38元，则文化衫应定价多少元，利润达到最大，最大是多少？ 3．（25-26九年级上·河南新乡·期中）某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．喷泉的初始高度为，经测量，当水柱的水平喷射距离为时，高度为；当水柱的水平喷射距离为时，高度为． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为的环形观景台（内径，外径），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 题型九 新定义（阅读理解）型二次函数问题 典例9 （25-26九年级下·上海长宁·期中）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 💡破题要诀 逐字读懂新定义，把文字条件转化为解析式、点坐标或图象关系。 画图辅助，把抽象定义落到抛物线图象上再分析。 迁移应用 1．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 3．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 题型十 二次函数综合压轴（与一次函数／几何结合） 典例10 （25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 💡破题要诀 化动为静：用参数表示动点坐标与线段长，把面积等目标量表示为关于 x 的二次函数求最值。 分类讨论要完备：动点在不同线段、不同位置时分别讨论；注意坐标符号。 迁移应用 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 4．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 7．（25-26九年级上·海南·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行________才能停下来． 8．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： (1)最高点离地面的高度； (2)该运动员的成绩是多少米？ 9．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像有下列结论：①且：②：③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图像上，则，其中正确的结论有_____．（填序号） 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数； (3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围． 3．（25-26九年级上·海南·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)抛物线的对称轴为________；（用含的式子表示） (2)若，当直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的上方，当线段的长度为6时，求的值； (3)抛物线交轴于点，交直线于点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若对于图象上任意一点，，求的取值范围． 4．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，抛物线经过、及三点．点是线段AB上的动点，过点作轴交抛物线于点Q． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)当抛物线上一动点的横坐标满足时，请直接写出纵坐标的取值范围； (3)求线段长度的最大值； (4)若，求取何值时线段PQ的长度最大，并表示此时相应PQ的最大值（可用含t的代数式表示及PQ的最大值）． 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 二次函数的概念 考点二 二次函数的图象与性质 考点三 二次函数图象的平移与变换 考点四 二次函数与一元二次方程 考点五 待定系数法求二次函数解析式 考点六 二次函数的最值与实际应用 05 重难题型突破 题型一 比较二次函数值的大小 题型二 二次函数图象的对称性与对称点 题型三 图象共存与图象信息判断 题型四 二次函数与一次函数的交点 题型五 含参二次函数的系数符号判断 题型六 二次函数与方程、不等式综合 题型七 含自变量取值范围的二次函数最值 题型八 实际应用建模求最值 题型九 新定义（阅读理解）型二次函数问题 题型十 二次函数综合压轴 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考查模块 常考题型 参考分值 命题特点 二次函数的概念（判别、自变量范围） 选择／填空 3~6分 直接辨析 a≠0 与化简整理，难度低 图象与性质（开口、对称轴、顶点、增减性、最值） 选择／填空 6~12分 依托顶点式与一般式，考数形结合与系数符号判断 图象的平移与变换 选择／填空 3~6分 顶点平移规律“左加右减、上加下减” 二次函数与一元二次方程（Δ 与交点、求根） 选择／填空／解答 6~10分 图象与方程结合，求交点坐标、判断根的情况 待定系数法求解析式 解答 6~10分 三类设式（一般／顶点／交点）的选择与运算 最值与实际应用（利润、面积、拱桥、喷泉） 解答 8~12分 建模＋顶点最值＋自变量取值范围，综合性强 二次函数综合压轴（与一次函数／几何结合） 解答压轴 8~12分 面积最值、动点、分类讨论，区分度高 识记 熟记二次函数概念，以及 y=ax²、顶点式、一般式的开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值结论；会默写配方法、判别式与平移规律。识记是理解与应用的基础。 理解 理解图象与解析式的双向对应（数形结合），理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系；理解顶点式与一般式的配方转化；理解最值问题中自变量取值范围的约束。能解释“对称轴为何是”“Δ 为何决定交点个数”。 应用 会用待定系数法求解析式；会解决利润、面积、拱桥、喷泉等实际建模最值；能处理含参讨论、图象共存、与一次函数及几何图形综合的压轴题，做到思路正确、分类完备、计算准确。 考点一 二次函数的概念 形如y=ax²＋bx＋c （a、b、c 为常数，且a≠0）的函数叫做二次函数。自变量 x 的取值范围是全体实数。其特征有三：含一个未知数、未知数的最高次数为 2、二次项系数 a不为 0。 判断是否为二次函数，须先化简整理，再看最高次数是否为 2。 ⚠️概念辨析 与一次函数y=kx+b（k≠0）、反比例函数（k≠0）区分：只有 a≠0的二次整式才是二次函数。 y=ax²＋bx＋c 中，二次项系数 a 决定“二次”，若 a=0 则退化为一次函数。 ⚠️记忆口诀 二次函数要认清，ax²加bx加c；二次项系数非零，才把函数叫二次。 ⚠️易混易错 把 a=0 的 y=ax²＋bx＋c 仍当作二次函数。 忽略“a≠0”前提，直接代入求解致错。 ⚠️避坑指南 ❌先化简再判断：如 y=x(x＋1)－x 化简后为 y=x²，是二次函数；而 y=x(x＋1)－x² 化简后为 y=x，是一次函数。 ❌不要漏掉 a≠0 这一前提条件。 ❌分母含 x、或 x 在根号内，要看化简结果是否仍为 ax² 形式。 考点二 二次函数的图象与性质 ① y=ax²：a>0开口向上，a<0开口向下；对称轴为 y 轴（直线 x=0），顶点为原点 (0,0)。 ② 顶点式：对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h,k)；开口方向仍由 a 决定。 ③ 一般式：配方化为顶点式后，对称轴为直线 ，顶点坐标为。 ④ 增减性与最值：a>0 时，对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大，在顶点处取最小值；a<0 时相反，顶点处取最大值。 ⚠️概念辨析 对称轴是直线 ，不是 ；顶点纵坐标为 。 开口方向只由 a 决定，与 b、c 无关；a 的绝对值大小决定开口宽窄（|a|越大开口越窄）。 ⚠️记忆口诀 开口看 a 别含糊，a 正向上 a 负向下；对称轴 x 负 b 除 2a；顶点纵标 4a 分 4ac 减 b 方。 ⚠️易混易错 增减性叙述不分左右区间而致错。 对称轴 的负号漏写，顶点坐标算错。 把开口方向与 a 的符号对应反。 ⚠️避坑指南 ❌ 求对称轴可化为顶点式，或直接套公式 。 ❌ 顶点横标 ，纵标，两个公式切勿混用。 ❌ 叙述增减性要分“对称轴左侧／右侧”两段，不要笼统说“y 随 x 增大而增大”。 考点三 二次函数图象的平移与变换 由y=ax²到：向右（h>0）或向左（h<0）平移 |h| 个单位，再向上（k>0）或向下（k<0）平移 |k| 个单位。实质是顶点 (0,0) 平移到 (h,k)，a 不变（形状不变）。 ⚠️概念辨析 平移改变顶点与对称轴的位置，不改变开口方向与开口大小（因为 a 不变）。 “左加右减”是对 x 本身而言：向右平移 h 个单位，x 换成 x－h；“上加下减”是对解析式末尾常数项而言。 ⚠️记忆口诀 左加右减管横轴，上加下减管纵标；顶点平移跟着走，开口大小永不变。 ⚠️易混易错 把“左加右减”与“上加下减”的方向记反。 忽略平移前后 a 不变，误改开口或开口大小。 ⚠️避坑指南 ❌ 左加右减针对自变量 x；上加下减针对整个函数值的常数项 k。 ❌ 平移问题转化为“顶点平移”最直观：先找顶点坐标，再平移顶点。 ❌ 注意平移前后 a 保持不变 考点四 二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax²＋bx＋c =0（a≠0）的根，恰是抛物线 y=ax²＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标。由判别式决定交点个数： ：两个不相等的实数根，抛物线与 x 轴有两个交点； ：两个相等的实数根（重根），顶点恰在 x 轴上，有一个交点； ：无实数根，抛物线与 x 轴无交点。 ⚠️概念辨析 抛物线与 x 轴交点个数由 Δ 决定；与 y 轴交点的纵坐标为 c（即 f(0)=c）。 两交点横坐标 x₁、x₂ 即方程 ax²＋bx＋c=0 的两根，可用求根公式或因式分解求出。 ⚠️记忆口诀 判别式定交点：大于零两交点，等于零恰相切，小于零无交点。 ⚠️易混易错 把 Δ 符号与交点个数对应记反。 把“与 x 轴交点”误记为“与 y 轴交点”。 ⚠️避坑指南 ❌ Δ 是 b²－4ac，不是 b²－4a，勿漏常数 c。 ❌ 求抛物线与一次函数交点，须联立方程组消元求解。 ❌ 图象法解不等式 ax²＋bx＋c>0（或<0）：看抛物线在 x 轴上方的部分对应的 x 范围。 考点五 待定系数法求二次函数解析式 三种设式：① 一般式（已知三点）；② 顶点式（已知顶点与另一点）；③ 交点式（已知与 x 轴两交点）。代入条件列方程（组）求系数。 ⚠️概念辨析 条件决定设式：已知顶点＋一点，用顶点式最简；已知两交点＋一点，用交点式最简；已知一般三点，用一般式。 交点式中 x₁、x₂ 为抛物线与 x 轴两交点的横坐标，且 a≠0。 ⚠️记忆口诀 三点联立一般式，顶点一点顶点式，两交点用交点式，怎么省事怎么设。 ⚠️易混易错 顶点式符号代错（把 h、k 当作相反数）。 已知两交点却误设一般式，徒增计算量。 解方程组运算失误。 ⚠️避坑指南 ❌ 交点式要确认 x₁、x₂ 是与 x 轴交点的横坐标，不能代错。 ❌ 顶点式设 y=a(x－h)²＋k，代 h、k 时注意符号（h 是顶点横坐标本身）。 ❌ 求出 a 后，代回任一点验证。 考点六 二次函数的最值与实际应用 a>0 开口向上，在对称轴 处取最小值；a<0 开口向下，在对称轴处取最大值。实际应用先建立二次函数模型（利润=单件利润×销量、面积、抛物线形拱桥／喷泉），再限定自变量取值范围求最值。 ⚠️概念辨析 顶点最值 ≠ 区间最值：当对称轴不在自变量取值范围内时，最值在区间端点取得，而不是在顶点。 利润问题中，“利润=（售价－进价）×销量”，要分清“售价”与“成本”。 ⚠️记忆口诀 二次函数求最值，先看 a 定开口向；顶点在区间内取，在外端点来坐庄。 ⚠️易混易错 无视自变量取值范围，直接套顶点公式求最值。 利润、面积中的单位或关系混淆，列式错误。 ⚠️避坑指南 ❌ 先确定自变量 x 的实际意义与取值范围（如 x≥0、x 为整数、面积中 x 有上下限）。 ❌ 比较对称轴与取值区间的位置，再确定最值取在顶点还是端点。 ❌ 拱桥、喷泉问题常建坐标系，把实际问题转化为抛物线上点的坐标。 题型一 比较二次函数值的大小 典例1 （25-26九年级上·湖北荆门·期中）在抛物线上有和三点，若抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则和的大小关系用“”排列为_______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在正半轴上， ∴， 解得：， ∴该抛物线开口向下， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴和三点，到对称轴的距离由远到近依次是点C、A、B， ∴． 故答案为：． 💡破题要诀 先定开口方向（a 决定）与对称轴 。 开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大；开口向下时，点离对称轴越远，函数值越小。 迁移应用 1．（25-26九年级上·山东日照·期中）抛物线上有三点，，，则满足的关系式为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵，，， ∴点在对称轴上，点离对称轴最远， ∴． 故选：D 2．（25-26九年级上·云南红河·期中）已知点都在函数的图象上，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 函数为 ， ∴ 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ∵ 是常数， ∴ 比较的大小，即比较 ，，的大小， ∵ ∴ 故选：C． 3．（25-26九年级上·四川泸州·期中）若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：抛物线的二次项系数 抛物线开口向上， 抛物线对称轴为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， ， 故选：D． 题型二 二次函数图象的对称性与对称点 典例2 （25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，点在函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在该函数图象上， 设对称点的横坐标为，则， 解得，纵坐标不变为，即对称点为， 因此这个函数图象必过点. 💡破题要诀 点 (x,y) 关于对称轴 x=h 的对称点横坐标为 2h－x，纵坐标不变。 两横坐标之和为 2h（即 x₁＋x₂=2h）时，两点关于对称轴对称，函数值相等 迁移应用 1．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 2．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知二次函数，当x分别取m，n（，，）时，函数值相等，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵ 二次函数 的对称轴为y轴， 又 ∵ 当 和 （，, ）时函数值相等， ∴ 和 互为相反数，即 ， ∴ ． 故选：A． 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 题型三 图象共存与图象信息判断（数形结合） 典例3 （25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 💡破题要诀 一开口、二对称轴、三交点、四增减：先看 a 定开口，再由对称轴与 a 定 b，由与 y 轴交点定 c，由 Δ 定与 x 轴交点。 巧用“赋值法”：f(0)=c、f(1)=a+b+c、f(－1)=a－b+c，代入图象对应点判断符号 迁移应用 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标在第四象限， ∴， ∴，． ∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限； ∵一次函数，，， ∴一次函数的图象过第一、三、四象限． 只有B符合． 故选：B． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数的图象是一条经过原点的直线，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，函数与抛物线的形状相同． （Ⅰ）当时 直线经过第一、第三象限，随的增大而增大． 抛物线开口向上，把抛物线函数向下平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，没有符合题意选项． （Ⅱ）当时 直线经过第二、第四象限，随的增大而减小． 抛物线开口向下，把抛物线函数向上平移个单位长度即为函数图象． 综上所述，选项D符合题意． 故选：D． 题型四 二次函数与一次函数的交点 典例4 （25-26九年级上·重庆永川·期中）二次函数和一次函数的图象交于点和，如图所示，则时，的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：二次函数和一次函数的图象交于点和， 两函数交点的横坐标分别为， 观察图象可得，当时，二次函数图像位于一次函数的图象的上方（包括重合），即满足：． 故答案为：． 💡破题要诀 联立 y=ax²＋bx＋c 与 y=kx+b 消元化为一元二次方程，用判别式判断交点个数：Δ>0 两交点、Δ=0 相切、Δ<0 无交点。 交点横坐标是分界点，图象在上方者函数值大。 迁移应用 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）若抛物线（为常数）与直线有两个交点，，且，则的取值范围______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线有两个交点， ∴ ， 整理得 ． ∴ ， 解得 ． 设方程两根为 ，则由根与系数的关系，得 ，． ∵ ， 展开得 ， ∴ ， 即 ， 解得 ． 综上， 的取值范围为 ． 故答案为 ． 2．（25-26九年级上·安徽池州·期中）已知抛物线经过点． (1)求及的值； (2)若直线经过抛物线的顶点，且与抛物线的另一个交点为，求点的坐标； (3)若抛物线上有两点和，且，求的取值范围． 【详解】（1）解：（1）由抛物线经过点，，得其对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ； （2）由（1）得， ∴ 抛物线的顶点为， 又直线经过抛物线的顶点 ， ， 联立方程组， 解得，， 点的坐标为； （3）由（1）知抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， 若，则，得， 则有： ①当时，由图象可知：使的的取值范围是； ②当时，由图象可知：使的的取值范围是． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【详解】（1）解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 题型五 含参二次函数的系数符号判断 典例5 （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④（m为任意实数）；⑤．其中结论正确的为________． 【答案】④⑤ 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①错误，不符合题意； ②根据图象可得当时，，故②错误，符合题意； ③根据图象可得当时，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意； ④当时，取最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④正确，符合题意； ⑤当时，， ，故⑤正确，符合题意； 故答案为：④⑤． 💡破题要诀 开口定 a；对称轴位置与 a 结合定 b；c=f(0)；Δ 定交点；a+b+c=f(1)、a－b+c=f(－1)。 图象共存问题：先固定一个函数的图象判断 a 等符号，再看另一函数是否匹配。 迁移应用 1．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，下列结论： ①如果点和都在抛物线上，那么 ②； ③（）； ④． 其中正确的结论是___________．（填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：∵对称轴为直线，抛物线的开口向下， ∴距离对称轴越近的点的纵坐标越大， 而 ∴ 故①符合题意； 由抛物线的对称轴为直线 ∴， ∴故②不符合题意； 由图象可知，当时，函数有最大值1， ∴对任意，则有， ∴； 故③符合题意； 由图象可知，顶点在第一象限，开口向下的二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴； 故④符合题意； 故答案为：①③④． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数的图象与轴交于点、，对称轴是直线．对于二次函数，给出下面5个结论：①；②、、；③；④点一定在该二次函数的图象上；⑤． 上述结论中，正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即， 故①正确； ∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为， ∴， 即， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， 综上，，，， 故②错误； 当时，二次函数的图象在轴的上方， ∴， 故③正确； 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， 二次函数，对称轴是直线 ∴关于对称轴的对应点为， 即在二次函数的图象上， 故④正确； ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上，正确的序号为①③④， 故答案为：①③④． 3．（25-26九年级上·全国·期中）抛物线的对称轴为直线，且经过点（如图所示），康康依据图象写出了四个结论：①如果点和都在抛物线上，那么；②；③（m为不等于1的实数）；④；康康所写结论正确的有____（只填序号）． 【答案】①②③④ 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且经过点， 得与对应的函数值相等， 由图像可知，的函数值大于时的函数值， 由于点和都在抛物线上，则， 故①正确； 当时，函数图像与轴有两个交点， 则， 判别式， 故②正确； 由图像可知，当时，函数取得最大值，最大值为 当时，， 即， 故③正确； 由于抛物线的对称轴为直线，且经过点， 则函数与轴的两个交点坐标为和， 则方程的两根为、， ，即， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 题型六 二次函数与方程、不等式综合 典例6 （25-26九年级上·河北保定·期中）如图是函数的图象，对称轴为直线，则方程的负数解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：令方程的正数解为， 如图可知，， 点关于直线的对称点坐标为， 抛物线关于直线对称， ． 故选：B． 💡破题要诀 图象在上方，则对应函数值大；交点横坐标是分界点。 求两函数交点，联立方程组消元化为一元二次方程，用判别式判断交点个数。 迁移应用 1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：由图像可得，二次函数的开口向下，对称轴为，与轴的一个交点为 由对称性可得，与轴的另一个交点为， 则不等式的解集为， 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）下表给出了二次函数的自变量与函数值的部分对应值：那么关于的方程的一个根的近似值可能是（   ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.14 0.62 … A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【详解】∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在1.2和1.3之间． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·天津滨海新区·期中）如图，抛物线与直线相交于点，．则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点，． ∴的解集是， 故答案为：． 题型七 含自变量取值范围的二次函数最值 典例7 （25-26九年级上·吉林长春·期中）二次函数，当自变量时，函数的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：二次函数 配方得 ，顶点坐标为 ， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∵自变量取值范围为 ， ∴顶点 不在内，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 故答案为：． 💡破题要诀 先求对称轴 ，再比较 x₀ 与区间 [m,n]。 分三类：x₀<m、m≤x₀≤n、x₀>n 分别求最值。 迁移应用 1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）已知二次函数的表达式为，当时，y的取值范围为______． 【答案】 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴为， 在内， 当时，，为最小值． 当时，； 当时，． ∴在范围内，有最大值． ∴的取值范围为． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知关于的二次函数，其中为实数．当时，该二次函数有最小值10，则的值为______． 【答案】或5 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，最小值为，不符合题意； 当，时，为最小值，解得（舍去）或． 当，时，为最小值，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或5． 故答案为：或5． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数，当自变量x的值满足时，与其对应的函数y的最大值为，则常数h的值为_______． 【答案】或 【详解】解： 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ①若，二次函数在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； ②若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大，在的范围内，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值，最大值为0，不合题意； ③若，二次函数在的范围内，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值， 即， 解得或（不合题意舍去）； 综上所述，常数h的值为或． 故答案为：或． 题型八 实际应用建模求最值（利润／面积／拱桥／喷泉） 典例8 （25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形场地，墙长， 矩形面积随矩形的一边的长的变化而变化． (1)求S与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围 (2)当x为多少时，矩形场地的面积S最大，最大面积是多少? 【详解】（1）解：， ， 则， ， ； （2）解：， ， 当时，取得最大值为250， 答：当为米时，矩形场地的面积最大，最大面积是250平方米． 💡破题要诀 正确建立函数关系：找准自变量与等量关系（利润=单价×销量、面积公式、抛物线上点坐标）。 限定自变量范围，最值在范围内取顶点，否则取端点。 迁移应用 1．（25-26九年级下·江苏常州·期中）某婚庆公司设置的拱门内，外边界线（分别记为，）都呈抛物线形，且形状相同，建立如图所示平面直角坐标系．若米，米，则的最大高度为________米． 【答案】 【详解】解：∵， ∴设的解析式为：， 且当时，， 则， 解得：， 故的解析式为：， ∵形状相同， ∴抛物线的二次项系数为：， ∵， ∴，， 则的解析式为：， 故当时，，即的最大高度为． 2．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）舞龙是在铜梁非遗文化，在实验中学举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批舞龙文化衫和书签，其中采购文化衫花费了3000元，采购书签花费了800元．每件文化衫比每个书签的进价贵26元，且采购书签的数量是文化衫数量的2倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件42元．经统计，平均每天能售出文化衫20件．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销．据调查，每降低1元，平均每天多售出10件文化衫．社团希望通过合理调整文化衫的价格，维持社团正常运转，调查发现文化衫的价格不得低于38元，则文化衫应定价多少元，利润达到最大，最大是多少？ 【详解】（1）解：设文化衫的进价为每件元，则书签的进价为每个元，文化衫的数量为件，书签的数量为个， 由题意得，， 解得，   经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件文化衫的进价为30元，每个书签的进价为4元； （2）解设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，利润为元， 根据题意，得 ． 文化衫的价格不得低于元， ． ． 当时，利润最大． ，此时最大值为480． 答：文化衫应定价元，利润达到最大，最大是元． 3．（25-26九年级上·河南新乡·期中）某游乐园新建了一座喷泉，喷泉的水柱从中心点处喷出，其运动轨迹可视为一条抛物线．以喷泉池底的最低点为坐标原点，水平方向为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．喷泉的初始高度为，经测量，当水柱的水平喷射距离为时，高度为；当水柱的水平喷射距离为时，高度为． (1)求水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式． (2)计算水柱喷射的最大高度． (3)现要在水池边缘安装一圈宽度为的环形观景台（内径，外径），为确保水柱落点能精准喷入观景台区域（观景台高度忽略不计），求喷口高度的可调节范围． 【详解】（1）解：设水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． 将，代入，得， 解得， ∴水柱运动轨迹所在抛物线的函数解析式为． （2）解： ． ， ∴当时，取最大值22， ∴水柱喷射的最大高度为． 答：水柱喷射的最大高度为． （3）解：设平移后的抛物线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， ，即． 答：喷口高度的可调节范围为． 题型九 新定义（阅读理解）型二次函数问题 典例9 （25-26九年级下·上海长宁·期中）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【答案】或 【详解】解：∵点满足，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点为“-优点”满足， ∵点C在抛物线上， ∴可设， ∵点C是“2026-优点”， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， 故点C的坐标为或． 检验：对于点，有； 对于点，有． 两点均满足题意． 💡破题要诀 逐字读懂新定义，把文字条件转化为解析式、点坐标或图象关系。 画图辅助，把抽象定义落到抛物线图象上再分析。 迁移应用 1．（25-26九年级下·四川内江·期中）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为，为半圆直径，半圆圆心，半径为2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_________．经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为___________． 【答案】 【详解】解：∵为半圆直径，半圆圆心，半径为2， ∴，， 设“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴“蛋圆”的抛物线部分的解析式为， 设， ∵半圆圆心，半径为2， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， 如图，连接，作交轴于点， 设，则，， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴经过点C的“蛋圆”的切线的解析式为． 2．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“差反点”． (1)判断点，，，哪个是点的“差反点”？ (2)若直线上的点A是点的“差反点”，求点A的坐标； (3)对于点，若抛物线上存在唯一的“差反点”，且当时，n的最大值为，求t的值． 【详解】（1）解： 根据“差反点”定义，若是的差反点，满足， 对，，等式成立， 对，，等式不成立， 对，，等式成立， 因此和是点的差反点。 （2）设点，因为是的差反点， 根据定义得：， 解得， 代入得， 因此点的坐标为． （3）设的差反点坐标为，根据定义得，即， 因为该点在抛物线上， 代入得： 整理得， 因为抛物线上存在唯一的差反点， 所以一元二次方程判别式， 化简得， 是关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， 分三种情况讨论：①当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 整理得， 解得， 因为，舍去，得； ②当时，在范围内， 在处取得最大值，代入得：， 整理得，方程无实数解，此情况不成立。 ③当时，在范围内，在处取得最大值， 代入得：， 解得（满足） 3．（24-25九年级下·辽宁大连·期中）定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 题型十 二次函数综合压轴（与一次函数／几何结合） 典例10 （25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 💡破题要诀 化动为静：用参数表示动点坐标与线段长，把面积等目标量表示为关于 x 的二次函数求最值。 分类讨论要完备：动点在不同线段、不同位置时分别讨论；注意坐标符号。 迁移应用 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）如图，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知点，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是抛物线上一点，在直线下方移动，过点P分别向x轴，y轴作垂线，与交于E，F两点，求的最大值并求出此时点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点M是平移后抛物线对称轴上任意一点，若，直接写出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过，对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵点关于直线对称，， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得， 解得， ∴， 设， ∵轴，轴， ∴，轴，， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为，此时； （3）解：∵将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位， ∴新的抛物线的解析式为：， ∴新的抛物线的对称轴为直线， 延长交轴于点， ∵，， ∴①当点在直线上方时，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴同（2）法可得：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； ②当点在直线下方时，，则：， ∴， ∴ 同理：直线的解析式为：， ∴当时，，即：； 综上：或． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 3．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）二次函数图象的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，， ∴图象的顶点坐标为． 2．（25-26九年级上·陕西安康·期中）将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 4．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 5．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】且 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水位下降1米时，水面宽度为______米（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为， 设抛物线解析式， 将A点坐标代入得：， 解得：， 故抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴， 即水面宽度为米． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·海南·期中）飞机着陆后滑行的距离关于滑行的时间（秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】600 【详解】解：由，可知，， 即当时，取最大值， ． 故答案为：600． 8．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点为出手点，点为铅球运行中的最高点，点为铅球落地点，求： (1)最高点离地面的高度； (2)该运动员的成绩是多少米？ 【详解】（1）解：， 顶点坐标为， 可知最高点离地面高度为3米； （2）令 解得（舍去）， 则， 由此可知该运动员成绩为10米． 9．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； （2）解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 10．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． (1)每天售出的数量是________件． (2)文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； （2）解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，二次函数图像的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像有下列结论：①且：②：③关于的一元二次方程的两根分别为和；④若点、、均在二次函数图像上，则，其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：观察图象，可知开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 函数与轴交点在轴正半轴， ∴， 故且，结论①正确； 将点代入， 得，故结论②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴当时，为或， 故方程的两根分别为和，结论③正确； ∵抛物线对称轴为直线， 点、、到对称轴的水平距离依次为、、， 故到对称轴距离由近到远依次为、、， ∴，故结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线（a，b是常数，）．该抛物线经过，对称轴是直线． (1)求抛物线的函数解析式； (2)证明：图象上任一点的纵坐标为非负数； (3)抛物线的图象上有点，直线上有点，且，求t的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴是直线， ∴， 解得： 故抛物线的解析式是； （2）略 （3）解：由已知，，，且轴． ①若时， 方程， 解得：或， ∴或时， ， 解得：或． ∴当时，的取值范围是或； ②若时，则， 不符合； ③若时，， 得， 因为， 故无解， 综上所述，的取值范围是或． 3．（25-26九年级上·海南·期中）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)抛物线的对称轴为________；（用含的式子表示） (2)若，当直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，且点在点的上方，当线段的长度为6时，求的值； (3)抛物线交轴于点，交直线于点，记抛物线在、之间的部分为图象（包含、两点），若对于图象上任意一点，，求的取值范围． 【详解】（1）解：根据解析式可知抛物线的对称轴为 ； 故答案为：； （2）解： 时，直线与抛物线其中一个交点的横坐标为1， 过点， ， 解得（不合题意，舍去）或， ， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ， 点在点的上方，且线段的长度为6， ， 解得或； （3）解：由（1）知，抛物线的对称轴为； 当时，， 的坐标为， 抛物线交直线于点， ， 对于图象上任意一点，， 对于， 当时，在时，取最大，且满足； 当时，在时，取最大，有，解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 当时，在时，取最大，且满足； 综上所述，的取值范围为或． 4．（25-26九年级上·海南海口·期中）如图，抛物线经过、及三点．点是线段AB上的动点，过点作轴交抛物线于点Q． (1)求直线及抛物线的解析式； (2)当抛物线上一动点的横坐标满足时，请直接写出纵坐标的取值范围； (3)求线段长度的最大值； (4)若，求取何值时线段PQ的长度最大，并表示此时相应PQ的最大值（可用含t的代数式表示及PQ的最大值）． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵抛物线经过、及三点． ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，； 当时，； ∴的取值范围为； （3）解：∵点P在上， ∴设点的坐标为， 又点Q在抛物线上，且轴， ∴点Q的坐标为， ∴， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， ∴当时，取得最大值，为9； （4）解：，开口向下的二次函数，对称轴为， 分三种情况讨论： 当时，取时PQ最长为； 当时，取时最长为9； 当时，取时最长为． 5．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $