25.2 降次-解一元二次方程 同步练习 2026-2027学年人教版九年级上册数学--

降次——解一元二次方程 互动导学 模块一一元二次方程的解法 知识点睛 基础知识 实例剖析 一元二次方程的解法： 1.直接开平方法； 2.配方法； 3.公式法； 4.因式分解法. 例：解方程： 四种解法的灵活运用： 对于关于x的方程 1.若b=0，则可以用直接开平方法或因式分解法(平方差公式)； 2.若c=0，则可以用因式分解法(提公因式)； 3.若b≠0，c≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法： (1)方程化为一般形式 后，左边易于因式分解的，用因式分解法. (2)若方程 中，a=1，b是偶数，考虑用配方法. (3)若二次方程 的左边因式分解困难，配方法也很麻烦的，用求根公式法. 题型1：解一元二次方程 经典例题 1.若关于x的方程 有两个实数根，则m的取值范围是( ) A.m>0 B.m≥1 C.m>1 D.m≠1 2.用配方法解一元二次方程 配方正确的是( ) A. B. C. D. 3.等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为( ) A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 4.当a= 时,代数式 有最小值为 . 5.解方程： (6) 2x(x+3)=6(x+3); 强化训练 1.用配方法解一元二次方程 时，下列变形正确的为( ) A. B. C. D. 2.用配方法将二次三项式 变形，结果是( ) A. B. C. D. 3.若关于x的方程 的两个实数根恰好是等腰△ABC的两边长，则△ABC的周长为( ) A.8 B.10 C.12 D.8或10 4.代数式 的最小值是( ) A.1 B.4 C.6 D.10 5.解方程： 模块二一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系 知识点睛 基础知识 实例剖析 设一元二次方程为 其根的判别式为： 则 ①△>0⇔方程 ， 有两个不相等的实数根 ②△=0⇔方程( 有两个相等的实数根 ③△<0⇔方程 没有实数根. 解方程： 解：所以原方程无实数根. 题型1：根的判别式 经典例题 1.关于x的一元二次方程 的根的情况是( ) A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 2.关于x的一元二次方程 有实数根，则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.若关于x的一元二次方程( 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A.m<0且m≠-1 B.m≥0 C.m≤0且m≠-1 D.m<0 4.若关于x的方程 有实数根，则m的取值范围是( ) A.且m≠0 B.且m≠0 C. D. 5.有一边长为3的等腰三角形，它的两边长是方程 的两根,则k= . 6.关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围. 强化训练 1.若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为( ) A.-1 B.1 C.-2或2 D.-3或1 2.若关于x的一元二次方程 没有实数根，则a的值可以是( ) A.-2 B.0 C.1 D.3 3.若关于x的方程 有实数根，则实数k的取值范围是( ) A.k≤1 B.k≥1 C.k≥1且k≠0 D.k≤1且k≠0 4.已知x₁，x₂是关于x的方程 的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若k<5,且k，, 都是整数，求k的值. 5.已知关于x的方程 (1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根； (2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根. 题型2：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 知识点睛 基础知识 实例剖析 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理) 若, 是关于x的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 x₁,x₂和系数a,b,c有如下关系: 注：应用韦达定理之前需要满足： (1)a≠0;(2)Δ≥0. 常见化简公式： 经典例题 1.已知a、b是方程 的两个根，则a+b的值为 . 2.已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 3.设 a, b是方程 的两个实数根，则 的值为 . 4.若一元二次方程 的两根为m，n，则 的值为 . 5.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根, . (1)求 k的取值范围； (2)若 求k的值. 6.已知关于x的一元二次方程 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为, ，且 求m的值. 强化训练 1.已知方程 的两根分别为, ，则 的值为 . 2.已知x₁，x₂是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 . 3.若m、n是一元二次方程. 的两个根，则 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.12 4.已知关于x的方程 有两个实数根, . (1)求实数k的取值范围； (2)若, 满足 求实数k的值. 5.已知关于x的一元二次方程 (p为常数)有两个不相等的实数根, . (1)填空: (2)求 (3)已知 求 p的值. 课堂训练 (评分规则：第1-4题每题3分，第5-6题每题8分，共28分) 1.关于x的方程 是一元二次方程，则a的值是( ) A.-2 B.2 C.±2 D.4 2.将 进行配方变形，下列正确的是( ) A. B. C. D. 3.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ) A.a≠1 B.且a≠1 C.且a≠1 D.a>1 4.已知m、n是一元二次方程 的两个实数根，则 A.3 B.-3 C. D. 学科网（北京）股份有限公司 5.用适当方法解下列方程： (1) 2x(x+3)=6(x+3); 6.已知关于x的方程 有两个实数根. (1)求k的取值范围. (2)设方程两实数根分别为, ，且 求实数k的值. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 模块一一元二次方程的解法 题型1：解一元二次方程 2经典例题 1.B. 2.A. 3.C. 4.解：a2-6a-9 =a2-6a+9-18 =(a-3)2-18, .(a-3)2≥0， 当a-3=0,即a=3时，代数式a2-6a-9有最小值为-18. 故答案为：3，-18 5.解：1)2x+3到-1=3， (2x+3)2-4=12 (2x+3)}2=16, 2x+3=4或2x+3=-4, 解得：x= 7 :原方程的根为x=2。=一 2 (2)2x2+3x-2=0, 2x2+3x=2, x2+39 =1+ 16 16 3925 x2+3x+ 21616 416 3_5或x+ 35 x+441 44 1 解得：x=2或x=-2, 1 原方程的根为：名=2名=-2， (3)x2-2x+1=25, (x-02=25, x-1=5或x-1=-5, 解得：x=6或x=-4, .原方程的根为：x=6,x2=-4. (4)a=2,b=-4,c=-1, △=b2-4ac=(-4}2-4×2×-1)=28, x= -b±Vb2-4ac 2a -4±4-4×2x 2×2 =2±v6 2’ 原方程的根为：x=2光，3=2一6 2 (5)(2x+3)2=(3x+2)2, 开方得：2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2, 解得：x1=1,x2=-1. (6)2x(x+3)=6(x+3): 2x(x+3)-6(x+3)=0, (x+3(2x-6)=0, x+3=0,2x-6=0, x=-3,2=3. 2强化训练 ………4………… 1.D. 2.A. 3.B. 4.B. 5.解：(1)(2x+3)2-25=0, (2x+3)}2=25, 2x+3=±5， 所以x=1,x2=-4: (2)3x2-4x+2=0, a=3,b=-4,c=2, .△=(-4)2-4×3×2=-8<0， 方程没有实数解。 (3)x2-6x+3=0, 移项，得x2-6r=-3, 配方，得x2-6x+32=-3+32, (x-3)2=6, 开方，得x-3=±V6, 解得：x=3+V6,x=3-V6: (4)4x2-4x+1=x2+6x+9, (2x-1)2=(x+3)2, 开方得：2x-1=(x+3), 2x-1=x+3或2x-1=(x+3), 2 解得：X=4,=3 (5)x2+6x=0, x(x+6)=0, .x=0或x+6=0, .x=0,x2=-6: (6)2(x2-4)=x(x-2), ∴.2(x-2)x+2)=x(x-2), .2(x-2)(x+2)-x(x-2)=0, .(x-2)2x+4-x)=0, x-2=0或2x+4-x=0, .x=2,x2=-4 模块二一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系 题型1：根的判别式 2经典例题 1.A. 2.B. 3.A. 4.D. 5.解：当该等腰三角形的腰长是3时，根据韦达定理知 3+x2=4, x3=1, xx=3=k,即k=3: 当该等腰三角形的腰长不是3时，△=16-4k=0, 解得，k=4: 综上所述，k=3或k=4. 故答案为：3或4. 6.(1)证明：在方程x2-(k+3x+2k+2=0中，△=[-(k+3-4×1×(2k+2)=2-2k+1=(k-1)2>0, 方程总有两个实数根。 (2)解：x2-(+3)x+2k+2=(x-2(x-k-1)=0, .x=2,x2=k+1. 方程有一根小于1， k+1<1,解得：k<0 ,k的取值范围为k<0. 2强化训练 1.A. 2.A. 3.A. 4.解：(1)原方程有两个不相等的实数根， △>0， △=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0, 解得k>1. (2)1<k<5, 整数k的值为2,3,4， 当k=2时，方程为x2-4x+3=0,解得x=1,x2=3, 当k=3或4时，此时方程解不为整数 综上所述，k的值为2 将x=1代入方程x2++a-2=0得，1+a+Q-2=0,解 方程为+分号0，即2+-3=0，设另一根为x,则1名=号=月 口的值为分，该方程的另一个根是-号 (2)△=a2-4a-2)=d2-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0, :.不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 题型2：一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 卫经典例题 1.2024. 2.0. 3.2018. 4.6. 5.解：(1)关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根， .△=(2k+3)-4k2>0, 解：k>-是 (2)x、x2是方程x+(2k+3)x+k=0的实数根， +3=-2k-3,xX2=k2, :1+1-5+名=2k+》.-1, X1X2xX2 k2 解得：k=3,k=-1, 经检验，k=3,k,=-1都是原分式方程的根. 叉>号 k=3 6.解：(1)x2-(m+2)x+m-1=0, 这里a=1,b=-(m+2),c=m-1, △=b2-4ac =【-(m+2)-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4 =m2+8. m2≥0， △>0. .无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根： (2)设方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2, 则x+x2=m+2,xx=m-1 x+x-xx3=9,即(x+x2)-3xx3=9, .(m+2)2-3(m-1）=9. 整理，得m2+m-2=0. ∴.(m+2)(m-1)=0. 解得m,=-2,m2=1. .m的值为-2或1. 卫强化训练 1 2.14. 3.C. 4.解：(1)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x,x2, △=(2k-1)2-4Kk2-)=-4k+5≥0， 解得：子 :实数长的取值范围为k≤ (2)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x,x, ∴x+x2=1-2k,xX2=k2-1. x+x号=(x+x2)-2x2=16+x2, ∴.(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0, 解得：k=-2或k=6(不符合题意，舍去)· 实数k的值为-2. 5.解：(1)由根与系数的关系得：x+x2=p,x=1, 故答案为：p,1: (2)x+x2=p,xx2=1, 上+L-+==p xx3书2 1 关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x和x2, x2-x1+1=0, :-p+1=0,即x+1=p: X (3)由根与系数的关系得：x+,2=p,xx=1, x+x5=2p+1, (3+x2)2-2xx2=2p+1, p2-2=2p+1, 解得：p=3,P2=-1, 当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0: 当p=-1时，△=p2-4=-3<0: p=3. 课堂训练 1.A. 2.C. 3.B. 4.B. 5.解：(1)2x(x+3)=6(x+3): 2x(x+3)-6(x+3)=0, (x+3)2x-6)=0, x+3=0,2x-6=0, x=-3,X2=3. (2)x2+4x-1=0. x2+4x=1. x2+4x+4=1+4. (x+2)2=5, x+2=±V5, x=-2+5,x2=-2-√5. 6.解：(1)△=16-4(k+1)=16-4k-4=12-4k0, k≤3. (2)由题意可知：x1+x2=4,xx2=k+1, 5+5=x,-1, 5x+x=xx-1, XX2 5×4=k+1-1, k+1 解得k=-5或k=4, 经检验，k=-5或k=4都是原方程的根， 由(1)可知：k=4舍去， k=-5