专题02有理数的计算（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材浙教版

专题02 有理数的计算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 加减法计算 考点二 乘除法计算 考点三 乘方计算 考点四 近似数 05 重难题型突破 题型一 有理数加减法的计算 题型二 有理数加减法运算律 题型三 有理数加减法的应用 题型四 有理数乘除法的计算 题型五 倒数的计算 题型六 有理数乘法运算律 题型七 有理数乘除法的计算 题型八 有理数四则混合计算 题型九 幂的定义 题型十 幂的计算 题型十一 带乘方的有理数混合计算 题型十二 科学记数法 题型十三 程序性计算 题型十四 近似数 题型十五 定义新运算 题型十六 裂项相消法简算 题型十七 倒序相加法简算 题型十八 错位相减法简算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是期中卷的计算主战场，直接计算与混合运算合计通常 20—30 分（约占 28%—35%）。常考考点：有理数的加、减、乘、除运算；运算律的灵活运用（凑整、拆项、逆用分配律 ）；乘方（ 与 的区别、符号规律）；三步以上的混合运算（含括号、绝对值、乘方）；近似数与精确度；以及新定义运算（如 ）、程序框图求值等中档题型。 难易度 难度系数约 0.72，基础题占大头，中档题集中在简算与新定义运算。命题强调“先定符号、再算绝对值”，偏好在符号与运算顺序上设陷阱（如 、），是四章中分值最高、“会而不对”代价最大的一章，复习重点应放在准确率与规范性上。 识记 ① 能准确复述有理数加、减、乘、除的法则（减去一个数等于加上它的相反数；除以一个数等于乘它的倒数）与乘方的定义，会辨认底数与指数。 ② 能用字母表述运算律：，，。 ③ 能说出运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号）与近似数“精确到哪一位”的含义。 理解 ① 理解减法可转化为加法、除法可转化为乘法，能把加减混合、乘除混合统一成同一种运算处理。 ② 理解运算律在有理数范围内仍然成立，能说明凑整、拆项、逆用分配律为什么能简化计算。 ③ 理解乘方的符号规律（负数的奇次幂为负、偶次幂为正）与 的非负性，能区分 与 。 应用 ① 能正确、快速完成三步以上的有理数混合运算（含括号、绝对值、乘方），做到先定符号、再定顺序。 ② 能运用运算律进行简便计算（凑整、拆项、逆用分配律），并写出关键步骤。 ③ 能完成新定义运算与程序框图类求值题：读懂规则 → 正确代入 → 按顺序计算 → 回头检验。 ④ 能把运算技能迁移到实际问题（温差、盈亏、水位变化）与含绝对值的综合计算中。 考点一 加减法计算 加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣b） 考点二 乘除法计算 乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 考点三 乘方计算 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 考点四 近似数 近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. ⚠️易错易混 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. ⚠️概念辨析 （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 题型一 有理数加减法的计算 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列运算正确的个数为（     ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先明确有理数加法的运算法则，作为判断每个式子运算是否正确的依据．逐个分析三个运算式子：如果是同号两数相加，那么按照同号有理数加法规则计算结果并对比原式结论；如果是异号两数相加，那么按照异号有理数加法规则计算结果并对比原式结论；如果是0加一个数，那么依据0的加法性质判断结果是否正确．统计运算正确的式子个数，对应选项选出答案． 【详解】①，错误． ②，错误． ③，正确． 综上，正确的运算有1个． 💡破题要诀 ① 第一步「统一成加法」：把 改写成 ，全式只剩一种运算。 ② 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 ③ 异号相加：取绝对值较大的那个符号，并用较大的绝对值减去较小的。 ④ 巧算三招：互为相反数先合并凑 0；同分母先结合；能凑整的先结合。 ⑤ 带分数可拆成整数部分与真分数部分，分别结合后再合并。 迁移应用 【变式1-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知是的相反数，是最大的负整数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵是的相反数， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴. 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算正确； D、，故本选项计算错误． 【变式1-3】（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）写出小于4且大于的所有整数的和_________． 【答案】 【分析】先找出所有满足大于且小于的整数，再计算它们的和． 【详解】解：大于且小于的整数为：，，，，，， ． 题型二 有理数加减法运算律 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）是应用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵等式左侧的加数与、交换了位置， ∴应用了加法交换律 ∵等式右侧将与结合、三个负加数结合分别优先运算 ∴应用了加法结合律． 💡破题要诀 ① 先扫一遍全式，找四类「好朋友」：相反数、同分母、凑整、同号。 ② 交换律、结合律对有理数同样成立，交换时一定要连同数前面的符号一起搬走。 ③ 带分数拆开： 拆成整数与分数分别算更快。 ④ 多个数相加时，一般先把正数和负数分别合并，最后再合一次。 ⑤ 简算前先确认「交换」是否改变了某个数自带的负号——这是唯一的风险点。 迁移应用 【变式2-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【答案】 【分析】把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】解： ． 【变式2-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 【变式2-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型三 有理数加减法的应用 【例3】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月15日小李团队在直播间卖了茶干，接下来7天中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，用负数表示比前一天少的销售量．下表是这7天的销量变化情况（单位：kg）： 日期 9月16日 9月17日 9月18日 9月19日 9月20日 9月21日 9月22日 实际销售量比前一天的变化量 (1)这7天中销售量最多和最少的分别是哪一天？ (2)求这7天小李直播间茶干的总销售量． 【答案】(1)销售量最多的是9月17日，最少的是9月21日 (2)这7天小李直播间茶干的总销售量为． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算出这7天每天的销量，再比较即可； （2）根据（1）中的结果，再求和计算即可． 【详解】（1）解：9月16日：， 9月17日：， 9月18日：， 9月19日：， 9月20日：， 9月21日：， 9月22日：， ∴销售量最多的是9月17日，最少的是9月21日； （2）解：， 答：这7天小李直播间茶干的总销售量为． 💡破题要诀 ① 先「定正方向」：如规定上升为正、收入为正，并在解答中写明。 ② 求「差」时用「后一个量减前一个量」或「高减低」，顺序错了符号就反。 ③ 多步变化时用「累加」：把每次变化量依次相加得到最终状态。 ④ 列式后带单位计算，最后把结果放回实际情境检验（温差、高度差不应为负）。 ⑤ 「上升到」「上升了」「上升了 -3 米」三种说法含义不同，读题时圈出关键词。 迁移应用 【变式3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）快递员骑车从配送中心出发，先向西骑行到达村，继续向西骑行到达村，然后向东骑行到达村，最后回到配送中心． (1)以配送中心为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴，并在该数轴上标出，，三个村庄的位置； (2)求村与村之间的距离． 【答案】(1)解：如图： (2) 【分析】（1）以配送中心为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示，再画出数轴即可. （2）利用数轴上两点之间的距离计算即可. 【详解】（1）画图略 （2）解：∵村到原点的距离为村到原点的距离为2， ∴村与村之间的距离为. 【变式3-2】（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）小亮为备战中考体育，每天以1000米为标准目标跑步，跑步米数超过标准目标的米数记作正数，不足标准目标的米数记作负数，下表是他连续6天跑步情况的记录，第5天小亮忘了记录在表上，但小亮第5天实际跑了945米． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 与标准目标的差值/米 (1)小亮第2天实际跑了______米，并补全表格； (2)求小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多（或少）多少米？ 【答案】(1)955；； (2)小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多20米 【详解】（1）解：； （2）解：（米） 即小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多20米． 【变式3-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：68万元，万元，万元，145万元． (1)盈利最多的季度与盈利最少的季度相差多少？ (2)全年盈亏情况如何？ 【答案】(1)盈利最多的季度与最少的季度相差285万元 (2)全年亏损22万元 【分析】（1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）计算四个季度盈亏总和即可解决． 【详解】（1）解：由题意知，盈利最多的季度盈利了145万元，最少的季度盈利了万元， 所以（万元）． 答：盈利最多的季度与最少的季度相差285万元． （2）解：由题意，得（万元）． 答：全年亏损22万元． 题型四 有理数乘除法的计算 【例4】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（     ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①是正数乘正数； ②是负数乘正数； ③是正数乘0； ④是正数乘负数； 已有算式覆盖了正数乘正数，异号两数相乘，正数乘0的类型， 缺少两负数相乘的类型； 选项A是正数乘正数，不符合； 选项B、D是负数乘正数，不符合； 选项C、是两负数相乘，符合要求． 💡破题要诀 ① 操作顺序固定：先定符号，再算绝对值的积或商——反过来做极易出错。 ② 两个因数：同号得正，异号得负。 ③ 多个因数相乘：数负因数的个数，奇数个结果为负，偶数个结果为正。 ④ 只要有一个因数为 0，积就是 0，不必再定符号。 ⑤ 除法化乘法：除以一个数等于乘它的倒数，0 不能作除数。 迁移应用 【变式4-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若，则“”内的数字是（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得． 【变式4-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】 【分析】先确定运算结果的符号，再计算绝对值的商． 【详解】∵ 异号两数相除，结果为负， ∴ 先确定符号，再计算绝对值的商得， ∴ ． 【变式4-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接运用有理数乘法法则计算即可； （2）先把小数化成分数，然后再用有理数乘法法则计算即可； （3）直接运用有理数乘法法则计算即可； （4）先把带分数化成假分数，然后再用有理数乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解：． （4）解： ． 题型五 倒数的计算 【例5】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：的倒数为． 💡破题要诀 ① 定义先行：乘积为 1 的两个数互为倒数，求倒数就是「把分子分母颠倒」。 ② 小数先化成分数再颠倒，如 ，倒数是 4。 ③ 带分数必须先化成假分数再颠倒，不能直接交换整数与分数部分。 ④ 牢记两个特例：0 没有倒数；倒数等于本身的数只有 和 。 ⑤ 负数的倒数仍是负数，符号不动，只颠倒绝对值部分。 迁移应用 【变式5-1】（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以的倒数是． 【变式5-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）的倒数是________． 【答案】 【分析】根据倒数的定义，找出乘积为的数即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 【变式5-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知a、b互为倒数，则________． 【答案】3 【分析】根据倒数的定义得到，代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵、互为倒数， ∴， 将代入得. 题型六 有理数乘法运算律 【例6】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】124 【详解】解：原式． 💡破题要诀 ① 凑整优先：把乘积为整十、整百的两个因数用交换律、结合律放在一起。 ② 分配律 使用时，括号外的符号要连同一起分配给每一项。 ③ 逆用分配律提公因数，是本章最高频的简算技巧。 ④ 拆数法：遇到 、 这类接近整百的数，拆成 、 再分配。 ⑤ 带分数乘法先化假分数，避免拆错。 迁移应用 【变式6-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：（要书写必要的过程）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式6-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式6-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型七 有理数乘除法的计算 【例7】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）古镇举办美食节，工作人员用数轴规划小吃摊位位置．如图，以古镇牌楼为原点，向东为正方向，米为个单位长度．三个小吃摊位的位置如下：特色糕点摊在处，烧烤小吃摊在处，糖水饮品摊在处． (1)三个小吃摊中，小吃摊_____离牌楼最近； (2)工作人员在糖水饮品摊整理完毕，要去特色糕点摊继续工作，需要向哪个方向走多少米？ 【答案】(1) (2)需要向西走米． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及绝对值的意义，掌握这些知识并能灵活应用是解题的关键． （1）比较各点对应数的绝对值，得到各点到原点的距离，即可得到结果； （2）根据数轴正方向确定行走方向，计算两点的单位长度差，换算得到实际距离． 【详解】（1）解：由题得， ∴， ∴小吃摊离牌楼最近； （2）解：, 答：需要向西走米． 💡破题要诀 ① 先把所有除法转成乘法（乘倒数），全式统一为一种运算。 ② 同级运算严格从左到右依次进行，不要看到能凑整就跳序（除非用运算律）。 ③ 带分数一律先化成假分数再参与运算。 ④ 定符号：把所有负号集中数一遍，定好总符号后再算数值。 ⑤ 结果化为最简分数，假分数一般不必化成带分数。 迁移应用 【变式7-1】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李在东西向的街道上免费接送考生，规定向东为正，向西为负．当天出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)将最后一名考生送到目的地时，小李距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为8元/升，则小李共花费了多少元钱？ 【答案】(1)距出发地5千米，在出发地西边 (2)当天耗油升，共花费元 【分析】（1）将所有行程数据相加，结合正负数的意义解答即可； （2）把所给数据的绝对值相加求出行驶的路程，然后结合耗油量以及油价列式解答即可． 【详解】（1）解：， 则小李距出发地西边5千米； （2）解：汽车的总路程是：（千米）， 耗油：（升）， 花费：（元）. 所以当天耗油升，共花费元． 【变式7-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 0.51 0.30 0.38 0.45 0.33 0.25 支出 (1)萌萌家月支出金额最大的是哪个月？ (2)萌萌家这6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【答案】(1)1月． (2)萌萌家这6个月的总收入是2.22万元，总支出是2万元． (3)萌萌家平均每月的支出是万元． 【分析】（1）比较支出金额的大小即可得出结果； （2）根据有理数的加法法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的除法法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴萌萌家月支出最大的是1月． （2）解：∵（万元），（万元）， ∴萌萌家这6个月的总收入是2.22万元，总支出是2万元． （3）解：∵萌萌家这6个月的总支出是2万元， ∴萌萌家平均每月的支出是（万元）． 【变式7-3】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产，一款哈尔滨红肠的市场指导价为50元，在实际销售过程中，由于生产经营成本和市场供求状况的影响，价格允许在元之间浮动．某商场计划在国庆节期间对该款红肠推出两种优惠方案（两种方案只能选择一种）． 方案一：每盒按九折销售； 方案二：每买5盒，送1盒． (1)该款红肠的售价最高是________元，最低是________元； (2)当该商场按最低价销售该款红肠时． ①王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ ②刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 【答案】(1)52，48 (2)①每盒单价为42元； ②直接使用满888减168优惠券最划算． 买20盒，最低价48元． 方式1：直接用优惠券：（元），（元）， 方式2：只用方案二：每买5送1．买17盒送3盒得到20盒，（元）， 方式3：只用方案一：（元） ∵ 答：直接使用满888减168优惠券最划算，花费792元． 【分析】（1）根据市场指导价为50元，价格允许在元之间浮动即可求解． （2）①根据方案二算出总费用，然后再计算单价即可； ②分别计算出三种方案的费用，然后比较即可得出答案． 【详解】（1）解：最高：（元）；最低：（元） （2）解：①最低价48元，方案二：买5送1．买8盒，实际付7盒． 总费用：（元）； 每盒单价：（元）． ②略； 题型八 有理数四则混合计算 【例8】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 💡破题要诀 ① 先划顺序：括号最优先 → 再乘除 → 最后加减，同级从左到右。 ② 多层括号按小括号、中括号、大括号由内向外依次脱。 ③ 每一步只做一种运算，并把该步结果抄全，避免心算跳步。 ④ 括号内能简算的先简算，算完再与外面合并。 ⑤ 算完用估算检验：量级和符号是否大致合理。 迁移应用 【变式8-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简多重符号，再按从左到右的顺序计算有理数加减； （2）先计算乘除，再计算加减，化简多重符号后得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先作乘除，再加减即可． 【详解】 ． 【变式8-3】（26-27七年级上·广东东莞·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 幂的定义 【例9】（26-27七年级上·云南·期中）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的意义，表示的是个相乘的相反数（为正整数），据此可得答案． 【详解】解：表示的意义是个相乘的相反数， 故选：D． 💡破题要诀 ① 读清结构： 表示 个 相乘， 是底数、 是指数（表示个数，不是乘数）。 ② 关键辨析： 的底数是 （连同负号）， 的底数是 （负号在外面）。 ③ 举例验证：，而 ，二者相差一个负号。 ④ 记住特殊值：；（）；；（）。 ⑤ 书写时底数是负数或分数，必须加括号：、。 迁移应用 【变式9-1】（25-26六年级下·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 【变式9-2】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数乘方是相同因数连乘的简便写法．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：表示3个相乘，即． 【变式9-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在中，底数是__________，指数是__________； 【答案】 【详解】解：根据有理数乘方的定义，表示个相乘，其中为底数，为指数 ∵表示个相乘，括号将负号和括为整体，负号属于底数， ∴ 本题中底数是，指数是． 题型十 幂的计算 【例10】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ ，， ∴ ，A正确； ∵ ，， ∴ ，B错误； ∵ ，，，， ∴ C、D中等式均不成立． 💡破题要诀 ① 先定符号：负数的偶次幂为正、奇次幂为负——这一条先写下来。 ② 再算绝对值：把底数的绝对值连乘 次。 ③ 分数的乘方：分子、分母分别乘方，即 （）。 ④ 小数乘方先化成分数，可有效避免小数点位置错。 ⑤ 高频结论：， 为偶数得 1，奇数得 -1，用来判 这类题。 迁移应用 【变式10-1】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型十一 带乘方的有理数混合计算 【例11】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减； （2）先计算乘方，去掉绝对值，再计算乘除，最后计算加减； （3）先计算乘方，再计算括号内的加减，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 💡破题要诀 ① 运算顺序升级版：括号 → 乘方 → 乘除 → 加减，同级从左到右。 ② 的处理：先算 ，再在结果前添负号，不要把它当成 。 ③ 中乘方优先，等于 ，不是 。 ④ 乘方不确定时写回连乘形式（如 ）再算，最稳。 ⑤ 每步只做一种运算，并在草稿上标出这是第几步。 迁移应用 【变式11-1】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式11-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 科学记数法 【例12】（26-27七年级上·全国·单元复习）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度大约是．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 💡破题要诀 ① 先定 ：把小数点移到左起第一个非零数字之后，得到 的数。 ② 再定 ：原数绝对值 ≥10 时， = 整数位数 - 1（为正）。 ③ 原数绝对值 <1 时， 为负，其绝对值 = 左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的那个 0）。 ④ 还原时按 的正负把 的小数点右移或左移 位，位数不够补 0。 ⑤ 带「万」「亿」等单位时先换算成纯数字再改写。 迁移应用 【变式12-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）大丰湿地公园一年累计吸收二氧化碳约320000千克，数据320000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 【变式12-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）数11000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：. 【变式12-3】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 题型十三 程序性计算 【例13】（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算得出直接输出的输入值必须是，结合程序流程图，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：当时，， 解得， 故直接输出的输入值必须是， A、当时，由可得，输出的的值为，故不符合题意； B、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意； C、当时，，则，输出的的值为，故符合题意； D、当时，，则，输出的的值为，故不符合题意． 💡破题要诀 ① 把框图当成一个「代入—计算—回代」的循环机器，不要想复杂。 ② 第一轮：把输入的数代进运算框，算出结果。 ③ 进判断框：把结果代入判断条件，看走「是」还是「否」，注意箭头方向别看反。 ④ 若不满足出口条件，就把本轮结果当作下一轮的输入，重新走一遍运算框。 ⑤ 列表记录每轮的「输入值 → 输出值 → 判断结果」，直到出现输出为止。 迁移应用 【变式13-1】（26-27七年级上·全国·单元测试）按如图所示的程序计算，若输入的值为5，则输出的结果为________． 【答案】 【详解】解：当时，， ， 当时，， ， 输出的结果为． 【变式13-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）按下列程序图，若输入的数，则输出结果为________． 【答案】 【分析】根据运算程序算出第一次运算结果为，由第二次运算结果为，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴第一次运算结果为， ∵，为负数， ∴， ∴第二次运算结果为； ∵， ∴输出结果为4． 【变式13-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】(1)；1；0 (2)2或7 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时，，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取相反数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 题型十四 近似数 【例14】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（     ） A．0.1（精确到十分位） B．0.050（精确到百分位） C．0.05（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】B 【分析】近似数精确的位数看此数所精确到的数字，该数字所在的位数即是该数的精确位数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 精确到十分位，，本选项正确，不符合题意； B. 精确到百分位，，本选项错误，符合题意； C. 精确到，，本选项正确，不符合题意； D. 精确到，，本选项正确，不符合题意． 💡破题要诀 ① 先看清「精确到哪一位」：精确到 0.1、0.01、十分位、千位，含义各不相同。 ② 四舍五入只向下看一位：要精确到哪一位，就只看它右边那一位决定舍入。 ③ 严禁连续进位： 精确到 0.1 是 ，不能先进到 再进到 。 ④ 用科学记数法表示近似数时， 的最后一位就是精确位所在。 ⑤ 末尾的 0 不能随便去掉： 精确到百分位， 精确到十分位，意义不同。 迁移应用 【变式14-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 【答案】C 【分析】根据近似数的精确度，分别进行判断即可． 【详解】解：A、精确到，故选项错误，不符合题意； B、精确到千分位，故选项错误，不符合题意； C、精确到百分位，故选项正确，符合题意； D、精确到个位，故选项错误，不符合题意． 【变式14-2】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 【答案】C 【分析】判断近似数精确度需确定末位数字所在数位，带计数单位或科学记数法的数先还原为原数再判断． 【详解】解：A．的末位数字在千分位，精确到千分位，故该选项错误； B．，末位数字在百位，精确到百位，故该选项错误； C．的末位数字在个位，精确到个位，正确，符合题意； D．，末位数字在千位，精确到千位，故该选项错误． 【变式14-3】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各选项中的数据，是准确数的是（    ） A．我们数学教科书封面的长约为 B．小颖班上共有56位同学 C．珠穆朗玛峰的海拔约为（雪面高程） D．我国人口总数约为14亿 【答案】B 【详解】解：A．我们数学教科书封面的长约为，是近似值，为近似数，不符合题意； B．小颖班上共有位同学，是精确统计的数值，为准确数，符合题意； C．珠穆朗玛峰的海拔约为（雪面高程），是测量得到的近似值，为近似数，不符合题意； D．我国人口总数约为亿，是统计得到的近似值，为近似数，不符合题意． 题型十五 定义新运算 【例15】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定有理数（a、b为有理数），如：，根据该运算计算________． 【答案】 【分析】根据题意得出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】解：， ． 💡破题要诀 ① 第一步「抄定义」：把题目给的运算规则原封不动抄下来，这是唯一的依据。 ② 第二步「对号入座」：严格分清哪个量是 、哪个是 ，按顺序代入，绝不交换。 ③ 新运算一般不满足交换律，也不能套用常规运算律，除非题目另行说明。 ④ 定义式含括号的，先算括号里的部分；含多重运算的按常规顺序处理。 ⑤ 若要求「求 」，把新运算展开成普通方程再解，解完代回原式检验。 迁移应用 【变式15-1】（2022七年级上·江西赣州·竞赛）定义运算，则_______． 【答案】 【详解】解：根据定义 ． 【变式15-2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有.如：，，；，，. (1)则_________，_________；_________； (2)若，则_________； (3)计算． 【答案】(1)14；； (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出的值，进而求出的值，再根据新定义，进行求解即可； （3）根据新定义和有理数的运算法则进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ． 【变式15-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新的运算：，例如：． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型十六 裂项相消法简算 【例16】（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 💡破题要诀 ① 识别特征：每一项分母都是两个整数的乘积，且两个因数之差恒定。 ② 套核心公式：。 ③ 一般形式：，前面的系数 千万别漏。 ④ 写出前两三项和最后两三项，亲眼看清哪些项正负抵消、剩下哪几项。 ⑤ 相消后一般只剩「首部若干项 - 尾部若干项」，项数由 决定。 迁移应用 【变式16-1】（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：，，，，……，那么： (1) ， ； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查数字类规律探究，解题的关键是根据已知的式子发现规律进行求解． （1）根据已知的式子可得=，故可求解； （2）根据题中的规律将原式变形即可求解． 【详解】（1）解：∵；；；…． ∴=， 故答案为：；； （2）解： ． 【变式16-2】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段检测）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 【答案】（1）；（2）①；②；（3） 【分析】（1）根据题意猜想得到结论，写出即可； （2）①②利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果； （3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果． 【详解】解：（1） ， ， ， ； 故答案为：； （2）① ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，根据题中的等式得出相应的规律是解本题的关键． 【变式16-3】（18-19七年级上·全国·单元测试）先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算：． 【答案】． 【分析】根据题中给出的材料可知利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便． 【详解】原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟悉分数的通分方法，利用通分的逆运算把分式拆成两个分数的加法或减法的形式，可使计算简便． 题型十七 倒序相加法简算 【例17】（23-24七年级下·云南玉溪·期中）阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 【答案】(1)10，40 (2)666 (3) (4)610 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，理解材料一和材料二的计算方法是解答本题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据计算即可； （3）先判断，然后根据新定义求解即可； （4）把代入所给算式，再根据材料一和材料二求值即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：10，40； （2） （3）∵x是正数， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴（负值舍去） （4）当时， 原式 💡破题要诀 ① 识别特征：相加的各项依次相差同一个常数（公差）。 ② 先算项数：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1，这一步最容易错。 ③ 正写一遍、倒写一遍，上下对应相加，每一对的和都等于「首项 + 末项」。 ④ 套公式：和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2。 ⑤ 若项数为奇数，中间项会配到自己，和仍是「首项+末项」的一半乘以项数，公式照样成立。 迁移应用 【变式17-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2)10000 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． （1）把原式化为，再计算即可； （2）直接利用高斯公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式17-2】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）高斯是德国著名的数学家，上小学一年级时，老师出了一道数学题：？全班同学都在埋头计算时，小高斯却很快说出了正确答案：5050．小高斯的解答如下：原式．人们把这样的求和公式称为高斯公式，即，用语言描述为：和． 请解答下列问题： (1)高斯的计算运用的运算律是_______； A．加法交换律    B．加法结合律    C．加法交换律和结合律    D．乘法分配律 (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)C (2) (3)1024144 【分析】本题考查了有理数的运算律及有理数的混合运算，解决本题的关键是理解材料内容并能运用解决问题． （1）根据运算性质可得高斯的计算运用的运算律； （2）把原式化为，再计算即可； （3）直接利用高斯公式计算即可． 【详解】（1）解：高斯的计算运用的运算律是加法交换律和结合律； 故选C （2） ． （3） ； 【变式17-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 题型十八 错位相减法简算 【例18】（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为_______．（结果保留乘方的形式） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的减法运算，熟练掌握有理数的乘方，有理数的减法运算是解题的关键． 由题意可令，则，再把两个式子相减即可求得结果． 【详解】解：令， 则， 得：， ∴， 故答案为：； 💡破题要诀 ① 识别特征：后一项 ÷ 前一项 = 同一个常数（公比 ），且 。 ② 设和为 ，数清一共有多少项。 ③ 两边同乘公比 得 。 ④ 两式相减：，所以 。 ⑤ 注意 是项数而不是最大指数（最大指数是 ），代入前再数一遍。 迁移应用 【变式18-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 【变式18-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘方，解决本题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法,运用类比的数学思想解答问题． （1）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． （2）根据题目中材料可以得到用类比的方法得到的值． 【详解】（1）解：设， 则， ∴． ∴． ∴． （2）解：设， 则， ∴， 即，． ∴． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）2025年全国教育事业统计数据显示，全国共有各级各类学校所，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法．将用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，确定好a、n即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：B． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数． 根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：∵ 选项A：0.70的最后一位数字0在百分位上， ∴ 0.70精确到百分位，不是十分位，故A错误，不符合题意； ∵ 选项B： 3.6万中，数字6在千位上， ∴ 3.6万精确到千位，不是个位，故B错误，不符合题意； ∵ 选项C：，系数5.078的最后一位数字8在千分位上，但乘以后对应十位， ∴ 精确到十位，不是千分位，故C错误，不符合题意； ∵ 选项D：，系数2.9的最后一位数字9在十分位上，但乘以后对应万位， ∴ 精确到万位，故D正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）国庆中秋期间宁波全市各景区景点累计接待游客人数居全省第二，旅游总收入达14600000000元．用科学记数法表示14600000000为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：A． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文字记数系统，对于大于59的数，采用六十进制的算法，例如：．左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．7266 B．7206 C．7860 D．7806 【答案】D 【分析】本题考查了数的进制的转换，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法以及六十进制的位值记法． 仿照示例，列出算式，计算求解即可． 【详解】解：由题意可得，楔形文字记数表示十进制的数为： ， 故选：D． 5．（25-26七年级上·浙江台州·期中）据台州文旅部门统计，2025年春节假期全市重点旅游景区（点）接待游客12330000人次，则“12330000”这个数用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，n为整数，对于12330000，需确定a和n的值． 【详解】解：， 故选：B． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）近似数精确到是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似数，精确到哪一位，就是对其后边的一位进行四舍五入．精确到即保留一位小数，需对第二位小数进行四舍五入． 【详解】解：近似数的第二位小数是， ，故舍去， ∴精确到的近似数为． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某部电影的全球总票房为155.16亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法为整数）的形式转换规则． 本题考查科学记数法，将155.16亿转换为科学记数法形式，需满足． 【详解】解：155.16亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算：_______ ． 【答案】12 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，先计算乘方，再计算乘法即可． 【详解】原式． 故答案为：12． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 【答案】（1）；（2）方案二邮费更省，支付邮费490元，省23元；（3）选择方案一利润更高． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）根据表格求出12箱柚子超出或不足的总质量，再加上标准总质量，计算即可； （2）根据两种方案结合快递公司的收费标准，分别列式进行计算即可； （3）分别求出两种方案各自的利润，进行判断即可． 【详解】解：（1）； 答：这12箱柚子的总质量为； （2）方案一：（元） 方案二：（元） （元） 答：方案二邮费更省，省23元． （3）选择方案一利润更高，理由： 方案一：（元） 方案二：（元）； ∵， ∴选择方案一利润更高． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某中学食堂一周计划采购大米350千克，平均每天采购50千克．实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了该周的采购情况（超计划采购量为正、不足计划采购量为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共采购大米多少千克？ (2)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购多少千克？ (3)若食堂采购大米的预算按实际采购量结算，每千克大米的采购成本为4元．若超额完成一周计划采购量，超出部分每千克可享受0.5元的优惠；若未完成计划采购量，则不足部分每千克需多支付0.5元．那么该食堂这一周采购大米的总费用是多少？ 【答案】(1)151千克 (2)18千克 (3)1442元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数四则运算的应用，解题的关键是： （1）计算出这一周前三天的增减量，即可得到答案； （2）计算采购量最多的一天与采购量最少的一天的差即可； （3）根据题意求和，再进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 答：前三天共采购大米151千克； （2）解：采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购（千克）； （3）解：， ， 答：该食堂这一周采购大米的总费用是1442元． 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小天家有一辆货车用于物流运输，他连续记录了其一周的行驶路程，具体数据如下（以100千米为标准，超过的千米数记为正数，不足的千米数记为负数）： ，，，0，，，． (1)在这7天中，该货车行驶路程最长的一天与最短的一天相差多少千米？ (2)已知货车每天均有空载行驶路段，其长度为当天总行驶路程的（空载路程不计入实际运输里程），请求出这7天货车实际运输的总路程． 【答案】(1)在这7天中，该货车行驶路程最长的一天与最短的一天相差千米 (2)这7天货车实际运输的总路程是540千米 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、正数和负数的应用及有理数减法的应用，解决本题的关键是求出运输的总路程． （1）最长的一天：超过标准最多的是，最短的一天：不足标准最多的是，两者求差即可； （2）用该货车行驶路程，结合空载路程的比例算出实际运输总路程． 【详解】（1）解：（千米）， 答：在这7天中，该货车行驶路程最长的一天与最短的一天相差千米． （2） （千米）， 答：这7天货车实际运输的总路程是540千米． 13．（25-26七年级上·浙江台州·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)露营基地在家的东边，离家有 (2)李明一共行驶了 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算，根据向东为正，向西为负即可得出答案； （2）根据绝对值的实际意义，将各数的绝对值相加并计算即可． 【详解】（1）解：； 答：露营基地在家的东边，离家有； （2）解：， 答：李明一共行驶了． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则 ，仿照题目中的“错位相减法”，可得 ，再设，再用错位相减法可得，将其代入中，可得 本题考查了有理数的混合运算，乘方的含义，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键． 【详解】解：设， 则， ∴， 即， 再令， 则， ∴， 即， ∴， ， ， ． 故选：B． 2．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，可得，即可求解． 利用绝对值的非负性，确定代数式的最小值． 【详解】解：∵， ∴的最小值为 故答案为：． 4．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 【答案】39 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的加减混合运算，先计算原式的正确结果，与错误结果比较得出差值，根据差值判断写错的符号类型及对应的数字，从而确定写错的运算符号位置． 【详解】解：由题知， 因为，且算错的结果为30， 则， 所以是将偶数前面的“-”错写成了“+”． 又因为， 所以数字前面的运算符号为第个运算符号，故写错的是第个运算符号． 故答案为：39． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的值______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，可得，即得，进而代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘方运算和新定义问题，理解定义，通过构造图形表示是解题的关键． 构造面积为1的正方形，表示出即可求解． 【详解】解：如图，构造面积为1的正方形， 由图可知：， ∵， ∴， 故答案为1． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．    (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为__________． ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①的值为或；②7 (3)的值为、或 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是掌握“不大于的最大整数”及的定义，分情况讨论的取值进行计算． （1）根据和的定义直接计算； （2）①分是正整数与非正整数的情况，推导的值；②由推出，结合（为整数）求和； （3）根据结合定义列等式求． 【详解】（1）解：由定义，，；，． 答：，． （2）①解：当时， 若是正整数，则，；是负整数，，， 故． 若不是正整数，设（为非负整数，），则，，， 故 综上，的值为或． 故答案为：或． ②解：由①得，代入，得， ∵为整数时，， ∴． 答：值为． （3）解：设（），则（为整数），，， 由，得，即， ∵， ∴，对应；；（舍去）． 答：的值为、或． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 【答案】任务1：169元；任务2：133元；任务3：119元 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，得到最优方案是解答的关键． 任务1：根据题中单价乘杯数求解支付费用即可； 任务2：分别求得分两笔下单的费用，各自减去“18元代金券”，可求得实际支付费用； 任务3：用完三张“18元代金券”可得到最划算的费用，即就是拼单，可分三笔下单支付，每笔费用必须满55元或者费用大于且最接近55元，也可以用添加小料凑单完成． 【详解】解：任务1：由题意，（元）， 答：单笔订单购买12杯饮料，实际支付169元； 任务2：分两单支付： 购买珍珠奶茶支付（元）， 购买杨枝甘露支付（元）， ∴珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单，共需支付为（元）； 任务3：莉莉的下单方案不是最划算的方案； 最划算的方案为： 第一单：购买5杯珍珠奶茶，实际支付（元）； 第二单：购买2杯珍珠奶茶，2杯杨枝甘露，实际支付（元）， 第三单：购买3杯杨枝甘露，再添加4份椰果或2份椰果、1份多肉或2份多肉，实际支付（元）， 三单共需支付（元）． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）根据以下材料，探索完成任务： 材料一 求的值，可令，则，因此． 材料二 求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地把记作，读作“的圈次方”． 问题解决 问题 直接写出计算结果：___________； 问题 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：___________；___________．（且为正整数）； 问题 计算：（其中） 【答案】问题：；问题：；；问题： 【分析】本题考查有理数混合运算，理解除方的定义是解题的关键． 问题：根据除方的定义解答即可； 问题：根据除方的定义解答即可； 问题：根据（）的结果进行计算即可； 【详解】解：问题：， 故答案为：； 问题：； ； 故答案为：；； 问题：由（）可知，，，，，， ∵， ∴ ， 设，则， ∴， 即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的计算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 加减法计算 考点二 乘除法计算 考点三 乘方计算 考点四 近似数 05 重难题型突破 题型一 有理数加减法的计算 题型二 有理数加减法运算律 题型三 有理数加减法的应用 题型四 有理数乘除法的计算 题型五 倒数的计算 题型六 有理数乘法运算律 题型七 有理数乘除法的计算 题型八 有理数四则混合计算 题型九 幂的定义 题型十 幂的计算 题型十一 带乘方的有理数混合计算 题型十二 科学记数法 题型十三 程序性计算 题型十四 近似数 题型十五 定义新运算 题型十六 裂项相消法简算 题型十七 倒序相加法简算 题型十八 错位相减法简算 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 考点与题型 本章是期中卷的计算主战场，直接计算与混合运算合计通常 20—30 分（约占 28%—35%）。常考考点：有理数的加、减、乘、除运算；运算律的灵活运用（凑整、拆项、逆用分配律 ）；乘方（ 与 的区别、符号规律）；三步以上的混合运算（含括号、绝对值、乘方）；近似数与精确度；以及新定义运算（如 ）、程序框图求值等中档题型。 难易度 难度系数约 0.72，基础题占大头，中档题集中在简算与新定义运算。命题强调“先定符号、再算绝对值”，偏好在符号与运算顺序上设陷阱（如 、），是四章中分值最高、“会而不对”代价最大的一章，复习重点应放在准确率与规范性上。 识记 ① 能准确复述有理数加、减、乘、除的法则（减去一个数等于加上它的相反数；除以一个数等于乘它的倒数）与乘方的定义，会辨认底数与指数。 ② 能用字母表述运算律：，，。 ③ 能说出运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号）与近似数“精确到哪一位”的含义。 理解 ① 理解减法可转化为加法、除法可转化为乘法，能把加减混合、乘除混合统一成同一种运算处理。 ② 理解运算律在有理数范围内仍然成立，能说明凑整、拆项、逆用分配律为什么能简化计算。 ③ 理解乘方的符号规律（负数的奇次幂为负、偶次幂为正）与 的非负性，能区分 与 。 应用 ① 能正确、快速完成三步以上的有理数混合运算（含括号、绝对值、乘方），做到先定符号、再定顺序。 ② 能运用运算律进行简便计算（凑整、拆项、逆用分配律），并写出关键步骤。 ③ 能完成新定义运算与程序框图类求值题：读懂规则 → 正确代入 → 按顺序计算 → 回头检验。 ④ 能把运算技能迁移到实际问题（温差、盈亏、水位变化）与含绝对值的综合计算中。 考点一 加减法计算 加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣b） 考点二 乘除法计算 乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 考点三 乘方计算 乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 科学记数法 把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤|a|＜10，n是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=2×105 考点四 近似数 近似数 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数. ⚠️易错易混 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 精确度 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. ⚠️概念辨析 （1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （2）精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样，一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 题型一 有理数加减法的计算 【例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列运算正确的个数为（     ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 💡破题要诀 ① 第一步「统一成加法」：把 改写成 ，全式只剩一种运算。 ② 同号相加：取相同的符号，并把绝对值相加。 ③ 异号相加：取绝对值较大的那个符号，并用较大的绝对值减去较小的。 ④ 巧算三招：互为相反数先合并凑 0；同分母先结合；能凑整的先结合。 ⑤ 带分数可拆成整数部分与真分数部分，分别结合后再合并。 迁移应用 【变式1-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）已知是的相反数，是最大的负整数，则的值是（     ） A． B．3 C．2 D． 【变式1-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列运算，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）写出小于4且大于的所有整数的和_________． 题型二 有理数加减法运算律 【例2】（26-27七年级上·全国·课后作业）是应用了（     ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．无法确定 💡破题要诀 ① 先扫一遍全式，找四类「好朋友」：相反数、同分母、凑整、同号。 ② 交换律、结合律对有理数同样成立，交换时一定要连同数前面的符号一起搬走。 ③ 带分数拆开： 拆成整数与分数分别算更快。 ④ 多个数相加时，一般先把正数和负数分别合并，最后再合一次。 ⑤ 简算前先确认「交换」是否改变了某个数自带的负号——这是唯一的风险点。 迁移应用 【变式2-1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： 【变式2-2】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算 【变式2-3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型三 有理数加减法的应用 【例3】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）随着互联网的迅速发展，直播带货作为一种新型销售方式逐渐兴起，小李把自家工厂生产的茶干带到了直播间．9月15日小李团队在直播间卖了茶干，接下来7天中小李用表格记录销售情况，用正数表示比前一天多的销售量，用负数表示比前一天少的销售量．下表是这7天的销量变化情况（单位：kg）： 日期 9月16日 9月17日 9月18日 9月19日 9月20日 9月21日 9月22日 实际销售量比前一天的变化量 (1)这7天中销售量最多和最少的分别是哪一天？ (2)求这7天小李直播间茶干的总销售量． 💡破题要诀 ① 先「定正方向」：如规定上升为正、收入为正，并在解答中写明。 ② 求「差」时用「后一个量减前一个量」或「高减低」，顺序错了符号就反。 ③ 多步变化时用「累加」：把每次变化量依次相加得到最终状态。 ④ 列式后带单位计算，最后把结果放回实际情境检验（温差、高度差不应为负）。 ⑤ 「上升到」「上升了」「上升了 -3 米」三种说法含义不同，读题时圈出关键词。 迁移应用 【变式3-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）快递员骑车从配送中心出发，先向西骑行到达村，继续向西骑行到达村，然后向东骑行到达村，最后回到配送中心． (1)以配送中心为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示，画出数轴，并在该数轴上标出，，三个村庄的位置； (2)求村与村之间的距离． 【变式3-2】（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）小亮为备战中考体育，每天以1000米为标准目标跑步，跑步米数超过标准目标的米数记作正数，不足标准目标的米数记作负数，下表是他连续6天跑步情况的记录，第5天小亮忘了记录在表上，但小亮第5天实际跑了945米． 天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 与标准目标的差值/米 (1)小亮第2天实际跑了______米，并补全表格； (2)求小亮这6天跑步的总米数比标准目标总米数多（或少）多少米？ 【变式3-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈利为正，亏损为负）：68万元，万元，万元，145万元． (1)盈利最多的季度与盈利最少的季度相差多少？ (2)全年盈亏情况如何？ 题型四 有理数乘除法的计算 【例4】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）在下列给出的四个算式中，若再添加一个算式，可以帮助我们更加完整地探究有理数乘法法则，则添加的这个算式可以是（     ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 操作顺序固定：先定符号，再算绝对值的积或商——反过来做极易出错。 ② 两个因数：同号得正，异号得负。 ③ 多个因数相乘：数负因数的个数，奇数个结果为负，偶数个结果为正。 ④ 只要有一个因数为 0，积就是 0，不必再定符号。 ⑤ 除法化乘法：除以一个数等于乘它的倒数，0 不能作除数。 迁移应用 【变式4-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）若，则“”内的数字是（     ） A． B．2 C． D． 【变式4-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【变式4-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 倒数的计算 【例5】（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 💡破题要诀 ① 定义先行：乘积为 1 的两个数互为倒数，求倒数就是「把分子分母颠倒」。 ② 小数先化成分数再颠倒，如 ，倒数是 4。 ③ 带分数必须先化成假分数再颠倒，不能直接交换整数与分数部分。 ④ 牢记两个特例：0 没有倒数；倒数等于本身的数只有 和 。 ⑤ 负数的倒数仍是负数，符号不动，只颠倒绝对值部分。 迁移应用 【变式5-1】（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【变式5-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）的倒数是________． 【变式5-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）已知a、b互为倒数，则________． 题型六 有理数乘法运算律 【例6】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：________． 💡破题要诀 ① 凑整优先：把乘积为整十、整百的两个因数用交换律、结合律放在一起。 ② 分配律 使用时，括号外的符号要连同一起分配给每一项。 ③ 逆用分配律提公因数，是本章最高频的简算技巧。 ④ 拆数法：遇到 、 这类接近整百的数，拆成 、 再分配。 ⑤ 带分数乘法先化假分数，避免拆错。 迁移应用 【变式6-1】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算：（要书写必要的过程）： (1)； (2)． 【变式6-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）计算． (1) (2) 【变式6-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算：． 题型七 有理数乘除法的计算 【例7】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）古镇举办美食节，工作人员用数轴规划小吃摊位位置．如图，以古镇牌楼为原点，向东为正方向，米为个单位长度．三个小吃摊位的位置如下：特色糕点摊在处，烧烤小吃摊在处，糖水饮品摊在处． (1)三个小吃摊中，小吃摊_____离牌楼最近； (2)工作人员在糖水饮品摊整理完毕，要去特色糕点摊继续工作，需要向哪个方向走多少米？ 💡破题要诀 ① 先把所有除法转成乘法（乘倒数），全式统一为一种运算。 ② 同级运算严格从左到右依次进行，不要看到能凑整就跳序（除非用运算律）。 ③ 带分数一律先化成假分数再参与运算。 ④ 定符号：把所有负号集中数一遍，定好总符号后再算数值。 ⑤ 结果化为最简分数，假分数一般不必化成带分数。 迁移应用 【变式7-1】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李在东西向的街道上免费接送考生，规定向东为正，向西为负．当天出租车的行程如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)将最后一名考生送到目的地时，小李距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为升/千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为8元/升，则小李共花费了多少元钱？ 【变式7-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）萌萌帮家庭记录6个月的生活收支账目如下表（用正数表示收入，用负数表示支出，单位：万元）． 时间 1月 2月 3月 4月 5月 6月 收入 0.51 0.30 0.38 0.45 0.33 0.25 支出 (1)萌萌家月支出金额最大的是哪个月？ (2)萌萌家这6个月的总收入和总支出各是多少万元？ (3)萌萌家平均每月的支出是多少万元？ 【变式7-3】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产，一款哈尔滨红肠的市场指导价为50元，在实际销售过程中，由于生产经营成本和市场供求状况的影响，价格允许在元之间浮动．某商场计划在国庆节期间对该款红肠推出两种优惠方案（两种方案只能选择一种）． 方案一：每盒按九折销售； 方案二：每买5盒，送1盒． (1)该款红肠的售价最高是________元，最低是________元； (2)当该商场按最低价销售该款红肠时． ①王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？ ②刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程． 题型八 有理数四则混合计算 【例8】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 💡破题要诀 ① 先划顺序：括号最优先 → 再乘除 → 最后加减，同级从左到右。 ② 多层括号按小括号、中括号、大括号由内向外依次脱。 ③ 每一步只做一种运算，并把该步结果抄全，避免心算跳步。 ④ 括号内能简算的先简算，算完再与外面合并。 ⑤ 算完用估算检验：量级和符号是否大致合理。 迁移应用 【变式8-1】（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式8-2】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）计算：． 【变式8-3】（26-27七年级上·广东东莞·阶段检测）计算： (1)； (2)． 题型九 幂的定义 【例9】（26-27七年级上·云南·期中）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 💡破题要诀 ① 读清结构： 表示 个 相乘， 是底数、 是指数（表示个数，不是乘数）。 ② 关键辨析： 的底数是 （连同负号）， 的底数是 （负号在外面）。 ③ 举例验证：，而 ，二者相差一个负号。 ④ 记住特殊值：；（）；；（）。 ⑤ 书写时底数是负数或分数，必须加括号：、。 迁移应用 【变式9-1】（25-26六年级下·上海·期末）下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【变式9-2】（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）有理数乘方是相同因数连乘的简便写法．计算： ____________． 【变式9-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在中，底数是__________，指数是__________； 题型十 幂的计算 【例10】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先定符号：负数的偶次幂为正、奇次幂为负——这一条先写下来。 ② 再算绝对值：把底数的绝对值连乘 次。 ③ 分数的乘方：分子、分母分别乘方，即 （）。 ④ 小数乘方先化成分数，可有效避免小数点位置错。 ⑤ 高频结论：， 为偶数得 1，奇数得 -1，用来判 这类题。 迁移应用 【变式10-1】（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列各式中计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）若，，则______． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则________． 题型十一 带乘方的有理数混合计算 【例11】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 💡破题要诀 ① 运算顺序升级版：括号 → 乘方 → 乘除 → 加减，同级从左到右。 ② 的处理：先算 ，再在结果前添负号，不要把它当成 。 ③ 中乘方优先，等于 ，不是 。 ④ 乘方不确定时写回连乘形式（如 ）再算，最稳。 ⑤ 每步只做一种运算，并在草稿上标出这是第几步。 迁移应用 【变式11-1】（2026七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2) 【变式11-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 题型十二 科学记数法 【例12】（26-27七年级上·全国·单元复习）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度大约是．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 先定 ：把小数点移到左起第一个非零数字之后，得到 的数。 ② 再定 ：原数绝对值 ≥10 时， = 整数位数 - 1（为正）。 ③ 原数绝对值 <1 时， 为负，其绝对值 = 左起第一个非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的那个 0）。 ④ 还原时按 的正负把 的小数点右移或左移 位，位数不够补 0。 ⑤ 带「万」「亿」等单位时先换算成纯数字再改写。 迁移应用 【变式12-1】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）大丰湿地公园一年累计吸收二氧化碳约320000千克，数据320000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）数11000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为__________ 题型十三 程序性计算 【例13】（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）嘉淇做了一个如图所示的程序图，如输入时，因为，所以；输入时，，所以将作为再次进行判断和计算．若嘉淇某次输入有理数后，输出的结果为，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 ① 把框图当成一个「代入—计算—回代」的循环机器，不要想复杂。 ② 第一轮：把输入的数代进运算框，算出结果。 ③ 进判断框：把结果代入判断条件，看走「是」还是「否」，注意箭头方向别看反。 ④ 若不满足出口条件，就把本轮结果当作下一轮的输入，重新走一遍运算框。 ⑤ 列表记录每轮的「输入值 → 输出值 → 判断结果」，直到出现输出为止。 迁移应用 【变式13-1】（26-27七年级上·全国·单元测试）按如图所示的程序计算，若输入的值为5，则输出的结果为________． 【变式13-2】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）按下列程序图，若输入的数，则输出结果为________． 【变式13-3】（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 题型十四 近似数 【例14】（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（     ） A．0.1（精确到十分位） B．0.050（精确到百分位） C．0.05（精确到0.01） D．0.0502（精确到0.0001） 💡破题要诀 ① 先看清「精确到哪一位」：精确到 0.1、0.01、十分位、千位，含义各不相同。 ② 四舍五入只向下看一位：要精确到哪一位，就只看它右边那一位决定舍入。 ③ 严禁连续进位： 精确到 0.1 是 ，不能先进到 再进到 。 ④ 用科学记数法表示近似数时， 的最后一位就是精确位所在。 ⑤ 末尾的 0 不能随便去掉： 精确到百分位， 精确到十分位，意义不同。 迁移应用 【变式14-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．1.8945精确到0.001 B．0.520精确到百分位 C．3.72精确到百分位 D．5000精确到千位 【变式14-2】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列说法中，正确的是（     ） A．0.009精确到百分位 B．精确到千分位 C．800精确到个位 D．56.7万精确到十分位 【变式14-3】（26-27七年级上·全国·单元复习）下列各选项中的数据，是准确数的是（    ） A．我们数学教科书封面的长约为 B．小颖班上共有56位同学 C．珠穆朗玛峰的海拔约为（雪面高程） D．我国人口总数约为14亿 题型十五 定义新运算 【例15】（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）定义一种新运算“”，规定有理数（a、b为有理数），如：，根据该运算计算________． 💡破题要诀 ① 第一步「抄定义」：把题目给的运算规则原封不动抄下来，这是唯一的依据。 ② 第二步「对号入座」：严格分清哪个量是 、哪个是 ，按顺序代入，绝不交换。 ③ 新运算一般不满足交换律，也不能套用常规运算律，除非题目另行说明。 ④ 定义式含括号的，先算括号里的部分；含多重运算的按常规顺序处理。 ⑤ 若要求「求 」，把新运算展开成普通方程再解，解完代回原式检验。 迁移应用 【变式15-1】（2022七年级上·江西赣州·竞赛）定义运算，则_______． 【变式15-2】（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有.如：，，；，，. (1)则_________，_________；_________； (2)若，则_________； (3)计算． 【变式15-3】（26-27七年级上·江苏盐城·阶段检测）对于有理数a、b，定义一种新的运算：，例如：． (1)计算的值． (2)计算的值． 题型十六 裂项相消法简算 【例16】（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 💡破题要诀 ① 识别特征：每一项分母都是两个整数的乘积，且两个因数之差恒定。 ② 套核心公式：。 ③ 一般形式：，前面的系数 千万别漏。 ④ 写出前两三项和最后两三项，亲眼看清哪些项正负抵消、剩下哪几项。 ⑤ 相消后一般只剩「首部若干项 - 尾部若干项」，项数由 决定。 迁移应用 【变式16-1】（25-26七年级上·山东济宁·阶段检测）阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：，，，，……，那么： (1) ， ； (2)求． 【变式16-2】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段检测）观察下列等式 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ； （2）直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； （3）探究并计算： 【变式16-3】（18-19七年级上·全国·单元测试）先阅读，再解题： 因为，，，… 所以 参照上述解法计算：． 题型十七 倒序相加法简算 【例17】（23-24七年级下·云南玉溪·期中）阅读下面材料： 材料一：对任意的实数，，定义的含义为：①当时，；②当时，．例如：，； 材料二：200多年前，数学王子高斯的老师布特纳在课堂上布置了这样一道题：“求的和．”当其他同学忙于把100个数逐项相加时，八岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：．我们通过高斯的计算思路得到这样一个结论：我们把中的第一个加数1称为首项，最后一个加数100称为末项，这100个加数称为项数，称为这些加数的和．对于满足这种规律加数的求和，得出一般性地结论：． 解决问题： (1)______，_______； (2)直接利用上述求和结论求的值； (3)对于正数，满足关系式时，求的值； (4)在（3）的条件下，求的值． 💡破题要诀 ① 识别特征：相加的各项依次相差同一个常数（公差）。 ② 先算项数：项数 =（末项 - 首项）÷ 公差 + 1，这一步最容易错。 ③ 正写一遍、倒写一遍，上下对应相加，每一对的和都等于「首项 + 末项」。 ④ 套公式：和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2。 ⑤ 若项数为奇数，中间项会配到自己，和仍是「首项+末项」的一半乘以项数，公式照样成立。 迁移应用 【变式17-1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）阅读材料： 德国著名数学家高斯在一次课堂上回答过这样一个问题：计算，高斯的解答过程如下：原式．我们把这样的求和称为高斯求和，把这样的公式称为高斯公式，即，用语言叙述为和． 根据上述材料，解答下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【变式17-2】（23-24七年级上·湖南娄底·期末）高斯是德国著名的数学家，上小学一年级时，老师出了一道数学题：？全班同学都在埋头计算时，小高斯却很快说出了正确答案：5050．小高斯的解答如下：原式．人们把这样的求和公式称为高斯公式，即，用语言描述为：和． 请解答下列问题： (1)高斯的计算运用的运算律是_______； A．加法交换律    B．加法结合律    C．加法交换律和结合律    D．乘法分配律 (2)计算：； (3)计算：． 【变式17-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 题型十八 错位相减法简算 【例18】（24-25七年级上·河南周口·期中）求的值时，可令，则，因此．依照以上推理，可以计算出的值为_______．（结果保留乘方的形式） 💡破题要诀 ① 识别特征：后一项 ÷ 前一项 = 同一个常数（公比 ），且 。 ② 设和为 ，数清一共有多少项。 ③ 两边同乘公比 得 。 ④ 两式相减：，所以 。 ⑤ 注意 是项数而不是最大指数（最大指数是 ），代入前再数一遍。 迁移应用 【变式18-1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【变式18-2】（24-25七年级上·湖北恩施·期中）阅读材料： 求值：． 解：设，将等式两边同时乘，得， 将下式减去上式，得， 即． 请你仿照此法计算： (1)； (2)．（其中为正整数） 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）2025年全国教育事业统计数据显示，全国共有各级各类学校所，将用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）国庆中秋期间宁波全市各景区景点累计接待游客人数居全省第二，旅游总收入达14600000000元．用科学记数法表示14600000000为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江温州·期中）远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文字记数系统，对于大于59的数，采用六十进制的算法，例如：．左边的表示，中间的表示，右边的表示1个单位，用十进制写出来是．若楔形文字记数，表示十进制的数为（    ） A．7266 B．7206 C．7860 D．7806 5．（25-26七年级上·浙江台州·期中）据台州文旅部门统计，2025年春节假期全市重点旅游景区（点）接待游客12330000人次，则“12330000”这个数用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）近似数精确到是________． 7．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）某部电影的全球总票房为155.16亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为_______． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算：_______ ． 9．（25-26七年级上·浙江温州·期中）定义新运算：对于任意有理数a和b，规定：，则______． 10．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中） 怎样邮寄柚子更经济？ 冬季盛产柚子．小温家的柚子每年通过网络进行包邮销售，因此需要较多快递费的支出． 素材1 一客户在小温家定了12箱柚子，每箱以12千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如表所示： 与标准质量的差值（单位：千克） 0.5 0.2 箱数 2 5 5 素材2 据调查，某快递公司收费标准：首重1千克以内8元（含1千克），续重（超过1千克的部分）3元/千克，不足1千克按1千克计．不足30千克的包裹免包装费，超过30千克的包裹需要额外支付包装费50元． 素材3 据小温家常年的邮寄经验，包裹越大，柚子受损率越高．一个包裹在30千克以内，柚子几乎无受损；一个包裹质量在100千克至150千克之间，柚子的受损率估计为5%，受损部分由小温家按售价退还相应现金． 任务1 （1）计算这12箱柚子的总质量． 任务2 （2）方案一：分12箱邮寄，每箱一个包裹； 方案二：12箱打成一个大包裹邮寄． 请通过计算说明，选哪种方案邮寄，小温家支付的邮费更省？省多少钱？ 任务3 （3）今年柚子的成本价为6元/千克，售价为12元/千克．结合任务2，邮寄12箱柚子哪种方案利润更高？ 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某中学食堂一周计划采购大米350千克，平均每天采购50千克．实际每天采购量与计划量相比有出入，如表记录了该周的采购情况（超计划采购量为正、不足计划采购量为负，单位：千克）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共采购大米多少千克？ (2)采购量最多的一天比采购量最少的一天多采购多少千克？ (3)若食堂采购大米的预算按实际采购量结算，每千克大米的采购成本为4元．若超额完成一周计划采购量，超出部分每千克可享受0.5元的优惠；若未完成计划采购量，则不足部分每千克需多支付0.5元．那么该食堂这一周采购大米的总费用是多少？ 12．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小天家有一辆货车用于物流运输，他连续记录了其一周的行驶路程，具体数据如下（以100千米为标准，超过的千米数记为正数，不足的千米数记为负数）： ，，，0，，，． (1)在这7天中，该货车行驶路程最长的一天与最短的一天相差多少千米？ (2)已知货车每天均有空载行驶路段，其长度为当天总行驶路程的（空载路程不计入实际运输里程），请求出这7天货车实际运输的总路程． 13．（25-26七年级上·浙江台州·期中）【项目主题】露营基地野餐 【背景】当下露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，李明和朋友约定周末去郊外露营基地野餐，出发前，李明需要驾车去购买一些露营的食物、水果等． 【素材】从家出发，先向西行驶到炸鸡店，继续向西行驶到达面包店，然后向东行驶到达水果店，继续向东行驶到烧烤店，接着向西行驶到寿司店，最后向东行驶到露营基地． 【任务】以家为原点，向东为正，向西为负，李明的行动记录如下：，，，，，； (1)露营基地在家的哪个方向，距家多远？ (2)李明一共行驶了多少千米？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）为了求的值， 可令，则， 因此，所以． 这种方法称为“错位相减法”． 请参考以上推理计算： （   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知为有理数，则的最小值为______． 4．（25-26七年级上·浙江衢州·期中）小明在计算时，不小心把一个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-”错写成“+”），结果错算成了30，则原式从左往右数，第______个运算符号写错了． 5．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）计算的值______． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在高等数学中存在运算（极限），如的意思为当非常非常大的时候，可以趋近于0，故可以认为，那么的值为___________． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）一般用表示不大于x的最大整数，如．现规定，如；．可借助数轴上两点之间的距离理解的意义．如图，表示2的点A与表示的点B重合，所以；表示的点C与表示的点D距离为0.9，所以．    (1)分别求与的值； (2)当时， ①的值为__________． ②已知，求的值； (3)当时，，请直接写出的值． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）根据以下材料，探索完成任务： 材料一 求的值，可令，则，因此． 材料二 求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地把记作，读作“的圈次方”． 问题解决 问题 直接写出计算结果：___________； 问题 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：___________；___________．（且为正整数）； 问题 计算：（其中） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $