河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十六章第二节）

冀教新版九年级数学上册·第二十六章 解直角三角形 26.2 特殊角的三角函数值 分层作业 一、作品基础信息 作品名称 冀教新版九年级数学上册第二十六章《解直角三角形》26.2 特殊角的三角函数值 分层作业 学科 初中数学 教材版本 冀教版（新教材）九年级上册 所属章节 第二十六章 解直角三角形 课题 26.2 特殊角的三角函数值 课时安排 1课时（作业配套） 作业类型 书面分层作业（A、B、C三级） 适用对象 九年级学生 建议用时 约35分钟（A组约15分钟，B组约12分钟，C组约8分钟） 设计理念 由形得数、建表记忆、数形结合、分层递进、减负提质 设计时间 2026年 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的变化”领域，要求理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义，知道 30°、45°、60° 角的三角函数值，能由已知锐角求出它的三角函数值，能根据三角函数值求对应的锐角，并会用它们解决简单的实际问题。 课标强调引导学生经历由特殊图形发现数量关系的过程，体会“由形得数、以数解形”的数学思想，发展运算能力、几何直观和应用意识，为后续用锐角三角函数解直角三角形、解决测量问题打下基础。 （二）教材分析 “26.2 特殊角的三角函数值”是冀教版九年级数学上册第二十六章“解直角三角形”的第二课时，是在 26.1“锐角三角函数”（正弦、余弦、正切的定义）的基础上，研究 30°、45°、60° 这三个特殊角的三角函数值。它在全章中起承上启下的作用：上承 26.1 的比值定义，把“比”具体化为可“免算”的数值；下启 26.3“解直角三角形”与 26.4“解直角三角形的应用”，是解直角三角形最常用的工具。 本节内容主要分三个层次。 一是特殊角三角函数值的推导。以两个基本图形为依据：含 30° 角的直角三角形（三边之比为 1 : : 2）和等腰直角三角形（三边之比为 1 : 1 : ）。 由这两个图形的边长关系，利用锐角三角函数的定义，可以分别求出 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值： sin30° = ，cos30° = ，tan30° = ； sin45° = ，cos45° = ，tan45° = 1； sin60° = ，cos60° = ，tan60° = 。 二是特殊角三角函数值表及其规律。把以上三组值整理成表，可以观察出：正弦、正切值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小；30° 与 60° 是一对互余的角，它们的正弦、余弦值正好互换，即 sin30° = cos60°、cos30° = sin60°；45° 的正弦、余弦值相等且都等于 ，正切值为 1。 三是利用特殊角的三角函数值求角的度数，以及含特殊角的三角函数的式子计算。这三层内容层层递进，体现了“由形得数—建表记忆—应用求值”的编写思路。 需要注意的是，特殊角的三角函数值必须在理解的基础上记忆，不能死记硬背：记住两个基本图形的三边之比，就能随时“重建”整张数值表，这样既记得牢，又说得清来源。 （三）学情分析 学生已经掌握了锐角三角函数的定义，会用直角三角形的边长求比值，也熟悉勾股定理和“直角三角形中 30° 角所对的直角边等于斜边的一半”，这为本节学习做好了准备。但本节学习仍存在以下几方面困难： 一是推导意识不足。不少学生习惯于直接背数值表，说不清这些值是怎么来的，一旦忘记就无从下手。 二是数值容易记混。特别是把 sin30° 与 sin60°、cos30° 与 cos60° 记反，或分不清 、、 的归属。 三是不会由函数值求角。看到 sinα = 这样的条件，不能迅速联想到 α = 45°。 四是含特殊角的式子计算出错。如把 sin²45° 与 (sin45°)² 的关系弄错，或在化简根式时遗漏约分。 五是在几何图形中调用特殊角值的意识不强，面对非直角三角形时不会作高构造直角三角形。 因此，作业设计应遵循“会推导—记准值—能求角—会转化—能应用”的路径，通过“选一选、填一填、算一算、求一求、用一用”的阶梯式任务，帮助学生建立完整的知识结构与解题经验。 （四）设计意图 本次作业分为 A、B、C 三个层级。A 组为基础巩固题，面向全体学生，指向特殊角三角函数值的推导过程、准确记忆、含特殊角的式子计算和由值求角，重在“保底”；B 组为能力提升题，指向由特殊角的值求角的度数、式子的化简求值以及图形中由特殊角求边长，重在“提质”；C 组为拓展探究题，指向非直角三角形中作高求线段长和实际测量情境中的综合应用，重在“扬长”。 三个层级按照“推导记忆—计算求角—转化应用”的路径设计，题量精简、图文结合、以图助思，每道需作图的题目都配有相应图形，帮助学生把抽象的数值关系直观化，避免机械重复，使不同水平的学生都能获得成功的体验，实现“减负提质”。 三、作业目标 （一）基础目标（必做） （1）能借助含 30° 角的直角三角形和等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义推导 30°、45°、60° 的三角函数值，理解这些值的来源。 （2）熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值，会进行含特殊角的三角函数的式子计算。 （3）能根据特殊角的三角函数值求出相应的锐角。 （二）提升目标（选做） （4）能在几何图形中运用特殊角的三角函数值进行边长、角度的计算，发展几何直观与运算能力。 （5）掌握特殊角三角函数值之间的关系（增减性、互余关系 、），并会用来化简与计算。 （三）拓展目标（挑战） （6）能在非直角三角形中作高构造直角三角形，借助特殊角的三角函数值求线段的长。 （7）能综合运用特殊角的三角函数值解决实际测量问题，书写规范的推理与计算过程，体会数学的应用价值。 四、作业内容与目标对应表 层级 题号 主要内容与考点 对应目标 A组 基础巩固 （必做） 1 特殊角三角函数值的辨析（选择题） （2） 2 由含 30° 角的直角三角形推导 30°、60° 的三角函数值（图1） （1）（2） 3 由等腰直角三角形推导 45° 的三角函数值（图2） （1）（2） 4 含特殊角三角函数值的式子计算 （2） 5 由特殊角的三角函数值求锐角 （3） B组 能力提升 （选做） 6 直角三角形中由特殊角的值求角的度数（图3） （4） 7 特殊角三角函数值的化简求值（平方关系、互余关系） （5） 8 由三角函数值求角并求三角形的内角 （3）（4） 9 直角三角形中由特殊角求边长（图4） （4） C组 拓展探究 （挑战） 10 非直角三角形中作高求线段长（图5） （6） 11 综合与实践：测量建筑物的高度（图6） （6）（7） 五、作业评价 （一）评价方式 本次作业采用“教师批改评价 + 学生自我评价 + 同伴互评”相结合的方式，突出过程性与发展性评价： 1. 分层达标评价。A 组为必做题，全体学生完成，评价重点是基础达标；B 组为选做题，鼓励中等及以上学生完成，评价重点是运用特殊角三角函数值进行计算与转化的灵活性；C 组为挑战题，供学有余力的学生选做，评价重点是图形转化与推理表达。 2. 星级评价。每道题按“完全正确、部分正确、需要帮助”三个等级，分别记 ★★★、★★、★，便于学生直观了解自己的达成情况。 3. 反馈与订正。教师针对典型错误集中讲评，学生完成错题订正并进行二次自测，形成“发现—订正—复测—反思”的闭环。 （二）评价量规 评价维度 优秀（★★★） 良好（★★） 待改进（★） 推导与记忆 能借助两个基本图形自主推导三组特殊值，并准确记忆 能记住大部分特殊值，推导需教师提示 数值记忆混乱，说不清来源 求值与计算 能准确完成含特殊角的式子计算，过程规范 计算基本正确，偶有约分或根式化简错误 数值代入出错，反复出错 由值求角 能由特殊角的函数值迅速、准确地求出对应的锐角 能求出常见情形，个别需提示 不会由函数值反求角 综合与应用 能在几何图形和实际问题中灵活调用特殊角值，作高构造直角三角形 在提示下能完成转化与计算 缺乏调用意识，需教师持续指导 （三）学生自评与同伴互评表 评价项目 自我评价 同伴评价 教师评价 我能借助含 30° 角的直角三角形推导 30°、60° 的三角函数值 我能借助等腰直角三角形推导 45° 的三角函数值 我熟记 30°、45°、60° 的正弦、余弦、正切值 我能熟练进行含特殊角三角函数值的式子计算 我能由特殊角的三角函数值求出相应的锐角 我会在几何图形或实际问题中灵活运用特殊角的三角函数值 我的收获：　　　　　；仍存在的困惑：　　　　　 六、试题详情 （一）A组　基础巩固（必做，建议用时约15分钟） 1. 下列各式中，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图（图 1），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 1。填空： （1）AB = 　　　　，AC = 　　　　； （2）sin30° = 　　　　，cos30° = 　　　　，tan30° = 　　　　； （3）因为 ∠B = 60°，所以 sin60° = 　　　　，cos60° = 　　　　，tan60° = 　　　　。 3. 如图（图 2），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC = 1（即等腰直角三角形）。填空： （1）AB = 　　　　； （2）∠A = 　　　　°，sin45° = 　　　　，cos45° =　　　　，tan45° =　　　　。 4. 计算： （1）； （2）。 5. 根据下列条件，求锐角 α 的度数： （1）； （2）； （3）。 （二）B组　能力提升（选做，建议用时约12分钟） 6. 如图（图 3），在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D，AC = 6，AD = 3。求 ∠A 和 ∠B 的度数。 7. 计算： （1）； （2）。 8. 在 △ABC 中，∠A、∠B 都是锐角，且 sinA = ，cosB = ，求 ∠C 的度数。 9. 如图（图 4），在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AC = 6。求 BC 和 AB 的长（结果保留根号）。 （三）C组　拓展探究（挑战，建议用时约8分钟） 10. 如图（图 5），在 △ABC 中，∠A = 30°，∠B = 45°，AC = 4。求 AB 的长（结果保留根号）。 11. 综合与实践：如图（图 6），为测量一座大楼 AB 的高度，小明在水平地面上的点 C 处测得楼顶 A 的仰角为 30°，然后沿 CB 方向前进 10 米到达点 D 处，测得楼顶 A 的仰角为 60°（AB⊥BC，C、D、B 在同一条直线上）。求大楼的高度 AB（结果保留根号）。 七、答案与解析 1.【答案】C 【解析】因为 ，所以 A 错误；因为 ，所以 B 错误；因为 ，所以 C 正确；因为 ，所以 D 错误。故选 C。 【方法点拨】30°、45°、60° 的三角函数值要准确记忆，尤其要分清 、、 的归属，避免“张冠李戴”。 2.【答案】（1）AB = 2，AC = ；（2）sin30° = ，cos30° = ，tan30° = ；（3）sin60° = ，cos60° = ，tan60° = 。 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，由“30° 角所对的直角边等于斜边的一半”得 ；由勾股定理得 。 由定义得 ，，。 又 ，在 Rt△ABC 中 ，，。 【方法点拨】30° 与 60° 是一对互余的角，它们的正弦、余弦值正好“互换”：sin60° = cos30°，cos60° = sin30°，记忆时可以成对记忆。 3.【答案】（1）AB = ；（2）∠A = 45°，sin45° = ，cos45° = ，tan45° = 1。 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC = 1，由勾股定理得 。 所以 ，，，且 ∠A = 45°。 【方法点拨】等腰直角三角形三边之比为 1 : 1 : ，是推导 45° 三角函数值的基本图形；分母中出现根号时要分子分母同乘该根式进行化简。 4.【答案】（1）；　（2）2。 【解析】（1）原式 = 。 （2）原式 = 。 【方法点拨】计算含特殊角的三角函数的式子时，先把每个三角函数值代换成准确数值（分数或根式），再按实数的运算法则计算，注意约分与化简。 5.【答案】（1）45°；　（2）60°；　（3）60°。 【解析】因为 α 为锐角，且在锐角范围内每个函数值对应的角是唯一的，所以： （1）由 得 α = 45°。 （2）由 得 α = 60°。 （3）由 得 α = 60°。 【方法点拨】由函数值求角，就是“反查”特殊角三角函数值表；也可以借助两个基本图形，先看比值，再读角。 6.【答案】∠A = 60°，∠B = 30°。 【解析】因为 CD⊥AB，所以 ∠ADC = 90°。在 Rt△ACD 中，，所以 ∠A = 60°。 又 ∠ACB = 90°，所以 。 【方法点拨】本题的关键是找到含已知边的直角三角形，并选择与已知边匹配的三角函数。这里已知斜边 AC 与邻边 AD，应选用余弦；由 cos∠A = 得 ∠A = 60°。 7.【答案】（1）1；　（2）0。 【解析】（1）原式 = 。 （2）原式 = 。 【方法点拨】第（2）题用到了同角关系 与 ，能简化计算。 8.【答案】∠C = 75°。 【解析】因为 且 ∠A 为锐角，所以 ∠A = 45°；因为 且 ∠B 为锐角，所以 ∠B = 60°。 所以 。 【方法点拨】先用特殊角的三角函数值求出 ∠A、∠B 的度数，再用三角形内角和定理求 ∠C；注意题中“∠A、∠B 都是锐角”是排除其他可能、保证答案唯一的关键条件。 9.【答案】BC = = ，AB = 。 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，AC = 6。因为 ，所以 。 因为 ，所以 。 【方法点拨】由特殊角求边长时，先看已知边、所求边与这个角的位置关系，再选择恰当的三角函数：已知邻边求对边用正切，已知邻边求斜边用余弦。 10.【答案】AB = 【解析】过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D。 在 Rt△ACD 中，∠ADC = 90°，∠A = 30°，AC = 4，所以 ，。 在 Rt△BCD 中，∠BDC = 90°，∠B = 45°，所以 ∠BCD = 45°，从而 。 所以 。 【方法点拨】遇到非直角三角形，关键是“作高把它分成两个直角三角形”，再用特殊角的三角函数值求出各线段。两个直角三角形共用同一条高 CD，它就是联系上下两个三角形的桥梁。 11.【答案】AB = 米。 【解析】设 AB = h 米。因为 AB⊥BC，所以 △ABC 与 △ABD 都是直角三角形。 在 Rt△ABD 中，∠ADB = 60°，，所以 。 在 Rt△ABC 中，∠ACB = 30°，，所以 。 因为 C、D、B 在同一条直线上，且 CD = 10，所以 ，即 ，得 ，解得 。 答：大楼的高度 AB = 米。 【方法点拨】测量问题中，把两次测得的仰角分别放在两个直角三角形里，用特殊角的正切表示出两条水平距离，再根据它们的差列方程求解，这是“解直角三角形应用”的常用模型。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $