3.3 垂径定理【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区）

3.3 垂径定理【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节研究圆的一条重要对称性——垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；以及它的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。课标要求探索并证明垂径定理，能用它解决与弦、弧、弦心距有关的计算与证明问题，发展几何直观、推理能力与运算能力。它把“圆是轴对称图形”这一结论转化为圆中直角三角形的边角关系，是本章最重要的工具：往上看，它是圆的对称性的直接推论；往下看，圆周角、圆内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积乃至直线与圆的位置关系都以它为计算基础。“遇弦作弦心距、连半径构造直角三角形”由此成为圆中最重要的一条辅助线思路。 本节常见考查方式有：垂径定理及其逆定理的文字辨析；在弦长、弦心距、半径三者之间“知二求一”的基本计算；利用“弦的垂直平分线经过圆心”进行说理与证明；两条平行弦（同侧或异侧）之间距离的分类讨论；把生活中的截面问题（油槽油面、球形烧瓶液面、圆弧形拱桥、隧道、半圆桥洞水位）抽象为弦与弦心距的建模问题；以及过圆内定点的最短弦、弦上动点的取值范围、沿弦折叠圆弧等综合题。命题趋势上，多以小题考查基本换算与概念辨析，以中档题考查“作弦心距—连半径—用勾股”的规范书写与分类讨论意识，以压轴题考查数学建模、动点最值与含参计算，重视数形结合与应用意识。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，在 ⊙O 中，弦 AB 与弦 AC 互相垂直，垂足为 A，且 AB＝8 cm，AC＝6 cm。若 OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 ⊙O 的半径是（　　） A．4 cm　B．5 cm　C．6 cm　D．10 cm 2．如图，CD 是 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E。若 AB＝8，OE＝3，则 CE 的长是（　　） A．5　B．4　C．3　D．2 3．如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C。若 ⊙O 的半径是 10，AB＝16，则圆心 O 到弦 AB 的距离是（　　） A．3　B．6　C．8　D．12 4．圆的弦中直径最长。若 ⊙O 的半径是 6，CD 是 ⊙O 的一条弦，且 CD 不是 ⊙O 的直径，则 CD 的长不可能是（　　） A．6　B．9　C．11　D．13 5．如图，⊙O 的半径是 10，AB 与 CD 是 ⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝16，CD＝12，且圆心 O 在 AB 与 CD 之间，则 AB 与 CD 之间的距离是（　　） A．2　B．8　C．14　D．2 或 14 6．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，且 CD∥AB。已知 AB＝10 米，CD＝8 米，则水位线 CD 到河底线 AB 的距离是（　　） A．1 米　B．2 米　C．3 米　D．4 米 7．已知 △ABC 内接于 ⊙O，AB＝AC，底边 BC＝8，⊙O 的半径是 5，则 △ABC 的面积是（　　） A．8　B．16　C．24　D．8 或 32 8．如图，圆柱形油槽内装有一些油，其截面是 ⊙O。已知 ⊙O 的半径是 5 cm，油面宽 AB 为 6 cm；再注入一些油后，油面 CD 的宽变为 8 cm，则油面上升的高度是（　　） A．1 cm　B．2 cm　C．3 cm　D．4 cm 9．如图，在平面直角坐标系中，以点 C(2, ) 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），则点 A 的坐标是（　　） A．(0, 0)　B．(1, 0)　C．　D．(3, 0) 10．如图，在半圆 O 中，直径 AB＝4，C 是半圆上一点，且 ∠AOC＝60°。将弧 AC 沿弦 AC 折叠，点 O 落在点 O′ 处，则 OO′ 的长是（　　） A．1　B．　C．2　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在 ⊙O 中，AB 与 CD 是两条弦，OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F。若 ⊙O 的半径是 3，OE＝2，且 AB＝CD，则 CD＝　　　。 12．下列说法：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直线垂直于这条弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④弦的垂直平分线经过圆心。其中正确的是　　　（填序号）。 13．如图，某地修建一座圆弧形拱桥，桥的跨度 AB＝32 米，拱高 CD＝8 米（C 是弧 AB 的中点，CD⊥AB 于点 D）。若把这条弧补成完整的圆，则该圆的半径是　　　米。 14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径是 5 cm，瓶内液体的最大深度 CD＝2 cm（C 是液面的中点，CD⊥AB 于点 D）。则截面圆中弦 AB 的长是　　　cm。 15．如图，AB 与 CD 是 ⊙O 的两条弦，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16。若 ⊙O 的半径是 10，则 OP 的长是　　　。 16．如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E。若 CE＝4，且 AE−BE＝6，则 ⊙O 的半径是　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，在 ⊙O 中，C 是弦 AB 所对弧的中点，OC 与弦 AB 交于点 D。已知 ⊙O 的半径是 5，AB＝8。 (1) 求 OD 的长； (2) 求弧 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离 CD。 18．（7 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，且弧 CD 的度数是 120°。 (1) 求证：弧 AC＝弧 AD； (2) 若 ⊙O 的半径是 6，求 CD 的长。 19．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的弦，半径 OD⊥AB，垂足为 H，BC⊥AB，交 AD 的延长线于点 C。 (1) 求证：D 是 AC 的中点； (2) 若 AB＝12，AC＝，求 ⊙O 的半径。 20．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的弦，D 是 AB 的中点，OD 的延长线交 ⊙O 于点 C。 (1) 求证：CD⊥AB； (2) 若 ⊙O 的半径是 13，AB＝24，求 CD 的长。 21．（8 分）如图，矩形 ABCD 的四个顶点都在 ⊙O 上，O 是圆心，AB＝16，BC＝12。 (1) 求 ⊙O 的半径； (2) 求圆心 O 到边 AB 的距离。 22．（8 分）如图，⊙O 的半径是 13，AB 是 ⊙O 的弦，AB＝24，M 是 AB 的中点。点 P 是 ⊙O 上一点（不与 A，B 重合），N 是 AP 的中点。 (1) 求 OM 的长； (2) 求证：MN＝BP； (3) 求线段 MN 的长的最大值。 答案与解析 一、选择题（每小题 3 分） 　　1．B　2．D　3．B　4．D　5．C　6．C　7．D　8．A　9．B　10．D 1．B 连结 OA。因为 OD⊥AB，OE⊥AC，所以 D，E 分别是 AB，AC 的中点， ，。 又 AB⊥AC，所以 ∠DAE＝90°；结合 ∠ADO＝∠AEO＝90°，得四边形 ADOE 是矩形， 所以 。 在 Rt△ADO 中，由勾股定理得 ，即 ⊙O 的半径是 5 cm。故选 B。 2．D 连结 OA。因为 CD 是 ⊙O 的直径且 AB⊥CD，所以 E 是 AB 的中点， 。 在 Rt△AEO 中，由勾股定理得 ， 即 ⊙O 的半径是 5，所以 。 因为点 E 在半径 OC 上，所以 。故选 D。 3．B 连结 OA。因为 OC⊥AB，所以 C 是 AB 的中点，。 又 OA＝10，在 Rt△AOC 中，由勾股定理得 。 即圆心 O 到弦 AB 的距离（弦心距）是 6。故选 B。 4．D ⊙O 的直径是 ，而直径是圆中最长的弦。 因为 CD 是 ⊙O 的弦且不是直径，所以 。 选项 A，B，C 中的值都小于 12，只有 不可能。故选 D。 5．C 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，反向延长 OE 交 CD 于点 F。 因为 AB∥CD，且 OE⊥AB，所以 OF⊥CD，即 OE，OF 分别是两条弦的弦心距。 因为 OE⊥AB，所以 ，。 同理 ，。 因为圆心 O 在两条弦之间，所以 。 （若两条弦在圆心同侧，则 ，与条件“O 在两条弦之间”不符。）故选 C。 6．C 因为 AB 是直径且 AB＝10，所以 ⊙O 的半径是 5。 过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，则 E 是 CD 的中点，。 连结 OC，则 OC＝5。在 Rt△OEC 中，。 因为 CD∥AB，且 OE⊥CD，所以 OE 就是这两条平行线之间的距离，即水位线 CD 到河底线 AB 的距离是 3 米。故选 C。 7．D 作 AD⊥BC 于点 D。因为 AB＝AC，所以 D 是 BC 的中点，。 因为 AB＝AC，所以点 A 在 BC 的垂直平分线上；因为 OB＝OC，所以点 O 也在 BC 的垂直平分线上，于是 A，O，D 三点共线。 在 Rt△OBD 中，。 ①当圆心 O 在 △ABC 内部时，，； ②当圆心 O 在 △ABC 外部时，，。 所以 △ABC 的面积是 8 或 32。故选 D。 8．A 设注入油前、后油面到圆心 O 的距离分别是 ，。 由 AB＝6 cm 得 （cm）； 由注入后油面宽为 8 cm 得 （cm）。 弦心距； ：弦心距。 ⚠圆柱形油槽，存在两种情况： ①两次油面都在圆心下方（题图）：上升高度 ； ②第一次油面在圆心下方，注入油后油面越过圆心到圆心上方：上升高度 。 故选 A。 9．B 过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H。因为 C(2, )，所以 H(2, 0)，且 。 因为 CH⊥AB，所以 H 是 AB 的中点，。 点 A 在点 B 的左侧，所以点 A 的横坐标是 ，即 A(1, 0)（此时 B(3, 0)）。故选 B。 10．D 连结 AC。因为 OA，OC 都是半径，所以 OA＝OC＝2； 又 ∠AOC＝60°，所以 △AOC 是等边三角形，AC＝2，点 O 到弦 AC 的距离 。 把弧 AC 沿弦 AC 折叠，折叠前后的两个圆关于弦 AC 成轴对称， 所以点 O 与点 O′ 关于弦 AC 对称，弦 AC 垂直平分线段 OO′，即 。 所以 。故选 D。 二、填空题（每小题 4 分） 　　11．　12．①④　13．20　14．8　15．　16．5 11． 连结 OA。因为 OE⊥AB，所以 E 是 AB 的中点，， 且 ，所以 。 因为在同圆中相等的弦所对的弦心距相等（反之亦然），由 AB＝CD 得 。 12．①④ ①就是垂径定理，正确。 ②不正确：平分弦的直线只保证过弦的中点，不一定垂直于这条弦。 ③不正确：垂直于弦的直线如果不经过圆心，就不会平分这条弦，也就不会平分弦所对的弧。 ④正确：弦的垂直平分线上的点到弦的两个端点的距离相等，而圆心到弦的两个端点的距离相等（都是半径），所以圆心在这条垂直平分线上，即弦的垂直平分线经过圆心。 所以正确的是①④。 13．20 把弧 AB 补成完整的圆，设圆心为 O，半径是 r。 因为 C 是弧 AB 的中点，所以 OC 垂直平分 AB，点 D 是 AB 的中点， ，且 O，D，C 三点共线，。 在 Rt△ADO 中，，由勾股定理得 ， 即 ，所以 ，。 即该圆的半径是 20 米。 14．8 设球的球心为 O，则 O 在 CD 所在的直线上， cm。 因为 CD⊥AB，所以 D 是 AB 的中点，。 又 （cm）， 在 Rt△AOD 中，（cm）。 所以 （cm）。 15． 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F，则 OE，OF 分别是 AB，CD 的弦心距。 因为 AB＝CD＝16，所以 ，。 因为 OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD，所以 OE∥CD，OF∥AB，四边形 OEPF 是矩形； 又 OE＝OF，所以矩形 OEPF 是正方形， 所以 。 16．5 设 ⊙O 的半径是 r，则 。 因为 ，又 ，两式相加得 ，即 。 所以 。 因为 CD⊥AB 于点 E，所以 OE⊥CE，在 Rt△OEC 中 ，， 由勾股定理得 ，所以 。 即 ⊙O 的半径是 5。 三、解答题（共 46 分） 17．（7 分） (1) 因为 C 是弧 AB 的中点，所以 OC 垂直平分 AB，即 OD⊥AB，且 D 是 AB 的中点。 所以 。 连结 OA，在 Rt△AOD 中，OA＝5，所以 。 (2) 因为 C 是 ⊙O 上的点，所以 。 又 O，D，C 三点共线，所以 。 即弧 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离是 2。 18．（7 分） (1) 因为 AB 是 ⊙O 的直径，所以 AB 是过圆心的直线。 又 CD⊥AB 于点 E，由垂径定理得 AB 平分弦 CD，并且平分弦 CD 所对的两条弧， 所以弧 AC＝弧 AD。 (2) 连结 OC，OD。因为弧 CD 的度数是 120°，所以 ∠COD＝120°。 因为 OC＝OD，OE⊥CD，所以 OE 平分 ∠COD，， 所以 ∠OCE＝90°−60°＝30°。 在 Rt△OCE 中，OC＝6，∠OCE＝30°，所以 ， 。 因为 OE⊥CD，所以 。 19．（8 分） (1) 因为 OD⊥AB，BC⊥AB，所以 OD∥BC。 又由垂径定理，H 是 AB 的中点，即 AH＝HB。 在 △ABC 中，点 H 是 AB 的中点，且过点 H 的直线 OD 平行于 BC，交 AC 于点 D， 由三角形中位线的性质（经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线平分第三边）， 得 D 是 AC 的中点。 (2) 因为 D 是 AC 的中点，所以 。 又 AH＝AB＝6，OH⊥AB，所以在 Rt△AHD 中， 。 因为点 D 在 ⊙O 上，所以 OD＝OA＝r，。 在 Rt△OHA 中，由勾股定理得 ，即 ， ，所以 ，。 即 ⊙O 的半径是 10。 20．（8 分） (1) 连结 OA，OB。因为 OA，OB 都是 ⊙O 的半径，所以 OA＝OB，△AOB 是等腰三角形。 又 D 是 AB 的中点，即 OD 是底边 AB 上的中线， 由等腰三角形“三线合一”得 OD⊥AB，所以 CD⊥AB。 （也可直接用垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦。） (2) 因为 CD⊥AB，所以由垂径定理知 D 是 AB 的中点，。 连结 OA，则 OA＝13。在 Rt△AOD 中， 。 因为 C 是 ⊙O 上的点，所以 OC＝13， 所以 。 21．（8 分） (1) 因为矩形 ABCD 的四个顶点都在 ⊙O 上，所以 AC，BD 是 ⊙O 的两条弦，且它们互相平分。 而 AC，BD 的交点到 A，B，C，D 四点的距离相等，它就是矩形外接圆的圆心， 所以 AC，BD 的交点即为点 O，AC 是 ⊙O 的直径。 在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝16，BC＝12， 。 所以 ⊙O 的半径是 。 (2) 连结 OA，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E。因为 OA＝OB，所以 E 是 AB 的中点， 。 在 Rt△AOE 中，。 即圆心 O 到边 AB 的距离是 6。 22．（8 分） (1) 连结 OA。因为 M 是 AB 的中点，所以 OM⊥AB，。 在 Rt△AOM 中，。 (2) 因为 M 是 AB 的中点，N 是 AP 的中点，所以 MN 是 △ABP 的中位线， 所以 。 (3) 由 (2) 得 ，所以要使 MN 最大，只要使 BP 最大。 在 ⊙O 中，弦 BP 最长时是直径，所以 BP 的最大值是 ， 所以 MN 的最大值是 （此时 P 是点 B 关于圆心 O 的对称点）。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 垂径定理【分层练习卷】2026-2027 学年浙教版九年级上册数学（温州地区） 考试时间：45 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 6 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 本节研究圆的一条重要对称性——垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；以及它的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。课标要求探索并证明垂径定理，能用它解决与弦、弧、弦心距有关的计算与证明问题，发展几何直观、推理能力与运算能力。它把“圆是轴对称图形”这一结论转化为圆中直角三角形的边角关系，是本章最重要的工具：往上看，它是圆的对称性的直接推论；往下看，圆周角、圆内接四边形、正多边形、弧长与扇形面积乃至直线与圆的位置关系都以它为计算基础。“遇弦作弦心距、连半径构造直角三角形”由此成为圆中最重要的一条辅助线思路。 本节常见考查方式有：垂径定理及其逆定理的文字辨析；在弦长、弦心距、半径三者之间“知二求一”的基本计算；利用“弦的垂直平分线经过圆心”进行说理与证明；两条平行弦（同侧或异侧）之间距离的分类讨论；把生活中的截面问题（油槽油面、球形烧瓶液面、圆弧形拱桥、隧道、半圆桥洞水位）抽象为弦与弦心距的建模问题；以及过圆内定点的最短弦、弦上动点的取值范围、沿弦折叠圆弧等综合题。命题趋势上，多以小题考查基本换算与概念辨析，以中档题考查“作弦心距—连半径—用勾股”的规范书写与分类讨论意识，以压轴题考查数学建模、动点最值与含参计算，重视数形结合与应用意识。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．如图，在 ⊙O 中，弦 AB 与弦 AC 互相垂直，垂足为 A，且 AB＝8 cm，AC＝6 cm。若 OD⊥AB 于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 ⊙O 的半径是（　　） A．4 cm　B．5 cm　C．6 cm　D．10 cm 2．如图，CD 是 ⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于点 E。若 AB＝8，OE＝3，则 CE 的长是（　　） A．5　B．4　C．3　D．2 3．如图，AB 是 ⊙O 的弦，OC⊥AB 于点 C。若 ⊙O 的半径是 10，AB＝16，则圆心 O 到弦 AB 的距离是（　　） A．3　B．6　C．8　D．12 4．圆的弦中直径最长。若 ⊙O 的半径是 6，CD 是 ⊙O 的一条弦，且 CD 不是 ⊙O 的直径，则 CD 的长不可能是（　　） A．6　B．9　C．11　D．13 5．如图，⊙O 的半径是 10，AB 与 CD 是 ⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝16，CD＝12，且圆心 O 在 AB 与 CD 之间，则 AB 与 CD 之间的距离是（　　） A．2　B．8　C．14　D．2 或 14 6．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，且 CD∥AB。已知 AB＝10 米，CD＝8 米，则水位线 CD 到河底线 AB 的距离是（　　） A．1 米　B．2 米　C．3 米　D．4 米 7．已知 △ABC 内接于 ⊙O，AB＝AC，底边 BC＝8，⊙O 的半径是 5，则 △ABC 的面积是（　　） A．8　B．16　C．24　D．8 或 32 8．如图，圆柱形油槽内装有一些油，其截面是 ⊙O。已知 ⊙O 的半径是 5 cm，油面宽 AB 为 6 cm；再注入一些油后，油面 CD 的宽变为 8 cm，则油面上升的高度是（　　） A．1 cm 或7cm B．2 cm或5cm 　C．3 cm　 D．1 cm 9．如图，在平面直角坐标系中，以点 C(2, ) 为圆心、2 为半径的圆与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），则点 A 的坐标是（　　） A．(0, 0)　B．(1, 0)　C．　D．(3, 0) 10．如图，在半圆 O 中，直径 AB＝4，C 是半圆上一点，且 ∠AOC＝60°。将弧 AC 沿弦 AC 折叠，点 O 落在点 O′ 处，则 OO′ 的长是（　　） A．1　B．　C．2　D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．如图，在 ⊙O 中，AB 与 CD 是两条弦，OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F。若 ⊙O 的半径是 3，OE＝2，且 AB＝CD，则 CD＝　　　。 12．下列说法：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直线垂直于这条弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④弦的垂直平分线经过圆心。其中正确的是　　　（填序号）。 13．如图，某地修建一座圆弧形拱桥，桥的跨度 AB＝32 米，拱高 CD＝8 米（C 是弧 AB 的中点，CD⊥AB 于点 D）。若把这条弧补成完整的圆，则该圆的半径是　　　米。 14．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径是 5 cm，瓶内液体的最大深度 CD＝2 cm（C 是液面的中点，CD⊥AB 于点 D）。则截面圆中弦 AB 的长是　　　cm。 15．如图，AB 与 CD 是 ⊙O 的两条弦，AB⊥CD，垂足为 P，且 AB＝CD＝16。若 ⊙O 的半径是 10，则 OP 的长是　　　。 16．如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E。若 CE＝4，且 AE−BE＝6，则 ⊙O 的半径是　　　。 三、解答题（本题有 6 小题，共 46 分） 17．（7 分）如图，在 ⊙O 中，C 是弦 AB 所对弧的中点，OC 与弦 AB 交于点 D。已知 ⊙O 的半径是 5，AB＝8。 (1) 求 OD 的长； (2) 求弧 AB 的中点 C 到弦 AB 的距离 CD。 18．（7 分）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，且弧 CD 的度数是 120°。 (1) 求证：弧 AC＝弧 AD； (2) 若 ⊙O 的半径是 6，求 CD 的长。 19．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的弦，半径 OD⊥AB，垂足为 H，BC⊥AB，交 AD 的延长线于点 C。 (1) 求证：D 是 AC 的中点； (2) 若 AB＝12，AC＝，求 ⊙O 的半径。 20．（8 分）如图，AB 是 ⊙O 的弦，D 是 AB 的中点，OD 的延长线交 ⊙O 于点 C。 (1) 求证：CD⊥AB； (2) 若 ⊙O 的半径是 13，AB＝24，求 CD 的长。 21．（8 分）如图，矩形 ABCD 的四个顶点都在 ⊙O 上，O 是圆心，AB＝16，BC＝12。 (1) 求 ⊙O 的半径； (2) 求圆心 O 到边 AB 的距离。 22．（8 分）如图，⊙O 的半径是 13，AB 是 ⊙O 的弦，AB＝24，M 是 AB 的中点。点 P 是 ⊙O 上一点（不与 A，B 重合），N 是 AP 的中点。 (1) 求 OM 的长； (2) 求证：MN＝BP； (3) 求线段 MN 的长的最大值。 学科网（北京）股份有限公司 $