湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期第一次月考数学自编卷01（范围：必修一二、选必一1-2单元）

湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷01 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A A B D C AD ACD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】根据向量加减法的运算法则化简. 【详解】. 故选：D. 2．A 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，则的虚部为1. 3．A 【分析】根据并集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合 ， 那么，所以. 4．A 【分析】根据指数型函数和一次函数的单调性，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为该函数为增函数， 所以， 故选：A 5．A 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设， 则，，，， ，， ， 异面直线与所成角的正弦值是. 故选：A. 6．B 【分析】若平面平面，是的中点，连接，从而得到是平面与平面所成角的平面角，即为所求角，结合已知求其正切值. 【详解】若平面平面，则平面与平面所成角，即为平面与平面所成角， 由题意有，即是等腰三角形，腰长约为8米，，易知， 若是的中点，连接，则，且平面， 由平面，则，都在平面内， 所以平面，则是平面与平面所成角的平面角， 其中，，则.    故选：B 7．D 【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种． 表示事件“没有出现1点”，包含,共25种. 表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误． 表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种, 表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误． 由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误． 显然事件包含于事件，故D正确． 综上所得，正确的只有D． 故选：D. 8．C 【分析】根据函数的性质对选项逐一分析即可. 【详解】因为，令，故， 整理得，令，， 因为函数是单调函数，，在上都单调递增，则在上单调递增， 根据函数单调性的性质得出函数在上单调递增，故B错误； 且，因此唯一解为，，故D错误. 对于A：因为，所以，则， 显然，故A错误； 对于C：，故C正确； 故选：C. 9．AD 【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可. 【详解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C错误，D正确. 故选：AD 10．ACD 【分析】利用对立事件的性质判断选项A；利用互斥事件的性质判断选项B；利用独立事件乘法公式计算判断选项C,D． 【详解】“取出的两球同色”与“取出的两球不同色”互为对立事件，故A正确； “第一次取出的是黑球”与，“第二次取出的是黑球”可以同时发生，不互斥，故B错误； ， 故事件独立，故C正确； ， ， 则，与独立，故D正确． 11．BC 【分析】对于A，用待定系数法求函数解析式即可判断；对于B，存在量词命题的否定为全称量词命题；对于C，由函数的值域，解可推断定义域；对于D，由不等式的解集为，由韦达定理得，求解不等式即可. 【详解】对于A：因为是一次函数，设， 则， 可得，解得或 所以或，故选项A错误； 对于B：存在量词命题的否定为全称量词命题，选项B正确； 对于C：，可得， 所以函数的定义域可以是：或或， 满足条件的有3个，故选项C正确； 对于D：关于的不等式的解集为， 则方程的解是或，且， 由韦达定理可得，解得， 则不等式转化为， 因为，所以，解得， 则不等式的解集为，故选项D不正确． 故选：BC． 12． 【分析】化简，再根据是的充分不必要条件判断两集合关系即可求得的取值范围. 【详解】因为，所以，所以. 又因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，所以. 故答案为： 13．4 【解析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数，再结合二次函数图像求解即可 【详解】，令 ，则原函数等价于，对称轴为，画出大致图像，如图： 显然在时取到最大值，，所以函数最大值为4 故答案为：4 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题 14．[0，] 【分析】构造直线x0，过圆上一点P作直线的垂线PM，则sin∠POM，求出∠POM的范围即可得到答案． 【详解】P（x，y）为圆x2+（y﹣2）2＝1上的任意一点，则P到直线xy＝0的距离PM，又因为圆在直线的上方，则PMx， ∴sin∠POM， 设圆x2+（y﹣2）2＝1与直线y＝kx相切，则1，解得k＝±， ∴∠POM的最小值为0°，最大值为60°， ∴0≤sin∠POM， 故答案为[0，]． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查数形结合思想的应用，注意临界位置的转化，属难题． 15．(1)，向量如图所示. (2)，向量如图所示. 【分析】根据平行六面体基本性质及空间向量基本运算化简每个小题即可. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 16．(1) 步骤1：把图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象； 步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换的知识求得正确答案. （2）利用“五点法”画出图象. 【详解】（1）略 （2）列表： 17．(1)证明如下： 在五面体中，底面是正方形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，平面平面， 所以. 因为为中点，，所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）由正方形得，利用线面平行判定推出平面，再由线面平行性质得，结合中点及边长得，证出四边形为平行四边形从而，最后用线面平行判定定理证得平面. （2）利用等腰三角形和面面垂直的性质，证明两两垂直，建立空间直角坐标系.然后分别求出平面和平面的法向量，最后用向量夹角公式计算出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，作，. 因为为正方形，所以. 因为，所以. 因为，，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 所以，即两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系， 则. 因此，由题可知平面的一法向量为. 设平面的法向量为. 则即 令，则.于是. 设平面与平面夹角为，则 . 18．(1)方案一：，方案二： (2)从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适， 对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7400，7500，7800，8000，8200； ，，，，； ∴的分布列为 7400 7600 7800 8000 8200 P 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2 故， 对于方案二，设管理软件服务公司的月收费为元，由条形统计图可得的取值为7600，8100，8600； ，，； ∴的分布列为 7600 8100 8600 P 0.6 0.2 0.2 故， 综上，，从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适． 【分析】（1）根据题设直接写出方案一、二的函数解析式即可. （2）由条形图分别确定方案一、二对应月收费为、的可能值，求出各可能值的概率，并得到分布列，进而求、，比较它们的大小即可确定合适方案. 【详解】（1）由题意知：方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为， 方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为； （2）略 19．（Ⅰ）（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）求古典概型概率，首先要确定所有基本事件个数，这一般利用枚举法，其次按要求确定所求事件包含的基本事件个数，最后根据古典概型概率求法求结果（Ⅱ）同（Ⅰ），只是事件比（Ⅰ）复杂：；； ； ；所求事件包含18个基本事件 试题解析：（1）符合题意的情况有： （2）符合题意的情况有： 考点：古典概型概率 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省衡阳市2026-2027学年高二上学期第一次月考自编卷01 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.考试范围：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第1-2单元。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简: （    ） A． B． C． D． 2．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（   ） A．1 B．-1 C． D．-2 3．已知集合 ，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 6．祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一､距今已有600多年历史.殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱，寓意一年四季；中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月；外圈有12根约为6米的檐柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱和两根金柱形成的几何体（图2）中，米，，则平面与平面所成角的正切值约为（    ）    A． B． C． D． 7．将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（    ） A．事件与事件是对立事件 B．事件与事件是相互独立事件 C．事件与事件是互斥事件 D．事件包含于事件 8．已知函数是单调函数，若，则（    ） A．为奇函数 B．在定义域上单调递减 C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分 9．已知函数，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点 10．一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球，从中不放回地依次取出两个球，记“取出的两球同色”为事件，“第一次取出的是黑球”为事件，“第二次取出的是黑球”为事件，“取出的两球不同色”为事件，则（    ） A．与对立 B．与互斥 C．与独立 D．与独立 11．下列判断正确的是（    ） A．若是一次函数，满足，则 B．命题“”的否定是“” C．函数的定义域为，值域，则满足条件的有3个 D．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．设，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 13．函数的最大值为_________. 14．已知实数满足，则的取值范围是_________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 16．要得到函数的图象，可以从正弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． (1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图． 17．如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为的正方形，为的中点，，. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端创造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平，一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务．某一管理软件服务公司有如下两种收费方案： 方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务每次另外收费200元； 方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费；若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元． (1)设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式； (2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由． 19．一个袋子中装有大小形状完全相同的个小球，球的编号分别为，，，， （Ⅰ）从袋子中随机取出两个小球，求取出的小球编号之和大于的概率； （Ⅱ）先从袋子中取出一个小球，该球编号记为，并将球放回袋子中，然后再从袋子中取出一个小球，该球编号记为，求的概率 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $