第一章《特殊平行四边形》期中复习考点速览 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点速览｜特殊平行四边形 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 例题 4 · 拔高 4 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 1 章〈特殊平行四边形〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1-4 为四大图形（认识、菱形、矩形、正方形），考点 5 特殊平行四边形的应用、考点 6 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合为两大拓展考点；例题 4 道对应考点 1、2，拔高 4 道对应考点 3、4（同时承载考点 5、6 的方法要素）——与后续第一章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案已嵌在空格中（如 ___5___）。 第 1 章是几何证明升级章（★★★）：辨形重定义、计算重勾股、证明重全等——例题与拔高题全部选自各地中考真题、期中真题，来源标注在题干末尾，题图均依原题重绘；正式使用前请按本校考情校准。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（含应用与综合考点） 本部分知识总结共六节：一、认识特殊平行四边形；二、菱形的性质与判定；三、矩形的性质与判定；四、正方形的性质与判定；五、特殊平行四边形的应用；六、特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合。 考点范围：① 认识特殊平行四边形（定义、从属关系、对称性）；② 菱形的性质与判定（边与对角线、面积、判定三法）；③ 矩形的性质与判定（直角、对角线相等、斜边中线定理、判定三法）；④ 正方形的性质与判定（性质叠加、判定路径、折叠与全等）；⑤ 特殊平行四边形的应用（面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点）；⑥ 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合（与平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线）。 一、认识特殊平行四边形 ◆ 三种特殊平行四边形的定义：矩形——有一个角是直角的平行四边形；菱形——有一组邻边相等的平行四边形；正方形——有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形——定义本身就是第一判定法； ◆ 从属关系与对称性：正方形既是矩形又是菱形；平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形各有 2 条对称轴，正方形有 4 条对称轴——对称轴条数是选择题高频设误点。 二、菱形的性质与判定 ◆ 菱形的性质：四条边都相等；对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；面积 = 对角线乘积的一半（也等于底 × 高）； ◆ 菱形的判定：① 有一组邻边相等的平行四边形（定义）；② 对角线互相垂直的平行四边形；③ 四条边都相等的四边形——“是平行四边形”这个前提不能丢； ◆ 菱形计算两条路：对角线互相垂直平分 → 半对角线 + 勾股求边长（对角线 6、8 型 → 边长 5）；面积 = × 两对角线乘积，等积转化求高。 三、矩形的性质与判定 ◆ 矩形的性质与判定：四个角都是直角，对角线相等且互相平分；判定——有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（矩形对角线交点连线的推论）； 四、正方形的性质与判定 ◆ 正方形的性质：兼具矩形与菱形的全部性质——四条边都相等、四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（成 45° 角）；有 4 条对称轴。 ◆ 正方形的判定与计算：判定两条路径——一组邻边相等的矩形、或有一个角是直角的菱形（都暗含“是平行四边形”这一前提）；计算常走对角线——对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，边长与对角线的数量关系用勾股定理建立。 ◆ 正方形的折叠与全等：折叠本质是轴对称——对应边相等、对应角相等；沿对角线对折取中点、把一个角翻折进图形内部是两大基本操作；折叠产生直角三角形时优先考虑 HL——正方形折叠是本章压轴主形态（见拔高 3）。 五、特殊平行四边形的应用 ◆ 应用·面积与等积转化：菱形面积 = 对角线乘积的一半 = 底 × 高；已知对角线求高（或求顶点到对边的距离）用等积转化一步到位（见例 4）；特殊平行四边形的周长、面积计算常与勾股定理联动。 ◆ 应用·斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；题目同时出现“直角”与“中点”时优先想斜边中线——矩形的对角线交点正是四个直角三角形斜边的公共中点。 ◆ 应用·折叠与动点：折叠三件套——对应边相等、对应角相等、折痕两旁的图形全等（见拔高 3）；动点问题先用未知数表示相关线段长，再由全等、勾股列式求解。 六、特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合 ◆ 综合·与平行四边形联动：综合题常“先平四、后升级”——先由平行四边形得到对边平行且相等、对角线互相平分（中点与平行的来源），再判定升级为矩形、菱形、正方形后使用强化性质（见拔高 2：中点＋平行证全等，升级矩形后算面积）；书写顺序不能倒——先落实“是平行四边形”，再谈特殊性质。 ◆ 综合·三大模型链：对角线模型——对角线既是性质载体又是计算工具（例 3、例 4、拔高 4）；中点＋平行模型——中点配平行出全等，常与斜边中线接力（拔高 2）；折叠模型——轴对称出等量，折痕两侧的图形全等（拔高 3）。 ◆ 综合·解题主线：先定形状（用判定确认是矩形、菱形还是正方形）→ 再取性质（平四性质与特殊性质分层取用）→ 后算数量（全等转移线段、勾股建立方程）；每一步写明依据，“是平行四边形”的前提条件不能省。 特殊平行四边形速记表 模块 要点 示例 易错点 从属关系 平四＋一个直角→矩形；＋一组邻边相等→菱形；两者兼备→正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 把“对角线相等”当菱形的判定 菱形 四边相等；对角线垂直平分、平分一组对角；面积 = 对角线乘积的一半 对角线 6、8 → 边长 5、面积 24 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 矩形 四个角都是直角；对角线相等；斜边中线 = 斜边的一半 Rt△ 斜边长 10 → 斜边上的中线长 5 “对角线相等的四边形是矩形”漏了平四前提 正方形 矩形＋菱形性质全叠加；对角线平分一组对角成 45° 邻边相等的矩形、有一个角是直角的菱形都是正方形 判定路径记不全、混用两种前提 方法模型 折叠 = 轴对称，对应边、对应角相等；两个 Rt△ 优先 HL 折叠后用 HL：斜边＋一条直角边 只记对应边相等，漏掉对应角相等 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与例题、拔高题对应关系如下）： 考点 1　认识特殊平行四边形——定义、从属关系、对称性（对应例 1、例 2）； 考点 2　菱形的性质与判定——对角线垂直平分、面积等积转化、判定三法（对应例 3、例 4）； 考点 3　矩形的性质与判定——对角线相等、斜边中线、判定三法（对应拔高 1、拔高 2）； 考点 4　正方形的性质与判定——性质叠加、判定路径、折叠与全等综合（对应拔高 3、拔高 4）； 考点 5　特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点（拔高 1—4 均承载其方法要素，专项真题训练见后续逐考点资料）； 考点 6　特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——与平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线（拔高 2、拔高 3 为典型，专项真题训练见后续逐考点资料）。 考点特点 辨形必考：定义、从属关系与对角线四性质（平分、相等、垂直、平分对角）是选择填空常客——“前提是不是平行四边形”是高频设误点； 证明与计算是解答主力：全等（SAS、ASA、HL）、勾股、斜边中线、等积转化是四条主线；折叠问题是压轴主形态——折叠即轴对称，对应边、对应角不变。 答题方法（三步法） 第一步·定形状：先由定义或判定确定“是什么”——菱形看邻边相等或对角线垂直，矩形看直角或对角线相等，正方形两者兼备； 第二步·找全等：证线段、角相等先找全等三角形——公共边、折叠边、对角线都是现成的 S 条件；两个直角三角形优先 HL； 第三步·算数量：对角线互相垂直平分 → 半对角线构造 Rt△ 用勾股算边长；边算不动就换面积法——对角线面积与底 × 高面积等积转化。 命题边界：限于第 1 章〈特殊平行四边形〉——证明只用平行四边形、全等三角形（SAS、ASA、AAS、HL）、勾股定理、直角三角形斜边中线、含 30° 角的直角三角形等已学内容；不使用相似（后续章节）、三角比（九下）等后续知识——题目均选自真题，个别真题的官方解析若含超界方法，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 例题精讲（4 题）· 考点 1、2 例 1　选择题　　考点 1｜命题真假与对角线 下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等　　B．菱形的对角线互相垂直　　C．正方形的对角线相等且互相垂直　　D．平行四边形的对角线相等 （2025·四川成都·中考真题） 例 2　选择题　　考点 1｜矩形与菱形性质对比 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等　　B．对角线互相平分　　C．对角线互相垂直　　D．对角相等 （2025·四川泸州·中考真题） 例 3　选择题　　考点 2｜菱形对角线求周长 菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（　　） A．5　　B．20　　C．24　　D．32 （2024·贵州贵阳·中考真题） 例 4　填空题　　考点 2｜菱形对角线与求高 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，则 AB = ______；作 AE⊥BC 于 E，则 AE = ______。 （2025 春·北京西城区·校级期中，题图依原题重绘） PART 04 拔高巩固（4 题）· 考点 3、4 拔高 1　解答题　　考点 3｜矩形性质·全等·勾股 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在边 BC 上，连接 AE，DF，∠BAE＝∠CDF。 (1) 求证：△ABE≌△DCF； (2) 当 AB = 12，DF = 13 时，求 BE 的长。 （2025·吉林·中考真题，第 15 题，题图依原题重绘） 拔高 2　解答题　　考点 3｜矩形判定与面积 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，E 为线段 AD 的中点，延长 BE 与 CD 的延长线交于点 F，连接 AF，∠BDF＝90°。 (1) 求证：四边形 ABDF 是矩形； (2) 若 AD = 5，DF = 3，求四边形 ABCF 的面积 S。 （2022·云南·中考真题，第 21 题，题图依原题重绘） 拔高 3　解答题　　考点 4｜正方形折叠与全等 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； 操作二：在 AD 上选一点 P，沿 BP 折叠，使点 A 落在正方形内部点 M 处，把纸片展平，连接 PM，BM，延长 PM 交 CD 于点 Q，连接 BQ。 (1) 如图 1，当点 M 在 EF 上时，∠EMB = ______ 度； (2) 改变点 P 在 AD 上的位置（点 P 不与点 A，D 重合），如图 2，判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由。 （2023·内蒙古通辽·中考真题，题图依原题重绘） 拔高 4　解答题　　考点 4｜正方形对角线与全等 已知正方形 ABCD，E 是对角线 AC 上一点。 (1) 如图 1，连接 BE，DE，求证：△ABE≌△ADE； (2) 如图 2，F 是 DE 延长线上一点，DF 交 AB 于点 G，BF⊥BE。判断 △FBG 的形状并说明理由。 （2023·内蒙古包头·中考真题，题图依原题重绘） 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，勾选错因 订正完成 例 1 命题真假与对角线选择 ✓ 例 2 矩形菱形性质对比选择 ✓ 例 3 菱形对角线求周长选择 ✓ 例 4 菱形对角线与求高嵌空填空 ✓ 拔高 1 矩形全等与勾股计算 ✓ 拔高 2 矩形判定与梯形面积 ✓ 拔高 3 正方形折叠与HL全等 ✓ 拔高 4 正方形对角线全等等腰 ✓ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第一章逐考点讲义按考点 1~4 展开，与本表序号一一对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点速览｜特殊平行四边形 ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点速览（期中备考）—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总览 → 考点分析 → 考点 6 项 · 例题 4 · 拔高 4 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料是第 1 章〈特殊平行四边形〉的期中复习考点速览：按 6 个考点给“要点归纳 + 精选题卡”——考点 1-4 为四大图形（认识、菱形、矩形、正方形），考点 5 特殊平行四边形的应用、考点 6 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合为两大拓展考点；例题 4 道对应考点 1、2，拔高 4 道对应考点 3、4（同时承载考点 5、6 的方法要素）——与后续第一章逐考点讲义同一版式、配套使用；每题按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题答案已嵌在空格中（如 ___5___）。 第 1 章是几何证明升级章（★★★）：辨形重定义、计算重勾股、证明重全等——例题与拔高题全部选自各地中考真题、期中真题，来源标注在题干末尾，题图均依原题重绘；正式使用前请按本校考情校准。 PART 01 本章 6 个考点知识点总结（含应用与综合考点） 本部分知识总结共六节：一、认识特殊平行四边形；二、菱形的性质与判定；三、矩形的性质与判定；四、正方形的性质与判定；五、特殊平行四边形的应用；六、特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合。 考点范围：① 认识特殊平行四边形（定义、从属关系、对称性）；② 菱形的性质与判定（边与对角线、面积、判定三法）；③ 矩形的性质与判定（直角、对角线相等、斜边中线定理、判定三法）；④ 正方形的性质与判定（性质叠加、判定路径、折叠与全等）；⑤ 特殊平行四边形的应用（面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点）；⑥ 特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合（与平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线）。 一、认识特殊平行四边形 ◆ 三种特殊平行四边形的定义：矩形——有一个角是直角的平行四边形；菱形——有一组邻边相等的平行四边形；正方形——有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形——定义本身就是第一判定法； ◆ 从属关系与对称性：正方形既是矩形又是菱形；平行四边形是中心对称图形，矩形、菱形各有 2 条对称轴，正方形有 4 条对称轴——对称轴条数是选择题高频设误点。 二、菱形的性质与判定 ◆ 菱形的性质：四条边都相等；对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；面积 = 对角线乘积的一半（也等于底 × 高）； ◆ 菱形的判定：① 有一组邻边相等的平行四边形（定义）；② 对角线互相垂直的平行四边形；③ 四条边都相等的四边形——“是平行四边形”这个前提不能丢； ◆ 菱形计算两条路：对角线互相垂直平分 → 半对角线 + 勾股求边长（对角线 6、8 型 → 边长 5）；面积 = × 两对角线乘积，等积转化求高。 三、矩形的性质与判定 ◆ 矩形的性质与判定：四个角都是直角，对角线相等且互相平分；判定——有一个角是直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、有三个角是直角的四边形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（矩形对角线交点连线的推论）； 四、正方形的性质与判定 ◆ 正方形的性质：兼具矩形与菱形的全部性质——四条边都相等、四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（成 45° 角）；有 4 条对称轴。 ◆ 正方形的判定与计算：判定两条路径——一组邻边相等的矩形、或有一个角是直角的菱形（都暗含“是平行四边形”这一前提）；计算常走对角线——对角线把正方形分成两个等腰直角三角形，边长与对角线的数量关系用勾股定理建立。 ◆ 正方形的折叠与全等：折叠本质是轴对称——对应边相等、对应角相等；沿对角线对折取中点、把一个角翻折进图形内部是两大基本操作；折叠产生直角三角形时优先考虑 HL——正方形折叠是本章压轴主形态（见拔高 3）。 五、特殊平行四边形的应用 ◆ 应用·面积与等积转化：菱形面积 = 对角线乘积的一半 = 底 × 高；已知对角线求高（或求顶点到对边的距离）用等积转化一步到位（见例 4）；特殊平行四边形的周长、面积计算常与勾股定理联动。 ◆ 应用·斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；题目同时出现“直角”与“中点”时优先想斜边中线——矩形的对角线交点正是四个直角三角形斜边的公共中点。 ◆ 应用·折叠与动点：折叠三件套——对应边相等、对应角相等、折痕两旁的图形全等（见拔高 3）；动点问题先用未知数表示相关线段长，再由全等、勾股列式求解。 六、特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合 ◆ 综合·与平行四边形联动：综合题常“先平四、后升级”——先由平行四边形得到对边平行且相等、对角线互相平分（中点与平行的来源），再判定升级为矩形、菱形、正方形后使用强化性质（见拔高 2：中点＋平行证全等，升级矩形后算面积）；书写顺序不能倒——先落实“是平行四边形”，再谈特殊性质。 ◆ 综合·三大模型链：对角线模型——对角线既是性质载体又是计算工具（例 3、例 4、拔高 4）；中点＋平行模型——中点配平行出全等，常与斜边中线接力（拔高 2）；折叠模型——轴对称出等量，折痕两侧的图形全等（拔高 3）。 ◆ 综合·解题主线：先定形状（用判定确认是矩形、菱形还是正方形）→ 再取性质（平四性质与特殊性质分层取用）→ 后算数量（全等转移线段、勾股建立方程）；每一步写明依据，“是平行四边形”的前提条件不能省。 特殊平行四边形速记表 模块 要点 示例 易错点 从属关系 平四＋一个直角→矩形；＋一组邻边相等→菱形；两者兼备→正方形 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 把“对角线相等”当菱形的判定 菱形 四边相等；对角线垂直平分、平分一组对角；面积 = 对角线乘积的一半 对角线 6、8 → 边长 5、面积 24 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形 矩形 四个角都是直角；对角线相等；斜边中线 = 斜边的一半 Rt△ 斜边长 10 → 斜边上的中线长 5 “对角线相等的四边形是矩形”漏了平四前提 正方形 矩形＋菱形性质全叠加；对角线平分一组对角成 45° 邻边相等的矩形、有一个角是直角的菱形都是正方形 判定路径记不全、混用两种前提 方法模型 折叠 = 轴对称，对应边、对应角相等；两个 Rt△ 优先 HL 折叠后用 HL：斜边＋一条直角边 只记对应边相等，漏掉对应角相等 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 考点总览（本章共 6 个考点，与例题、拔高题对应关系如下）： 考点 1　认识特殊平行四边形——定义、从属关系、对称性（对应例 1、例 2）； 考点 2　菱形的性质与判定——对角线垂直平分、面积等积转化、判定三法（对应例 3、例 4）； 考点 3　矩形的性质与判定——对角线相等、斜边中线、判定三法（对应拔高 1、拔高 2）； 考点 4　正方形的性质与判定——性质叠加、判定路径、折叠与全等综合（对应拔高 3、拔高 4）； 考点 5　特殊平行四边形的应用——面积与等积转化、斜边中线、折叠与动点（拔高 1—4 均承载其方法要素，专项真题训练见后续逐考点资料）； 考点 6　特殊平行四边形（包括平行四边形）的综合——与平四联动升级、三大模型链、定形—取性—算量主线（拔高 2、拔高 3 为典型，专项真题训练见后续逐考点资料）。 考点特点 辨形必考：定义、从属关系与对角线四性质（平分、相等、垂直、平分对角）是选择填空常客——“前提是不是平行四边形”是高频设误点； 证明与计算是解答主力：全等（SAS、ASA、HL）、勾股、斜边中线、等积转化是四条主线；折叠问题是压轴主形态——折叠即轴对称，对应边、对应角不变。 答题方法（三步法） 第一步·定形状：先由定义或判定确定“是什么”——菱形看邻边相等或对角线垂直，矩形看直角或对角线相等，正方形两者兼备； 第二步·找全等：证线段、角相等先找全等三角形——公共边、折叠边、对角线都是现成的 S 条件；两个直角三角形优先 HL； 第三步·算数量：对角线互相垂直平分 → 半对角线构造 Rt△ 用勾股算边长；边算不动就换面积法——对角线面积与底 × 高面积等积转化。 命题边界：限于第 1 章〈特殊平行四边形〉——证明只用平行四边形、全等三角形（SAS、ASA、AAS、HL）、勾股定理、直角三角形斜边中线、含 30° 角的直角三角形等已学内容；不使用相似（后续章节）、三角比（九下）等后续知识——题目均选自真题，个别真题的官方解析若含超界方法，本资料详解一律改给界内解法。 PART 03 例题精讲（4 题）· 考点 1、2 例 1　选择题　　考点 1｜命题真假与对角线 下列命题中，假命题是（　　） A．矩形的对角线相等　　B．菱形的对角线互相垂直　　C．正方形的对角线相等且互相垂直　　D．平行四边形的对角线相等 （2025·四川成都·中考真题） 【答案】D 【解析】逐条比对“对角线”性质：矩形——相等且互相平分；菱形——互相垂直平分；正方形——相等、垂直且互相平分；平行四边形——只保证互相平分。故选 D。 【详解】A、B、C 均为真命题；平行四边形的对角线只互相平分，不一定相等（拉动平行四边形活动框架，两条对角线一长一短），所以 D 是假命题。故选 D。 对角线四性质排成口诀——平分人人有，相等看矩形，垂直看菱形，全占是正方形。 例 2　选择题　　考点 1｜矩形与菱形性质对比 矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等　　B．对角线互相平分　　C．对角线互相垂直　　D．对角相等 （2025·四川泸州·中考真题） 【答案】A 【解析】把两个图形的对角线性质并排：矩形——对角线相等且互相平分；菱形——对角线互相垂直平分、每条平分一组对角。再看选项：B（互相平分）、D（对角相等）两者都有；C（互相垂直）菱形才有；A（相等）矩形才有。故选 A。 【详解】菱形的对角线互相垂直但不一定相等（如对角线为 6、8 的菱形），所以“对角线相等”是矩形具有而菱形不具有的性质。故选 A。 “共有性质”是最大陷阱——互相平分、对角相等两组图形都具备，不能当区分标准。 例 3　选择题　　考点 2｜菱形对角线求周长 菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则此菱形的周长是（　　） A．5　　B．20　　C．24　　D．32 （2024·贵州贵阳·中考真题） 【答案】B 【解析】菱形对角线互相垂直平分——两条半对角线 3、4 构成直角三角形，用勾股定理求边长，周长 = 边长 × 4。 【详解】设对角线 AC、BD 相交于点 O。∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AO = CO = 3，BO = DO = 4，且 AC⊥BD。在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AB = 5（ + = 25）。∴ 菱形的周长 = 4 × 5 = 20。故选 B。 “半对角线＋勾股”是菱形计算的标准开局——6、8 出 5，是期中最常考的一组数据。 例 4　填空题　　考点 2｜菱形对角线与求高 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，则 AB = ___5___；作 AE⊥BC 于 E，则 AE = ______。 （2025 春·北京西城区·校级期中，题图依原题重绘） 【答案】AB = 5；AE = 。 【解析】先勾股求边长，再等积转化求高：菱形面积 = 对角线乘积的一半 = 底 × 高，两条算路算的是同一个面积。 【详解】设对角线交于点 O。∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AO = CO = 3，BO = DO = 4，且 AC⊥BD。在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AB = 5（ + = 25），∴ BC = AB = 5。S菱形ABCD = × AC × BD = × 6 × 8 = 24；又 S菱形ABCD = BC × AE，∴ AE = 24 ÷ 5 = 。故答案为：5；。 【易错警示】求高不要绕远路——等积转化一步到位； 写成 4.8 也可以，但保留分数最规范。 PART 04 拔高巩固（4 题）· 考点 3、4 拔高 1　解答题　　考点 3｜矩形性质·全等·勾股 如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 在边 BC 上，连接 AE，DF，∠BAE＝∠CDF。 (1) 求证：△ABE≌△DCF； (2) 当 AB = 12，DF = 13 时，求 BE 的长。 （2025·吉林·中考真题，第 15 题，题图依原题重绘） 【答案】(1) 见详解；(2) BE = 5。 【解析】(1) 矩形给对边相等和直角，加上已知角相等，凑齐 ASA；(2) 在 Rt△DCF 中用勾股求 CF，再由全等把 CF 换成 BE。 【详解】(1) ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB = DC，∠ABE = ∠DCF = 90°。又 ∠BAE = ∠CDF，∴ △ABE≌△DCF（ASA）。 (2) 在 Rt△DCF 中，∠DCF = 90°，DC = AB = 12，DF = 13，由勾股定理得 CF = 5（1 − 1 = 25）。由 (1) △ABE≌△DCF，得 BE = CF，∴ BE = 5。 【易错警示】全等对应别写反——△ABE≌△DCF 的对应是 A↔D、B↔C、E↔F，得到的是 BE = CF 而不是 BE = DF；13、12、5 是勾股第二组常用数据。 拔高 2　解答题　　考点 3｜矩形判定与面积 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接 BD，E 为线段 AD 的中点，延长 BE 与 CD 的延长线交于点 F，连接 AF，∠BDF＝90°。 (1) 求证：四边形 ABDF 是矩形； (2) 若 AD = 5，DF = 3，求四边形 ABCF 的面积 S。 （2022·云南·中考真题，第 21 题，题图依原题重绘） 【答案】(1) 见详解；(2) S = 18。 【解析】(1) 中点＋平行 → 全等（ASA）→ 一组对边平行且相等 → 平行四边形，再加 ∠BDF = 90° 升级成矩形；(2) 四边形 ABCF 中 AB∥CF，AF 是高——按梯形面积公式算。 【详解】(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，即 AB∥DF。∵ E 为 AD 的中点，∴ AE = DE。∵ AB∥DF，∴ ∠BAE = ∠FDE。又 ∠AEB = ∠DEF（对顶角相等），∴ △ABE≌△DFE（ASA），∴ AB = DF。又 AB∥DF，∴ 四边形 ABDF 是平行四边形（一组对边平行且相等）。又 ∠BDF = 90°，∴ 四边形 ABDF 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 (2) ∵ 四边形 ABDF 是矩形，∴ AD = BF = 5（矩形的对角线相等）。在 Rt△BDF 中，∠BDF = 90°，由勾股定理得 BD = 4（ − = 16）。∴ AF = BD = 4（矩形的对边相等）。又四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD = AB = DF = 3，∴ CF = CD + DF = 6。∵ AB∥CF，AF⊥AB，∴ AF⊥CF，即 AF 是四边形 ABCF 的高。∴ S = × 4 = 18。 【易错警示】别把 ∠BDF 用两次——(2) 的高来自 AF⊥CF（矩形＋平行转化），求 BD 要先走“矩形的对角线相等”；梯形面积别忘除以 2。 拔高 3　解答题　　考点 4｜正方形折叠与全等 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下： 操作一：对折正方形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平； 操作二：在 AD 上选一点 P，沿 BP 折叠，使点 A 落在正方形内部点 M 处，把纸片展平，连接 PM，BM，延长 PM 交 CD 于点 Q，连接 BQ。 (1) 如图 1，当点 M 在 EF 上时，∠EMB = ___30___ 度； (2) 改变点 P 在 AD 上的位置（点 P 不与点 A，D 重合），如图 2，判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由。 （2023·内蒙古通辽·中考真题，题图依原题重绘） 【答案】(1) 30；(2) ∠MBQ = ∠CBQ（BQ 平分∠MBC）。 【解析】(1) 折痕 EF 是对折 AD 到 BC 的对称轴，所以 E、F 是 AB、CD 的中点，ME⊥AB；折叠给 BM = AB——Rt△BEM 中 BE 是斜边 BM 的一半，出 30°；(2) 折叠给 BM = AB = BC、∠BMQ = 90°，与 Rt△BCQ 共斜边 BQ，用 HL。 【详解】(1) 由操作一，折痕 EF 是 AD 与 BC 重合的对称轴，∴ E、F 分别是 AB、CD 的中点，EF∥AD，∴ ME⊥AB，∠BEM = 90°。由操作二折叠，AB 与 BM 重合，∴ BM = AB。∴ BE = AB = BM。在 Rt△BEM 中，一条直角边等于斜边的一半，∴ ∠BME = 30°（直角三角形中，一条直角边等于斜边一半时，它所对的角是 30°），即 ∠EMB = 30 度。 (2) ∠MBQ = ∠CBQ，理由如下：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC，∠BAD = ∠BCD = 90°。由折叠，AB 与 BM 重合，∴ BM = AB = BC，∠BAD = ∠BMP = 90°，即 ∠BMQ = 90°（P、M、Q 共线）。在 Rt△BCQ 与 Rt△BMQ 中，∠BCQ = ∠BMQ = 90°，BC = BM，BQ = BQ，∴ Rt△BCQ≌Rt△BMQ（HL），∴ ∠MBQ = ∠CBQ。 【易错警示】折叠三件套：对应边相等（AB = BM）、对应角相等（∠BAD = ∠BMP）、折痕两旁图形全等；(2) 最易漏证 ∠BMQ = 90° 就直接用 HL。 拔高 4　解答题　　考点 4｜正方形对角线与全等 已知正方形 ABCD，E 是对角线 AC 上一点。 (1) 如图 1，连接 BE，DE，求证：△ABE≌△ADE； (2) 如图 2，F 是 DE 延长线上一点，DF 交 AB 于点 G，BF⊥BE。判断 △FBG 的形状并说明理由。 （2023·内蒙古包头·中考真题，题图依原题重绘） 【答案】(1) 见详解；(2) △FBG 是等腰三角形（BF = FG）。 【解析】(1) 正方形对角线平分一组对角 → ∠BAE = ∠DAE，加上 AB = AD、AE 公共，SAS 一步到位；(2) 用 (1) 的 ∠ABE = ∠ADE 做角接力——“两锐角互余”和“对顶角”两级台阶，导出 ∠FBG = ∠FGB。 【详解】(1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = AD，且 AC 平分∠BAD，∴ ∠BAE = ∠DAE。又 AE = AE，∴ △ABE≌△ADE（SAS）。 (2) △FBG 是等腰三角形，理由如下：由 (1) 得 ∠ABE = ∠ADE。∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠DAG = 90°，在 Rt△ADG 中，∠ADE + ∠AGD = 90°（直角三角形两锐角互余）。∵ BF⊥BE，∴ ∠EBF = 90°。∵ A、G、B 共线，∴ ∠ABE + ∠EBF + ∠FBG = 180°，∴ ∠ABE + ∠FBG = 90°。∴ ∠FBG = ∠AGD。又 ∠AGD = ∠FGB（对顶角相等），∴ ∠FBG = ∠FGB，∴ BF = FG（等角对等边），∴ △FBG 是等腰三角形。 【易错警示】(1) 的全等必须先落地——SAS 的夹角来自“对角线平分一组对角”；(2) 的 180° 拆角（∠ABE + ∠EBF + ∠FBG）要写清 A、G、B 共线这一依据。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，勾选错因 订正完成 例 1 命题真假与对角线选择 ✓ 例 2 矩形菱形性质对比选择 ✓ 例 3 菱形对角线求周长选择 ✓ 例 4 菱形对角线与求高嵌空填空 ✓ 拔高 1 矩形全等与勾股计算 ✓ 拔高 2 矩形判定与梯形面积 ✓ 拔高 3 正方形折叠与HL全等 ✓ 拔高 4 正方形对角线全等等腰 ✓ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至期中前——只重做打不了勾的题；后续第一章逐考点讲义按考点 1~4 展开，与本表序号一一对应。 1 学科网（北京）股份有限公司 $