第1-2章 阶段专项复习：填空题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年数学九年级上册人教版第1-2章阶段专项复习：填空题 考点汇总 考点一：一元二次方程定义与求值问题 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 考点三：实际问题与一元二次方程 考点四：二次函数的图象和性质 考点五：二次函数与一元二次方程 考点六：实际问题与二次函数 跟踪特训 考点一：一元二次方程定义与求值问题 1．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为______． 2．若2是方程的一个根，则c的值是______． 3．请写出一个二次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程：___． 4．若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______． 5．已知m为方程的一个根，求_________． 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 6．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是_________． 7．若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 8．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则________________． 9．写出一个以、为两根且二次项系数为1的一元二次方程为______． 10．王诗利用电脑设计了一个程序：当输入实数对时，会得到一个新的实数例如输入时，就会得到实数8（即），若输入实数对时，就会得到实数，则_______． 考点三：实际问题与一元二次方程 11．某公司工业机器人在今年月产值达到万元，预计月产值将增至万元．设该公司、两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为_______________ 12．某制药厂在九月末进行统计发现：该月已生产万箱抗病毒药物，根据市场调研，计划接下来连续两个月加大投入提高生产量，设九月份到十一月份平均每月增长的百分率为，预计十一月份产量比九月份新增万箱．根据以上信息可以列出的正确的方程为_______． 13．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆400人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆1456人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为_______________． 14．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 15．国产某品牌无人机凭借它在AI和精准飞控方面的强大技术优势，在销量上独占鳌头．该品牌无人机在某次方阵表演中的示意图如图所示，无人机原来排成3行4列，后又增加了258架，使得方阵增加的行数比增加的列数少2，求方阵增加了多少行？设方阵增加的行数为，则可列方程：__________． 考点四：二次函数的图象和性质 16．当时，二次函数的最大值为8，则a=_______． 17．将抛物线向左平移一个单位长度得到抛物线，则平移前抛物线的解析式为_____． 18．已知二次函数． （1）写出该二次函数经过的定点坐标_______； （2）当时，y有最小值，则实数m的值_______． 19．定义：若在一个二次函数的图像上存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为___________． 20．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 考点五：二次函数与一元二次方程 21．若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是________． 23．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 24．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线沿y轴向下平移t个单位，当平移后的抛物线与x轴有且只有一个交点时，则______． 25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，且． （1）若，则______； （2）若，，则的值为______． 考点六：实际问题与二次函数 26．如图，一辆宽为的货车要通过一条单行抛物线形隧道（从正中通过），抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是_________． 27．销售末期，商家决定降价销售，已知这款护眼灯的进价为元/台，当销售单价为元/台时，每天能卖出台，若每降价元，每天可多卖出台．设每台护眼灯的销售单价下降元，每天的利润为元，则与 之间的函数解析式为__________________． 28．石林人参果果肉清爽又多汁，是云南的特色水果之一．若将进货价为8元/斤的人参果按10元/斤出售，每日能销售100斤．已知人参果的售价在一定范围内每涨价1元，其日销售量就减少10斤．为实现利润最大化，决定对其涨价x元销售，则每斤的利润为_______元，每日的销量为_______斤，每日获得的总利润____________，当售价为_______元/斤时可获得最大利润． 29．为了参加市科技节展览，同学们制作了一个截面为抛物线形的隧道模型，用了三种正方形的钢筋支架，在如图所示的设计图中，若抛物线的函数解析式为，正方形的边长和正方形的边长之比为，则正方形的边长是______． 30．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学九年级上册人教版第1-2章阶段专项复习：填空题》参考答案 1． 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解的值． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 由，得， 由，得， ∴． 2． 【分析】方程的根满足方程等式，将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， ∴． 3． （答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，题目要求二次项系数与常数项互为相反数，即满足 令，可得，取一次项系数，代入一般形式得：该方程满足条件，符合要求． 4． 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴一元二次方程的二次项系数不为， 即,解得． 5． 【分析】根据方程根的定义得到，对所求多项式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 6． 【分析】设方程的另一个根为，利用一元二次方程根与系数的关系得到关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：设该方程的另一个根为，对于方程，二次项系数为，一次项系数为， 根据根与系数的关系可得， 解得，即该方程的另一个根为. 7． 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 8． 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， 整理得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 9． 【分析】已知方程的两根和二次项系数，先计算两根之和与两根之积，再利用根与系数的关系构造方程即可． 【详解】解：设两根为，, ∵ 计算两根之和, 计算两根之积, 二次项系数为， 根据根与系数的关系，所求方程为， ∴ 代入得所求方程为． 10．或0 【分析】根据程序的运算规则列出关于的方程，求解一元二次方程即可得到结果． 【详解】解：根据题意，输入后得到的实数为， 可列方程， 整理得， 因式分解得， 解得或． 11． 【分析】已知5月产值和两个月增长后7月的产值，根据增长率的计算方法表示出7月产值，即可列出方程． 【详解】解：∵5月产值为万元，月均增长率为， ∴6月产值为万元， ∴7月产值为万元， ∵预计7月产值为万元， ∴可列出方程． 12．或 【分析】已知九月份产量为万箱，平均月增长率为，经过两次增长得到十一月产量，新增产量万箱即十一月产量比九月多万箱，按增长率规律列方程即可． 【详解】解：∵九月份生产量为万箱，平均每月增长百分率为， ∴十月份生产量为万箱， ∴十一月份生产量为万箱， ∵到十一月份新增生产万箱，即十一月份生产量比九月份增加万箱， ∴可得方程整理得． 13． 【分析】已知第一个月进馆人次和第三个月进馆人次，设月平均增长率为，根据逐月增长的规律表示出第三个月进馆人次，即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆400人次，进馆人次的月平均增长率为， ∴第二个月进馆人次为， ∴第三个月进馆人次为， ∵第三个月进馆1456人次， ∴可列方程为． 14． 【分析】分别表示出降价元后每箱的利润和每天的销售量，根据总利润计算公式列方程即可． 【详解】解：由题意可得，每箱降价元后，每箱盈利为元，原来平均每天售出20箱，每降价1元每天可多售出5箱，因此每天的销售量为箱，总利润等于每箱利润乘以每天销售量，已知总利润为1200元，因此可列方程为． 15． 【分析】设方阵增加的行数为，则增加的列数为，增加后的行数为，列数为，无人机的总数量为，由此即可列方程． 【详解】解：根据题意列方程为 16．或 【分析】先计算二次函数的对称轴为直线，然后分，两种情况进行分类讨论求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线， 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得； 当时，在内， 当时，y取最大值8，代入解析式得：， 解得． 综上，为或． 17． 【分析】已知平移后抛物线的解析式，求平移前解析式，只需将平移后的抛物线做逆平移，即向右平移1个单位长度，结合抛物线平移规律计算即可． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位长度得到， ∴平移前的抛物线可由平移后的抛物线向右平移个单位长度得到，根据抛物线平移的“左加右减”规律，向右平移个单位长度时，需将原式中的替换为，代入得：，化简后得． 18． 【分析】（1）将二次函数整理为含和不含的两部分，令含的项系数为0，即可求出定点坐标； （2）二次函数开口向上，根据对称轴在区间的不同位置分三种情况讨论，计算最小值并求解符合条件的． 【详解】解：（1）整理二次函数得 令， 解得， 将代入得，结果与无关， 因此二次函数恒过定点； （2）∵二次函数， ∴图象开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： 当，即时，函数在上y随x的增大而增大，最小值在处取得，此时，不符合题意，舍去； 当，即时，最小值在对称轴处取得，代入得， 令， 整理得， 解得， ，，均不在范围内，舍去； 当，即时，函数在上y随x的增大而减小，最小值在处取得，代入得， 令， 解得，满足，符合题意． 综上，． 19． 【分析】先将给定二次函数化为顶点式得到和的值，再根据题目定义列等式求解，最后计算出“开口大小”． 【详解】解：∵， ∴对比顶点式，可得，， 设抛物线上满足条件的点为，根据定义有，且， ∴， 整理得， ∵ ， ∴ 两边同时除以，得 整理得， 即． 因此“开口大小”为． 20．２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 21． 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 22．或 【分析】将不等式变形为，即找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可． 【详解】解： ∵抛物线与直线交于，两点， ∴两函数图象交点的横坐标分别为2和， ∵， 即寻找抛物线图象位于直线图象下方（包括交点）时自变量x的范围， 由图象可知：当或时，抛物线在直线下方， ∴不等式的解集为：或； 23． 【分析】先求出抛物线表达式为，及对称轴为直线，连接，当点三点共线时，最小，求出直线表达式为，进而求出结论． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， 解得：， ， ∴此抛物线对称轴为直线， 连接， ∵点在抛物线的对称轴上， ， ， ∴当三点共线时，最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ， 设直线表达式为，把，代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 24． 【分析】抛物线平移后与轴只有一个交点，说明平移后的抛物线顶点在轴上，或者对应的一元二次方程有两个相等的实数根． 【详解】解：原抛物线解析式为 配方得 即 原抛物线的顶点坐标为 将抛物线沿轴向下平移个单位 平移后的抛物线解析式为 平移后的抛物线与轴有且只有一个交点 平移后的抛物线顶点在轴上 解得． 25． 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，即可求解的值； （2）根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，可得，代入抛物线方程中可解得，从而进一步解得的值． 【详解】（1）解：， ； （2），， ， ， 将代入抛物线方程中，， ， ． 26． 【分析】根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， 为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， 货车的限高应是． 27． 【分析】根据总利润等于每台利润乘以销售量，分别表示出降价后每台的利润和每天的销售量，相乘整理即可得到函数解析式． 【详解】解：∵每台护眼灯进价为元，原销售单价为元，单价下降元， ∴每台的利润为， ∵原本每天可卖出台，每降价元每天多卖出台， ∴降价元后每天的销售量为台， ∵总利润每台利润销售量， ∴， 展开整理得， ∵利润非负，为非负数， ∴， ∴， 即与之间的函数解析式为． 28． 【分析】根据利润、销量的数量关系推导各空表达式，再利用二次函数的性质求解最大利润对应的售价． 【详解】解：因为进货价为元/斤，涨价元后的售价为元/斤， 所以每斤利润为元， 原每日销售斤，每涨价元日销量减少斤，涨价元后销量减少斤， 则每日销量为斤， 总利润， 对于二次函数， 二次项系数，函数开口向下，在顶点处取得最大值， 顶点横坐标为，此时售价为（元/斤）， 即售价为元/斤时获得最大利润． 29． 【分析】由题目已知条件正方形的边长和正方形的边长之比为，求出正方形MNPQ的边长． 【详解】解：设点B的纵坐标为， 四边形是正方形， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点B横坐标为． 点B坐标为． ∵正方形的边长和正方形的边长之比为， ． 各点坐标都关于y轴对称， 点F横坐标为．点F纵坐标为． 点F坐标为． 抛物线的函数解析式为， 把点B坐标，点F坐标代入函数解析式，得 且， 解得， 抛物线的解析式为， 点F坐标为． 设正方形的边长为t，则N点坐标为． 将其代入， 整理，得， 解之，得，负根舍去． 所以，正方形的边长为． 30． 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $