第1-2章阶段专项复习：解答题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

2026-2027学年数学九年级上册人教版第1-2章阶段专项复习：解答题 考点汇总 考点一：一元二次方程定义与求值问题 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 考点三：实际问题与一元二次方程 考点四：二次函数的图象和性质 考点五：二次函数与一元二次方程 考点六：实际问题与二次函数 跟踪特训 考点一：一元二次方程定义与求值问题 1．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 2．已知a是方程的一个实数根，求的值． 3．已知关于的一元二次方程有实数根，且两根之和为整数，求整数的值． 4．先化简，再求值：，其中为方程的解． 考点二：一元二次方程的解法（含根与系数的关系） 5．解下列方程： (1) (2)； (3) (4)． 6．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两根，且，求k的值． 7．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是 ；（填写序号） ①；②；③ (2)已知关于的方程是“差根方程”，求的值； (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 8．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则，． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为，，不解方程回答下列问题． ①计算：_________，_________； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 考点三：实际问题与一元二次方程 9．某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品． (1)据统计，该纪念品在此电商平台年月的销售量是万件，年月的销售量达到万件． 若月至月的销售量月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)某实体店该纪念品的进价为每件元，若售价定为每件元，每天可售出件，市场调研发现，每件商品的售价每降低元，每天销量可增加件，为配合“江南文化节”的推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若要使每天销售后获利元，每件商品的售价应降低多少元？ 10．如图，某公园为了美化环境，借助两面外墙用长为的篱笆，围成一个面积为的长方形花圃，中间用两道篱笆隔开种植不同花卉，其中每种花卉的宽度不得大于，求的长． 11．如图，中，．点P从点A出发，以的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设动点运动的时间为t（s）． (1)则当t为何值时，的面积为 (2)的长度能等于吗?说明理由． 12．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚．搭建要求：一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏的形状如“山”字形．设车棚的宽为． (1)求车棚的长________；（用含x的代数式表示） (2)若矩形车棚的面积为，求车棚的长和宽； (3)在搭建要求不变的情况下，若学校利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 考点四：二次函数的图象和性质 13．已知二次函数的图象上部分点的坐标满足表格： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 14．如图，点、在的图象上，直线与y轴交于点C，连接． (1)_________；_________； (2)求直线的函数表达式； (3)观察的图象，当时，y的取值范围_________；当时，y的取值范围_________； (4)若点P在的图象上，且在A、B之间，连结，则的面积的最大值为_________． 15．已知抛物线（为常数）经过点． (1)求的值． (2)当时，求函数值的取值范围． (3)将抛物线向右平移个单位长度，得到新抛物线．已知和是新抛物线上的两点．当时，，求的取值范围． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点Q，使得，若存在，求出Q点坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点D，M为对称轴右侧抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标． 考点五：二次函数与一元二次方程 17．如图，抛物线的顶点为，此抛物线交x轴于O、B两点． (1)求此抛物线的解析式： (2)连接、，求的面积： (3)若抛物线上另一点P满足，请求出点P的坐标． 18．如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧）． (1)求该抛物线的函数关系式； (2)已知为抛物线的动点，若，直接写出n的取值范围； (3)当时，y的最大值与最小值的差为3，求t的值． 19．已知二次函数（为常数，且）． (1)若点在该函数图象上，求的值； (2)判断该二次函数的图象与轴是否存在一固定的公共点，若存在，求出这个点的坐标；若不存在，说明理由； (3)已知一次函数．若对于任意的，都有，求的值． 20．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)若关于的方程在的范围内只有一个实数根或有两个相等的实数根，求出的取值范围． 考点六：实际问题与二次函数 21．为了落实国务院的指示精神，安庆地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克元．市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为元． (1)求与之间的函数关系式． (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22．某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 23．【综合与实践】 【项目背景】 小麦是我省北部农村主要农作物，班级同学今年秋天前往种粮大户李叔叔家开展综合实践活动． 【预备知识】 根据李叔叔今年的种粮经验发现：种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，种植品种小麦获得利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系（如图所示）．已知函数，的图象交点为，，函数的图象与轴交于点． 【知识应用】 (1)求，的函数表达式； (2)观察图象，分析比较分别单独种植，两种小麦获得利润的大小； (3)若李叔叔准备明年共投资万元同时种植，两种小麦，怎样分配资金，可获得最大利润？最大利润是多少？ 24．【新情境】为了让同学们感受数学与生活的紧密联系，班级组织开展了投掷沙包的游戏活动．同学们发现，从垂直地面的投掷点O正上方、距离地面高度为0.38米的位置A，以一定倾斜角抛出沙包，其飞行路线呈抛物线形状．当沙包与的水平距离为9米时，达到最大高度2米．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）． (1)求沙包飞行路线所在抛物线的解析式； (2)距离投掷点正前方18米处竖直放置了一个0.4米高的障碍物，求沙包能否越过该障碍物． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学九年级上册人教版第1-2章阶段专项复习：解答题》参考答案 1．当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 2．2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 3． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分析两根之和的整数性，然后验证的可能值即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数不为，即. 设关于的一元二次方程的实数根分别为， 则． 方程的两根之和为整数， 整数． 当时，方程为，判别式，无实数根，故舍去； 当时，方程为，判别式，有实数根． ． 4． 【分析】首先进行分式的混合运算，经过通分，因式分解，约分，再通分等一系列计算得出化简后的分式，根据为一元二次方程的解，代入得到，转化为，代入化简后的分式进行计算得到原式的值为，最后计算一元二次方程的解，检验分式的分母是否有意义即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ； ∵为方程的解， ∴， ∴， ∴将代入上式得：， 经检验，解方程，得：，， ，，，分式均有意义， ∴原式的值为． 5．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 开平方得 ， 解得； （2）解：， 移项得， 配方得 ， 开平方得， 解得 （3）解：， 移项得， 提取公因式得， ∴或， 解得 （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．(1)证明：对于一元二次方程， 判别式 ． ∵， ∴，即， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算判别式并配方，证明其恒正即可得证． （2）利用根与系数的关系代入已知等式求解k的值． 【详解】（1）略 （2）解：由根与系数的关系得，， ， ， 解得． 7．(1)①③ (2)的值为或 (3)这个“差根方程”为 【分析】首先设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足，进行平方得到，根据勾股定理有，然后求出，，最后，由韦达定理得出结论． 【详解】（1）解：，解得，，所以是差根方程；，解得，，所以不是差根方程；，解得，，所以是差根方程． （2），解得，因为该方程是差根方程，所以，解得． （3）设该差根方程为，，是方程的两个实数根，满足， ， ． 在中，， ， ， ， 或（舍去） 根据韦达定理得，，， ，， 这个“差根方程”为． 8．(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出，解不等式即可求出的取值范围； （2）①根据根与系数的关系即可得出答案； ②根据，把①中结果代入，即可得出答案； （3）根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据得出，结合即可求出的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：①∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ②由①可知，，， ∴． （3）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴． 9．(1) 月平均增长率为． (2) 每件商品的售价应降低元． 【分析】（1）本题为增长率问题，由初始量最终量（为增长月数），列方程即可求出增长率； （2）由利润公式：单件商品利润销售量总利润，列方程解决问题，注意题目要求尽量减少库存，优先选择降价多的方案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：月平均增长率为； （2）设每件商品的售价应该降低元，则每件商品的利润为元，每天的销量为件， 依题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去） 答：每件商品的售价应该降低元． 10．的长为 【分析】设，则，根据长方形的面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得， 整理得， 解得， ， ， ∴，即． 答：的长为． 11．(1)或4时，的面积为 (2)不能，理由是： ∵ ∴， ∴ 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴的长度不能等于． 【分析】（1）先表示出，，，再由三角形面积公式建立方程求解即可； （2）对运用勾股定理建立方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ∴； 由题意得：， 解得：或， ∴或4时，的面积为． （2）略 12．(1) (2)自行车车棚的长为，宽为； (3)解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【分析】（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边各需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， ； （2）解：由（1）可得，车棚面积为：， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 自行车车棚的长为，宽为； （3）略 13．(1)； (2)函数的顶点坐标是，对称轴是． 【分析】（1）在表格中选取任意三组值，利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）配方法得到二次函数的顶点式解析式，写出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将代入函数解析式得， 解这个方程组，得， 所以，这个二次函数的解析式为． （2）解：∵， ∴函数的顶点坐标是，对称轴是直线． 14．(1)，4 (2) (3)； (4) 【分析】（1）将代入求a的值，再求出时对应的函数值即可； （2）利用待定系数法求解； （3）观察函数图象，根据函数图象的增减性求解； （4）设点P的坐标为，作轴交直线于点Q，用含m的式子表示出，再根据用含m的式子表示出的面积，利用二次函数的最值求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 在上， ； （2）解：设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：观察的图象，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，y的值先减小，后增大，取值范围为； 当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 可得当时，y的取值范围为：； （4）解：设点P的坐标为，其中， 作轴交直线于点Q，则点Q的坐标为，如图： ， ， 二次项系数， 时，取最大值，最大值为． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法得到； （2）根据二次函数的图象和性质，得到抛物线开口方向，对称轴，顶点坐标，进而得到的取值范围； （3）首先得到平移后新的抛物线的对称轴为直线，根据点到对称轴的距离判断的大小，进而得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数）经过点， ∴将代入，得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为，转化为顶点式为， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标， ∴当时，当时，取最小值，最小值为， 当时，随的增大而减小，当时，， 当时，随的增大而增大，当时，， ∴当时，取最大值，最大值为， ∴； （3）解：由（1）可知，对称轴为直线， ∵将抛物线向右平移个单位长度， ∴平移后新的抛物线的对称轴为直线， ∵到新抛物线的对称轴的距离为，到新抛物线的对称轴的距离为， ∵当时，都有， ∴， 当时，上式可转化为，该不等式无解， 当时，上式可转化为，解得， ∴． 16．(1)； (2) 存在， (3)， 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）作交延长线于，过作轴于，作于，，，证明，得到，设，求出坐标，进而求出直线的解析式，联立直线的解析式和抛物线解析式求出点坐标即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把分别代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入，可得， ， 令得代入， 可得， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把分别代入得∶   ， 解得：， ∴直线的解析式为∶； （2）解：存在，； 如图，作交延长线于，过作轴于，作于，可知在一条直线上，且， ∵， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：； ， 即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立和， 得：， 解得：(舍去)， 当时，， 即； （3）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为对称轴右侧抛物线上一动点，点在轴上， ∴设，， ∵点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得或（舍去）， 代入可得：， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或（舍）， 与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或    (不合题意，舍去)， 代入可得：， 综上所述的坐标为：． 17．(1) (2)9 (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，然后把原点坐标代入求出a即可； （2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解； （3）设P点坐标为，根据可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴此抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴B点坐标为， ∴， ∴的面积； （3）解：设P点坐标为， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 解得：，， ∴P点坐标为或． 18．(1) (2) (3)t的值为和 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）抛物线的动点M在的范围中包含顶点，则可知n的最小值，再根据抛物线的轴对称性，可求得n的最大值，即得答案； （3）分，，三种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， ， 把代入，得， 解得， 该抛物线的函数关系式为； （2）解：抛物线的顶点坐标为， 二次函数的最小值为， ， 当时，二次函数取得最大值， ． （3）解：当时，， 由y的最大值与最小值的差为3，可得 解得，不合题意，舍去； 当时，， 若，即时， 解得 结合，可得； 若，即时， 解得 结合，可得； 当时， 解得，不合题意，舍去； 综上所述，符合条件的t的值为和． 19．(1) (2)存在，这个固定的公共点的坐标为 (3) 【分析】（1）将代入计算即可； （2）令，解方程即可求解； （3）根据得出，设，根据，抛物线开口向上，，得出，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得． 解得． （2）解：二次函数的图象与轴存在一固定的公共点． 令，即． 解得，． 当时，恒成立， ∴这个固定的公共点的坐标为． （3）解：，， ． 设． ，抛物线开口向上，， ． ． 20．(1) (2)点的坐标为，不等式的解集为或 (3)或 【分析】（1）已知点在抛物线上，将的坐标代入抛物线解析式，即可求解的值，得到抛物线解析式． （2）先将点代入直线解析式求出的值，得到直线解析式；再联立抛物线与直线的方程，解方程组得到点的坐标；如果要确定二次函数值小于一次函数值的范围，那么结合两个交点的横坐标，观察图象中抛物线在直线下方的区域即可． （3）方程的根等价于抛物线与直线的交点横坐标，先求出抛物线在范围内的端点函数值和顶点函数值，再结合图象分析直线与该段抛物线只有一个交点的情况． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：将点代入， 得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立， 解得或， 点的坐标为， 从图象看，不等式的解集为或； （3）解：由图可知抛物线与直线在的范围内只有一个交点时经过点， 此时， 当直线在轴与直线之间时，在的范围内方程有两个相等的实数根， 抛物线的顶点坐标为，直线经过顶点时在的范围内方程也有一个实数根， 的取值范围是或． 21．(1) (2)当定价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式． （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值． 【详解】（1）解：由题意可知，则，解得， ∵成本价为每千克元， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵，且， ∴当时，有最大值为， 即该产品销售价定为每千克元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 22．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式． （2）根据射灯的放置方式得到射灯的横坐标，进而得到射灯的坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线的顶点坐标为，即， ∴设抛物线的解析式为， ∴将代入，得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等， ∴射灯之间的距离为，最外侧射灯的横坐标到轴的距离为， ∴盏射灯的横坐标分别为， 当和时，， 当和时，， ∴四盏射灯的位置坐标分别为． 23．(1)； (2)当时，种植种小麦获利较大； 当时，种植这两种小麦获利一样大； 当时，种植种小麦获利较大； (3)种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 【分析】（1）将点代入一次函数，使用待定系数法求解；将点，点分别代入二次函数，使用待定系数法求解； （2）根据图象进行比较，图象在上方的函数表示获利较大，交点处表示获利一样大； （3）设种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元，根据，两种小麦获得利润与投资金额的函数关系式，，列出总利润的函数关系式，化简后，使用配方法即可求出最大利润和资金分配方案． 【详解】（1）解：由题意可设， 当时，， ， 解得， 即． 由题意可设， 当时，，当时，， ， 解得， 即． （2）略 （3）解：设李叔叔明年种植，两种小麦获取的总利润为万元，其中种植种小麦的投资金额为万元，则种植种小麦的投资金额为万元， 由题意得， 整理得， 配方得， 答：种植种小麦的投资金额为万元，种植种小麦的投资金额为万元时，获得利润最大，最大利润为万元． 24．(1) (2)沙包不能越过该障碍物 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）令，求出的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点代入， 得， 解得， 沙包飞行路线所在抛物线的解析式为； （2）解：当时， ， ， 沙包不能越过该障碍物． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $