专题11 圆锥曲线中常用二级结论十类综合题型（含定比分点、极点极线）（压轴题专项训练）数学北师大版选择性必修第一册

专题11 圆锥曲线中常用二级结论十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆与双曲线中的焦点三角形 题型二、椭圆与双曲线第二定义的应用 题型三、点差法（中点弦问题）的应用 题型四、双曲线焦点三角形内切圆 题型五、双曲线有关渐近线距离相关结论 题型六、圆锥曲线第三定义的应用 题型七、椭圆与双曲线中焦点弦长与焦半径公式的应用 题型八、抛物线中焦点弦长与焦半径相关结论的应用 题型九、焦点弦被焦点分为定比（定比分点）结论的应用 题型十、极点极线有关结论的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆锥曲线二级结论综合题型是高中解析几何的拔高压轴板块，所有题型均围绕结论适用条件、几何关系转化、代数运算、模型识别、取舍验证五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用二级结论必先判定模型是否匹配，不可直接套用在不满足前提的题目；二是焦点三角形类优先利用定义结合余弦定理，区分椭圆与双曲线的边长差异；三是点差法只适用于存在中点弦的情形，最后要检验直线与曲线是否真的相交；四是焦点弦、焦半径结论注意焦点位置与曲线类型，区分左右、上下开口；五是极点极线等拓展结论多用于快速预判，大题书写仍要以常规推导为主，算出结果之后带回原题检验是否符合题干限制 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆与双曲线中的焦点三角形 典例1-1 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 典例1-2 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合已知条件求解三角形的边长，然后求解三角形的面积． 【详解】如图，由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，由，则， 不妨设在双曲线的右支上，设，又， 由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理可得：， 即，解得， 所以． 题型模版 1.特征：题目给出椭圆或者双曲线，椭圆上（双曲线上）一点和两个焦点相连形成三角形，一般会给离心率、三角形周长、角度等条件，求三角形面积、边长、离心率、角度范围等. 2.方法：①椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） ②双曲线中焦点三角形的面积：. 变式1-1已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 变式1-2已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，利用的面积，结合椭圆方程求得点，再由角平分线定理求得点。即可求得的角平分线所在的直线方程. 【详解】如图，由可得椭圆的半焦距，则，    于是的面积为，取，代入，可得， 则直线轴，且， 设的角平分线交轴于点，则， 又，则得，故， 则直线的斜率为，其方程为，即. 变式1-3已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 题型二、椭圆与双曲线第二定义的应用 典例2-1 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 【答案】 3 【详解】解：由椭圆的方程，可知，，，所以，右准线． 如图，设在右准线上的射影为， 根据椭圆的第二定义，有，即，所以． 显然，当、、三点共线时，有最小值， 即． 此时，将代入椭圆的方程得或（舍去），所以． 典例2-2已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是. 由双曲线定义知： . 设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. 题型模版 1.特征：题干一般给出椭圆或双曲线，分两大类考法：①式子带有系数的焦线段，求距离和、差的最值；②过焦点的弦为直径作圆，判断圆与对应准线的位置关系。核心都需要利用第二定义，把焦点到曲线上点的距离，转化成点到准线的垂线段长度 2.方法：先平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e.. 变式2-1已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示：过作准线于，准线于点，计算，根据勾股定理结合均值不等式计算得到答案. 【详解】如图所示：过作准线于，准线于点，，， 则， ， 根据均值不等式：，即， 即，当时等号成立，即. 故选：C. 变式2-2已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的右准线为，过、分别作于，于，于，根据直线的斜率为，得到，再利用双曲线的第二定义得到，又，结合求解. 【详解】设双曲线的右准线为， 过、分别作于，于，于， 如图所示： 因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， ∴，， 由双曲线的第二定义得：， 又∵，∴，∴ 故选：B 变式2-3过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）. 依题意，则点到直线的距离， 所以，则. 由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为， 则且，所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立， 故选：C. 变式2-4（多选）在《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（    ） A． B． B． 直线与椭圆相切时， D． 【答案】ABD 【分析】对A：由判断；对D：作轴于，表示出，根据A结论判断；对B：利用D结论可判断，由角平分线性质得结论；对C：根据D结论可判断当且仅当时与椭圆相切即可. 【解析】 对A：由条件知：，故，故A正确； 对D：作轴于，则， ，所以，故D正确； 对B：同D知：， 因为，所以， 所以，即平分， 由角平分线性质知即，故B正确； 对C：下面证明当且仅当时与椭圆相切， 因为，所以时当且仅当，此时点是唯一的，故与椭圆相切 当时，，满足条件的有两个，即点有两个，此时与椭圆相交， 故当且仅当时与椭圆相切，此时，故C错误. 故选：ABD 题型三、点差法（中点弦问题）的应用 典例3-1 过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 【答案】 【分析】利用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可． 【详解】设，，则，， 两式相减得, 因为为的中点，所以，, 所以，即所求直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即． 典例3-2 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】利用点差法即可得到，最后利用离心率公式即可. 【详解】设点，则， 把，的坐标代入椭圆方程可得:， 两式作差可得：， 即， 所以，即， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 题型模版 1.特征：已知圆锥曲线上两点形成的弦，给出弦中点条件，求直线斜率、直线方程或者曲线离心率；题目会直接给出中点坐标，或是给出中点相关直线的斜率 2.方法：点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆（或双曲线）方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点M(x0，y0)是线段AB的中点，由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，(，)。（1）若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， （2）双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， （3）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 变式3-1已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是______． 【答案】/ 【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造中点坐标与的关系，结合离心率公式即可求解. 【详解】设直线与椭圆相交于， 由， 直线的斜率， 由，得， 整理得， 所以， 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 变式3-2在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 【答案】 【分析】先根据方程求出焦点坐标，利用点差法及的斜率可求斜率，点斜式可求方程. 【详解】由双曲线的方程可知,设， 则，两式相减可得，即， 所以， 因为直线的斜率为，所以,所以， 直线的方程为，即，经检验符合题意. 故答案为： 变式3-3过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：设，，，，则①，②， 是线段的中点， ，， 直线的方程是， ， 过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点， ①②两式相减可得，即， ． 故答案为：． 变式3-4已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为______． 【答案】/ 【分析】设，求出的斜率，利用点差法求出直线的斜率，在根据题意求出之间的关系即可得解. 【详解】， 设， 因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为， 所以， 则， 由直线l与C相交于A，B两点， 得， 两式相减得， 即， 所以， 即，所以， 则， 所以， 所以离心率. 故答案为：.    变式3-5已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 ______ 【答案】3 【分析】设点，作差，计算得出结合离心率为，求得同理求得代入问题计算即可. 【详解】因为双曲线的离心率为 所以 不妨设因为点在上，所以 两式相减,得, 因为点是的中点，所以, , 所以 即所以 同理 因为所以 故答案为：3. 题型四、双曲线焦点三角形内切圆 典例4-1 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得的内切圆与的切点为定点. 【详解】双曲线，，则长轴长为，焦距为， 为双曲线右支上的动点（非顶点），为双曲线的两个焦点， 设的内切圆与分别切于，如图所示，    则根据双曲线的定义及圆的性质可知：， 又，得，故为双曲线的右顶点. 同上分析，当双曲线方程为时， 为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点）， 设的内切圆与分别切于， 可知为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为，右顶点坐标. 所以此时的内切圆恒过定点. 故选：B. 典例4-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若∠，则的内切圆半径为______. 【答案】 【解析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点与圆心的线段，由内切圆的性质可得，再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，，，如图所示 连接，，，由内切圆的性质可得：，，， 所以，， 所以， 由双曲线的定义可知：，所以可得，重合， 所以， 所以圆的半径为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：题目给出双曲线以及焦点三角形，求内切圆圆心横坐标，或者判断内切圆恒过的定点；核心结合双曲线第一定义和切线长定理； 2.方法：①单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上。证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设 的内切圆的圆心I 在三边上的投影分 别为B，E，D因为 由双曲线定义，可知： 又因为，所以，所以。 即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上 ②焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点 证明：设内切圆分别与的三边 F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知， ，设， 则有 故，即，所以P，F2重合 变式4-1已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则 A． B． C． D．与关系不确定 【答案】A 【详解】 F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A ∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知， |AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x， 则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a ∴x=a；|OA|=a， 在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2， ∴在三角形F1CF2中，有： OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a． ∴|OB|=|OA|． 故选A． 变式4-2P是双曲线右支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为_____. 【答案】 【分析】由双曲线定义结合圆的切线长定理列式求解. 【详解】如图所示：，设内切圆与x轴的切点是点H，PF1，PF2与内切圆的切点分别为M、N， 由双曲线定义有，由圆的切线长定理知，，所以，即，设内切圆的圆心横坐标为，则点H的横坐标为，所以，得. 故答案为： 变式4-3已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则______． 【答案】2 【分析】根据圆的切线长定理，结合内心的性质、双曲线的定义、三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】设各边的切点为， 由圆的切线长定理可知， 由双曲线的定义可知： ， 因为， 所以，所以为双曲线的右顶点， 显然， 的横坐标为2，所以， 设过作直线的垂线交于， 因为点是内心,且 ， 所以，且是的中点， 所以， 由双曲线的定义可知：， 所以. 故答案为：2 变式4-4已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和双曲线的定义得到点G与点重合，再结合列方程，解方程即可. 【详解】设，，与内切圆的切点分别为E，F，G，令， ，， 则，得， ，，由双曲线定义得， 则点G与点重合， 又， 则，即. 又，， 直线GT的方程为， ， . 题型五、双曲线有关渐近线距离相关结论 典例5-1 若双曲线的焦点到渐近线的距离是4，则的值是 A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】求得双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离计算可得所求值． 【详解】双曲线（m＞0）的焦点设为（c，0）， 当双曲线方程为：时， 渐近线方程设为bx﹣ay＝0，可得： db， 故，由题意可得b＝m＝4． 故选D． 典例5-2 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，设，利用点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，得到方程，求出，即可得解； 【详解】解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线为 设，利用点到双曲线的两条渐近线的距离之积为，又 可得，解得，所以 双曲线的实轴长为． 故选：． . 题型模版 1.特征：围绕双曲线渐近线的距离设置条件，分两类：焦点到渐近线的距离、双曲线上任意一点到两条渐近线距离的乘积，用来求参数、实轴长等； 2.方法：①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ③双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 变式5-1设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合双曲线的性质设，利用点在双曲线上和点到直线的距离公式求出即可； 【详解】由已知，，，所以，，则． 设为双曲线C上任意一点，则，即． 而双曲线C的渐近线为， 所以点M到两条渐近线的距离之积为． 故选：B. 变式5-2已知点为双曲线的一个焦点，则点到双曲线一条渐近线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，，，焦点在轴，再根据点到直线的距离求解即可。 【详解】双曲线，即， 则，，，焦点在轴。 设，渐近线方程为：，即， 则. 故选：B. 变式5-3已知为双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线距离之积为4，则双曲线的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示： 由双曲线的标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：， 即， 设，则点到双曲线的两条渐近线距离为： ， 又点到双曲线的两条渐近线距离之积为4， 即， 由点为双曲线上一点， 则， 所以， 因为，所以即， 所以， 即或（舍去）所以， 所以双曲线的焦距的取值范围为：， 故选：A. 变式5-4设为双曲线（，）的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的焦距为_______. 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线的斜率，进而得到的关系，再结合点到直线的距离公式求出的值，最后根据的关系求出焦距. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为，即． ，分别为的两条渐近线的倾斜角， ． 又，， ，． 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为， ，，， 双曲线的焦距为． 故答案为： 变式5-5已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的动点，，，点P到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则＝______． 【答案】 【分析】根据已知条件求得，求得双曲线的渐近线方程，根据点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意， 所以，双曲线的标准方程为， 所以双曲线的渐近线为， 设，则，， 故答案为： 题型六、圆锥曲线第三定义的应用 典例6 已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以 ,故 ,由于点A,B,P在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为4.选B.． 题型模版 1.特征：圆锥曲线上有关于原点对称的两个点，曲线上第三个动点分别连接这两个点，求两条连线斜率的相关代数式的值、最值或范围；常以向量条件给出中点信息，识别原点为两点中点是突破口. 2.方法：平面内与两个关于原点对称的点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 若是椭圆上的一组对称点，P为双曲线上任意点，则有 若是双曲线上的一组对称点，P为双曲线上任意点，则有 变式6-1椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 变式6-2已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为， 点在双曲线上，即，有，因此， 点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有， 即，于是，即直线与关于轴对称， 又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得， 显然，， ， 解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 变式6-3已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，M，N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存在一点H，使得kMH·kNH∈，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】A、 【详解】由题意可得M(－a，0)，N(a，0)，设H(x0，y0)，则＝(a2－)，从而kMH·kNH＝·＝＝＝－∈，即＝e2－1∈，即e2∈.又因为0＜e＜1，所以e∈.故选A. 变式6-4已知点，动点满足直线与的斜率之积为. 记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，证明：是直角三角形； 【答案】见详解 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为. （2）设坐标为，则由（1）可知：，另一方面，由于，那么由上述两式可知：，进一步可得：，故为直角三角形. 题型七、椭圆与双曲线中焦点弦长与焦半径角参公式的应用 典例7-1 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 典例7-2已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 【答案】， 【详解】如图，设，则 由焦点弦公式，， 由焦半径公式，， ，所以. 典例7-3已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则，， ． 令，，， ． ． 当且仅当，即时上式取等号． 的最小值为． 故答案为：． 题型模版 1.特征：过圆锥曲线的一个焦点作倾斜角已知的直线，与曲线交于两点，求焦点弦的长度；也可给出焦点弦长反求倾斜角、离心率等，适合小题快速求解 2.方法：椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦 . 2．双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 变式7-1已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为 A．4 B． C． D．2 【答案】D 【详解】，， ． 变式7-2已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______. 【答案】 【详解】设，则由焦半径公式，，解得：，由焦点弦公式，. 变式7-3过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. 变式7-4已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 【答案】 【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值； 第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值. 【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知： ， 所以. 又因为，所以，设， 则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为， 所以， 故答案为：，. 变式7-5过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ． 【答案】2 【分析】先利用余弦定理证明焦点弦长，即可由面积公式，结合三角函数的性质以及放缩法，可得，即可求解. 【详解】先证明：在椭圆中，点为椭圆上一点． 如图，设，则，， ，．    在中，根据余弦定理，有， 由椭圆定义得， 整理得． 在中，， 整理得．所以， ． 设弦所在直线与轴正方向的夹角为，则，， 所以四边形的面积，； ，， ． 故答案为：2    题型八、抛物线中焦点弦长与焦半径公式相关结论 典例8 已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线焦半径的性质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角，根据面积公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，过作轴， 则，所以， 同理可得， 因为，，则， 由于，所以， 同时可得，， 因此四边形的面积，解得． 题型模版 1.特征：抛物线过焦点的弦，给出两段焦半径的向量比例关系，结合准线、垂线构成的图形，利用面积条件求解抛物线基础参数；小题高频，可直接使用焦点弦二级结论快速处理 2.方法：①过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则:,。(焦点在轴上的性质对比给出。) 引伸:在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点。 ,=(定值)。 ②(是直线与焦点所在轴的夹角)=(焦点在轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为)最短。 ③，则有，，(为直线与焦点所在轴的夹角)。 ④面积:，(是直线与焦点所在轴的夹角)。 ⑤以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线。 ⑥以为直径的圆与相切，切点为焦点。 ⑦以焦半径为直径的圆与轴相切。 ⑧三点共线,三点共线。 ⑨(定值)。 ⑩设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于轴的直线和轴交于点，线段是和的比例中项 变式8-1已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由题意知，，设， 联立直线与抛物线得，消去，得， 所以. 由抛物线的定义知. 而，故，解得. 故选：D. 变式8-2抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：，结合焦半径公式有：， 解得：，故直线AB的方程为：， 与抛物线方程联立可得：， 则， 故的面积. 变式8-3（多选题）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 【答案】BC 【详解】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，画图为： 根据抛物线的定义：，从图可知，， ，在中，， 所以，同理， 则 ，故当时， 故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确； 对于B项，由A可知，，故B正确； 对于C项，， 当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确； 当直线过焦点时，， 当直线不过焦点时，不是定值， 举例当时，此时，， 即，，，故D错误； 故选：BC. 变式8-4（多选）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（ ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 【答案】BCD 【详解】对于，抛物线方程为，所以抛物线得准线为， 所以，到直线的距离之和， 因为三点不一定共线，所以，即，故错误； 对于，因为为抛物线上任意三点，且， 所以为的重心，，所以， 所以，故正确； 对于，延长交于点， 因为为的重心，所以，且是的中点， 因为，在中，有，所以，故正确； 对于，因为， 两式相减,得：，所以, 同理可得,,, 所以，故正确. 故选：. 题型九、焦点弦被焦点分为定比 典例9 已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______. 【答案】4，， 【详解】（1）直线过焦点，当垂直于轴时，取最小值，（2）由题可知：，（3）由于为两动点，所以，当且仅当直线过焦点时等号成立，故正确 【补充】 . 题型模版 1.特征：圆锥曲线过焦点的弦，焦点把弦分成两段，已知倾斜角求两段长度比值；或者求焦点弦总长的最值；也可由中点横坐标求弦长最值，多空小题为主 2.方法：求（1） 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. （2）设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. 变式9-1已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，故选A. 变式9-2设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得. 【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：， 与椭圆：联立消去，得， 设，则， 因为，所以，可得， 代入上式得，消去并化简整理得：， 将代入化简得：，解得， 因此，该双曲线的离心率. 变式9-3已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可. 【详解】   不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为， 令，解得，即. 设，又，，， 由可得：，解得， 又在椭圆上，即， 整理得，解得. 故选：A 题型十、极点极线有关结论的应用 典例10已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点 【答案】 【分析】（I）将给定点代入设出的方程求解即可；（II）设出直线方程，与椭圆的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解． 【详解】（I）解：设椭圆的方程为，过，则，解得，，所以椭圆的方程为：． （II）证法一：定点为，证明如下： 点对应的极线为，即，即为直线，则为调和线束，过作//，交于，由调和性质可知为中点，故直线过定点． 证法二：，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到．求得方程：，过点． ②若过点的直线斜率存在，设． 联立得， 可得，，且 联立可得， 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得，显然成立． 综上，可得直线过定点． 题型模版 1.特征：圆锥曲线大题，第一问求曲线方程；第二问给定定点引出动直线与曲线交于两点，附带中点、向量等几何条件，证明动直线恒过定点。可以用极点极线快速预判定点，也可常规联立方程求解，常用于新高考压轴大题 2.方法：（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；. 变式10-1已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【详解】由题意可知，直线l的方程为，即， 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，. ，化简得 所以，因为方程只有一解， 所以，故直线MG的方程为，化简得， 同理可得直线MH的方程为， 又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为， 又因为，所以直线GH的方程为，. 令，得所以直线GH恒过定点. 变式10-2设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点． 【详解】设点，则点对应的极线为直线，其方程为①．当点在直线上运动时，可理解为取遍一切实数，相应的为．代入①式消去的．② ②式对一切恒成立，变形可得，对一切恒成立． ， 变式10-3已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程． 【详解】法一：由于直线经过顶点，设直线与相交于点，则直线在点所对应的极线上，点对应的极线方程，即所一点在顶点上． 法二：由椭圆对称性知在上，假设直线过椭圆上顶点，则， ，，，所以在定直线上． 当不在椭圆顶点时，设，，，，，整理得， 所以，， 当时，，得，所以，显然成立，所以在定直线上 变式10-4已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，因为，所以解得，． 所以所求椭圆的方程为 （2）设，，，， 直线的斜率显然存在，设为，则的方程为． 因为，，，四点共线，不妨设， 则，，，， 由，可得， 化简得．（*） 联立直线和椭圆的方程，得， 消去，得， ，得， 由韦达定理，得，．代入（*） 化简得，即． 又，代入上式，得，化简得． 所以点总在一条定直线上．    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 2．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 3．双曲线的左、右焦点分别为、,过点作直线交双曲线的右支于、两点,且,则的内切圆半径等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出的内切圆半径. 【详解】因为,所以,而,可得 ,根据直角三角形内切圆半径,可得的内切圆半径等于 . 故选：D 4．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决. 【详解】由题知，抛物线开口向右，， 所以焦点为， 因为焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即， 因为点到双曲线的渐近线的距离为4，即， 所以， 所以双曲线的方程为， 故选：C 6．（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系和焦半径公式求出弦长，由点到直线的距离公式结合的面积求解，从而利用焦半径公式求解，逐项判断即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设过焦点的直线方程为设直线：，，， 联立直线与抛物线方程得消元得， 由韦达定理可得，，所以， 又点到直线的距离是，所以，得，所以，故选项A错误，B正确； 由知，解得， 所以，故选项C正确； ，故选项D正确； 故选：BCD. 7．已知双曲线分别为其左､右焦点，若点P在双曲线的右支上，且的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】3 【分析】利用三角形内切圆性质及双曲线的定义求得，再由双曲线参数关系求c，即可得离心率. 【详解】设的内心为I，过I作轴于H. 由三角形内切圆的性质知：①. 又②，③， 由①②③得：. ∴，故离心率. 故答案为：3 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围. 【详解】 设，则.显然当靠近右顶点时，， 所以存在点使等价于， 在中由余弦定理得， 即，解得 ， 同理可得，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 由得，所以. 9．已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________． 【答案】，1 （1）易知，又， 则 （2）易知，，则的周长为 由焦点弦长公式可知，故 10．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13 【详解】易知为等边三角形， 的周长为 【法一】：焦点弦公式 【法二】：通性通法 【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为 11．（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由双曲线上一点处的切线方程为， 所以双曲线在点处的切线方程为， 化简可得. （2）设切点，则，， 又点在直线上，代入可得，， 所以点均在直线上， 所以直线的方程为，即. 12．如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．    (1)求证：直线的斜率为定值； (2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设出直线方程，联立后得到点纵坐标，同理得到点纵坐标，从而求出直线AB的斜率，即可证明结果； （2）根据（1）中结果，得出直线的方程，从而得到，再根据的范围，即可求出结果. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，所以抛物线, 设，， 由，消得， 由韦达定理得，又，得到， 又因为直线，的倾斜角互补，用代可得：， 因此，又， 所以为定值． （2）由（1）可知，，，， 因此，整理得， 所以到直线的距离， 因为，得，所以， 故． 13．已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，. 【分析】（1）由题意设、，由斜率公式、点到直线的距离公式列方程即可得解； （2）由直线与圆相切可得，设，，由韦达定理及弦长公式可得，由焦半径公式可得、，进而可得的周长，化简即可得解. 【详解】（1）设，，则， 直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为， 解得，（负值舍去）， 又，所以椭圆的标准方程为； （2）因为直线与圆相切， 所以，即， 设，， 联立，得， 所以 ， ，， 所以 ， 又，所以， 因为， 同理， 所以， 所以的周长是 ， 则的周长为定值. 14．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大值为，直线或 (3)存在， 【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意设直线，与椭圆方程联立可得，由，代入运算化简，利用不等式求出面积的最大值； （3）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解. 【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得， 解得，，所以椭圆的方程为. （2）根据题意知直线的斜率不为0，设直线，，， 联立，消去整理得， ，，且， ，令，， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为或. （3）在轴上存在点使得，理由如下： 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 15．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和四边形面积得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）设，，，设过点且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据结合求出，求出以M为切点的椭圆C的切线方程为，同理得到以N为切点的椭圆C的切线方程，得到直线的方程为，直线过定点. 【详解】（1）由题可得，即，，得．① 又，即，② 由①②可得，， 所以椭圆C的方程为：． （2）设，，， 由题知，直线上一点P作椭圆C的两条切线斜率存在，    设过点且与椭圆相切的直线方程为：， 联立方程得， ， 整理得，即， 在椭圆上， ，即，， ，即， ，解得， （此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率） 过点且与椭圆相切的直线方程为：， ，即， 整理可得以M为切点的椭圆C的切线方程为， 同理，以N为切点的椭圆C的切线方程为， 又两切线均过点P，故，且， 整理化简得，且， 点，均在直线上， 直线的方程为，直线过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 圆锥曲线中常用二级结论十类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆与双曲线中的焦点三角形 题型二、椭圆与双曲线第二定义的应用 题型三、点差法（中点弦问题）的应用 题型四、双曲线焦点三角形内切圆 题型五、双曲线有关渐近线距离相关结论 题型六、圆锥曲线第三定义的应用 题型七、椭圆与双曲线中焦点弦长与焦半径公式的应用 题型八、抛物线中焦点弦长与焦半径相关结论的应用 题型九、焦点弦被焦点分为定比（定比分点）结论的应用 题型十、极点极线有关结论的应用 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 圆锥曲线二级结论综合题型是高中解析几何的拔高压轴板块，所有题型均围绕结论适用条件、几何关系转化、代数运算、模型识别、取舍验证五大核心展开，解题贯穿多条底线原则：一是使用二级结论必先判定模型是否匹配，不可直接套用在不满足前提的题目；二是焦点三角形类优先利用定义结合余弦定理，区分椭圆与双曲线的边长差异；三是点差法只适用于存在中点弦的情形，最后要检验直线与曲线是否真的相交；四是焦点弦、焦半径结论注意焦点位置与曲线类型，区分左右、上下开口；五是极点极线等拓展结论多用于快速预判，大题书写仍要以常规推导为主，算出结果之后带回原题检验是否符合题干限制 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、椭圆与双曲线中的焦点三角形 典例1-1 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 典例1-2 已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于两点，设双曲线的左､右焦点分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：题目给出椭圆或者双曲线，椭圆上（双曲线上）一点和两个焦点相连形成三角形，一般会给离心率、三角形周长、角度等条件，求三角形面积、边长、离心率、角度范围等 2.方法：①椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角） ②双曲线中焦点三角形的面积： 变式1-1已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 变式1-2已知椭圆，为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上在第一象限内的一点，且的面积为，则的角平分线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 题型二、椭圆与双曲线第二定义的应用 典例2-1 已知椭圆内有一点，是椭圆的右焦点，点在椭圆上，则的最小值是 ，此时点的坐标为 ． 典例2-2已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 题型模版 1.特征：题干一般给出椭圆或双曲线，分两大类考法：①式子带有系数的焦线段，求距离和、差的最值；②过焦点的弦为直径作圆，判断圆与对应准线的位置关系。核心都需要利用第二定义，把焦点到曲线上点的距离，转化成点到准线的垂线段长度 2.方法：先平面内一个动点M与一个定点F的距离与一条定直线l（点F不在直线l上）的距离比等于一个常数e。当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线。定点叫作左焦点,对应的定直线叫作左准线；定点叫作右焦点,对应的定直线叫作右准线,常数就是椭圆的离心率e.. 变式2-1已知椭圆的右焦点为.点为椭圆上不同的两点，且满足.过线段的中点作椭圆右准线的垂线，垂足为.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 变式2-3过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式2-4（多选）在《用信息技术探究点的轨迹：椭圆》中探究得出椭圆（）上动点到左焦点的距离和动点到直线的距离之比是常数.已知椭圆：，为左焦点，直线：与轴相交于点，过的直线与椭圆相交于，两点（点在轴上方），分别过点，向作垂线，垂足为，，则（    ） A． B． B． 直线与椭圆相切时， D． 题型三、点差法（中点弦问题）的应用 典例3-1 过点的直线与双曲线相交于，两点，且为的中点，则直线的方程为______． 典例3-2 设是椭圆上不关于坐标轴对称的两点，是线段的中点，是坐标原点，若直线与直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为______. 题型模版 1.特征：已知圆锥曲线上两点形成的弦，给出弦中点条件，求直线斜率、直线方程或者曲线离心率；题目会直接给出中点坐标，或是给出中点相关直线的斜率 2.方法：点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆（或双曲线）方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点M(x0，y0)是线段AB的中点，由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，变形得＝－·＝－·，(，)。（1）若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， （2）双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为， （3）设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则 变式3-1已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是______． 变式3-2在双曲线中，过左焦点的直线与双曲线同一支交于不同的两点，，线段的中点为．若直线的斜率为，则直线的一般式方程为___________． 变式3-3过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________. 变式3-4已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为．若直线l与直线PF的斜率之积等于，则C的离心率为______． 变式3-5已知点是离心率为的双曲线上的三点, 直线的斜率分别是点分别是线段的中点,为坐标原点，直线的斜率分别是.若则 ______ 题型四、双曲线焦点三角形内切圆 典例4-1 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上的动点（非顶点），则的内切圆恒过定点（    ）． A． B． C． D． 典例4-2已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若∠，则的内切圆半径为______. 题型模版 1.特征：题目给出双曲线以及焦点三角形，求内切圆圆心横坐标，或者判断内切圆恒过的定点；核心结合双曲线第一定义和切线长定理； 2.方法：①单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上。证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设 的内切圆的圆心I 在三边上的投影分 别为B，E，D因为 由双曲线定义，可知： 又因为，所以，所以。 即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上 ②焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点 证明：设内切圆分别与的三边 F1A，F1B，AB相切于M，N，P，由切线长定理可知， ，设， 则有 故，即，所以P，F2重合 变式4-1已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则 A． B． C． D．与关系不确定 变式4-2P是双曲线右支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为_____. 变式4-3已知双曲线的左、右焦点分别为，为其右支上一点，的内切圆圆心的横坐标为2，过作直线的垂线，垂足为，则______． 变式4-4已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l交右支于A，B两点，，的内切圆心为T，则T的坐标为__________. 题型五、双曲线有关渐近线距离相关结论 典例5-1 若双曲线的焦点到渐近线的距离是4，则的值是 A．2 B． C．1 D．4 典例5-2 已知双曲线上一点到双曲线的两条渐近线的距离的积为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：围绕双曲线渐近线的距离设置条件，分两类：焦点到渐近线的距离、双曲线上任意一点到两条渐近线距离的乘积，用来求参数、实轴长等； 2.方法：①双曲线的焦点到渐近线的距离为常数. ②双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ③双曲线上任意一点到两渐近线的距离乘积为定值 设，， ，又点在曲线上，所以 ，，即 变式5-1设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（   ）． A． B． C． D． 变式5-2已知点为双曲线的一个焦点，则点到双曲线一条渐近线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 变式5-3已知为双曲线上一点，若点到双曲线的两条渐近线距离之积为4，则双曲线的焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-4设为双曲线（，）的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点到其中一条渐近线的距离为，则双曲线的焦距为_______. 变式5-5已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的动点，，，点P到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则＝______． 题型六、圆锥曲线第三定义的应用 典例6 已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为 A．8 B．4 C．2 D．1 题型模版 1.特征：圆锥曲线上有关于原点对称的两个点，曲线上第三个动点分别连接这两个点，求两条连线斜率的相关代数式的值、最值或范围；常以向量条件给出中点信息，识别原点为两点中点是突破口 2.方法：平面内与两个关于原点对称的点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 若是椭圆上的一组对称点，P为双曲线上任意点，则有 若是双曲线上的一组对称点，P为双曲线上任意点，则有 变式6-1椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 变式6-2已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 变式6-3已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，M，N分别为椭圆C的左、右顶点，若在椭圆C上存在一点H，使得kMH·kNH∈，则椭圆C的离心率e的取值范围为(　　) A. B. C. D. 变式6-4已知点，动点满足直线与的斜率之积为. 记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，证明：是直角三角形； 题型七、椭圆与双曲线中焦点弦长与焦半径角参公式的应用 典例7-1 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ． 典例7-2已知椭圆的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A、B两点，则______；若，则=______. 典例7-3已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为 题型模版 1.特征：过圆锥曲线的一个焦点作倾斜角已知的直线，与曲线交于两点，求焦点弦的长度；也可给出焦点弦长反求倾斜角、离心率等，适合小题快速求解 2.方法：椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦 . 2．双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负） 变式7-1已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为 A．4 B． C． D．2 变式7-2已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A、B两点，若，则______. 变式7-3过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 . 变式7-4已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 . 变式7-5过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ． 题型八、抛物线中焦点弦长与焦半径公式相关结论 典例8 已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ． 题型模版 1.特征：抛物线过焦点的弦，给出两段焦半径的向量比例关系，结合准线、垂线构成的图形，利用面积条件求解抛物线基础参数；小题高频，可直接使用焦点弦二级结论快速处理 2.方法：①过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则:,。(焦点在轴上的性质对比给出。) 引伸:在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点。 ,=(定值)。 ②(是直线与焦点所在轴的夹角)=(焦点在轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为)最短。 ③，则有，，(为直线与焦点所在轴的夹角)。 ④面积:，(是直线与焦点所在轴的夹角)。 ⑤以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线。 ⑥以为直径的圆与相切，切点为焦点。 ⑦以焦半径为直径的圆与轴相切。 ⑧三点共线,三点共线。 ⑨(定值)。 ⑩设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于轴的直线和轴交于点，线段是和的比例中项 变式8-1已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 变式8-2抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为 ． 变式8-3（多选题）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 变式8-4（多选）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的任意三点(异于点)，，则下列说法正确的有（ ） A．设，到直线的距离分别为，，则 B． C．若，则 D．若直线，，的斜率分别为，，，则 题型九、焦点弦被焦点分为定比 典例9 已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______. 题型模版 1.特征：圆锥曲线过焦点的弦，焦点把弦分成两段，已知倾斜角求两段长度比值；或者求焦点弦总长的最值；也可由中点横坐标求弦长最值，多空小题为主 2.方法：求（1） 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. （2）设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. 变式9-1已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ） A． B． C． D． 变式9-2设，分别为椭圆的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为 . 变式9-3已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十、极点极线有关结论的应用 典例10已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． （1）求的方程； （2）设过点的直线交于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足．证明：直线过定点 题型模版 1.特征：圆锥曲线大题，第一问求曲线方程；第二问给定定点引出动直线与曲线交于两点，附带中点、向量等几何条件，证明动直线恒过定点。可以用极点极线快速预判定点，也可常规联立方程求解，常用于新高考压轴大题 2.方法：（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线；. 变式10-1已知椭圆E∶，若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 变式10-2设直线与椭圆不相交．过直线上点作椭圆的切线，切点分别 ，连接．当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点． 变式10-3已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，已知直线与相交于点，证明：点在定直线上，并求出定直线的方程． 变式10-4已知椭圆：的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的左、右焦点分别为、,过点作直线交双曲线的右支于、两点,且,则的内切圆半径等于（    ）． A． B． C． D． 4．已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与相交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线分别为其左､右焦点，若点P在双曲线的右支上，且的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为___________. 8．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 9．已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________． 10．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 11．（1）求双曲线在点处的切线方程； （2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程． 12．如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为．    (1)求证：直线的斜率为定值； (2)设焦点到直线的距离为，求的取值范围． 13．已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由. 14．已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． (1)求椭圆方程； (2)求面积的最大值，并求此时直线的方程； (3)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 15．已知椭圆的离心率为，依次连接四个顶点得到的图形的面积为． (1)求椭圆C的方程； (2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，求证：直线过定点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $