第二单元 圆（期中专项训练）数学西南大学版六年级上册（新教材）

第二单元 圆（期中专项训练） 考点梳理 考点一、圆的概念及特点 1. 概念 圆是由一条封闭的曲线围成的平面图形。圆上每一个点到圆心的距离都相等。 2. 圆各部分名称 圆心（O）：圆中心的一点。作用：决定圆的位置； 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。作用：决定圆的大小； 直径（d）：通过圆心，并且两端都在圆上的线段； 3. 半径与直径的关系（同圆或等圆中） 直径长度是半径的 2 倍；半径是直径的一半； 4. 圆的特征 在同一个圆里，有无数条半径，长度都相等；有无数条直径，长度都相等； 圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴是直径所在的直线； 易错点：直径是线段，不能说直径是圆的对称轴。 考点二、画圆 1. 把圆规两脚分开，定好两脚间的距离，这个距离就是半径。 2. 把圆规带有针尖的一只脚固定在一点，这个点就是圆心 O。 3. 握住圆规顶端，旋转带有铅笔的脚一周，就画出一个圆。 4. 要点： 针尖不能移动，否则圆心变，圆位置改变； 圆规两脚距离不能改变，否则半径变化，圆大小改变。 考点三、弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧 圆上A、B 两点之间的部分叫做弧，读作 “弧 AB”。弧是圆上的一段曲线。 2. 圆心角 顶点在圆心，两条边是圆的半径，这样的角叫做圆心角。 判断圆心角 2 个条件：①顶点在圆心；②两条边都是半径。 3. 扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 扇形是圆的一部分； 在同一个圆中：圆心角越大，扇形就越大。 易错：扇形大小由圆心角和半径共同决定。不同的圆，圆心角大，扇形不一定大。 考点四、圆的周长 1. 定义：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率π 圆的周长和它直径的比值是一个固定的数，叫作圆周率，用字母表示为π，读作“派”。 3. 周长公式&公式变形 已知直径：C＝πd； 已知半径：C＝2πr。 公式变形：d＝C÷π；r＝C÷2÷π。 4. 规律：同一个圆，半径（直径）扩大几倍，周长就扩大相同的倍数。 5. 半圆的周长（高频易错！） 半圆周长≠圆周长的一半 含义：半圆的周长 = 圆周长的一半 + 一条直径； 公式：πr+2r。 6. 圆的周长的应用 车轮滚动问题：车轮周长 × 转动圈数 = 行驶路程； 路程 ÷ 周长 = 圈数。 时钟分针、时针：针尖走过的轨迹是圆，分针 1 小时走 1 圈；时针 12 小时走 1 圈。围栏、圆形跑道：求一圈长度就是求周长。 7. 含圆的组合图形的周长 核心思路：沿着图形外围描一圈，把所有外围边长度相加； 关键点：只算外轮廓，内部重合的线段不算！ 常见两类： 跑道形（两头半圆，中间长方形） 周长 = 一个整圆的周长 + 长方形两条长 （长方形的两条宽在内部，不计入周长） 多个圆弧拼接图形：几段弧拼在一起，可以拼成一个整圆 / 半圆，简化计算。 考点五、圆的面积 1. 圆的面积含义 圆所占平面的大小叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导（重点） 把圆平均分成若干偶数份，剪开后拼成一个近似长方形。长方形的长 ≈ 圆周长的一半：长方形的宽 = 圆的半径：r，长方形面积 = 长 × 宽， 所以S＝πr²。 易错点：是r²，不是2r。 公式变形： 已知直径d求面积：S＝（）²π。 面积变化规律：半径扩大n倍，直径、周长扩大n倍；面积扩大n²倍。 3. 圆环的面积 圆环含义： 两个同心圆之间的部分叫做圆环。 外圆半径：R，内圆半径：r，环宽：R－r； 圆环面积公式：圆环面积 = 外圆面积 − 内圆面积，用字母表示为： S＝πR²－πr²。 4. 方中圆、圆中方的面积问题 方中圆（外方内圆：正方形里面画最大的圆） 正方形边长＝2r； 正方形面积：S＝（2r）²＝4r²； 圆面积：S＝πr²； 圆中方（外圆内方：圆里面画最大的正方形） 圆的直径等于正方形的对角线，把正方形沿对角线分成2 个完全一样的三角形： 三角形底 = 直径2r，高 = 半径r 单个三角形面积：×2r×r＝r²； 正方形面积：S＝2×r²＝2r²； 圆面积：S＝πr²。 考点分类练习 考点一、圆的概念及特点 1．下面说法中，正确的是（    ）。 A．在同一个圆里，所有的半径都相等 B．两端都在圆上的线段叫作直径 C．圆的大小由圆心的位置决定 D．半圆没有对称轴 【答案】A 【分析】半径：连接圆心和圆上任意一点的线段。同一个圆内，所有半径长度相等。 直径：两端在圆上，并且经过圆心的线段才叫直径。 圆心：决定圆的位置；半径（直径）决定圆的大小。 对称轴：对折后两边能完全重合的直线。 根据以上概念判断。 【详解】A．同一个圆内所有半径的长度都相等，说法正确。 B．两端都在圆上且经过圆心的线段才叫直径，只两端在圆上，不一定过圆心，不是直径，该选项缺少“经过圆心”的条件，说法错误。 C．圆的大小由半径的长度决定，圆心仅决定圆的位置，说法错误。 D．半圆有1条对称轴，说法错误。 因此，说法正确的是A选项。 2．利用圆形铜镜的残片复原圆形铜镜时，下面说法正确的是（    ）。 A．只需要知道圆形铜镜圆心的位置就能复原 B．只要知道圆形铜镜的半径就能复原 C．必须知道圆形铜镜的圆心和半径才能复原 D．只要知道圆形铜镜的一部分就一定能复原 【答案】C 【分析】圆的位置由圆心决定，大小由半径决定，确定一个完整的圆需要同时具备这两个条件。 【详解】A．只有圆心，没有半径，无法确定圆的大小，不能复原，原说法错误。 B．只有半径，没有圆心，无法确定圆的位置，不能复原，原说法错误。 C．同时知道圆心和半径，就能确定唯一的圆，可以复原，原说法正确。 D．仅知道圆的一部分，无法确定唯一的圆心和半径，不一定能复原，原说法错误。 3．下面各图形中，（    ）一定是轴对称图形。 A．平行四边形 B．梯形 C．圆 D．三角形 【答案】C 【分析】沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形，以此为依据判断各选项。 【详解】A．普通平行四边形对折后无法完全重合，不是轴对称图形； B．只有等腰梯形是轴对称图形，普通梯形不是，因此梯形不一定是轴对称图形； C．圆沿任意一条直径对折，直线两旁的部分都能完全重合，一定是轴对称图形； D．只有等腰三角形、等边三角形等特殊三角形是轴对称图形，普通三角形不是，因此三角形不一定是轴对称图形。 4．在一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）厘米。 A．12 B．15 C．7.5 D．6 【答案】D 【分析】长方形中画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，用直径除以2即可得到半径，对比各选项，选出正确选项。 【详解】（厘米） 5．“汽车轮胎为什么做成圆的？”下面（    ）的解释你比较认同。 A．做成圆的省材料 B．圆周率是个固定不变的数 C．不以规矩，不成方圆 D．圆一中同长 【答案】D 【分析】圆有一个核心特点：有1个圆心，圆心到圆上任意一点的距离（也就是半径）都相等，即“圆一中同长”。把轮胎做成圆形、车轴固定在圆心位置，车子行驶的时候车轴离地面的高度始终不变，坐上去就不会颠簸，这是轮胎做圆的核心原因。 【详解】A．相同使用需求下，圆形轮胎不比其他形状省材料，该解释错误。 B．圆周率是固定不变的数，和轮胎做成圆形的实际作用无关，该解释错误。 C．“不以规矩，不成方圆”是表述做事要遵循规则的俗语，和轮胎选圆形的原理无关，该解释错误。 D．“圆一中同长”指圆的圆心到圆上任意一点的距离都相等，车轴安装在圆心位置，行驶时车轴到地面的距离始终不变，车辆行驶更平稳，是轮胎做成圆形的核心原因，该解释正确。 6．如图，点O是( )，线段OC是( )，线段( )是直径。 【答案】 圆心 半径 AB/BA 【分析】圆心：画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示。 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径。 【详解】点O是画圆时，针尖固定的一点，因此点O是圆心；线段OC连接圆心和圆上一点，因此线段OC是半径；线段AB通过圆心并且两端都在圆上，因此线段AB是直径。 7．车轮采用圆形，是利用圆的( )的性质，井盖采用圆形是利用同一个圆内的( )的性质。 【答案】 半径相等 每条直径长度都相等 【分析】车轮做成圆形：车轮的轴相当于圆心，圆上每个点到圆心距离都等于半径，滚动的时候，圆心到地面距离始终不变，车子行驶平稳。 井盖做成圆形：同一个圆所有直径长度相等。井盖无论怎么转动，井口直径永远等于井盖直径，井盖不会掉进井里。 【详解】根据分析，车轮采用圆形，是利用圆的半径相等的性质，井盖采用圆形是利用同一个圆内的每条直径长度都相等的性质。意思正确即可。 8．剪纸是我国的传统技艺之一。乐乐奶奶在一张长10cm，宽8cm的长方形纸上剪下一个最大的圆用来剪窗花，圆形纸片的半径是( )cm，直径是( )cm。 【答案】 4 8 【分析】长方形中最大圆的直径应等于长方形的宽，半径是直径的一半，由此求出这个圆形纸片的半径和直径。 【详解】圆形纸片的直径是8cm 8÷2＝4（cm） 因此圆形纸片的半径是4cm，直径是8cm。 9．在一张边长为21分米的正方形纸板上，剪出半径是1.5分米的圆，最多可剪( )个。 【答案】49 【分析】一个半径1.5分米的圆，直径为：1.5×2＝3（分米），也就是剪这个圆，至少需要边长3分米的小正方形。 先看大正方形边长21分米，一行能放几个直径3分米的圆，算出每行数量，再算可以排几行，最后相乘得到总个数。 【详解】圆的直径：1.5×2＝3（分米） 大正方形一条边上可以剪出几个圆： 21÷3＝7（个） 说明横向一行最多能剪7个，纵向也最多能剪7个。 大正方形最多可剪总个数：7×7＝49（个） 10．如图，长方形中有两个大小相同的圆，则圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 【答案】 10 5 【分析】如图，长方形的宽为10cm，则圆的直径为10cm，用10除以2算出圆的半径，据此解答。 【详解】由图可知圆的直径为10cm。 10÷2＝5（cm） 故圆的直径是10cm，半径是5cm。 11．全班都以3厘米为半径画圆，画出的圆都能完全重合，其背后的数学道理是( )。 【答案】半径决定圆的大小 【分析】在圆的知识里，圆的大小是由半径决定的，当所有圆的半径都固定为3厘米时，它们的大小、形状没有任何差别，自然能够完全重合。 【详解】根据分析：全班都以3厘米为半径画圆，画出的圆都能完全重合，其背后的数学道理是半径决定圆的大小。 12．图中长方形的面积是( )cm2。 【答案】50 【分析】观察图形，已知大圆的半径为3厘米，小圆的半径为2厘米。长方形的长等于大圆的直径加上小圆的直径，长方形的宽等于大圆的半径加上小圆的半径。继而得到长方形的长和宽，再根据长方形的面积等于长乘宽代入计算即可得解。 【详解】长方形的宽：（厘米） 长方形的长： （厘米） 长方形面积：（平方厘米） 考点二、画圆 13．如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】圆规两脚张开的距离就是圆的半径。从图中可知铜镜的直径是8cm，根据半径＝直径÷2，求出半径，就是圆规两脚张开的距离。 【详解】8÷2＝4（cm） 14．用圆规画一个直径是10cm的圆，圆规两脚间的距离是（    ）cm。 A．1 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】圆规画圆时，两脚之间的距离是所画圆的半径，同一个圆的半径长度是直径的一半，用直径除以2即可得到半径长度。 【详解】（cm） 15．在下图的方格纸中用圆规画一个最大的圆，圆规的针尖落在A点，那么笔尖应打开到（    ）处。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】圆规针尖在A点，A就是圆心，笔尖打开的距离就是圆的半径。要在这个方格里面画最大的圆，圆不能超出方格边界，半径不能超过A点到方格边的距离。 【详解】在正方形内画最大的圆，且已知圆心在正方形的中心点，所以当半径等于正方形的边长一半的时候圆最大，即笔尖在③的位置的时候画的圆最大。 16．在广场上画一个直径是20米的圆，你会选择借助下面的（    ）来完成任务。 A．课堂中用的圆规 B．一个直径是10分米的圆形物体 C．一根1米长的木棍 D．一根10米长一点的绳子 【答案】D 【分析】根据题意，要在广场上画一个直径为20米的圆，圆的半径为20÷2＝10米。画圆的核心是确定圆心和半径，需要借助长度等于半径的工具来操作，据此解答。 【详解】圆的半径.20÷2＝10（米） A．课堂圆规尺寸过小，无法画直径20米的圆； B．直径10分米的圆形物体，只能画直径10分米的圆（10分米＝1米），不符合要求； C．1米长的木棍，只能画半径1米的圆，不符合要求； D．10米长一点的绳子，可作为半径，固定一端为圆心，另一端绕圆心旋转即可画出直径20米的圆。 故答案为：D 17．如图，乐乐用圆规画了一个圆，这个圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【答案】 1 2 【分析】用圆规画圆时，圆规两个脚之间的距离＝所画圆的半径。其中一脚是圆心，另一脚（装铅笔的脚）绕圆心旋转一周画出圆周；根据d ＝ 2r；解答即可。 【详解】1×2＝2（cm） 这个圆的半径是1cm，直径是2cm。 18．淘气根据图中的直尺刻度确定了两个圆规各自的两脚距离，用圆规1画圆，用圆规2画圆。下面说法错误的是（    ）。 A．圆半径是圆半径的2倍 B．圆直径是圆直径的2倍 C．圆周长是圆周长的2倍 D．圆面积是圆面积的2倍 【答案】D 【分析】第一步：从图中提取两个圆的半径信息；圆规的两脚距离就是对应画圆的半径，通过直尺刻度读数：圆规1的两脚分别对齐刻度1cm和2.5cm，因此圆​的半径；圆规2的两脚分别对齐刻度5cm和8cm，因此圆的半径，可得出。 第二步：结合圆的相关公式，逐一验证各选项；回忆圆的直径、周长、面积的计算公式：直径，周长，面积，将代入公式，推导两个圆的对应量的倍数关系，判断每个选项的正误，最终找出错误的说法。 【详解】首先根据直尺刻度确定两个圆的半径：圆的半径，圆的半径,可得以此为基础分析各选项： A．计算结果：，，，该说法正确。 B．根据直径公式：，可得，，该说法正确。 C．根据周长公式：，可得，，该说法正确。 D．根据面积公式：，可得，，​，该说法错误。 19．圆规两脚之间的距离为4cm，那么画出的圆的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 【答案】C 【分析】画圆时，圆规两脚之间的距离是半径，半径×2＝直径。 【详解】4×2＝8（cm） 画出的圆的直径是8cm。 20．你知道如何画出这幅图案吗？试着填一填。 画图步骤： 第一步：画一个大圆，并画两条互相垂直的( )； 第二步：以大圆的半径为小圆的( )，画4个小圆； 第三步：擦去多余的线段，并涂色。 【答案】 直径 直径 【分析】第一步：画一个大圆后，要画两条互相垂直的线。在圆中，直径是通过圆心且两端都在圆上的线段，两条互相垂直的直径可以将圆平均分成四等份，同时对称轴是指使几何图形沿着某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的直线，圆的直径所在的直线就是圆的对称轴，所以这里可以填直径。因为画两条互相垂直的直径能够为后续确定小圆的位置提供基准。 第二步：观察图案可知，4个小圆的大小是由大圆的半径决定的。在圆的性质中，半径决定圆的大小。这里以大圆的半径作为小圆的直径来画4个小圆，才能得到如图所示的图案。因为如果以大圆半径为小圆半径，画出的小圆会过小，不符合图案要求。 第三步：擦去多余的线段，并涂色。 【详解】由分析得： 画图步骤： 第一步：画一个大圆，并画两条互相垂直的直径； 第二步：以大圆的半径为小圆的直径，画4个小圆； 第三步：擦去多余的线段，并涂色。 21．欣赏如图图案，在空白处再画几个你设计的有趣的图案，并与小伙伴交流你的设计方案。 【答案】 【分析】观察题目中的图，都是利用圆为基础设计轴对称图案，设计时可以用圆规画圆，构造轴对称图形。 【详解】答案不唯一，图略。 22．中国古代建筑中经常看到“外方内圆”的设计，请你在下图的正方形中画一个最大的圆，作为框景设计的底图。 【答案】 【分析】确定圆的圆心：因为正方形内最大的圆的圆心与正方形中心重合，所以可通过作正方形两条对角线，交点即为圆心。 确定圆的半径：如果要使圆在正方形内最大，那么圆的直径等于正方形的边长，因此半径为正方形边长的。 绘制圆：以所得圆心为中心，以所求长度为半径，用圆规画圆。 【详解】作图略 23．铜镜是我国古代青铜艺术文化遗产中的瑰宝，工作人员在考古时发现一面龙纹铜镜残片，为了修复这面圆形铜镜，需要画出样稿，请你试一试。 (1)画一画，先找出铜镜的圆心，再将铜镜的轮廓补充完整。注意保留找圆心的痕迹。 (2)写一写，你是怎么找到铜镜的圆心的？简要写出过程。 【答案】(1) (2)连接正方形的另一条对角线，与前一条对角线的交点，即为圆心O。 【分析】（1）题图的残片外刚好有一个正方形，残铜镜的圆弧是这个正方形的左半侧内切圆弧。画出这个正方形的两条对角线，两条对角线的交点就是铜镜的圆心，保留对角线的作图痕迹。以刚才得到的交点为圆心，以正方形边长的一半（也就是残铜镜圆弧到对角线交点的距离）为半径，用圆规画出完整的圆，就把铜镜的圆形轮廓补充完整了。 （2）是利用正方形的性质＋圆的核心特征找到圆心的：观察残片外的正方形，这个正方形的左侧三条边都和残铜镜的圆弧相切/端点对齐，说明这个正方形的边长刚好等于铜镜的直径。根据正方形的性质：正方形的两条对角线互相平分，对角线的交点就是正方形的中心，同时也是这个内切圆的圆心。因此画出正方形的两条对角线，它们的交点就是铜镜的圆心。 【详解】（1）略 （2）略 24．操作。 (1)用圆规画一个直径为6厘米的圆，并标出圆心，半径。 (2)将上一题中圆的半径缩小到原来的，画出新圆，再画出这个图形的两条对称轴。 【答案】(1) (2) 【分析】（）画一个直径厘米的圆，根据圆的半径厘米，求出所画圆的半径。用圆规画圆，有针的一脚不动，确定圆心O的位置；圆规两脚间的距离等于圆的半径厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可画出这个圆，并标出圆心和半径。 （）圆的半径缩小到原来的，即现在的半径为：（厘米），按照刚才的方法画出新圆，圆的对称轴是必须经过圆心的任意直线，再画出两条对称轴即可。 【详解】（1）画图略； （2）画图略； 考点三、弧、圆心角、扇形的认识 25．下面图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 【详解】A．围成涂色部分的两条线段不是半径，故不是扇形； B．围成涂色部分的没有半径，故不是扇形； C．围成涂色部分的两条线段不是半径，故不是扇形； D．围成涂色部分的是一条弧和经过这条弧两端的两条半径，是扇形。 26．下面图（    ）中的涂色部分可能是圆心角为的扇形。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，圆心角为120°的扇形，需要满足两个条件：扇形的顶点必须是圆心，扇形的面积占整个圆的三分之一，因为圆心角占整个圆周角的三分之一，据此逐项分析。 【详解】根据分析可得： A．顶点是圆心，但涂色部分明显小于圆的三分之一，圆心角小于120°，故不符合题意； B． 顶点不是圆心，因此不是圆心角为120°的扇形； C．顶点不是圆心，因此不是圆心角为120°的扇形； D．顶点是圆心，且涂色部分约占圆的三分之一，符合圆心角为120°的扇形特征； 27．三角形绕点逆时针旋转90度，如图，以下说法错误的是（    ）。 A．边旋转的角度与边旋转的角度相同 B．边与组成的角是90度 C．点走过的距离与点走过的距离相等 D．边运动的方向是逆时针 【答案】C 【分析】根据旋转的特性，图形绕某一点按一定方向旋转一定角度时，图形上所有点和线都绕该点按相同方向旋转相同角度，旋转前后对应边的夹角等于图形旋转的角度，对应边长度相等，其他顶点绕A点旋转走过的距离与该点与A点的距离以及转过的角度大小有关。 【详解】A．整个三角形绕点A逆时针转90度，AB、AC都是从旋转中心A出发的边，旋转角度都是90度，二者角度相同，说法正确。 B．AC绕点A逆时针转90度得到AC'，所以AC和AC'的夹角就是旋转角90度，说法正确。 C．点B和点C都是绕A点做圆周运动，走过的是90度的圆弧，但从图里能看出AB和AC长度不一样，圆的半径不同，所以两段圆弧的长度不相等，这个说法错误。 D．整个三角形是绕A逆时针旋转，BC边作为三角形的一部分，运动方向也是逆时针，说法正确。 28．日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】周角为，圆盘被平均分成12个大小相等的扇形，求每个扇形对应的圆心角度数用除法计算。 【详解】 29．如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（    ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 【答案】C 【分析】圆心走过的路径长度分成4段，首先圆心走过线段AB，然后圆心从B点的正上方到B点的正右方，走过半径是2cm的圆周长的（圆周长＝2πr），再走过一段（BC－2）距离，最后圆心到D点，经过（DC－2）距离。 【详解】8＋×2π×2＋（8－2）＋（8－2） ＝8＋π＋6＋6 ＝（20＋π）cm 圆心走过的路径长度是（20＋π）cm。 30．从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是( )°，半径是( )cm。 【答案】 90 8 【分析】 如上图，从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，则这个扇形的半径等于正方形的边长，且扇形的圆心角等于正方形的一个内角的度数，即90°。 【详解】从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是90°，半径是8cm。 31．以半圆为弧的扇形的圆心角为( )°，以圆为弧的扇形的圆心角为( )°，以圆为弧的扇形的圆心角为( )°。 【答案】 180 90 【分析】因为整个圆心角的度数是360°，所以以半圆为弧的扇形的圆心角是360°的一半，圆为弧的扇形的圆心角是360°×＝90°，以圆为弧的扇形的圆心角为；据此解答。 【详解】360×＝180° 360×＝90° 360×＝ 【点睛】可以将整个圆的度数360°看作单位“1”，求它的一半的度数就乘，求它的的度数就乘，以此类推，则求以圆为弧的扇形的圆心角的度数就是。 32．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第______步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 【答案】八 【分析】观察图形可知，第一步，弧所在扇形的半径是1厘米；第二步，弧所在扇形的半径是1厘米；第三步，弧所在扇形的半径是1＋1＝2厘米；第四步，弧所在扇形的半径是1＋2＝3厘米；第五步，弧所在扇形的半径是2＋3＝5厘米……以此类推，从第三步开始，弧所在扇形的半径依次是前两步中弧所在扇形的半径之和，据此解答。 【详解】分析可知： 第一步：1厘米 第二步：1厘米 第三步：1＋1＝2（厘米） 第四步：1＋2＝3（厘米） 第五步：2＋3＝5（厘米） 第六步：3＋5＝8（厘米） 第七步：5＋8＝13（厘米） 第八步：13＋8＝21（厘米） 所以，第八步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 考点四、圆的周长 33．量得一块圆形玻璃的周长是125.6厘米，如果要用一个长方体盒子包装这块玻璃，那么这个长方体盒子的底面至少是边长（    ）厘米的正方形。 A．20 B．31.4 C．40 D．60 【答案】C 【分析】要让圆形玻璃刚好能放进长方体盒子，底面正方形的边长至少等于圆形玻璃的直径，已知圆的周长，用求出圆的直径即可得到正方形的最小边长。 【详解】（厘米） 34．“湾区之光”摩天轮是深圳最高的摩天轮。它的直径约110米，大约每隔12.3米设有一个座舱，这个摩天轮一共有（    ）个座舱。 A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】C 【分析】摩天轮是圆形封闭结构，座舱数量等于周长上的间隔数，先用计算摩天轮周长，再除以相邻座舱的间隔距离就能得到座舱总数。 【详解】摩天轮周长：（米） 座舱数量：（个） 35．如图，从甲地到乙地，A、B两条路线的长度相比，（    ）。 A．A长一些 B．B长一些 C．一样长 D．无法比较 【答案】C 【分析】由图知道，小圆的直径是大圆的半径，A路线的长度就是小圆的周长，B路线的长度就是大圆周长的一半；利用圆的周长公式C＝2πr或πd分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可。 【详解】设小圆的直径为d，则大圆的半径为d，A路线的长度为：πd，B路线的长度为：2πd÷2＝πd；所以A、B两条路的长度一样长。 36．小明和小红用纸芯做笔筒，他们的打捆方式如下图所示（打结处不计）。若纸芯的直径为d（厚度忽略不计），那么小明的捆法所用绳子的长度比小红的（    ）。 A．多1d B．多2d C．少1d D．少2d 【答案】B 【分析】观察图形可知，小明的捆法需要的彩绳长度为6个直径的长度d加一个圆的周长，小红的捆法需要的彩绳长度为4个直径加一个圆的周长，根据圆的周长＝πd即可列式作差即可。 【详解】（6d＋πd）－（4d＋πd） ＝6d－4d ＝2d 即小明的捆法所用绳子的长度比小红的多2d。 37．如图，如果圆的直径是2厘米，阴影部分的周长是（    ）厘米。 A．3.14 B．6.28 C．11.28 D．14.28 【答案】D 【分析】由题中图可知，阴影部分的周长是圆的周长加正方形周长，正方形边长是圆的直径，由此计算。（） 【详解】圆的周长：（厘米） 正方形的周长：4×2＝8（厘米） 阴影部分的周长：6.28＋8＝14.28（厘米） 38．填表。（π取3.14） 圆A 圆B 半径 3cm __________ 直径 __________ 10m 周长 __________ __________ 【答案】5m； 6cm； 18.84cm；31.4m 【分析】直径和半径的关系：（直径半径），（半径直径）； 周长公式：或； 计算圆A的对应值：已知半径是3cm，代入，算出直径；再代入，算出周长。 计算圆B的对应值：已知直径是10m，代入，算出半径；再代入，算出周长。 【详解】圆A中： 直径：，周长： 圆B中： ，周长： 39．圆的直径扩大到原来的3倍，周长就扩大到原来的( )倍；圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的( )。 【答案】 【分析】根据圆的周长公式C＝πd＝2πr可知：圆的半径扩大到原来的n倍，圆的周长就扩大到原来的n倍，反过来圆的周长扩大到原来的n倍，圆的半径（或直径）就扩大原来的n倍即可求解，反之亦可。 【详解】圆的直径扩大到原来的3倍，周长就扩大到原来的3倍；圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的。 40．把一个周长为25.12dm的圆形纸片平均分成两份，每个半圆的周长是( )dm。 【答案】20.56 【分析】先根据圆的周长公式，结合已知的整圆周长，求出圆的直径。半圆的周长是圆周长的一半加上圆的直径，先计算圆周长的一半，将圆周长的一半与直径相加，得到半圆的周长。 【详解】直径： 半圆的周长： 41．在长16厘米、宽12厘米的长方形里画一个最大的半圆，则半圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【答案】 8 41.12 【分析】当半圆的直径是16厘米的时候，半径是16÷2＝8厘米，8＜12，可以画一个最大的半圆，根据半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数代入即可求解。 【详解】16÷2＝8（厘米）； 3.14×8＋2×8 ＝25.12＋16 ＝41.12（厘米） 42．把一些同样大小的圆木用铁丝捆扎起来做成木筏（接头处忽略不计），横截面如图。已知每根圆木横截面的直径都是2分米。请根据如图完成下面表格。 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） … … 【答案】 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） 10.28分米 14.28分米 18.28分米 … 42.28分米 … （4n＋2.28）分米 【分析】知识点：圆的周长公式C＝πd，已知直径d＝2分米。铁丝由两部分组成：两头弯曲的圆弧：不管捆2根、3根还是更多圆木，左右两端圆弧拼在一起，正好合成1个完整圆的周长。上下两段直的铁丝：每多增加1根圆木，上下一共多出2条直径的长度。 2根圆木：直段有2条直径；3根圆木：直段有4条直径；4根圆木：直段有6条直径。n根圆木，直段总长度＝2×（n－1）×d；铁丝总长度＝1个圆的周长＋直段铁丝长度；3.14×2＝6.28（分米），总长度公式：6.28＋2×（n－1）×2＝6.28＋4（n－1）。 【详解】（1）2根木头 6.28＋4×（2－1） ＝6.28＋4 ＝10.28（分米） （2）3根木头 6.28＋4×（3－1） ＝6.28＋8 ＝14.28（分米） （3）4根木头 6.28＋4×（4－1） ＝6.28＋12 ＝18.28（分米） （4）10根木头 6.28＋4×（10－1） ＝6.28＋36 ＝42.28（分米） （5）n根木头 6.28＋4（n－1）＝（4n＋2.28）分米 43．一个圆的半径由6厘米增加到8厘米，圆的周长增加了多少厘米？ 【答案】12.56厘米 【分析】根据圆的周长＝，分别计算半径变化前后的周长，再求差即可得到增加的长度。 【详解】 ＝50.24－37.68 （厘米） 答：圆的周长增加了12.56厘米 44．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，波纹以每秒1m的速度匀速向四周扩散。水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是多少米？ 【答案】18.84米 【分析】先根据波纹的扩散速度和扩散时间求出第三秒后圆的半径，再利用圆的周长＝计算周长。 【详解】（米） （米） 答：水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是18.84米。 45．公园里面有一个圆形水池，半径是20米。现在要在它的边缘围上一圈防护栏，需要多长的防护栏？ 【答案】125.6米 【分析】防护栏的长度就是圆形水池的周长，已知圆的半径，用圆的周长等于计算即可。 【详解】圆的周长公式：（取3.14） （米） 答：需要125.6米长的防护栏。 46．一条隧道的入口呈半圆形，其周长是17.99米，如下图所示。一辆汽车装满货物后高4米，此时它能否通过这条隧道？ 【答案】不能 【分析】由圆的周长公式C＝2πr可知，半圆形隧道口的周长为直径加圆周长的一半：圆周长的一半为2×3.14×r÷2＝3.14r，直径为2r，因此半圆形周长可表示为3.14r＋2r＝5.14r。结合半圆形隧道口的周长为17.99米，可得等式：5.14r＝17.99，计算得隧道口的半径为r＝3.5米，即隧道的最大高度为3.5米，据此比较隧道口的半径和汽车的高进行解答。 【详解】2×3.14×r÷2＝3.14r 3.14r＋2r＝5.14r 17.99÷5.14＝3.5（米） 3.5＜4 答：不能通过，该半圆形隧道的最大高度为3.5米，小于汽车的高度4米。 47．福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 【答案】30米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr，可推出r＝C÷π÷2，计算即可。 【详解】 ＝60÷2 ＝30（米） 答：这栋土楼的底面半径是30米。 48．超市计划将3桶薯片用丝带捆扎在一起出售，店员们想出了两种包装方法。如果每个薯片桶的底面直径是8厘米，那么用哪种捆扎方法更节省丝带？请计算并说明理由。（接口处忽略不计） 【答案】方法二； 理由：方法一需用丝带长度：3.14×8＋8×4＝57.12（厘米），方法二需用丝带长度：3.14×8＋8×3＝49.12（厘米），49.12＜57.12，所以方法二更节省丝带。 【分析】方法一：左右两个半圆合起来是一个圆，所需丝带的长度＝圆的周长＋4条直径； 方法二：3个阴影扇形合起来是一个圆，所需丝带的长度＝圆的周长＋3条直径； 根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求出两种捆扎方法所需丝带长度，再比较，得出哪种捆扎方法更节省丝带。 【详解】方法一： 3.14×8＋8×4 ＝25.12＋32 ＝57.12（厘米） 方法二： 3.14×8＋8×3 ＝25.12＋24 ＝49.12（厘米） 比较：49.12＜57.12   答：方法二更节省丝带。 考点五、圆的面积 49．下面四个圆中，面积最大的是（    ）。 A．直径是8.4cm B．半径是4.8cm C．周长是31.4cm D．面积是50.24cm2 【答案】C 【分析】圆的面积随半径增大而增大，只需计算出每个选项对应的圆的半径，比较半径大小即可判断面积大小。 【详解】A．半径：（cm） B．半径：（cm） C．半径： （cm） D．，因为，所以半径为cm； ，面积最大的是C。 50．在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 【答案】A 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，由直径求出圆的半径，再根据圆的面积公式：计算即可。 【详解】圆的半径：（厘米） 圆的面积： （平方厘米） 51．如图，阴影部分的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】阴影部分的面积等于半径为R的圆的面积减去半径为r的圆的面积，再根据圆的面积等于列式即可。 【详解】大圆面积： 小圆面积： 阴影部分的面积: 52．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如图，外面正方形窗棂的周长是24dm，那么该正方形中最大圆的面积是（    ）。 A．12.15dm2 B．18.84dm2 C．28.26dm2 D．37.68dm2 【答案】C 【分析】已知正方形周长，根据正方形周长公式，可以求出正方形的边长。因为正方形内最大圆的直径和正方形的边长相等，所以由正方形边长可得到圆的直径，进而求出圆的半径。已知圆的半径，根据圆的面积公式，即可计算出圆的面积。 【详解】正方形的边长：24÷4＝6（dm） 正方形里最大的圆，直径刚好和正方形的边长相等，所以这个圆的直径是6dm。 圆的半径：6÷2＝3（dm） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 53．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 【答案】C 【分析】圆的面积＝，圆的面积÷，计算出圆的半径。如果要从纸片里剪出一个圆形纸片，则纸片的短边不小于圆的直径，据此分析。 【详解】50.24÷3.14＝16，4×4＝16 所以面积是50.24平方厘米的圆形纸片，它的半径是4厘米，直径是8厘米。 A．6＜8，长是8厘米，宽是6厘米的长方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； B．4＜8，边长是4厘米的正方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； C．8＝8，长是9厘米，宽是8厘米的长方形，可以剪出一个直径8厘米的圆形； D．28÷4＝7，周长是28厘米的正方形，它的边长是7厘米，7＜8，无法剪出一个直径8厘米的圆形。 54．一只挂钟的分针长9cm，从2时到3时，分针针尖所走过的路程是( )cm，它扫过的面积是( )。 【答案】 56.52 254.34 【分析】从2时到3时经过1小时，分针走一圈，分针的长度是圆的半径。用算出分针针尖所走过的路程，用算出分针扫过的面积。 【详解】 （cm） （cm2） 55．用15.42dm的铁丝围成一个半圆，这个半圆的直径是( )dm，面积是( )dm2。 【答案】 6 14.13 【分析】半圆周长＝πr＋2r，据此可算出半圆的半径，直径＝半径×2，半圆的面积＝πr²÷2。 【详解】πr＋2r＝3.14r＋2r＝5.14r＝15.42 r＝15.42÷5.14 ＝3（dm） 直径＝3×2＝6（dm） 面积＝πr²÷2 ＝3.14×3²÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（dm²） 56．圆的面积和长方形的面积相等，圆的半径和长方形的宽都是6cm，这个长方形的长是( )cm。 【答案】18.84 【分析】已知圆的半径是6cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，也就是长方形的面积；再根据长方形的长＝面积÷宽，求出长方形的长。 【详解】圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 长方形的长：113.04÷6＝18.84（cm） 57．过春节贴“福”是我国民间习俗。下面两幅贴在门上的“福”字中，圆的直径都是12cm，则第一幅图中正方形的面积是( )cm2，第二幅图中正方形的面积是( )cm2。 【答案】 144 72 【分析】观察图形，第一幅图中的正方形的边长刚好是圆的直径12cm，正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式计算即可； 第二幅图中的正方形的对角线刚好是圆的直径12cm，正方形的面积＝对角线×对角线÷2，把数据代入公式计算即可。 【详解】第一幅图中正方形的面积： 12×12＝144（cm2） 第二幅图中正方形的面积： 12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（cm2） 58．圆，是中国文化的一个重要精神符号，圆形餐桌象征团团圆圆、和谐美好。 (1)制作一张直径为2米的餐桌，桌面是( )平方米。 (2)如果在这张餐桌的中央放一个半径为0.5米的圆形转盘，剩余的地方摆餐具，摆餐具的地方是( )平方米。 【答案】(1)3.14 (2)2.355 【分析】（1）已知圆的直径为2米，则半径为1米，根据圆的面积，代入数据计算即可； （2）摆餐具的地方的面积桌面的面积圆形转盘的面积，桌面的面积已求，转盘的半径为0.5米，圆的面积，求出转盘的面积，代入数据计算即可。 【详解】（1） （平方米） （2） （平方米） 59．一个圆形杯垫半径是3厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 【答案】28.26平方厘米 【分析】已知圆形杯垫的半径，求它的面积，运用圆的面积公式，代入数值计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：这个杯垫的面积是28.26平方厘米。 60．张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 【答案】14.13平方米 【分析】因为养鸡场是半圆形，面积为对应整圆面积的一半，所以首先需要确定该半圆对应的整圆的半径。已知半圆的直径是6米，用直径除以2计算出圆的半径。利用圆的面积公式，计算出对应整圆的面积，再将整圆面积除以2，即可得到半圆形养鸡场的面积。 【详解】 ＝3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方米） 答：这个养鸡场的面积是14.13平方米。 61．工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？ 【答案】30.96平方分米 【分析】将一块正方形木板裁成一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长。先根据正方形边长＝周长÷4，求出边长，也就是正方形内最大圆的直径，进而求出圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这个圆的面积；最后用正方形的面积减去圆的面积，即是裁去部分的面积。 【详解】正方形的边长：48÷4＝12（分米） 圆的半径：12÷2＝6（分米） 正方形的面积：12×12＝144（平方分米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 裁去部分的面积： 144－113.04＝30.96（平方分米） 答：裁去部分的面积是30.96平方分米。 62．锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 【答案】买大锅盔合算。 16÷8＝2（个），3.14×（16÷2）2×2＝401.92（平方厘米） 16÷4＝4（个），3.14×（8÷2）2×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96，同样16元，买大锅盔得到的总面积更大，所以买大锅盔合算。 【分析】锅盔厚度一样，比较合不合算要看总面积。先用直径除以2分别求出大、小锅盔的半径，根据圆面积公式S＝πr2求出单个锅盔面积；用总钱数÷每个锅盔的单价，求出能够购买的数量；再用单个面积×购买数量，得到买到的总面积，最后比较总面积，面积大的更合算。 【详解】大锅盔半径：16÷2＝8（厘米） 单个大锅盔面积：3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方厘米） 可买大锅盔数量：16÷8＝2（个） 买大锅盔的总面积：200.96×2＝401.92（平方厘米） 小锅盔半径：8÷2＝4（厘米） 单个小锅盔面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 可买小锅盔数量：16÷4＝4（个） 买小锅盔的总面积：50.24×4＝200.96（平方厘米） 401.92＞200.96 答：买大锅盔合算，同样花16元，买到大锅盔的总面积更大。 63．读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)B (2)113.04平方分米 【分析】（1）观察图形可知，桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积，桌布是直径20分米的大圆，圆桌是半径为8分米的小圆，所以桌布下垂部分的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，对比图形A、B、C，只有图形B的阴影部分的面积是两个圆的面积之差，据此解答。 （2）已知圆桌的半径是8分米即小圆半径r＝8分米，圆形桌布的直径20分米，即大圆半径R＝10分米；求桌布下垂部分的面积，也就是求两个圆的面积之差，即圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，求出桌布下垂部分的面积。 【详解】（1）桌布下垂部分的面积＝桌布的面积－圆桌的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形A的阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积 图形B的阴影部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积 图形C的阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积 所以求桌布下垂部分的面积，相当于求上面B图形中阴影部分的面积。 （2）20÷2＝10（分米） 3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 答：桌布下垂部分的面积是113.04平方分米。 64．面塑作为一种独特的民间工艺品具有极高的艺术价值和文化内涵。某小学开展了“面塑进校园，非遗共传承”活动。张老师在面塑小组活动时用面塑造了一座亭台楼阁，楼阁的窗户外圆内方（如图），圆内正方形窗棂的边长为4厘米，整扇圆形窗户的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】圆内正方形的对角线是圆的直径，把正方形沿其中一条对角线分成两个完全一样的等腰直角三角形，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径；正方形的面积＝一个等腰直角三角形的面积×2，根据正方形的面积＝边长×边长，等腰直角三角形的面积＝圆的直径×半径÷2，求出r2；根据圆的面积公式S＝πr2，将r2整体代入解答。 【详解】4×4＝16（平方厘米） 2r×r÷2×2＝2r2 2r2＝16 r2＝16÷2＝8 3.14×8＝25.12（平方厘米） 答：整扇圆形窗户的面积是25.12平方厘米。 65．2025年城市智慧停车系统升级，某超市新增圆形智能车位（如图），车位为圆形，内部规划了一块正方形防滑停车区，已知该圆形车位的直径为6米，请计算这块正方形防滑停车区的实际面积是多少平方米？ 【答案】18平方米 【分析】正方形的四个顶点都在圆上，它的对角线长度等于圆的直径。把正方形沿一条对角线分成两个完全相同的三角形，三角形的底是正方形的对角线，高是圆的半径，用“底×高÷2”算得一个三角形面积，即正方形面积的一半，得数乘2可算得正方形的面积。 【详解】（米） （平方米） （平方米） 答：这块正方形防滑停车区的实际面积是18平方米。 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆（期中专项训练） 考点梳理 考点一、圆的概念及特点 1. 概念 圆是由 的平面图形。圆上每一个点到圆心的距离 。 2. 圆各部分名称 圆心（O）：圆中心的一点。作用：决定 ； 半径（r）：连接圆心和圆上任意一点的线段。作用：决定 ； 直径（d）：通过圆心，并且两端都在 ； 3. 半径与直径的关系（同圆或等圆中） 直径长度是半径的 ；半径是直径的 ； 4. 圆的特征 在同一个圆里，有 半径，长度都 ；有 直径，长度都 ； 圆是 ，有 对称轴，对称轴是 ； 易错点：直径是 ，不能说直径是圆的对称轴。 考点二、画圆 1. 把圆规两脚分开，定好 的距离，这个距离就是半径。 2. 把圆规 的一只脚固定在一点，这个点就是圆心 O。 3. 握住圆规 ，旋转带有铅笔的脚一周，就画出一个圆。 4. 要点： 针尖不能移动，否则圆心变，圆位置改变； 圆规两脚距离不能改变，否则半径变化，圆大小改变。 考点三、弧、圆心角、扇形的认识 1. 弧 圆上 的部分叫做弧，读作 “ ”。弧是圆上的一段 。 2. 圆心角 顶点在 ，两条边是 ，这样的角叫做圆心角。 判断圆心角 2 个条件：①顶点在 ；②两条边都是 。 3. 扇形 叫做扇形。 扇形是圆的一部分； 在同一个圆中： 越大，扇形就越大。 易错：扇形大小由 和 共同决定。不同的圆，圆心角 ，扇形 。 考点四、圆的周长 1. 定义： 叫做圆的周长，用字母C表示。 2. 圆周率π 是一个固定的数，叫作圆周率，用字母表示为 ，读作“ ”。 3. 周长公式&公式变形 已知直径：C＝ ； 已知半径：C＝ 。 公式变形：d＝ ；r＝ 。 4. 规律：同一个圆，半径（直径）扩大 ，周长就扩大 。 5. 半圆的周长（高频易错！） 半圆周长≠圆周长的一半 含义：半圆的周长 = ； 公式： 。 6. 圆的周长的应用 车轮滚动问题： = 行驶路程； = 圈数。 时钟分针、时针：针尖走过的轨迹是 ，分针 1 小时走 1 圈；时针 12 小时走 1 圈。围栏、圆形跑道：求一圈长度就是求周长。 7. 含圆的组合图形的周长 核心思路：沿着图形外围描一圈，把所有外围边长度相加； 关键点：只算外轮廓，内部重合的线段不算！ 常见两类： 跑道形（两头半圆，中间长方形） 周长 = （长方形的两条宽在内部，不计入周长） 多个圆弧拼接图形：几段弧拼在一起，可以 ，简化计算。 考点五、圆的面积 1. 圆的面积含义 圆 叫做圆的面积，用字母S表示。 2. 面积公式推导（重点） 把圆平均分成若干偶数份，剪开后拼成一个近似长方形。长方形的长 ≈ ：长方形的宽 = ：r，长方形面积 = ， 所以S＝ 。 易错点：是r²，不是2r。 公式变形： 已知直径d求面积：S＝ 。 面积变化规律：半径扩大 ，直径、周长扩大 ；面积扩大 。 3. 圆环的面积 圆环含义： 两个 的部分叫做圆环。 外圆半径：R，内圆半径：r，环宽：R－r； 圆环面积公式：圆环面积 = ，用字母表示为： S＝ 。 4. 方中圆、圆中方的面积问题 方中圆（外方内圆：正方形里面画最大的圆） 正方形边长＝2r； 正方形面积：S＝ ＝ ； 圆面积：S＝ ； 圆中方（外圆内方：圆里面画最大的正方形） 圆的直径等于正方形的对角线，把正方形沿对角线分成2 个完全一样的三角形： 三角形底 = 直径2r，高 = 半径r 单个三角形面积：×2r×r＝ ； 正方形面积：S＝2×r²＝ ； 圆面积：S＝ 。 考点分类练习 考点一、圆的概念及特点 1．下面说法中，正确的是（    ）。 A．在同一个圆里，所有的半径都相等 B．两端都在圆上的线段叫作直径 C．圆的大小由圆心的位置决定 D．半圆没有对称轴 2．利用圆形铜镜的残片复原圆形铜镜时，下面说法正确的是（    ）。 A．只需要知道圆形铜镜圆心的位置就能复原 B．只要知道圆形铜镜的半径就能复原 C．必须知道圆形铜镜的圆心和半径才能复原 D．只要知道圆形铜镜的一部分就一定能复原 3．下面各图形中，（    ）一定是轴对称图形。 A．平行四边形 B．梯形 C．圆 D．三角形 4．在一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，圆的半径是（    ）厘米。 A．12 B．15 C．7.5 D．6 5．“汽车轮胎为什么做成圆的？”下面（    ）的解释你比较认同。 A．做成圆的省材料 B．圆周率是个固定不变的数 C．不以规矩，不成方圆 D．圆一中同长 6．如图，点O是( )，线段OC是( )，线段( )是直径。 7．车轮采用圆形，是利用圆的( )的性质，井盖采用圆形是利用同一个圆内的( )的性质。 8．剪纸是我国的传统技艺之一。乐乐奶奶在一张长10cm，宽8cm的长方形纸上剪下一个最大的圆用来剪窗花，圆形纸片的半径是( )cm，直径是( )cm。 9．在一张边长为21分米的正方形纸板上，剪出半径是1.5分米的圆，最多可剪( )个。 10．如图，长方形中有两个大小相同的圆，则圆的直径是( )cm，半径是( )cm。 11．全班都以3厘米为半径画圆，画出的圆都能完全重合，其背后的数学道理是( )。 12．图中长方形的面积是( )cm2。 考点二、画圆 13．如图是一面圆形铜镜残片。如果想画一个和铜镜大小一样的圆，圆规两脚之间张开的距离是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．16 14．用圆规画一个直径是10cm的圆，圆规两脚间的距离是（    ）cm。 A．1 B．5 C．10 D．20 15．在下图的方格纸中用圆规画一个最大的圆，圆规的针尖落在A点，那么笔尖应打开到（    ）处。 A．① B．② C．③ D．④ 16．在广场上画一个直径是20米的圆，你会选择借助下面的（    ）来完成任务。 A．课堂中用的圆规 B．一个直径是10分米的圆形物体 C．一根1米长的木棍 D．一根10米长一点的绳子 17．如图，乐乐用圆规画了一个圆，这个圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 18．淘气根据图中的直尺刻度确定了两个圆规各自的两脚距离，用圆规1画圆，用圆规2画圆。下面说法错误的是（    ）。 A．圆半径是圆半径的2倍 B．圆直径是圆直径的2倍 C．圆周长是圆周长的2倍 D．圆面积是圆面积的2倍 19．圆规两脚之间的距离为4cm，那么画出的圆的直径是（    ）cm。 A．2 B．4 C．8 D．12.56 20．你知道如何画出这幅图案吗？试着填一填。 画图步骤： 第一步：画一个大圆，并画两条互相垂直的( )； 第二步：以大圆的半径为小圆的( )，画4个小圆； 第三步：擦去多余的线段，并涂色。 21．欣赏如图图案，在空白处再画几个你设计的有趣的图案，并与小伙伴交流你的设计方案。 22．中国古代建筑中经常看到“外方内圆”的设计，请你在下图的正方形中画一个最大的圆，作为框景设计的底图。 23．铜镜是我国古代青铜艺术文化遗产中的瑰宝，工作人员在考古时发现一面龙纹铜镜残片，为了修复这面圆形铜镜，需要画出样稿，请你试一试。 (1)画一画，先找出铜镜的圆心，再将铜镜的轮廓补充完整。注意保留找圆心的痕迹。 (2)写一写，你是怎么找到铜镜的圆心的？简要写出过程。 24．操作。 (1)用圆规画一个直径为6厘米的圆，并标出圆心，半径。 (2)将上一题中圆的半径缩小到原来的，画出新圆，再画出这个图形的两条对称轴。 考点三、弧、圆心角、扇形的认识 25．下面图形中，涂色部分是扇形的是（    ）。 A． B． C． D． 26．下面图（    ）中的涂色部分可能是圆心角为的扇形。 A． B． C． D． 27．三角形绕点逆时针旋转90度，如图，以下说法错误的是（    ）。 A．边旋转的角度与边旋转的角度相同 B．边与组成的角是90度 C．点走过的距离与点走过的距离相等 D．边运动的方向是逆时针 28．日晷是古代人民利用日影制作的计时仪器，由铜制的指针和石制的圆盘组成。圆盘被等分为12个扇形，分别对应子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二时辰。每个时辰的扇形对应的圆心角的度数为（    ）。 A．10° B．15° C．30° D．45° 29．如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（    ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 30．从一张边长为8cm的正方形纸上剪下一个最大的扇形，这个扇形的圆心角是( )°，半径是( )cm。 31．以半圆为弧的扇形的圆心角为( )°，以圆为弧的扇形的圆心角为( )°，以圆为弧的扇形的圆心角为( )°。 32．“黄金螺旋线”是一种优美的曲线，它是由长度不一、但圆心角都是90°的弧组成的。如图是彤彤尝试画它的步骤，第一步中弧所在扇形的半径是1厘米，第二步中弧所在扇形的半径是1厘米，第三步中弧所在扇形的半径是2厘米，按照这样的方法继续画下去，第( )步中的弧所在扇形的半径是21厘米。 考点四、圆的周长 33．量得一块圆形玻璃的周长是125.6厘米，如果要用一个长方体盒子包装这块玻璃，那么这个长方体盒子的底面至少是边长（    ）厘米的正方形。 A．20 B．31.4 C．40 D．60 34．“湾区之光”摩天轮是深圳最高的摩天轮。它的直径约110米，大约每隔12.3米设有一个座舱，这个摩天轮一共有（    ）个座舱。 A．16 B．24 C．28 D．32 35．如图，从甲地到乙地，A、B两条路线的长度相比，（    ）。 A．A长一些 B．B长一些 C．一样长 D．无法比较 36．小明和小红用纸芯做笔筒，他们的打捆方式如下图所示（打结处不计）。若纸芯的直径为d（厚度忽略不计），那么小明的捆法所用绳子的长度比小红的（    ）。 A．多1d B．多2d C．少1d D．少2d 37．如图，如果圆的直径是2厘米，阴影部分的周长是（    ）厘米。 A．3.14 B．6.28 C．11.28 D．14.28 38．（π取3.14） 圆A 圆B 半径 3cm __________ 直径 __________ 10m 周长 __________ __________ 39．圆的直径扩大到原来的3倍，周长就扩大到原来的( )倍；圆的周长缩小到原来的，半径就缩小到原来的( )。 40．把一个周长为25.12dm的圆形纸片平均分成两份，每个半圆的周长是( )dm。 41．在长16厘米、宽12厘米的长方形里画一个最大的半圆，则半圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 42．把一些同样大小的圆木用铁丝捆扎起来做成木筏（接头处忽略不计），横截面如图。已知每根圆木横截面的直径都是2分米。请根据如图完成下面表格。 木头根数 2 3 4 … 10 … n 铁丝长度（分米） … … 43．一个圆的半径由6厘米增加到8厘米，圆的周长增加了多少厘米？ 44．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，波纹以每秒1m的速度匀速向四周扩散。水滴滴入水中的第一个波纹第三秒扩散后形成的圆的周长是多少米？ 45．公园里面有一个圆形水池，半径是20米。现在要在它的边缘围上一圈防护栏，需要多长的防护栏？ 46．一条隧道的入口呈半圆形，其周长是17.99米，如下图所示。一辆汽车装满货物后高4米，此时它能否通过这条隧道？ 47．福建土楼是中国福建省传统民居建筑。假期里，龙龙一家到土楼旅游，龙龙绕圆形土楼走一周，大约走了188.4米，这栋土楼的底面半径是多少米？ 48．超市计划将3桶薯片用丝带捆扎在一起出售，店员们想出了两种包装方法。如果每个薯片桶的底面直径是8厘米，那么用哪种捆扎方法更节省丝带？请计算并说明理由。（接口处忽略不计） 考点五、圆的面积 49．下面四个圆中，面积最大的是（    ）。 A．直径是8.4cm B．半径是4.8cm C．周长是31.4cm D．面积是50.24cm2 50．在一块长8厘米、宽4厘米的储能电池金属底板上画最大圆形散热片，这个散热片的面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．28.26 C．6.28 D．无法确定 51．如图，阴影部分的面积是（    ）。 A． B． C． D． 52．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计。如图，外面正方形窗棂的周长是24dm，那么该正方形中最大圆的面积是（    ）。 A．12.15dm2 B．18.84dm2 C．28.26dm2 D．37.68dm2 53．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 54．一只挂钟的分针长9cm，从2时到3时，分针针尖所走过的路程是( )cm，它扫过的面积是( )。 55．用15.42dm的铁丝围成一个半圆，这个半圆的直径是( )dm，面积是( )dm2。 56．圆的面积和长方形的面积相等，圆的半径和长方形的宽都是6cm，这个长方形的长是( )cm。 57．过春节贴“福”是我国民间习俗。下面两幅贴在门上的“福”字中，圆的直径都是12cm，则第一幅图中正方形的面积是( )cm2，第二幅图中正方形的面积是( )cm2。 58．圆，是中国文化的一个重要精神符号，圆形餐桌象征团团圆圆、和谐美好。 (1)制作一张直径为2米的餐桌，桌面是( )平方米。 (2)如果在这张餐桌的中央放一个半径为0.5米的圆形转盘，剩余的地方摆餐具，摆餐具的地方是( )平方米。 59．一个圆形杯垫半径是3厘米，这个杯垫的面积是多少平方厘米？ 60．张伯伯靠墙修了一个半圆形养鸡场（如下图），已知篱笆围成半圆的直径是6m，这个养鸡场的面积是多少平方米？ 61．工人师傅把一块周长是48分米的正方形木板裁成一个最大的圆，裁去部分的面积是多少？ 62．锅盔店的牛肉馅圆形锅盔有大小两种尺寸，大的直径为16厘米，小的直径为8厘米，两种锅盔的厚度相同。大锅盔每个卖8元，小锅盔每个卖4元。如果你有16元，买哪种锅盔合算？请说明理由。 63．读书使人明智，分享使人进步。梦梦是个读书爱好者，她打算去参加“读书分享会”，与其他人分享阅读心得。如图，是分享会的一张半径是8分米的圆桌，上面铺了一块直径是20分米的圆形桌布，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？（先选择，再解答） (1)求桌布下垂部分的面积，相当于求上面( )图形中阴影部分的面积。 (2)请你认真算一算，桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 64．面塑作为一种独特的民间工艺品具有极高的艺术价值和文化内涵。某小学开展了“面塑进校园，非遗共传承”活动。张老师在面塑小组活动时用面塑造了一座亭台楼阁，楼阁的窗户外圆内方（如图），圆内正方形窗棂的边长为4厘米，整扇圆形窗户的面积是多少平方厘米？ 65．2025年城市智慧停车系统升级，某超市新增圆形智能车位（如图），车位为圆形，内部规划了一块正方形防滑停车区，已知该圆形车位的直径为6米，请计算这块正方形防滑停车区的实际面积是多少平方米？ 试卷第1页（共3页） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $