5.4.1角平分线的性质及其逆定理（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 \(\boldsymbol{5}\).4.1 角平分线的性质及其逆定理 专项练习 ## 知识点回顾 ### 性质定理 角平分线上的点到**角两边的距离相等**。 几何语言： 若$OP$平分$\angle AOB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)点$P$在$OP$上\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PC\perp OA$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PD\perp OB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则$\boldsymbol{\(\boldsymbol{\(PC=PD\)}\)}$。 ### 逆定理（判定） 角的内部到角两边距离相等的点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)**在这个角的平分线上**。 几何语言： 点$P$在$\angle AOB$内部\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PC\perp OA$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PD\perp OB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(\boldsymbol{\(PC=PD\)}\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则$OP$平分$\angle AOB$。 ✅解题要点 1. “距离”指**垂线段长度**\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不是任意线段；必须有垂直条件！ 2. 性质：点在角平分线上 $\Rightarrow$ 垂线段相等（证线段相等） 3. 逆定理：垂线段相等（点在角内）$\Rightarrow$ 点在角平分线上（证角相等） 4. 三角形三条角平分线交于一点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)这个点到三角形三边距离相等（内心） 满分：100分 时间：40分钟 ## 一\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)选择题（每题4分\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)共20分） 1. 角平分线上的一点到角两边的（）相等 A.线段长 B.垂线段距离 C.角度 D.周长 2. 点$P$在$\angle AOB$内部\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PC\perp OA$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PD\perp OB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(\boldsymbol{\(PC=PD\)}\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则（） A.$\(OP=OA\)$ B.$OP$平分$\angle AOB$ C.$\(OP=OB\)$ D.$\angle A=\angle B$ 3. $OC$平分$\angle AOB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)点$P$在$OC$上\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PM\perp OA$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(PM=4\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则$P$到$OB$距离是（） A.$2$ B.$4$ C.$8$ D.$16$ 4. 三角形三条角平分线的交点到三角形____距离相等（） A.三个顶点 B.三边 C.三条中线 D.三条高线 \(\boldsymbol{5}\). 下列说法正确的是（） A.到角两边距离相等的点一定在角平分线上（无需角内） B.角平分线上的点到角两边线段相等 C.角平分线性质中的距离是垂线段 D.一条射线平分角\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则射线上任意一点到端点距离相等 ## 二\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)填空题（每题4分\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)共20分） 1. 角平分线上的点到角两边的________相等。 2. 角内部\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)到角两边距离相等的点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)在这个角的________上。 3. $AD$平分$\angle BAC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DE\perp AB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(\boldsymbol{DF}\)\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则$\(DE=\)$________。 4. 三角形三条角平分线交于一点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)该点叫三角形的________。 \(\boldsymbol{5}\). 使用角平分线性质\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)必须要有________的条件。 ## 三\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)基础解答题（每题8分\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)共32分） 1. 已知：$AD$平分$\angle BAC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DB\perp AB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DC\perp AC$。求证：$\(DB=DC\)$。 2. 判断对错\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)并说明理由 （1）点$P$在$\angle AOB$平分线上\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PA\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)PB$分别交两边于$A\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)B$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则$\(PA=PB\)$。 （2）在角内部\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)一点到角两边垂线段相等\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)则该点在角平分线上。 3. 已知：点$P$在$\angle AOB$内部\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PE\perp OA$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PF\perp OB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(PE=PF\)$。求证：$OP$平分$\angle AOB$。 4. 已知：$BD$平分$\angle ABC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DE\perp AB$于$E$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(DE=\)\(\boldsymbol{5}\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)求点$D$到$BC$的距离。 ## 四\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)拓展提升题（每题14分\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)共28分） 1. 已知：在$\triangle ABC$中\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)角平分线$AD\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)BE$交于点$O$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$OM\perp BC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$ON\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$OP\perp AB$。求证：点$O$到三边距离相等。 2. 已知：$CD\perp AB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$BE\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)垂足为$D\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)E$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\(BD=CE\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$BE\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)CD$交于$O$。求证：$AO$平分$\angle BAC$。 --- # 参考答案与解析 ## 一\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)选择题 1.B 2.B 3.B 4.B \(\boldsymbol{5}\).C ## 二\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)填空题 1. **垂线段距离** 2. **角平分线** 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{DF}\)}$ 4. **内心** \(\boldsymbol{5}\). **垂直** ## 三\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)基础解答题 1. 证明： $\because AD$平分$\angle BAC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DB\perp AB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)DC\perp AC$ $\therefore \(DB=DC\)$（角平分线上的点到角两边距离相等） 2.（1）×；性质必须是**垂线段**相等\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$PA\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)PB$不是垂线\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不一定相等。 （2）√；角平分线逆定理。 3. 证明： $\because PE\perp OA\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)PF\perp OB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)\(PE=PF\)$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)点$P$在$\angle AOB$内部 $\therefore OP$平分$\angle AOB$（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上） 4. 解： $\because BD$平分$\angle ABC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$DE\perp AB$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)点$D$到$BC$垂线段为$h$ $\therefore h=\(DE=\)\(\boldsymbol{5}\)$ 答：点$D$到$BC$距离为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$。 ## 四\(PA\(A\(AD\(D\(BE\(PA、PB\)CD\)E\)BE\)B\)PB\)拓展提升题 1. 证明： $\because AD$平分$\angle BAC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$OP\perp AB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)ON\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\therefore OP=ON$ $\because BE$平分$\angle ABC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$OP\perp AB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)OM\perp BC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\therefore OP=OM$ $\therefore OP=ON=OM$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)即点$O$到三边距离相等。 2. 证明： $\because CD\perp AB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)BE\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\therefore \angle BDO=\angle CEO=90^\circ$ 在$\triangle BDO$和$\triangle CEO$中 $\begin{cases}\angle BDO=\angle CEO\\\angle BOD=\angle COE\\\(BD=CE\)\end{cases}$ $\therefore \triangle BDO\cong\triangle CEO(\text{AAS})$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\therefore OD=OE$ 又$OD\perp AB\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)OE\perp AC$\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)$\therefore AO$平分$\angle BAC$（逆定理） ## 易错警示 1. 大坑：**没有垂直\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不能直接用角平分线性质！**题目没写垂直\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不能得出线段相等； 2. 逆定理前提：点必须在**角的内部**；外部点到两边距离相等不在角平分线上； 3. 距离=垂线段长度\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不是斜线段； 4. 内心：角平分线交点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)到三边距离相等；外心是垂直平分线交点\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)到三顶点距离相等\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)不要弄混。 下一节：**6.1.1 函数**\(DB\perp AB\(OP\perp AB\(OP\perp AB\(\because CD\perp AB\(OD\perp AB，OE\perp AC\)BE\perp AC\)OM\perp BC\)ON\perp AC\)DC\perp AC\)继续同模板出题吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.4.1角平分线的性质及其逆定理 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 1 2 3 探究并掌握角平分线的性质定理.（重点） 探究并掌握角平分线性质定理的逆定理.（重点） 能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决简单的推理与证明（难点） 学习目标 导入新课 1.角平分线的定义： 从角的顶点出发引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 如图，射线OC是∠AOB的平分线。 o B C A 1 2 导入新课 2.点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 P A B O PO的长度 如图，线段PO的长度叫点P到直线AB的距离。 02 新知导入 回顾 什么是角平分线？ 角平分线是一条以角的顶点为端点的射线，并把这个角分成两个相等的角. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线, ∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB. 5 03 新知探究 探究 如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA，PE⊥OB ，垂足分别为点D，E. 比较线段PD，PE的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 你有什么方法进行比较？ ①度量 ②圆规 ③折叠 猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 6 03 新知探究 已知：OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB . 求证：PD=PE. 证明：因为OC是∠AOB的角平分线，所以. 因为PD⊥OA，PE⊥OB ，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在△PDO和△PEO中， 所以△PDO ≌ △PEO（AAS）. 因此PD=PE. 7 03 新知探究 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 几何语言 ∵OC是∠AOB的角平分线， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE. 03 新知探究 思考 角平分线的性质定理的逆命题是什么？它是真命题吗？ 逆命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 命题 举反例 假命题 证明 真命题 几何题没有图案应该怎么办？ 1. 如图，为 的平分线， ，，垂足分别是, ,则 下列结论不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 2．[娄底市期末]如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是________． 4 举一反三 11 返回 举一反三 03 新知探究 如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE.过点O，P作射线OC. 因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， 所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）， 从而∠AOC=∠BOC. 因此OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 03 新知探究 角平分线的性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴ 点P在∠AOB的角平分线上. 03 新知探究 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC. 例1 证明:（1） 在△ABC中， 因为∠1=∠2， 所以BA=BC. 又BA⊥AD，BC⊥CD， 所以点B在∠ADC的平分线上. 03 新知探究 例1如图，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2. 求证：（1）点B在∠ADC的平分线上；（2）BD平分∠ABC. 例1 证明:（2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中， 所以Rt△BAD ≌ Rt△BCD（HL）. 因此∠ABD=∠CBD， 从而BD平分∠ABC. 新知应用 基础巩固题 1.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD          B．∠CPO＝∠DOP  C．∠CPO＝∠DPO   D．OC＝OD B 2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　) A．4  B．3  C．2  D．1 C 新知应用 基础巩固题 3.已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB，BC的距离相等，那么点M(　　)    A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上    C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上 4.如图，O是△ABC内一点，且点O到边AB， BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若 ∠BAC＝70°，则∠BOC＝________． C 125° 新知应用 基础巩固题 5.如图，已知AP，CP分别是△ABC的外角∠DAC，∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M，N，那么PM与PN的大小关系是(　　) A．PM>PN  B．PM＝PN C．PM<PN  D．无法确定 B 返回 8 举一反三 20 4．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，连接AO.若∠AOD＝55°，则∠BAC＝(　　) A．35° B．55° C．60° D．70° D 举一反三 21 返回 举一反三 5. 如图，，， 分别平分 ，，过点，且与垂直，若 ， ，则四边形的面积是____ . 40 返回 举一反三 23 6. 如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若S△BPC＝10 cm2，则S△ABC等于(　　) A．20 cm2 B．30 cm2 C．25 cm2 D．不能确定 A 举一反三 24 课堂小结 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 逆定理 过角平分线上一点向两边作垂线段 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 谢谢观看 THANKS 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于点F.因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DF＝DE＝2.因为△ABC的面积是10，CDBD＝23，所以S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，所以S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC.以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G.若AB＝8 cm，则△BFG的周长等于________cm. 【点拨】因为CD⊥AB，BE⊥AC，所以∠ODA＝∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，所以△BOD≌△COE(角角边)，所以OD＝OE.又因为CD⊥AB，BE⊥AC，点O在∠BAC的内部，所以AO平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠OAB.因为∠ODA＝90°，∠AOD＝55°，所以∠OAB＝90°－55°＝35°，所以∠BAC＝2×35°＝70°，故选D. $