5.4.1角平分线的性质定理（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质定理”，系统梳理定理内容、几何语言及应用条件。课堂导入通过折纸、量角器画角平分线，结合木板钢板等实际情境引出角平分仪，引导学生从生活现象抽象出数学工具，构建前后知识脉络。 其亮点在于以“猜想-验证-应用”为主线，通过探究活动让学生经历定理形成过程，结合典例精析和易错点辨析，培养数学思维中的推理意识与几何直观。采用标准几何语言书写示范，强化数学语言表达，学生能夯实基础并提升解题规范性，教师可直接用于分层教学和课堂检测。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第5章 直角三角形 5.4.1角平分线的性质定理 2026年8月8日 5.4.1 角平分线的性质定理 同步练习题（八年级数学·湘教版） 本套习题适配湘教版八年级上册5.4.1课时内容，聚焦角平分线的性质定理核心考点，重点考查角平分线上的点到角两边距离相等的应用、距离计算、几何求值、基础证明，精准规避“边角混淆”易错点，题型由基础辨析到综合证明层层递进，贴合课本例题、课堂作业与单元检测考情。 一、核心知识梳理（必背考点） 1. 角平分线的性质定理（本节核心） 内容：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 关键定义：点到角两边的距离，指的是点向角两边作垂线段的长度，不是斜线段、不是线段长。 2. 标准几何语言（考试满分写法） ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 3. 定理使用必备3个条件（缺一不可） ① 有角平分线；② 点在角平分线上；③ 点向角两边作垂直线段。 4. 核心用途 无需证全等，直接快速证明两条垂线段相等，简化几何解题步骤。 5. 超级易错点（高频扣分） ① 不垂直≠距离相等！斜线段长度不满足角平分线性质； ② 角平分线性质只能证垂线段相等，不能直接证角度相等； ③ 必须写明垂直条件，否则定理不成立，考试直接扣分。 二、选择题（每题4分，共20分） 1. 角平分线上的点到角两边的（）相等 A. 线段长 B. 距离 C. 斜线长 D. 任意长度 2. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，若PD=6，则PE的长为（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 下列条件中，能利用角平分线性质定理得到线段相等的是（） A. 点在角平分线上，连接角两边任意点 B. 点在角平分线上，向两边作垂线 C. 角内任意一点向两边作垂线 D. 角平分线平分对边 4. OP平分∠AOB，点P在OP上，下列式子一定正确的是（） A. PA=PB B. PO平分AB C. P到OA、OB距离相等 D. OP⊥AB 5. 若点P在∠AOB平分线上，P到OA距离为4，则P到OB距离为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 不确定 三、填空题（每题4分，共20分） 6. 角平分线上的点到角两边的________相等。 7. 使用角平分线性质定理，必须满足点到角两边的线段是________线段。 8. OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，则________=________。 9. 角平分线性质可以直接证明________相等，无需证明全等。 10. 点在角平分线上，但线段不垂直角两边，________（填“能”或“不能”）用性质定理。 四、解答题（共60分） 11. 基础计算题（每题10分，共30分） （1）已知OC平分∠AOB，点P在OC上，且点P到OA的距离为9cm，求点P到OB的距离。 （2）在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，若DE=5，求DF的长。 （3）∠AOB=60°，OP平分∠AOB，P到OA垂直距离为7，求P到OB的垂直距离。 12. 基础证明题（15分） 已知：AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC。求证：DB=DC。 13. 几何综合应用题（15分） 已知：在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，AC=6，求AE的长度。 参考答案及详细解析 一、选择题 1. B 解析：角平分线性质定理核心：点到角两边距离相等。 2. B 解析：由性质定理，角平分线上的点到两边距离相等，PE=PD=6。 3. B 解析：必须满足角平分线+垂直，才能得到距离相等。 4. C 解析：角平分线只保证垂线段距离相等，不保证斜线、平分、垂直关系。 5. B 解析：距离相等，故为4。 二、填空题 6. 距离 7. 垂直 8. PD；PE 9. 垂线段（距离） 10. 不能 三、解答题 11.（1）解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，根据角平分线性质定理，点P到OA、OB距离相等，∴点P到OB的距离为9cm。 （2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=5。 （3）解：∵OP平分∠AOB，点P到两边垂直距离相等，∴P到OB距离为7。 12. 证明： ∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC， 根据角平分线的性质定理， ∴DB=DC。 13. 解： ∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DC=DE。 在Rt△ACD和Rt△AED中： $$\begin{cases}AD=AD\\DC=DE\end{cases}$$ ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE=AC=6。 答：AE的长为6。 核心知识点总结：本节唯一核心：角平分线上的点，到角两边垂线段距离相等。解题必查三条件：平分线、点在线上、垂直。考试最大扣分点：无垂直用性质、斜线当距离。熟练掌握该定理可大幅简化线段相等证明，是后续几何综合题、作图题的基础核心。 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法．　　 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB = AD，BC = DC.将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线， 你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是 SSS，两全等三角形的 对应角相等. 知识点1 角平分线的性质定理 1.如图，平分，于点，于点，若 ， 则 的长为( ) B （第1题） A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 5 （第2题） 2.［2025郴州月考］如图，平分，点是 上 一点，于点，点是射线 上的一个动点， 若,则 的最小值为( ) C A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 6 角平分线的性质 A O B P D E C 探究 在∠AOB 的平分线 OC 上任取一点 P，作 PD ⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点 D、E. 比较线段 PD，PE 的长度，它们相等吗？由此你能得出什么结论？ 猜想： PD = PE 如图，∠AOC = ∠BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD = PE. 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中， ∠PDO = ∠PEO， ∠DOP = ∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO(角角边). ∴ PD = PE. 验证猜想 A O B P D E C 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 要点归纳 角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A O B P D E C ∵ OC 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， (角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 应用格式： 注意事项：证明距离相等时的三个理由，必须写全，不能遗漏. A O B P D E C （第3题） 3.如图，，点在上， 于 点，于点.若，，则 的长为___. 6 返回 举一反三 11 （第4题） 4.如图，在中， ， 平分 ，，，那么点 到 直线的距离是___ . 3 返回 举一反三 12 5.［2025常德期中］如图，在中，平分，于点 . 若，，则 ___. 1 返回 举一反三 13 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在 △ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD， DE⊥AB， DF⊥AC. 垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是 ∠BAC 的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (斜边、直角边). ∴ EB = FC. 典例精析 6.如图，在四边形中，， ， ， 于点.求证： . 证明：因为，所以.因为 ，所以 ，即是的平分线.又因为 ， ， 所以 . 返回 举一反三 16 例2 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D，E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段———直接应用 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 知识点2 角平分线的性质定理的逆定理 （第7题） 7.在由小正方形组成的网格中， 的位置如图 所示，，，均在格点上，到 两边距离相 等的点应是( ) A A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 19 8.如图，两把相同的直尺的一边分别与射线， 重合，另一边相交 于点，若 ，则 _____. （第8题） 返回 举一反三 20 9.［2025益阳开学考］如图，已知 ， ，，相交于点，连接 .若 .求证：平分 . 证明：因为， ，所以 .在和 中， 所以 ，所以 .所以点在的平分线上.所以平分 . 返回 举一反三 21 （第10题） 10.如图，点是内的一点，， ， 垂足分别为，，连接，.若 ，则下列 结论不一定成立的是( ) D A. B. C.垂直平分 D. 返回 举一反三 22 （第11题） 11.［2025常德期末］如图，在中， 为 的平分线，于，于 ， 的面积是， ， ，则的长为___ . 2 返回 举一反三 23 （第12题） 12.如图，在中， ，， 平 分交于点，于点，若 ， 则的周长为___ . 5 返回 举一反三 24 （第13题） 13.如图，平分， ， 交于点，，垂足为 ，若 ，则 的长度为___. 6 返回 举一反三 25 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 谢谢观看 THANKS $