5.1.1直角三角形的性质课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2026-10-08

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# 湘教版数学八年级上册 5.1.1 直角三角形的性质专项练习 ## 知识点回顾 **直角三角形定义**：有一个角是$90^\circ$的三角形叫直角三角形$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$记作$\boldsymbol{Rt\triangle}$。夹直角两边叫直角边$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$直角对边叫斜边。 ### 性质1：直角三角形的两个锐角互余几何语言：在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$则$\boldsymbol{\angle A+\angle B=90^\circ}$。 ### 性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何语言：在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$D$是斜边$AB$中点$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$则$\boldsymbol{$CD=$\dfrac12AB=$AD=BD$}$。推论：斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 > 配套判定（顺带了解）： > ① 有两个角互余的三角形是直角三角形； > ② 如果三角形一边上中线等于这条边一半$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$这个三角形是直角三角形。 ✅解题要点 1. 看到直角$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$立刻想到两锐角相加等于$90^\circ$； 2. 题目出现**斜边中点**$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$优先用斜边上中线性质$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$直接得到线段相等； 3. 斜边上中线是考试高频考点$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$经常用来证等腰、求线段长度。满分：100分时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$共20分） 1. 在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle A=40^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$则$\angle B$度数为（） A.$40^\circ$ B.$50^\circ$ C.$$\boldsymbol{6}$0^\circ$ D.$90^\circ$ 2. 直角三角形斜边上中线长为$5$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$则斜边长为（） A.$5$ B.$10$ C.$$2.5$$ D.$20$ 3. 在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$CD$是斜边$AB$中线$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$则下列等式不一定成立的是（） A.$$\(CD=$AD\)$ B.$$\(CD=$BD\)$ C.$$\(CD=$AB\)$ D.$$AD=BD$$ 4. 一个三角形两个内角分别是$35^\circ$、$55^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$这个三角形是（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 5. 关于直角三角形说法错误的是（） A.两锐角互余 B.斜边上中线等于斜边一半 C.直角所对边是斜边 D.斜边上中线一定等于直角边 ## 二、填空题（每题4分$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$共20分） 1. 直角三角形两个锐角________。 2. 直角三角形斜边上的中线等于________的一半。 3. $Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$斜边$$AB=12$$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$斜边上中线$$CD=$$________。 4. 在$Rt\triangle ABC$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle A=25^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle B=$________。 5. 直角三角形斜边上中线将原直角三角形分成两个________三角形。 ## 三、基础解答题（每题8分$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$共32分） 1. 已知：在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle B=38^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$求$\angle A$度数。 2. 已知：在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle ACB=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$CD$是斜边$AB$中线$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$$AB=8$$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$求$CD$长。 3. 判断对错$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$并说明理由（1）直角三角形斜边上的中线等于直角边的一半。（2）直角三角形两个锐角相加一定等于$90^\circ$。 4. 已知：在$\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle A=37^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle B=53^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$求证：$\triangle ABC$是直角三角形。 ## 四、拓展提升题（每题14分$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$共28分） 1. 已知：$Rt\triangle ABC$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle ACB=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$D$为$AB$中点。求证：$$\(CD=$AD\)=BD$。 2. 已知：在$Rt\triangle ABC$中$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$CD$是斜边$AB$中线$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$若$\angle A=$\boldsymbol{6}$0^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$求证：$\triangle ACD$是等边三角形。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1.B 2.B 3.C 4.B 5.D ## 二、填空题 1. **互余** 2. **斜边** 3.$\boldsymbol{$\boldsymbol{6}$}$ 4.$\boldsymbol{$\boldsymbol{6}$5^\circ}$ 5. **等腰** ## 三、基础解答题 1. 解： $\because \triangle ABC$是直角三角形$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\angle C=90^\circ$ $\therefore \angle A+\angle B=90^\circ$（直角三角形两锐角互余） $\angle A=90^\circ-38^\circ=\boldsymbol{52^\circ}$ 2. 解： $\because \angle ACB=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$CD$是斜边$AB$上中线 $\therefore $CD=$\dfrac12AB$（直角三角形斜边上中线等于斜边一半） $\because $AB=8$$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$\therefore $CD=$\boldsymbol{4}$ 3.（1）×；理由：斜边上中线等于**斜边**的一半$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$不是直角边。（2）√；直角三角形性质$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$两锐角互余。 4. 证明： $\because \angle A=37^\circ$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$\angle B=53^\circ$ $\therefore \angle A+\angle B=90^\circ$ $\therefore\triangle ABC$是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形） ## 四、拓展提升题 1. 证明： $\because \angle ACB=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$D$是斜边$AB$中点 $\therefore $CD=$\dfrac12AB=$AD=BD$$（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半） 2. 证明： $\because \angle ACB=90^\circ$$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$$CD$是斜边$AB$中线 $\therefore $\(CD=$AD\)$（直角三角形斜边上中线等于斜边一半） $\because \angle A=$\boldsymbol{6}$0^\circ$ $\therefore\triangle ACD$是等边三角形（有一个角是$$\boldsymbol{6}$0^\circ$的等腰三角形是等边三角形） ## 易错警示 1. 斜边上中线是**斜边的一半**$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$千万不要记成直角边一半； 2. “两锐角互余”只适用于直角三角形； 3. 看到斜边中点$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$优先使用斜边上中线性质$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$快速得到等腰三角形； 4. 区分性质和判定：直角→两角互余（性质）；两角互余→直角三角形（判定）。下一节：**5.1.2 含30°角的直角三角形的性质**$\because \angle A=37^\circ，\angle B=53^\circ$继续同模板出题吗？湘教版（新教材）数学八年级上册 5.1.1直角三角形的性质授课教师： . 班级： 8年级（）班 . 时间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第5章直角三角形 1 2 3 掌握直角三角形两个锐角互余的性质（重点）利用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”判定直角三角形.（重点）掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质（重点）学习目标导入新课我们知道，三角形按角的大小分类可以分成三类，你还记得是哪三类吗？什么是直角三角形？直角三角形有一个角为90° 一般三角形直角边直角边斜边 “直角三角形ABC”用符号“＿＿＿＿＿”表示。 Rt△ABC 02 新知导入有一个角是直角的三角形是直角三角形。回顾什么是直角三角形吗？直角三角形可用符号“Rt△”来表示，例如，直角三角形ABC可以记作“Rt△ABC“. 在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边. 4 03 新知探究说一说在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？解：如图，在Rt△ABC中，因为∠C = 90°，由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°. 思考：我们把两个角相加等于90°称为什么？ 5 03 新知探究直角三角形的性质1：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言 ∵ ∠C=90°， ∴ ∠A+∠B= 90°. 03 新知探究议一议（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？（2）该逆命题是真命题吗？（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆题为“有两个角互余的三角形是直角三角形” 7 03 新知探究解：该逆命题是真命题. 理由如下：如图，在△ABC中，因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，所以∠C=180°∠A+∠B=180° 90°= 90°. 因此，△ABC是直角三角形. 故有两个角互余的三角形是直角三角形. 8 03 新知探究直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 几何语言 ∵ ∠A+∠B= 90°， ∴△ABC是直角三角形. 1. 如图，已知直线，直线与直线，分别交于点，，交直线于点 .若，则的度数为( ) B A. B. C. D. 返回举一反三 10 返回 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________. 70° 举一反三 11 03 新知探究证明一个三角形是直角三角形除了用直角三角形的定义和上面的判定方法外，还有以下方法：（1）在一个三角形中，两个内角之和等于第三个内角；（2）在三角形中，两个内角的差等于第三个内角. 03 新知探究画一画任务一：用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB的中点 D，连接 DC. 任务二：用直尺分别测量斜边AB的长度以及斜边AB的中线DC的长度. 任务三：以点 D 为圆心，DB 为半径画圆弧. 你有什么发现？ DC与AB之间有怎样的数量关系？ 13 03 新知探究已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证：DC=DB=AB. 证明：如图，过点D作DE//BC，DF//AC，分别交AC，BC于点E，F，于是∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB=90°， ∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°. 03 新知探究在△ADE与△DBF中，所以△ADE ≌ △DBF（角角边），从而DE = BF. ① 在△DFC与△CED中，所以△DFC ≌ △CED（角角边），从而CF = DE. ② 03 新知探究由①式和②式得，CF = BF. 因此，直线DF是线段BC的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此DC=DB=AB. 03 新知探究直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言 ∵ CD是斜边AB上的中线， ∴ CD=AB. 03 新知探究提示 (1)此性质的前提是在直角三角形中，对一般三角形不适用三一角角 (2)此性质可以用来说明线段的倍分关系. (3)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形. 03 新知探究如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 例1 证明:因为CD=AB=AD=BD，所以∠1=∠A，∠2=∠B. 因为∠A+∠B+∠ACB=180°， ∠ACB=∠1+∠2，所以∠A+∠B+∠1+∠2=180°，从而2(∠A+∠B)=180°. 因此∠A+∠B=90°. 所以△ABC是直角三角形. 新知应用基础巩固题 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边上的中线CD=2.5，则斜边AB的长是 . 1.在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(　　) A．35° B．55° C．65° D．145° 3.在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5 B B 直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有两个角互余的三角形是直角三角形新知应用基础巩固题 4.如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，BE与DE的大小关系是(　　) A．DE＞BE B．DE＝BE C．DE＜BE D．不能确定 B 5.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若 ∠A=50°，则∠BPC的度数是（）. A.100° B.120° C.130° D.150° C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形的两个锐角互余新知应用基础巩固题 6、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个内角分别是∠C＝　，∠B＝　，∠A＝　，它是一个　　　三角形。 450 450 900 等腰直角 7. 在△ABC中， ∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________. AE,BE ∠ACE 55° 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC. (1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分 ∠ABC，求∠BED的度数；【解】因为在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，所以∠ABC＝90°－50°＝40°. 因为BE平分∠ABC，所以∠DBE＝20°，因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°，所以∠BED＝90°－20°＝70°. 举一反三 (2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C)．【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD. 返回举一反三返回 B 举一反三 25 5.如图，在中， , 平分,且 ,求证：是直角三角形. 【证明】因为 ,所以 . 因为平分,所以 . 又因为,所以 , 所以 ,所以是直角三角形. 返回举一反三 26 6. 如图，一根长为的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且端沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点到点的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断返回举一反三 27 7. 如图，在中，于点，于点，点是的中点，连接，，设，，则( ) D A. B. C. D. 举一反三 28 8．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 D 【点拨】以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示．故选D. 举一反三 29 课堂小结谢谢观看 THANKS 4．已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B，∠C，下列式子中： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③90°－∠B＝∠C；④∠A＋∠B＝∠C； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C，不能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 $

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