5.1.1直角三角形的性质和判定（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半等）和判定（定义、两角互余、中线判定），通过复习三角形分类（按边、按角）及角度比例问题引入，构建从一般到特殊的知识脉络，搭建学习支架。 其亮点在于融入动态演示（如中线与斜边关系）、专项练习及举一反三，结合几何直观和推理意识，通过证明两角互余判定直角三角形等实例强化理解。采用讲练结合，学生提升运算与应用能力，教师可高效开展教学。

湘教版八年级上册5.1.1直角三角形的性质和判定专项练习 一、核心知识点梳理 1. 直角三角形定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形，直角三角形的两个锐角互为余角，它是初中几何特殊三角形的核心类型，记作Rt△。 2. 直角三角形核心性质定理：性质一，直角三角形的两个锐角互余，即两锐角之和为90°；性质二，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（本节重中之重）；性质三，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，常用于边长计算。 3. 直角三角形判定定理：判定一，定义判定：有一个角是90°的三角形是直角三角形；判定二，两角互余的三角形是直角三角形，若三角形两个内角和为90°，则第三个角必为直角。 4. 重难点易错提醒：斜边上的中线等于斜边的一半，仅适用于直角三角形，普通三角形不具备该性质；30°角对的直角边是斜边一半，不可混淆直角边与斜边关系；判定时无需直接算出90°，证两角互余即可，是快速判定的常用方法。 二、专项练习题（满分100分） （一）选择题（每题6分，共30分） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=35°，则∠B的度数为（） A. 55° B. 65° C. 45° D. 35° 2. 直角三角形斜边上的中线长为5，则斜边长度为（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 下列条件能判定三角形为直角三角形的是（） A. 三个内角比为1:2:3 B. 三个内角比为1:1:1 C. 三个内角比为1:2:4 D. 三个内角比为2:3:4 4. 在直角三角形中，30°角所对的直角边为4，则斜边为（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 关于直角三角形性质说法错误的是（） A. 两锐角互余 B. 斜边上中线等于斜边一半 C. 任意直角边等于斜边一半 D. 有一个内角为90° （二）填空题（每题6分，共30分） 6. 直角三角形的两个锐角________。 7. 直角三角形斜边上的________等于斜边的一半。 8. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若AB=12，则∠A对的直角边BC=________。 9. 有两个内角________的三角形是直角三角形。 10. 直角三角形中，最大的内角是________°。 （三）解答题（每题20分，共40分） 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=8，求CD的长，并说明理由。 12. 已知在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，求证：△ABC是直角三角形。 三、参考答案及解析 选择题解析 1. A 解析：直角三角形两锐角互余，∠B=90°-35°=55°。 2. B 解析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边=2×5=10。 3. A 解析：内角比1:2:3，求得角度分别为30°、60°、90°，是直角三角形；其余选项无90°内角。 4. C 解析：直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，斜边=2×4=8。 5. C 解析：只有30°角对应的直角边等于斜边一半，并非任意直角边，该说法错误。 填空题答案 6. 互余 7. 中线 8. 6 9. 互余（和为90°） 10. 90 解答题解析 11. 解：CD=4。理由：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，根据直角三角形性质，斜边上的中线等于斜边的一半，∴CD=1/2AB=1/2×8=4。 12. 证明：∵∠A=50°，∠B=40°，∴∠A+∠B=90°。根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形。 练习总结：本节重点掌握直角三角形两大核心性质与两种判定方法，高频考点为斜边上中线的性质、30°直角边性质以及两角互余判定直角三角形。解题核心思路：角度计算优先使用两锐角互余，边长计算活用斜边中线、30°角特殊性质，判定三角形为直角三角形可优先证明两角互余，简化计算，重点规避混淆普通三角形与直角三角形性质的易错问题。 湘教版（新教材）数学八年级上册 5.1.1直角三角形的性质和判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第5章 直角三角形 学习目标 学习目标 1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定及推论.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 按边分类 按角分类 三角形分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 性质 判定 等边三角形、等腰三角形 普通三角形 定义：有一个角是直角的三角形. 复习导入 推进新课 1. 一个三角形的三个内角度数之比为1∶1∶2，则三个内角的度数分别为 __________________ . 2. 一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，则三个内角的度数分别为 __________________ . 30°、60°、90° 45°、45°、90° A B C 直角三角形： 有一个角是____________的三角形 直角或90° 直角三角形可以用符号“Rt△”表示 如图所示的三角形可记作“Rt△ABC ” 读作“直角三角形 ABC ” 探究 测量三角板两个锐角的度数，你发现了什么？ 在Rt△ABC 中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？ 在Rt△ABC 中，因为∠C = 90°， 由三角形内角和定理可得： ∠A + ∠B = 90°. 由此得到： 直角三角形的两个锐角互余. Rt△两锐角关系动态演示 几何画 板.gsp 直角三角形的两个锐角互余. 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C = 90°， ∴　∠A + ∠B = 90°．　 直角三角形的性质： 随堂跟练 （1）如图（1），在△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点D，若∠A = 40°，则∠BCD =______. （2）如图（2）在△ABC中，∠B = 50°，高AD、CE交于H，则∠AHC =______. 40° 130° A C D B （1） A C B D H E （2） 怎么判断一个三角形是直角三角形？ 直角三角形的两个锐角互余. 条件： 结论： 一个三角形是直角三角形 这个三角形的两个锐角互余 逆命题： 如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？ A C B 2 1 有两个角互余的三角形是直角三角形. A C B 2 1 在△ABC 中， 因为∠A+∠B +∠C = 180°， ∠A + ∠B = 90°. 由此得到： 所以∠C = 90°. 应用格式： 在△ABC 中， ∵∠A + ∠B = 90°， ∴△ABC 是直角三角形．　 有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形的判定： （3）如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？ A B C D H 解：∵AB// CD， ∴∠ CAB+∠ACD=180°. 又∠CAH = ∠CAB，∠ACH = ∠ACD， ∴∠CAH+∠ACH = (∠CAB+∠ACD)=90°. ∴△AHC是直角三角形. 随堂跟练 1. 如图，已知直 线，直线与直线， 分别交于点 ，，交直线于点 .若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 14 返回 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B－3∠A＝10°，则∠B＝________. 70° 举一反三 15 3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC. (1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分 ∠ABC，求∠BED的度数； 【解】因为在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°， 所以∠ABC＝90°－50°＝40°. 因为BE平分∠ABC，所以∠DBE＝20°， 因为AD⊥BC，所以∠ADB＝90°， 所以∠BED＝90°－20°＝70°. 举一反三 (2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C)． 【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD. 返回 举一反三 如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段AB 的中点D，连接DC. 以点D 为圆心，DB 为半径画圆弧，则所画的弧经过点C 吗？DC 与AB 之间有怎样的数量关系？ AB ＝ ； DC ＝ . 度量AB、CD的长度： 9 cm 4.5 cm 猜想 该弧经过点 C ，且 DC = DB = AB . Rt△中线与斜边关系动态演示 几何画 板.gsp DC 是斜边 AB 上的中线 过点 D 作 DE∥BC，DF∥AC，分别交 AC，BC 于点 E，F， 在 △ADE 与 △DBF 中， E F 证明：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线. 于是∠ADE =∠B，∠AED =∠ACB = 90°， ∠FDC =∠ECD，∠DFB =∠ACB = 90°. 从而 DE = BF. ① ∠AED =∠DFB， ∠ADE =∠B， AD = DB， 所以∠ADE≌△DBF(角角边)， 在 △DFC 与△CED 中， ∠DFC = ∠CED， ∠FDC = ∠ECD， DC = CD， 所以△DFC≌∠CED(角角边)， 从而 CF＝DE . ② 由 ① 式和 ② 式得，CF = BF. 因此，直线 DF 是线段 BC 的垂直平分线. 根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB. 因此 DC = DB = AB. E F 由此可得直角三角形的性质定理： 应用格式： 在 Rt△ABC 中， 因为 D 为斜边 AB 上的中点， 所以有 CD = AD = BD = AB. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例1 如图，已知CD是△ABC的边AB上的中线，且CD = AB.求证：△ABC是直角三角形. 证明：因为CD = AB = AD = BD， 所以∠1 =∠A，∠2 =∠B. 因为∠A＋∠B＋∠ACB = 180°， ∠ACB ＝∠1＋∠2， 所以∠A＋∠B ＋∠1＋∠2 ＝180°. 从而 2（ ∠A＋∠B ）＝ 180°. 因此∠A ＋∠B ＝ 90°. 所以△ABC 是直角三角形. （等边对等角） （三角形内角和定理） （有两个角互余的三角形是直角三角形） 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形. 返回 B 举一反三 23 5.如图，在中， , 平分,且 ,求证： 是直角三角形. 【证明】因为 ,所以 . 因为平分,所以 . 又因为,所以 , 所以 ,所以 是直角三角形. 返回 举一反三 24 6. 如图，一根长为 的 木棍斜靠在与地面垂直的墙 上， 设木棍中点为，若木棍 端沿墙下滑， 且 端沿地面向右滑行.在此滑动过程中， 点到点 的距离( ) B A. 变小 B. 不变 C. 变大 D. 无法判断 返回 举一反三 25 7. 如图，在中， 于点， 于点 ，点是的中点，连接， ，设 ， ，则( ) D A. B. C. D. 举一反三 26 8．如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 D 【点拨】以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示．故选D. 举一反三 27 性质 判定 直角三角形两锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形. 三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形 是直角三角形. 直角三角形 课堂小结 谢谢观看 THANKS 4．已知△ABC的三个角分别是∠A，∠B，∠C，下列式子中： ①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3； ③90°－∠B＝∠C；④∠A＋∠B＝∠C； ⑤∠A＝2∠B＝3∠C， 不能判断△ABC是直角三角形的有(　　) A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个 $