第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（五）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章　空间向量与立体几何　 单元检测卷（五） 学校：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （　　） A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　D． 2．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知向量 ，，且 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．如图，在棱长为 2 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．已知 ，，，则 是（　　） A．等腰三角形　　　　　B．锐角三角形　　　　　 C．直角三角形　　　　　D．钝角三角形 6．已知直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　） A．，且 　　　　　B．，且 　　　　　 C．，且 　　　　　D．，且 7．如图，在长方体 中，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则二面角 的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行 B．若 ，则 C．对空间任意一点 与不共线的三点 ，，，点 在平面 内的充要条件是 ，且 D．若 ，， 是空间的一个基底，则 ，， 也是空间的一个基底 10．如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．直线 与平面 所成角的正弦值为 11．已知平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，点 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 或 B． C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．直线 与直线 所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，，且 ，则实数 ________． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则 ________． 14．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在空间四边形 中，点 ，，， 分别为棱 ，，， 的中点。 （1）证明：，，， 四点共面； （2）判断四边形 的形状，并说明理由。 16．（15分）如图，在长方体 中，，，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 的余弦值。 17．（15分）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，且 ，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值； （3）求二面角 的余弦值。 18．（17分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，且 ，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明：； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求三棱锥 的体积。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章　空间向量与立体几何　 单元检测卷（五） 学校：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （　　） A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　D． 2．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知向量 ，，且 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．如图，在棱长为 2 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．已知 ，，，则 是（　　） A．等腰三角形　　　　　B．锐角三角形　　　　　 C．直角三角形　　　　　D．钝角三角形 6．已知直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则（　　） A．，且 　　　　　B．，且 　　　　　 C．，且 　　　　　D．，且 7．如图，在长方体 中，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则二面角 的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行 B．若 ，则 C．对空间任意一点 与不共线的三点 ，，，点 在平面 内的充要条件是 ，且 D．若 ，， 是空间的一个基底，则 ，， 也是空间的一个基底 10．如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．直线 与平面 所成角的正弦值为 11．已知平面 的法向量为 ，直线 的方向向量为 ，点 ，，则下列结论正确的是（　　） A． 或 B． C．直线 与平面 所成角的正弦值为 D．直线 与直线 所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，，且 ，则实数 ________． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则 ________． 14．在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，则直线 与平面 所成角的正切值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在空间四边形 中，点 ，，， 分别为棱 ，，， 的中点。 （1）证明：，，， 四点共面； （2）判断四边形 的形状，并说明理由。 16．（15分）如图，在长方体 中，，，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 的余弦值。 17．（15分）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，且 ，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值； （3）求二面角 的余弦值。 18．（17分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形，且 ，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19．（17分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明：； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求三棱锥 的体积。 参考答案（详细版） 【人教A版2019·选择性必修第一册】第一章　空间向量与立体几何　单元检测卷（四）　满分150分 一、单项选择题 1．C　【解析】；点 为 的中点，；故 ．故选 C。 2．B　【解析】，故 ，即 ．故选 B。 3．C　【解析】，故 ，．故选 C。 4．A　【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，，，故 ．故选 A。 5．D　【解析】，，，故角 为钝角；又三边长分别为 ，，，互不相等，非等腰三角形，故 为钝角三角形．故选 D。 6．A　【解析】，故 ；，故 或 ；，故 或 （ 需 与 共线，不成立）．故选 A。 7．B　【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；又 ，故 ．故选 B。 8．A　【解析】设 的中点为 ，由四边形 为正方形得 ，，故 为二面角 的平面角．以 为原点建系（棱长 2），，，，，，故 ．故选 A。 二、多项选择题 9．ACD　【解析】A 正确，规定零向量与任意向量平行；B 错误，由 得 ，即 ，推不出 ；C 正确，这是空间共面向量定理的充要条件表述；D 正确，设 ，则 ，由基底的定义得 ，解得 ，三向量线性无关，可作为基底。故选 ACD。 10．ABD　【解析】以 为原点建系（棱长 2），，，；A 正确，；B 正确，，；C 错误，，；D 正确，平面 的法向量 ，。故选 ABD。 11．ABC　【解析】A 正确，，故 或 ；B 正确，，；C 正确，；D 错误，，故 。故选 ABC。 三、填空题 12．　【解析】，由 得 ，解得 。 13．　【解析】以 为原点建系（棱长 2），则 ，，，故 。 14．　【解析】以 为原点建系（棱长 2），，，，，故 ，，故 。 四、解答题 15．（1）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ；（2 分） 同理，， 分别为 ， 的中点，；（2 分） 故 ，即 且 ，两条平行直线确定一个平面，所以 ，，， 四点共面。（2 分） （2）四边形 为平行四边形。 理由：由（1）知 ，故 ，且 ；（4 分） 即四边形 的一组对边平行且相等，所以四边形 为平行四边形。（3 分） 16．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。（1 分） ，，，故 ，，即 ，；（2 分） 又 ，， 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】接（1）中坐标系，，，；（2 分） 平面 的一个法向量为 ，故 。（3 分） （3）。 【解析】，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；（3 分） 平面 即底面 ，其法向量 ，故 ；（2 分） 由图易知二面角 为锐二面角，故其余弦值为 。（1 分） 17．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。（1 分） ，，，故 ，，即 ，；（2 分） 又 ，， 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】接（1）中坐标系，，；（2 分） 平面 的一个法向量为 ，故 ；（2 分） 所以 。（1 分） （3）。 【解析】，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；（3 分） 平面 的法向量 ，；（2 分） 设 的中点为 ，则 ，，，故二面角 为锐二面角，其余弦值为 。（1 分） 18．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，，，故 。（1 分） ，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；（1 分） ，故 平面 或 平面 ；（1 分） 又平面 过点 ，其方程为 ，而 满足 ，故 平面 ，所以 平面 。（2 分） （2）。 【解析】由（1）知平面 的法向量 ，；（2 分） 取 平面 ，，故点 到平面 的距离 。（4 分） （3）。 【解析】，；（2 分） 平面 的一个法向量为 ，故 。（4 分） 19．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系（棱长 2），则 ，，，，，故 ，。（2 分） ，所以 。（1 分） （2）。 【解析】；（2 分） 平面 的一个法向量为 ，故 。（3 分） （3）。 【解析】以 为原点建系（棱长 2），，，。，点 到直线 的距离 ，故 ；（2 分） 设平面 的法向量 ，由 ， 得 ，取 ，平面 过点 ，其方程为 ；（2 分） 故点 到平面 的距离 ；（2 分） 所以 。（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $