29.3 弧长和扇形面积（第1课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容： 29.3 弧长和扇形面积 课型： 新授课 教学随笔 课标要求： 1. 会计算弧长和扇形面积（圆心角为 n°、半径为 R）。 2. 能利用弧长、扇形面积公式解决弯道、管道、弓形等简单实际问题。 学科素养： 1. 数学运算：正确代入弧长、扇形面积公式计算，并按要求取近似值。 2. 几何直观：从圆周长（面积）出发理解"1°的弧长（扇形面积）"的由来。 3. 应用意识：将管道、弓形等实际问题转化为弧长、扇形面积计算。 课后反思： 学习目标： 1. 理解弧长公式、扇形面积公式的推导过程，掌握两个公式并能正确运用。 2. 能运用弧长、扇形面积公式及其变形，解决求弧长、半径、圆心角及扇形（弓形）面积的简单问题。 3. 经历"由圆周长到弧长、由圆面积到扇形面积"的探究过程，体会由特殊到一般的思想。 学习重难点： 重点：弧长公式、扇形面积公式及其运用。 难点：公式的推导与逆向运用；弓形面积的计算（转化为扇形与三角形的和或差）。 学习过程： 课前复习（约2分钟） 1.（填空）半径为 R 的圆的周长 C＝＿＿＿；圆的面积 S＝＿＿＿。 2.（填空）顶点在圆心的角叫做＿＿角；周角等于＿＿°。 一、温故知新（约1分钟） 弯形管道的弯曲部分是圆弧形的，扇形是圆的一部分。怎样求一段弧的长度、一块扇形的面积？本节课就来研究这两个问题。 二、探究弧长公式（课本P134思考）（约5分钟） 1.（填空）在半径为 R 的圆中，360°的圆心角所对的弧就是整个圆，它的长度是＿＿＿（用含 R 的式子表示）。 2.（填空）由此可得，1°的圆心角所对的弧长是＿＿＿（用含 π、R 的式子表示）。 3. 于是，n°的圆心角所对的弧长 l＝。 4.（辨析）使用公式时，n 表示圆心角的＿＿（填"度数"或"度数的一半"），n 与 180 都＿＿单位；l 与 R 的单位要＿＿。 5.（口答）半径为 3、圆心角为 120°的弧的长度 l＝＿＿（结果保留 π）。 三、例题与练习（一）（课本P134例1＋弧长练习）（约11分钟） 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算"展直长度"，再下料。计算图29.3-1所示管道的展直长度 L（结果取整数）。 （提示：展直长度 L＝直段 CA 的长＋的长＋直段 BD 的长，其中所对的圆心角为 100°，半径为 900 mm。） 练习：1.（课本P136练习1）（辨析）弧长相等的两段弧是等弧吗？＿＿（填"是"或"不是"）；理由：等弧必须能够完全重合，而长度相等的两段弧所在圆的半径＿＿相同（填"一定"或"不一定"）。 2. （填空）半径为 6 cm、圆心角为 60°的弧的长度是＿＿cm；反过来，若弧的长度为 2π cm、圆心角为 60°，则半径为＿＿cm（结果保留 π）。 3.（课本P136练习2，如图）有一段弯道是圆弧形的，弯道长 12 m，弧所对的圆心角是 81°。这段圆弧所在圆的半径 R 是多少米（结果保留小数点后一位）？（提示：由弧长公式变形，得 R＝。） 4.（填空·习题29.3第1题(1)）75°的圆心角所对的弧长是 2.5π，则此弧所在圆的半径为＿＿。 四、探究扇形面积公式（课本P135思考）（约5分钟） 1.（填空）由组成圆心角的两条＿＿和圆心角所对的＿＿围成的图形叫做扇形。 2.（填空）在半径为 R 的圆中，圆心角为 360°的扇形就是整个圆，它的面积是＿＿＿（用含 R 的式子表示）；由此可得，1°的扇形面积是＿＿＿。 3. 于是，圆心角为 n°的扇形面积 S＝。 4.（辨析）比较两个公式，扇形面积还可以用弧长 l 表示：S＝＿＿lR（填系数），其中 l 是扇形的弧长，R 是半径。 5.（口答）半径为 2、圆心角为 90°的扇形面积 S＝＿＿（结果保留 π）。 五、例题与练习（二）（课本P135例2＋扇形面积练习）（约13分钟） 例2 如图29.3-3，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m。求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。 （提示：有水部分是一个弓形，连接 OA、OB，则 S有水＝S扇形OAB－S△OAB；过点 O 作弦 AB 的垂线，可求得∠AOB＝＿＿°。） 练习：5.（课本P136练习3，如图）△ABC 是边长为 a 的等边三角形，D、E、F 分别是 BC、CA、AB 的中点，以 A、B、C 三点为圆心、a/2 为半径作圆。求图中阴影部分的面积。 （提示：三个扇形的圆心角都是＿＿°、半径都是＿＿；S阴影＝S△ABC－三个扇形的面积之和。） 6.（填空·基础）一条弧所对的圆心角是 144°，则这条弧的长度与它所在圆的周长之比是＿＿；若该圆的半径为 5，则这条弧与它所在的半圆所围成的弓形面积为＿＿（结果保留 π）。 六、课堂小结（约2分钟） 填一填：（1）半径为 R、圆心角为 n°的弧长 l＝；（2）圆心角为 n°的扇形面积 S＝＝＿＿lR；（3）弓形面积可转化为扇形与三角形的＿＿或＿＿来计算。 七、作业布置（约1分钟） 必做题：①课本P136练习第2题，写出完整解答过程；②半径为 12 cm、圆心角为 45°的弧的长度是多少（结果保留 π）？③半径为 3、圆心角为 120°的扇形面积是多少（结果保留 π）？ 选做题：四边形 ABCD 内接于 ⊙O，半径为 3，∠D＝120°，求弧 ABC 的长（提示：∠AOC＝2∠D）。 九 年级 数学 学科学案（附页1） 29.3 弧长和扇形面积（第1课时）教案 课型：新授课　　　　课时：1课时　　　　授课年级：九年级 一、教学目标（核心素养目标） 1. 会用数学的眼光观察现实世界：从弯形管道、排水管道截面等实际问题中抽象出弧与扇形，认识弧长、扇形面积与圆的周长、面积之间的比例关系。 2. 会用数学的思维思考现实世界：经历"由圆周长到弧长、由圆面积到扇形面积"的推导过程，掌握弧长公式 与扇形面积公式 ，并能运用它们及逆变形解决求弧长、半径、圆心角与扇形（弓形）面积的问题。 3. 会用数学的语言表达现实世界：能准确表述两个公式的推导依据与使用条件（n 为圆心角的度数、不带单位），规范书写代入计算与取近似值的过程。 二、教学重点 弧长公式、扇形面积公式及其运用。 三、教学难点 公式的推导与逆向运用；弓形面积的计算（转化为扇形与三角形的和或差）。 四、教学方法与教具准备 讲练结合法、引导探究法；多媒体课件、圆规、直尺、计算器。 五、教学过程 （一）课前复习（2分钟） 问题1：半径为R的圆的周长C和面积S分别是什么？ 解：C＝2πR；。 问题2：顶点在圆心的角叫做什么角？周角等于多少度？ 解：顶点在圆心的角叫做圆心角；周角等于360°。 （二）温故知新（1分钟） 引入：弯形管道的弯曲部分是圆弧形的，扇形是圆的一部分。我们已经会求圆的周长和面积，那么怎样求一段弧的长度、一块扇形的面积？本节课就来研究这两个问题。 （三）探究弧长公式（5分钟） 思考：（课本P134）在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧就是整个圆，它的长度是多少？由此能求1°的圆心角所对的弧长吗？n°的圆心角所对的弧长呢？ 解：360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长2πR；1°的圆心角所对的弧长为；n°的圆心角所对的弧长 。 辨析：使用公式时，n表示圆心角的＿＿；n与180都＿＿单位；l与R的单位要＿＿。 解：n表示圆心角的度数；n与180都不带单位；l与R的单位要一致。 口答：半径为3、圆心角为120°的弧的长度l是多少（结果保留π）？ 解：。 （四）例题与练习（一）（11分钟） 例1 （课本P134）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算"展直长度"，再下料。计算图29.3-1所示管道的展直长度L（结果取整数）。 解：由图29.3-1可知，直段CA、BD的长均为700mm，弧CD所对的圆心角为100°，半径R＝900mm。弧CD的长 。所以展直长度 L＝2×700＋500π≈1400＋1570＝2970(mm)，即管道的展直长度L约为2970mm。 1.（课本P136练习1）（辨析）弧长相等的两段弧是等弧吗？ 解：不是。理由：等弧必须能够完全重合，而长度相等的两段弧所在圆的半径不一定相同，所以弧长相等的两段弧不一定是等弧。 2.（填空）半径为6cm、圆心角为60°的弧的长度是多少cm？反过来，若弧的长度为2πcm、圆心角为60°，则半径为多少cm？ 解：；由 得 。 3.（课本P136练习2）如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长12m，弧所对的圆心角是81°。这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）？ 解：由 ，得 。即这段圆弧所在圆的半径R约为8.5m。 4.（习题29.3第1题(1)）75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为多少？ 解：由 ，得 。 （五）探究扇形面积公式（5分钟） 定义：（填空）由组成圆心角的两条＿＿和圆心角所对的＿＿围成的图形叫做扇形。 解：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 思考：（课本P135）在半径为R的圆中，圆心角为360°的扇形就是整个圆，它的面积是多少？由此能求1°的扇形面积吗？圆心角为n°的扇形面积呢？ 解：圆心角为360°的扇形面积就是圆的面积；1°的扇形面积为；圆心角为n°的扇形面积 。 比较：比较两个公式，扇形面积还可以用弧长l表示：S＝＿＿lR（填系数）。 解：。理由：，其中l是扇形的弧长，R是半径。 口答：半径为2、圆心角为90°的扇形面积S是多少（结果保留π）？ 解：。 （六）例题与练习（二）（13分钟） 例2 （课本P135）如图29.3-3，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m。求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）。 解：截面上有水部分是一个弓形，连接OA、OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为C，交圆于点D。∵水面高CD＝0.3m，半径OD＝0.6m，∴OC＝OD－CD＝0.6－0.3＝0.3(m)。在Rt△AOC中，OA＝0.6m，OC＝0.3m，∴，∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°。S扇形；，。∴S有水＝S扇形。即截面上有水部分的面积约为。 5.（课本P136练习3）如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心、为半径作圆。求图中阴影部分的面积。 解：三个扇形的圆心角都是60°（等边三角形的内角相等），半径都是。，每个扇形的面积为，三个扇形的面积之和为。∴S阴影＝S△ABC－三个扇形的面积之和。 6.（填空·基础）一条弧所对的圆心角是144°，则这条弧的长度与它所在圆的周长之比是多少？若该圆的半径为5，则这条弧与它所在的半圆所围成的弓形面积是多少（结果保留π）？ 解：这条弧的长度与它所在圆的周长之比＝144:。半圆的面积为；这条弧与过它端点的两条半径围成的扇形面积为；这个扇形把它所在的半圆分成扇形内、外两部分，外侧部分（弓形）的面积为12.5π－10π＝2.5π。 （七）课堂小结（2分钟） (1)弧长公式 （由圆周长2πR按比例求得，n为圆心角的度数，不带单位）；(2)扇形面积公式 ；(3)弓形面积可转化为扇形与三角形的和或差来计算。 （八）作业布置（1分钟） 必做题：①课本P136练习第2题，写出完整解答过程（解答过程见课堂练习3）；②半径为12cm、圆心角为45°的弧的长度是多少（结果保留π）？③半径为3、圆心角为120°的扇形面积是多少（结果保留π）？ 解：②；③。 选做题：四边形ABCD内接于⊙O，半径为3，∠D＝120°，求弧ABC的长。 解：∵圆周角∠D＝120°，∴它所对的弧ABC的度数为2×120°＝240°。∴弧ABC的长。 六、板书设计 课题：29.3 弧长和扇形面积（第1课时） 左栏：弧长公式 （360°→2πR，1°→）→ 例1 管道展直长度：L＝2×700＋500π≈2970mm → 逆用求半径： 右栏：扇形面积公式 → 例2 弓形面积：S有水＝S扇形 → 弓形面积转化为扇形与三角形的和或差 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $