25.7 相似三角形的应用 同步练习 2026-2027学年冀教版数学九年级上册

冀教版（2024）九年级上册 25.7 相似三角形的应用 同步练习 一、选择题 1．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，在AC的延长线上取一点D，使CDCA，在BC的延长线上取一点E，使CECB，测得DE的长为5米，则AB两点间的距离为（  ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 2．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20 cm，AB边上的高为25 cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸条.若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是(  ) A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 3．了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC，CD，DE； ②CD，BC，EF；③EF，DE，BD；④EF，FD，BC． 能根据所测数据，求出A，B间距离的有（  ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1m，射灯A与皮影人相距2m．若保持皮影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影人靠近至G的距离AG为（  ） A． B． C．1m D． 5．数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB=∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5 m，同时测得BE=30 cm，BD=2.3 m，则旗杆的高度为 A．10 m B．11.5 m C．22.5 m D．40 m 6．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则AB与CD的距离是（  ）m． A． B． C． D． 7．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（  ） A．5m B．7m C．7.5m D．21m 8．有五本形状为长方体的书放置在长方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为 A．5 cm B． cm C． cm D．8 cm 9．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB'为36 cm，要使烛焰的像A'B'是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应距离蜡烛 （      ）  A．12 cm B．24 cm C．18 cm D．9 cm 10．如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0.5 m时，长臂的端点B应升高 （      ）  A．0.5 m B．1 m C．8 m D．16 m 11．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6 m，则AB的长为(  ) A．30 m B．24 m C．18 m D．12 m 12．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底(点O)20米的点A处，沿AO所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度 （      ）  A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米 二、填空题 13．为了测量教学楼与对面楼房之间的距离，小明站在教学楼二楼走廊上伸直右臂，以大拇指为准，分别闭上左、右眼，使大拇指分别对准对面二楼的窗户的两边，若窗宽1.5m，小明臂长50cm，两眼之间的距离为5cm，则教学楼与对面楼房之间的距离是__________． 14．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 __________m． 15．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭(tǔ ɡuī)，具体方法是在平台中央竖立一根杆子AB，AB=6尺，观察杆子的日影长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第二时刻的影长BD为24尺，则第一时刻的影长BC为__________尺.  16．如图1，AB为路灯主杆，BC为路灯的悬臂，AB=4.6 m，BC=0.5 m.MP为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯笼，已知BC⊥AB于点B，AM=4.5 m，高度为1.6 m的小艺同学沿地面AM行走并看路灯C，GD=2 m，绘制示意图(如图2)，G，D，H三点共线，GH∥AM，∠CDE=90°且∠DFH=∠EDH，此时所看到的灯笼F与H点的距离为__________m.  17．墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走0.6m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝__________m． 三、解答题 18．如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，高16m，现在在甲楼后盖座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼6m，若甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，两楼距离应是多少m？ 19．如图，在墙面AB上有一块广告牌AC，某天傍晚，李华和张莉带着皮尺和手电筒测量广告牌AC的高度如图，首先，张莉在F处放置手电筒，李华在BF上调整自己的位置，恰好在点D处时，李华在墙面上的影子顶端位于点C处，测得DF＝4m，BD＝7m；然后，张莉把手电筒向后移到点M处，李华再次调整自己的位置，恰好在点G处时，李华在墙面上的影子顶端位于点A处，测得MG＝3.2m，MB＝19m．李华的身高ED＝HG＝1.6m，AB⊥MB，ED⊥MB，HG⊥MB，点B、D、F、G、M在同一水平直线上，点A、C、B在一条直线上，图中所有点都在同一平面内，请根据相关测量数据，求出AC的高度． 20．为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出       ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度． 21．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10m，BC＝18m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A？ 22．如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出． 冀教版（2024）九年级上册 25.7 相似三角形的应用 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够，于是他想了一个办法：在地上取一点C，使它可以直接到达A、B两点，在AC的延长线上取一点D，使CDCA，在BC的延长线上取一点E，使CECB，测得DE的长为5米，则AB两点间的距离为（  ） A．6米 B．8米 C．10米 D．12米 【答案】C 【解析】∵△ABC和△DEC中，， 且∠ACB＝∠DCE， ∴△ABC∽△DEC， ∴， 又∵DE＝5， ∴AB＝10m． 故选：C． 2．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20 cm，AB边上的高为25 cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4 cm的矩形纸条.若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是(  ) A．第5张 B．第6张 C．第7张 D．第8张 【答案】A 【解析】已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4 cm， 所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的距离为x， 则=， 解得x=5， 因为AB边上的高为25 cm， 所以AB边上的高的另一段长为25-5=20(cm)， 因为20÷4=5，所以是第5张. 3．了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC，CD，DE； ②CD，BC，EF；③EF，DE，BD；④EF，FD，BC． 能根据所测数据，求出A，B间距离的有（  ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【解析】①仅知道DE，DC，BC无法求出AB； ②仅知道CD，BC，EF无法求出AB； ③由于已知EF、DE、BD， 根据△FED∽△ABD即可求出AB的长，故本选项正确； ④仅知道EF，FD，BC无法求出AB． 故选：A． 4．我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1m，射灯A与皮影人相距2m．若保持皮影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影人靠近至G的距离AG为（  ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【解析】由题意得，BC∥DE，AC＝2m，CE＝1m，EF＝2DE ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∴， ∵BC∥DE， ∴△BCG∽△FEG， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．数学活动课上，小明为了测量学校旗杆的高度，在他脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆顶端C，此时∠AEB=∠CED，小明画出如图所示的示意图，并估计他的眼睛与地面的距离为1.5 m，同时测得BE=30 cm，BD=2.3 m，则旗杆的高度为 A．10 m B．11.5 m C．22.5 m D．40 m 【答案】A 【解析】由题意得AB=1.5 m，BE=0.3 m， ∠AEB=∠CED， ∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABE=∠CDE=90°， ∴△AEB∽△CED， ∴=， ∵BD=2.3 m， ∴DE=2 m， ∴=， 解得CD=10， 则旗杆的高度为10 m. 6．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝5m，点P到CD的距离是3m，则AB与CD的距离是（  ）m． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点P到AB的距离为xm， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD， ∴， 解得xm． 3m， 故选：C． 7．如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（  ） A．5m B．7m C．7.5m D．21m 【答案】B 【解析】如图， ∵AB⊥OD，CD⊥OD， ∴AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵AB＝2m，OB＝6m，OD＝6+15＝21m， ∴， 解得CD＝7m． 这颗树的高度为7m， 故选：B． 8．有五本形状为长方体的书放置在长方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G正好在书架边框上.每本书的厚度为5 cm，高度为20 cm，书架宽为40 cm，则FI的长为 A．5 cm B． cm C． cm D．8 cm 【答案】B 【解析】如图，由题知CI=BI-BC=40-20=20(cm)，EF=20 cm，FG=5 cm， ∵∠EFC+∠CEF=90°，∠EFC+∠GFI=90°， ∴∠CEF=∠GFI， ∵∠ECF=∠FIG=90°， ∴△GIF∽△FCE， ∴=， 即=， ∴CE=4FI， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2=EF2， 即(4FI)2+(20-FI)2=202， 解得FI=或FI=0(舍去). 9．如图，物理课上张明做小孔成像实验，已知蜡烛与成像板之间的距离BB'为36 cm，要使烛焰的像A'B'是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应距离蜡烛 （      ）  A．12 cm B．24 cm C．18 cm D．9 cm 【答案】A 【解析】∵AB∥A'B'， ∴△AOB∽△A'OB'， ∴AB∶A'B'＝OB∶OB'， 即1∶2＝OB∶(36－OB)， 解得OB＝12 cm. ∴蜡烛与成像板之间的小孔纸板应距离蜡烛12 cm. 10．如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0.5 m时，长臂的端点B应升高 （      ）  A．0.5 m B．1 m C．8 m D．16 m 【答案】C 【解析】设轴是点O（图略），CA'∥DB'， ∴△COA'∽△DOB'， ∴， ∴，解得B'D＝8 m. 11．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6 m，则AB的长为(  ) A．30 m B．24 m C．18 m D．12 m 【答案】B 【解析】∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴==， ∴AB=4EF=24(m). 12．如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底(点O)20米的点A处，沿AO所在直线行走12米到达点B时，小明身影长度 （      ）  A．变长2.5米 B．变短2米 C．变短2.5米 D．变短3米 【答案】D 【解析】如图，由题意得OC＝8米，AB＝12米，AO＝20米，BD＝1.6米， ∴OB＝AO－AB＝8（米）， ∵∠DBN＝∠COB＝90°，∠CNO＝∠DNB， ∴△DBN∽△CON， ∴， 设BN＝x米，则ON＝(8＋x)米， ∴， 解得x＝2， ∴BN＝2米， 同理可得AM＝5米， ∴小明身影长度变短3米. 二、填空题 13．为了测量教学楼与对面楼房之间的距离，小明站在教学楼二楼走廊上伸直右臂，以大拇指为准，分别闭上左、右眼，使大拇指分别对准对面二楼的窗户的两边，若窗宽1.5m，小明臂长50cm，两眼之间的距离为5cm，则教学楼与对面楼房之间的距离是__________． 【答案】15m 【解析】如图，AB为两眼之间的距离，CD为窗宽，OF臂长，OE为教学楼与对面楼房之间的距离， 则AB＝0.05m，CD＝1.5m，OF＝0.5m， ∵AB∥CD， ∴△ABO∽△DCO， ∴，即， ∴OE＝15（m）． 即教学楼与对面楼房之间的距离是15m． 故答案为15m． 14．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 __________m． 【答案】0.2． 【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABO＝∠CDO＝90°， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△ABO∽△CDO， 则， ∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m， ∴， 解得：CD＝0.2， ∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m． 故答案为：0.2． 15．中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭(tǔ ɡuī)，具体方法是在平台中央竖立一根杆子AB，AB=6尺，观察杆子的日影长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角∠BAC和第二时刻光线与地面的夹角∠ADB相等，测得第二时刻的影长BD为24尺，则第一时刻的影长BC为__________尺.  【答案】5 【解析】由题意可知∠ABC=∠DBA=90°，∠BAC=∠ADB， ∴△ABC∽△DBA， ∴=， ∵AB=6尺，第二时刻的影长BD为24尺， ∴=， 解得CB=1.5， ∴第一时刻的影长BC为1.5尺. 16．如图1，AB为路灯主杆，BC为路灯的悬臂，AB=4.6 m，BC=0.5 m.MP为足够长的标杆，标杆垂直地面且挂有若干个灯笼，已知BC⊥AB于点B，AM=4.5 m，高度为1.6 m的小艺同学沿地面AM行走并看路灯C，GD=2 m，绘制示意图(如图2)，G，D，H三点共线，GH∥AM，∠CDE=90°且∠DFH=∠EDH，此时所看到的灯笼F与H点的距离为__________m.  【答案】5 【解析】如图，过C作CN⊥GH于点N， ∴CN=BG=AB-AG=4.6-1.6=3(m)， GN=BC=0.5 m，GH=AM=4.5 m， ∴NH=GH-GN=4(m)，DN=DG-GN=1.5(m)， ∴DH=NH-ND=4-1.5=2.5(m)， ∵∠CDE=90°， ∴∠CDN+∠EDH=90°， ∵∠CDN+∠DCN=90°， ∴∠DCN=∠EDH， ∵∠DFH=∠EDH， ∴∠DCN=∠DFH， ∵∠CND=∠FHD=90°， ∴△CDN∽△FDH， ∴=， 即=， ∴FH=5 m. 17．墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走0.6m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝__________m． 【答案】56 【解析】如图： 根据题意得：BG＝AF＝AE＝1.6m，AB＝0.6m， ∵BG∥AF∥CD， ∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD， ∴AE：EC＝AF：CD，AB：AC＝BG：CD， 设AC＝xm，则CD＝CE＝（1.6+x）m， ∴， 解得：x＝0.96， ∴CD＝1.6+0.96＝2.56m． 故答案为2.56m． 三、解答题 18．如图，某小区宿舍楼甲楼坐落在正南正北方向，高16m，现在在甲楼后盖座乙楼，冬天太阳最低时的正午时刻，若两楼相距20m，则甲楼的影子将落在乙楼6m，若甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，两楼距离应是多少m？ 【答案】解：如图，作CF⊥AB于点F，延长AC、BD交于点E， 由题意得：△ACF∽△AEB， ∴， 即：， 解得：EB＝32米， 所以若甲楼的影子刚好不影响乙楼的采光，两楼距离应是32m． 19．如图，在墙面AB上有一块广告牌AC，某天傍晚，李华和张莉带着皮尺和手电筒测量广告牌AC的高度如图，首先，张莉在F处放置手电筒，李华在BF上调整自己的位置，恰好在点D处时，李华在墙面上的影子顶端位于点C处，测得DF＝4m，BD＝7m；然后，张莉把手电筒向后移到点M处，李华再次调整自己的位置，恰好在点G处时，李华在墙面上的影子顶端位于点A处，测得MG＝3.2m，MB＝19m．李华的身高ED＝HG＝1.6m，AB⊥MB，ED⊥MB，HG⊥MB，点B、D、F、G、M在同一水平直线上，点A、C、B在一条直线上，图中所有点都在同一平面内，请根据相关测量数据，求出AC的高度． 【答案】解：∵AB⊥MB，ED⊥MB， ∴∠CBF＝∠EDF＝90°， ∵∠CFB＝∠EFD， ∴△CFB∽△EFD， ∴，即， ∴CB＝4.4m， ∵AB⊥MB，HG⊥MB， ∴∠ABM＝∠HGM＝90°， ∵∠AMB＝∠HMG， ∴△AMB∽△HMG， ∴，即， ∴AB＝9.5m， ∴AC＝AB﹣BC＝9.5﹣4.4＝5.1（m）， ∴AC的高度为5.1m． 20．为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出       ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度． 【答案】解：（1）∵∠ABC＝∠CDE＝90°， ∠ACB＝∠DCE， ∴△ACB∽△ECD， ∴， ∵DE＝1.5米，CD＝1.8米， ∴， 故答案为：， （2）∵FG⊥BH，AB⊥BH， ∴AB∥FG， ∴△HFG∽△HBA， ∴， ∴， ∴AB＝25（米）， 答：学校旗杆AB的高度为25米． 21．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10m，BC＝18m，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A？ 【答案】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即，解得AD＝10（m）． 答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A． 22．如图，一个三角形钢筋框架三边长分别为20cm、50cm、60cm，要做一个与其相似的钢筋框架．现有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，你认为有几种不同的截法？并分别求出． 【答案】解：有两种不同的截法： （1）如图（一），以30cm长的钢筋为最长边，设中边为x，短边长为y， 则有，①， 解得x＝25， ②， 解得y＝10， 所以从50cm长的钢筋上分别截取10cm、25cm的两段；（6分） （2）如图（二），以30cm长的钢筋为中边， 设长边为x，短边长为y， ①， 解得x＝36， ②， 解得y＝12． 所以从50cm长的钢筋上分别截取12cm、36cm的两段．（12分） （3）若以30cm长的钢筋为短边， 设长边为x，中边长为y， ， 解得：x＝90（不合题意，舍去）． 学科网（北京）股份有限公司 $