3.3.2二次根式的混合运算 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 \(\boldsymbol{3}\).\(\boldsymbol{3}\).2 二次根式的混合运算 专项练习 ## 知识点回顾 运算顺序：**先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内**。 整式的运算法则、乘法公式在二次根式中全部适用： 1. 分配律：$\(m(a+b)=ma+mb\)$ 2. 平方差公式：$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$ \(\boldsymbol{3}\). 完全平方公式：$\boldsymbol{(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2}$ 解题要点： 1. 乘除优先，加减最后；加减前必须化成最简二次根式，只合并同类二次根式； 2. 利用乘法公式可以简化计算； \(\boldsymbol{3}\). 结果一定要化为**最简二次根式**，分母不含根号； 4. 注意符号，去括号仔细。 满分：1\(\boldsymbol{0}\)\(\boldsymbol{0}\)分 时间：4\(\boldsymbol{0}\)分钟 ## 一、选择题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 1. 计算$\sqrt{2}(\sqrt{8}-\sqrt{2})$的结果是（） A.$\sqrt{16}-\sqrt2$　B.$2$　C.$4-\sqrt2$　D.$6$ 2. $(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$等于（） A.$1$　B.$2$　C.$\(\boldsymbol{3}\)$　D.$5-4$ \(\boldsymbol{3}\). $(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+1)^2$的结果是（） A.$4$　B.$4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$　C.$\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)$　D.$\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$ 4. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$ B.$\sqrt8\div\sqrt2=2$ C.$\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt2=\(\boldsymbol{3}\)$ D.$\sqrt2\times\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=\sqrt5$ 5. $(2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$等于（） A.$2-\sqrt2$　B.$2-\sqrt6$　C.$\sqrt2$　D.$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2$ ## 二、填空题（每题4分，共2\(\boldsymbol{0}\)分） 1.$(\sqrt{\(\boldsymbol{7}\)}+\(\boldsymbol{3}\))(\sqrt\(\boldsymbol{7}\)-\(\boldsymbol{3}\))=$________。 2.$(\sqrt5-\sqrt2)^2=$________。 \(\boldsymbol{3}\).$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt{12}-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))=$________。 4.$(\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt2)(\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)=$________。 5.$\sqrt{24}\times\dfrac12-\sqrt6=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分，共\(\boldsymbol{3}\)2分） 1. 计算： （1）$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}(\sqrt6-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$　　（2）$\sqrt{8}(\sqrt2-\sqrt{\dfrac12})$ 2. 计算： （1）$(2+\sqrt\(\boldsymbol{3}\))(2-\sqrt\(\boldsymbol{3}\))$　　（2）$(\sqrt5+\sqrt2)^2$ \(\boldsymbol{3}\). 计算： （1）$(\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}-\sqrt{12})\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$　　（2）$(\sqrt{18}-\sqrt8)\times\sqrt2$ 4. 计算：$\sqrt{12}+\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\times(\sqrt6-\sqrt2)$ ## 四、拓展提升题（每题14分，共28分） 1. 计算：$(\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}+\sqrt2)^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt2)^2$ 2. 已知$a=\sqrt2+1$，求代数式$a^2-2a+1$的值。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：$\sqrt2\times\sqrt8-\sqrt2\times\sqrt2=\sqrt{16}-2=4-2=2$ 2. A 解析：平方差，$(\sqrt5)^2-2^2=5-4=1$ \(\boldsymbol{3}\). B 解析：完全平方，$(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)^2=\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt\(\(\boldsymbol{3}\)+1\)=4+2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$ 4. B 解析：A不能合并；C结果$2\sqrt2$；D结果$\sqrt6$ 5. A 解析：$2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt6\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)=2-\sqrt2$ ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{-2}$ 2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)-2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$ \(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)}$ 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{0}\)}$ ## 三、基础解答题 1.（1） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{18}-\sqrt9\\ &=\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\) \end{align}$，$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\(\boldsymbol{3}\)}$ （2） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt8\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt{\dfrac12}\\ &=\sqrt{16}-\sqrt4=4-2=\boldsymbol{2} \end{align}$ 2.（1）原式$=2^2-(\sqrt\(\boldsymbol{3}\))^2=4-\(\boldsymbol{3}\)=\boldsymbol{1}$ （2）原式$=(\sqrt5)^2+2\sqrt5\cdot\sqrt2+(\sqrt2)^2=\boldsymbol{\(\boldsymbol{7}\)+2\sqrt{1\(\boldsymbol{0}\)}}$ \(\boldsymbol{3}\).（1） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{2\(\boldsymbol{7}\)}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)-\sqrt{12}\div\sqrt\(\boldsymbol{3}\)\\ &=\sqrt9-\sqrt4=\(\boldsymbol{3}\)-2=\boldsymbol{1} \end{align}$ （2） $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{18}\times\sqrt2-\sqrt8\times\sqrt2\\ &=\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)6}-\sqrt{16}=6-4=\boldsymbol{2} \end{align}$ 4. 解： $\begin{align} \text{原式}&=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\sqrt{18}-\sqrt6\\ &=2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6 \end{align}$ $\boldsymbol{2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)+\(\boldsymbol{3}\)\sqrt2-\sqrt6}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： 方法一：完全平方展开 $\begin{align} \text{原式}&=(\(\boldsymbol{3}\)+2\sqrt6+2)-(\(\boldsymbol{3}\)-2\sqrt6+2)\\ &=5+2\sqrt6-5+2\sqrt6=\boldsymbol{4\sqrt6} \end{align}$ 2. 解： $a^2-2a+1=(a-1)^2$ 代入$a=\sqrt2+1$ $\begin{align} \text{原式}&=(\sqrt2+1-1)^2=(\sqrt2)^2=\boldsymbol{2} \end{align}$ ## 易错警示 1. 混合运算顺序不能乱，**先乘除，后加减**； 2. 乘法公式可以直接套用，简化计算； \(\boldsymbol{3}\). 不要把被开方数直接加减； 4. 除法分配律只适用于**分子是和差、分母是单项式**的情况，不能反过来拆分分母； 5. 结果必须化为最简二次根式。 下一节：**第4章 一元二次方程 4.1.1 一元二次方程的概念**，继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.3.2二次根式的混合运算 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 掌握二次根式的混合运算（重点） 掌握乘法公式在二次根式混合运算中的应用（难点） 学习目标 知识回顾 m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?你还记得吗？ 你还记得平方差公式和完全平方公式？ （1）平方差公式：(x+y)(x-y)=x2-y2 （2）完全平方公式：(xy)2=x22xy+y2 02 新知导入 解：（1）×= =. （2）. 二次根式的乘法法则：⋅= 二次根式的除法法则： 计算：（1）×；（2） . 4 02 新知导入 计算： (1)； (2)2. (2) 2 =2 = = = 解： (1) = = 5 02 新知导入 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变. 回顾：二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，是什么？ 先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里的. 6 03 新知探究 做一做 计算：(1); (2). 解：(1)原式== = ==. 你还有其它方法吗？ 03 新知探究 解：(1)原式== = = =. 03 新知探究 二次根式的四则运算是根据实数乘法对加法的分配律、实数加法的交换律和结合律、实数乘法的交换律和结合律进行的. 解：(2)原式= = =. 03 新知探究 计算：(1); (2). 例3 解： (1)原式. (2) 可以利用乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算. B 2. 从“，， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“ ”中的“ ”内，使其运算结果最大， 则应选择的运算符号是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 11 返回 3．[张家界市期末]如图，矩形内有两个 相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中 阴影部分的面积为___. 2 举一反三 12 举一反三 返回 举一反三 03 新知探究 计算：. 例4 解：原式 = 03 新知探究 计算：(1); (2). 例5 解：(1)原式 = = 怎么将分母有理化？ 分子与分母同乘，然后利用平方差公式把分母中的根号去掉. 03 新知探究 计算：(1); (2). 例5 解：(2)原式 + = = 03 新知探究 分母有理化： 1.形如： . 2.形如： . 3.形如： . 新知应用 基础巩固题 1.计算 的结果是( ) . C A.5 B. C. D. 解：原式 2.计算 的结果是( ) . A 解：原式 A. B. C.2 D. 新知应用 基础巩固题 3.计算： ____． <m></m> 4.计算： ____． 解： 返回 D 举一反三 21 返回 举一反三 22 返回 7.已知，则 化简 的结果为_________. 举一反三 23 （2） ； 原式 . 举一反三 24 返回 举一反三 25 9.先化简，再求值： ，其中 ， . 【解】原式 . 因为， ， 所以原式 . 返回 举一反三 26 10. 已知 ， ，，那么，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 27 课堂小结 二次根式的混合运算 四则混合运算 乘法公式在二次根式中的应用 活学巧记 二次根式混合算， 加减乘除和乘方， 运算顺序同实数， 恰到好处运算律， 乘法公式用到位， 计算过程变容易. 谢谢观看 THANKS 1．计算×(＋1)的结果为(　　) A．6　B．8　C．2－4　D．12－4 【解】原式＝(3＋2)(－)＝3×－3＋2×－2×＝－3＋2－10＝－－. 4．计算： (1)(3－9＋)÷； (2)(3＋2)(－)； 【解】原式＝(6－3＋4)÷＝(6＋)÷＝6＋1. (3)－÷3. 【解】原式＝－＝1－×6＝－1. 5．若a，b都是有理数，且a＋b＝(3－2)2，则a，b的值分别为(　　) A．11，－6 B．17，－6 C．11，－12 D．17，－12 4＋7 6．计算：(4＋7)101(4－7)100＝________． 【解】原式＝[(2＋3)(2－3)]2＝[(2)2－(3)2]2＝(28－18)2＝100. 8．计算： (1)(2＋3)2(2－3)2； 【解】原式＝－20＋＋＝75－20＋20＋6＝101－20. (3)(5－2)2＋. $