3.2.2二次根式的除法 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 \(\boldsymbol{3}\).2.2 二次根式的除法 专项练习 ## 知识点回顾 二次根式除法法则： $$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)b>0)}$$ 文字表述：两个二次根式相除\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)把被开方数相除\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)根指数不变。 逆用（商的算术平方根）： $$\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)b>0)}$$ 解题要点： 1. 公式条件：$a\ge0\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)\boldsymbol{b>0}$\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)分母不能为0； 2. 系数相除、根式分开运算：$\dfrac{m\sqrt{a}}{n\sqrt{b}}\(=\)\dfrac{m}{n}\cdot\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$； \(\boldsymbol{3}\). 分母含有根号时\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)需要**分母有理化**； 4. 最终结果必须是最简二次根式：根号内无分母\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)分母不含根号\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)无开得尽方的因式。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)共20分） 1. $\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}$的结果是（） A.$\sqrt{5}$　B.$5$　C.$\sqrt{12}$　D.$\(\boldsymbol{3}\)$ 2. 计算$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$化简结果是（） A.$\dfrac12$　B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$　C.$\sqrt{2}$　D.$2$ \(\boldsymbol{3}\). 下列计算正确的是（） A.$\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{4}}\(=\)\sqrt{4}\(=\)2$ B.$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\(=\)\(\boldsymbol{3}\)$ C.$\sqrt{\dfrac{-4}{-9}}\(=\)\dfrac{\sqrt{-4}}{\sqrt{-9}}$ D.$\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)2$ 4. 等式$\sqrt{\dfrac{x}{x-2}}\(=\)\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x-2}}$成立的条件是（） A.$x\ge0$　B.$\(x>2\)$ C.$x\ge2$　D.$0\le x<2$ 5. $\dfrac{4\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\(=\)$（） A.$2\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}$　B.$2\sqrt{4}$　C.$4\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}$　D.$\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}$ ## 二、填空题（每题4分\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)共20分） 1.$\sqrt{\dfrac{25}{16}}\(=\)$________。 2.$\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)$________。 \(\boldsymbol{3}\).$\sqrt{\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)}{4}}\(=\)$________。 4.$\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}\(=\)$________。 5. 化简$\sqrt{\dfrac{2}{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)$________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)共\(\boldsymbol{3}\)2分） 1. 计算： （1）$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$　　（2）$\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}$ 2. 计算： （1）$\dfrac{\(\boldsymbol{3}\)\sqrt{12}}{2\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}$　　（2）$\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}$ \(\boldsymbol{3}\). 化简： （1）$\sqrt{\dfrac{5}{12}}$　　（2）$\sqrt{\dfrac{2b}{\(\boldsymbol{3}\)a}}\quad(a>0,b\ge0)$ 4. 分母有理化： （1）$\dfrac{1}{\sqrt{7}}$　　（2）$\dfrac{2}{\sqrt{6}}$ ## 四、拓展提升题（每题14分\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)共28分） 1. 计算：$\sqrt{1\dfrac12}\div\sqrt{\dfrac16}$ 2. 一个长方形面积是$\sqrt{48}\ \text{cm}^2$\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)长是$\sqrt{8}\ \text{cm}$\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)求长方形的宽。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. A 解析：$\dfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)\sqrt{\dfrac{15}{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)\sqrt5$ 2. B 解析：$\sqrt{\dfrac12}\(=\)\dfrac{1}{\sqrt2}\(=\)\dfrac{\sqrt2}{2}$ \(\boldsymbol{3}\). D 解析：A：$\sqrt2$；B：$\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$；C：根号内不能为负数。 4. B 解析：$\begin{cases}x\ge0\\x-2>0\end{cases}\Rightarrow \(x>2\)$ 5. A 解析：$\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac{\sqrt6}{\sqrt2}\(=\)2\sqrt\(\boldsymbol{3}\)$ ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{\dfrac54}$ 2.$\boldsymbol{2\sqrt2}$ \(\boldsymbol{3}\).$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt\(\boldsymbol{3}\)}{2}}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ 5.$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt6}{\(\boldsymbol{3}\)}}$ ## 三、基础解答题 1.（1）原式$\(=\)\sqrt{\dfrac{20}{5}}\(=\)\sqrt4\(=\)\boldsymbol{2}$ （2）原式$\(=\)\sqrt{\dfrac{48}{6}}\(=\)\sqrt8\(=\)\boldsymbol{2\sqrt2}$ 2.（1）原式$\(=\)\dfrac\(\boldsymbol{3}\)2\sqrt{\dfrac{12}{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)\dfrac\(\boldsymbol{3}\)2\sqrt4\(=\)\dfrac\(\boldsymbol{3}\)2\times2\(=\)\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ （2）原式$\(=\)\sqrt{\dfrac{27}{\(\boldsymbol{3}\)}}\(=\)\sqrt9\(=\)\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)}$ \(\boldsymbol{3}\).（1）$\sqrt{\dfrac{5}{12}}\(=\)\sqrt{\dfrac{15}{\(\boldsymbol{3}\)6}}\(=\)\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{15}}{6}}$ （2）$\sqrt{\dfrac{2b}{\(\boldsymbol{3}\)a}}\(=\)\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6ab}}{\(\boldsymbol{3}\)a}}$ 4.（1）$\dfrac{1}{\sqrt7}\(=\)\boldsymbol{\dfrac{\sqrt7}{7}}$ （2）$\dfrac{2}{\sqrt6}\(=\)\dfrac{2\sqrt6}{6}\(=\)\boldsymbol{\dfrac{\sqrt6}{\(\boldsymbol{3}\)}}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： $\begin{align} \text{原式}&\(=\)\sqrt{\dfrac\(\boldsymbol{3}\)2\div\dfrac16}\\ &\(=\)\sqrt{\dfrac\(\boldsymbol{3}\)2\times6}\\ &\(=\)\sqrt9\(=\)\boldsymbol{\(\boldsymbol{3}\)} \end{align}$ 2. 解： 宽$\(=\)$面积$\div$长 $\begin{align} \text{宽}&\(=\)\sqrt{48}\div\sqrt{8}\\ &\(=\)\sqrt{\dfrac{48}{8}}\(=\)\sqrt6 \end{align}$ 答：长方形宽为$\boldsymbol{\sqrt6}\ \text{cm}$ ## 易错警示 1. 公式$\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$要求$a\ge0\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)\boldsymbol{b>0}$\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)分母不能等于0； 2. 根号内是分数\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)不能直接把分子分母各自开方后保留分母根号； \(\boldsymbol{3}\). 带系数的除法\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)系数单独相除\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)不要混入根号； 4. 结果一定要分母有理化\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)分母不能带根号。 下一节：**\(\boldsymbol{3}\).\(\boldsymbol{3}\).1二次根式的加减**\(\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\(=\)\sqrt{\dfrac{a}{b}}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{\dfrac{a}{b}}\(=\)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\quad(a\ge0\(a\ge0，\boldsymbol{b>0}\)b>0)}\)b>0)}\)继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.2.2二次根式的除法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 3 掌握商的算术平方根并会进行二次根式的化简（重点） 掌握二次根式的除法法则以及应用的条件（重点） 能根据二次根式除法法则进行二次根式的除法计算（难点） 学习目标 思 考 1.计算下列各式： 观察计算的结果，你会发现什么？ 2.当时，猜想和的关系，并说明理由。 = 你能将它推导出来吗？ 02 新知导入 计算：（1）×；（2） 2×3. 解：（1）×= = = 2. （2）. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变. ⋅= 4 03 新知探究 思考 计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？ (1) =__________，=__________； (2) =__________，=__________. 猜想： () 03 新知探究 理由：一般地，如果，则 ， 因此， （）. 设，则 . 与互为倒数. 6 03 新知探究 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7 03 新知探究 化简下列二次根式： (1)； (2) . 例3 解：（1） ==. （2）. 化简二次根式时，最后结果要求分母中不含二次根式. 注意 03 新知探究 思考 等式具有对称性，即若a=b,则b=a,根据等式的对称性填空： (1)若=⋅，则________________; (2)若，则________________. ⋅= 03 新知探究 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，等于把它们的被开方数相除，根指数不变. 10 03 新知探究 例4 解： （1） （2）= . 计算：（1）；（2） . 二次根式的除法法则的推广： 11 返回 B 举一反三 12 返回 B 举一反三 返回 B 举一反三 14 03 新知探究 议一议 小华与小楠两名同学在计算时，做法分别如下： （1） === 3； （2） == 3. 你更喜欢哪种做法？ 更喜欢小华的做法.因为小华的做法直接套用二次根式的除法法则,计算直接，不易出错.（答案不唯一） 15 03 新知探究 例5 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接 收到电视节目信号的区域就越广 .已知电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径r(km)之间满足 r=(其中R是地球半径). 现有两座高分别为 h1=600m，h2=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？ 16 03 新知探究 解：设两座电视塔的传播半径分别为r1，r2. 因为r=，600m=0.6km，450m=0.45km， 所以. 17 新知应用 基础巩固题 1．计算的结果为（   ） A．9 B．3 C． D． B C = = 带分数化成假分数 新知应用 基础巩固题 3.能使等式 成立的x的取值范围是（　） A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2 D.x≥2 C 4.实数的倒数是（　　） A． B． C． D． A = 返回 1 举一反三 20 举一反三 21 举一反三 22 返回 举一反三 返回 举一反三 24 返回 举一反三 25 课堂小结 二次根式的除法 法则 商的算术平方根 拓展法则 ） 谢谢观看 THANKS 1．若＝成立，则x的值可以是(　　) A．－2 B．0 C．2 D．3 2．计算：＝________. 【点拨】由x，得y≤0.又因为xy＜0，所以y＜0，x＞0，所以x＝＝＝. 3．已知xy＜0，化简：x＝________． 4．下列各式计算正确的是(　　) A.÷＝4 B.÷＝ C.÷＝5 D.÷＝7 5．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①·＝1；②＝；③÷＝－b，其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.下列各式的化简正确的是（　　） A． B． C． D． 6.对于任意两个不相等的数a，b(a>b)，定义一种新运算a※b＝，如3※2＝＝，那么12※4＝________． 7．已知不等式2x－＞0，则这个不等式的最小整数解为________． 8．计算： (1)÷； 【解】原式＝＝×＝. (2)÷(m＜0，n＜0)； 【解】原式＝＝＝＝－. (3)2÷4÷. 【解】原式＝2××2＝＝6a. 9．已知一个圆的半径为 cm，一个长方形的长是π cm，若圆的面积与长方形的面积相等，则长方形的宽为________． 6 cm　 10．在一条传输带上，有一件物品随传输带在14秒的时间内匀速前进了42米，传输带与物体之间没有相对滑动，则传输带的速度为________米/秒． $