3.1.1二次根式的概念 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 3.1.1 二次根式的概念 专项练习 ## 知识点回顾 **二次根式定义**：形如$\boldsymbol{\sqrt{a}\ (a\ge0)}$的式子叫做二次根式。 - $\sqrt{\ \ }$称为二次根号；$a$叫做被开方数。 - 二次根式有意义的条件：**被开方数≥0**。 - 性质：$\boldsymbol{\sqrt{a}\ge0\ (a\ge0)}$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)二次根式本身是一个非负数。 解题要点： 1. 判断是\(\boldsymbol{不是}\)二次根式：①带有二次根号；②被开方数≥0； 2. 求取值范围：令被开方数≥0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)解不等式；若同时在分母\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)还要分母≠0； 3. 几个非负数之和等于0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则每一项都等于0（$\sqrt{a}\ge0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$|b|\ge0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$c^2\ge0$）； 4. $\sqrt{a}$中$a$可以是数\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)也可以是代数式。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共20分） 1. 下列式子是二次根式的是（） A.$\sqrt{-3}$　B.$\sqrt{4}$　C.$\sqrt[3]{5}$　D.$x$ 2. 若$\sqrt{x-2}$有意义\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$的取值范围是（） A.$\(x>2\)$　B.$x\ge2$　C.$\(x<2\)$　D.$x\le2$ 3. 下列各式一定是二次根式的是（） A.$\sqrt{a}$　B.$\sqrt{a^2}$　C.$\sqrt{-a^2-1}$　D.$\sqrt{a+1}$ 4. 若$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$\(x+y\)$的值为（） A.$-1$　B.$1$　C.$2$　D.$3$ 5. 式子$\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}$有意义\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$的取值范围（） A.$x\ge3$　B.$\(x>3\)$　C.$x\le3$　D.$\(x<3\)$ ## 二、填空题（每题4分\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共20分） 1. 二次根式$\sqrt{x-5}$有意义\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$________。 2. 当$\(x=\)$________时\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\sqrt{x+2}=0$。 3. 判断：$\sqrt{-5}$____二次根式（填“是”或“\(\boldsymbol{不是}\)”）。 4. 若$\sqrt{(x-1)^2}$有意义\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$取值范围________。 5. 已知$\sqrt{a-2}+|b+3|=0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$\(a+b=\)$________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共32分） 1. 判断下列哪些是二次根式： （1）$\sqrt{7}$　（2）$\sqrt{-0.2}$　（3）$\sqrt{m^2+1}$　（4）$\sqrt[3]{9}$ 2. 求下列二次根式中字母的取值范围： （1）$\sqrt{2x-4}$　　（2）$\sqrt{3-x}$ 3. 求取值范围： （1）$\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-1}$　　（2）$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$ 4. 已知$\sqrt{x-3}+\sqrt{4-y}=0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$\(x,y\)$的值。 ## 四、拓展提升题（每题14分\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共28分） 1. 若$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$\(x+y\)$的值。 2. 已知$\(a,b\)$满足$\sqrt{a-1}+(b+2)^2=0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$(a+b)^{2026}$的值。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：A被开方数负数；C是三次根式；D没有根号。 2. B 解析：$x-2\ge0\Rightarrow x\ge2$。 3. B 解析：$a^2\ge0$恒成立；A缺少$a\ge0$；C被开方数永远负数。 4. D 解析：两个非负数相加为0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)各自为0：$x+1=0,y-2=0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\(x=\)-1,y=2$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\(x+y\)=3$。 5. B 解析：根号内$x-3>0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)分母不能等于0。 ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{\ge5}$ 2.$\boldsymbol{-2}$ 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{不是}\)}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{全体实数}\)}$ 5.$\boldsymbol{-1}$ ## 三、基础解答题 1. 解： （1）是；（2）\(\boldsymbol{不是}\)；（3）是；（4）\(\boldsymbol{不是}\)（三次根号） 2.（1）$2x-4\ge0\Rightarrow \boldsymbol{x\ge2}$ （2）$3-x\ge0\Rightarrow \boldsymbol{x\le3}$ 3.（1）$\begin{cases}x\ge0\\x-1 eq0\end{cases}$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge-1且x eq2}\)x eq1}\)x eq1}$ （2）$\begin{cases}x+1\ge0\\x-2 eq0\end{cases}$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\boldsymbol{x\ge-1\(\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge-1且x eq2}\)x eq1}\)x eq2}$ 4. 解： $\because \sqrt{x-3}\ge0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)\sqrt{4-y}\ge0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)和为0 $\therefore x-3=0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)4-y=0$ $\boldsymbol{\(x=\)3\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)y=4}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： $\begin{cases}x-2\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\Rightarrow \(x=\)2$ 代入得$\(y=0+0+5=5\)$ $\(x+y\)=2+5=\boldsymbol{7}$ 2. 解： $\sqrt{a-1}\ge0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)(b+2)^2\ge0$ $\therefore a-1=0,b+2=0$ $a=1,b=-2$ $(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=\boldsymbol{1}$ ## 易错警示 1. 二次根式两个条件：**二次根号 + 被开方数≥0**\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)缺一不可； 2. 分式+二次根式组合：既要保证根号内≥0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)分母≠0； 3. 非负性：$\sqrt{a}\ge0$\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)几个非负数相加等于0\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)每一项都等于0； 4. 区分二次根式$\sqrt{a}$和三次根式$\sqrt[3]{a}$。 下一节：**3.1.2 二次根式的性质**\(\because \sqrt{x-3}\ge0\(\therefore x-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.1.1二次根式的概念 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 3 了解二次根式的定义； 理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点） 掌握二次根式的两条重要性质.（重点） 学习目标 知识回顾 问题1 什么叫做平方根? 问题2 什么叫做算术平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. a 的算术平方根表示为： a 的平方根表示为： 02 新知导入 （1）正方形的面积为2，它的边长为______________; 正方形的面积为3，它的边长为______________; 正方形的面积为5，它的边长为______________; 正方形的面积为7，它的边长为______________. 4 02 新知导入 （2） 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道 .第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为 重力加速度. 若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） 因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度v= . 5 02 新知导入 （3)将 与你学过的等数比较，它们在表达形式上有什么共同特征？ 共同特征： 1.均带二次根号“”,即形如的式子. 2.被开方数为非负数. 6 03 新知探究 探究一 二次根式的概念 二次根式：一般地，形如的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 小试牛刀：判断下列各式中哪些是二次根式？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 解：（1）（2）（5）是二次根式。 03 新知探究 判断二次根式的方法： 1.带二次根号“”； 2.被开方数可能是数，也可能是代数式，但都大于或等于0. 03 新知探究 探究二 二次根式有意义的条件 问题1：正实数a的平方根是什么？它的算术平方根是什么？ 每一个正实数a有且只有两个平方根，分别为和，其中称为a的算术平方根. 问题2:正实数的算术平方根具有双重非负性，双重非负性是什么? 1.根号内的数a是非负数，即a≥0. 2.算术平方根是非负数，即 ≥0. 9 03 新知探究 由算术平方根和二次根式的概念可知二次根式实质上就是一个非负实数的算术平方根。 在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 问题3:二次根式有意义的条件是什么？ 二次根式有意义的条件： 03 新知探究 当x是怎样的实数时，二次根式在实数范围内有意义？ 例1 解：由≥ 0，解得x≥ 1. 因此，当x≥ 1时，在实数范围内有意义. 03 新知探究 探究三 二次根式的性质 填空：（1）=_______,; （2）=_______,; （3）=_______,; （4）=_______,. 2 4 3 9 4 16 5 25 思考：观察上列式子，你能得出什么结论？ 12 03 新知探究 计算：； . 例2 解： ; . 回顾 03 新知探究 探究三 二次根式的性质 填空：（1）=_______; （2） ; （3）=_______; （4）=. 2 1.2 思考：观察上列式子，你能得出什么结论？ 2 1.2 14 1. 已知下列各式：，，，， ， ，, ,其中二次根式有( ) C A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 返回 举一反三 15 返回 2 举一反三 返回 C 举一反三 03 新知探究 计算：； . 例3 解：; . 方法技巧 化简:(1)先将它化为,即； (2)再根据a的符号去绝对值. 新知应用 基础巩固题 1. 判断下列式子是否是二次根式 是 是 是 不是 是 不是 不是 不是 判断一个式子是否为二次根式，看所给的式子是否同时具备两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数 非负数+正数恒大于零 根指数是3 非负数+正数恒大于零 非负数 负数 新知应用 基础巩固题 2.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； A 被开方数a≥0 紧扣与的结构特征 ＝a (a≥0). =∣∣ x=0 新知应用 基础巩固题 4. 则a的取值范围是( ) A.a>3 B.a≥3 C.a<3 D. a≤3 B 5.当1＜x＜4时，化简结果是（　　） A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5 解：当1＜x＜4时，1﹣x＜0，x﹣4＜0， ∴＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1+x﹣4＝2x﹣5 C =∣∣ 新知应用 基础巩固题 6.当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义． (1) ； (2) 方法技巧 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数a≥0时，二次根式才在实数范围内有意义． 解：(1)由1-x≥0，解得x1. 因此，当x1时，二次根式 在实数范围内有意义. (2)由2x-3≥0，解得x. 因此，当x时，二次根式 在实数范围内有意义. 返回 4. 若，则 ( ) D A. B. C. 6 D. 举一反三 23 返回 0 举一反三 24 6. 当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； 【解】要使有意义，则必须有 . 因为 恒大于零， 所以取任意实数.所以取任意实数， 都有意义. 举一反三 25 （2） ； 因为要使有意义，则有且 ， 解得，所以当时， 有意义. 举一反三 26 （3） . 由题意，得且，即 ， 故或 ， 解得或.所以当或时, 有意义. 返回 举一反三 27 返回 2.5 27 举一反三 返回 举一反三 29 课堂小结 二次根式 二次根式的概念 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 二次根式的性质 谢谢观看 THANKS 2．若是二次根式，则b的值是________． 3．要使式子＋＋(2x－4)0有意义，则x的取值范围应为(　　) A．x＞ B．x≥－1且x≠2 C．x＞且x≠2 D.≤x≤2 3．下列计算正确的是(　　) A．－()2＝－6 B．()2＝9 C.＝±16 D．＝ 5．若代数式的值为0，则满足要求的x的值为________． 7．(－)2＝________；(3)2＝________． 8.的算术平方根是________． $