3.1.1二次根式的概念及性质-课件-2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的概念、双重非负性及两大性质，课堂导入通过复习平方根和算术平方根，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有认知自然过渡到新知识学习。 其亮点在于练习题由概念辨析到运算循序渐进，结合第一宇宙速度实例抽象概念培养数学眼光，对比√a²与(√a)²的区别发展推理意识，融入中考真题增强应用意识。课堂小结系统梳理知识点，帮助学生构建知识网络，教师可高效开展教学，提升学生数学思维与应用能力。

湘教版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月11日 3.1.1二次根式的概念及性质 第3章 二次根式 湘教版八年级数学3.1.1 二次根式的概念及性质同步练习题 本次练习题针对湘教版八年级数学3.1.1二次根式的概念及性质专项编写，是实数章节的基础核心内容，聚焦二次根式的定义、被开方数取值范围、二次根式双重非负性、两大核心性质、基础化简等高频考点。题型由概念辨析到基础运算循序渐进，覆盖本节课所有重难点、易错陷阱，适配新课课后巩固与基础专项训练。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列式子中，属于二次根式的是（） A. $$\sqrt{-2}$$ B. $$\sqrt[3]{5}$$ C. $$\sqrt{x^2+1}$$ D. $$x$$ 2. 二次根式$$\sqrt{x-3}$$有意义，则$$x$$的取值范围是（） A. $$x\geq3$$ B. $$x>3$$ C. $$x\leq3$$ D. $$x eq3$$ 3. 下列各式计算正确的是（） A. $$(\sqrt{5})^2=5$$ B. $$\sqrt{(-5)^2}=-5$$ C. $$(\sqrt{-3})^2=-3$$ D. $$\sqrt{4}=\pm2$$ 4. 若$$\sqrt{a+2}+(b-1)^2=0$$，则$$a+b$$的值为（） A. -1 B. 1 C. 3 D. -3 5. 化简$$\sqrt{(2-x)^2}(x\geq2)$$的结果是（） A. $$2-x$$ B. $$x-2$$ C. $$\pm(x-2)$$ D. $$x+2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 形如________（$$a\geq0$$）的式子叫做二次根式，二次根式具有________性（被开方数和结果均非负）。 7. 计算：$$(\sqrt{7})^2=$$________；$$\sqrt{(-6)^2}=$$________。 8. 二次根式$$\sqrt{2x+4}$$有意义的条件是________。 9. 化简：$$\sqrt{(\pi-3.14)^2}=$$________。 10. 若$$\sqrt{x-1}$$有意义，则$$x$$的最小整数值为________。 三、解答题（共60分） 11. 求下列二次根式中自变量的取值范围（每题6分，共24分） （1）$$\sqrt{x+5}$$ （2）$$\sqrt{3-2x}$$ （3）$$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$$ （4）$$\sqrt{x^2+4}$$ 12. 根据二次根式性质化简计算（每题8分，共16分） （1）$$(\sqrt{10})^2-\sqrt{(-3)^2}$$ （2）$$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}+\sqrt{4}$$ 13. 非负性综合应用（每题10分，共20分） （1）已知$$\sqrt{x-3}+\sqrt{y+2}=0$$，求$$x+y$$的值； （2）化简：$$\sqrt{(x-1)^2}(x<1)$$。 参考答案与解析 一、选择题 1.C 解析：二次根式需满足根指数为2、被开方数非负；A被开方数为负无意义，B是三次根式，D不含根号。 2.A 解析：被开方数非负，$$x-3\geq0$$，解得$$x\geq3$$。 3.A 解析：B结果为3；C式子无意义；D算术平方根为非负数，结果为2。 4.A 解析：双重非负性，$$\sqrt{a+2}\geq0，(b-1)^2\geq0$$，故$$a+2=0，b-1=0$$，得$$a=-2，b=1$$，$$a+b=-1$$。 5.B 解析：$$x\geq2$$时，$$2-x\leq0$$，$$\sqrt{a^2}=|a|=x-2$$。 二、填空题 6. $$\sqrt{a}$$；双重非负 7. 7；6 解析：$$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$$，$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 8. $$x\geq-2$$ 解析：$$2x+4\geq0$$，解得$$x\geq-2$$。 9. $$\pi-3.14$$ 解析：$$\pi>3.14$$，绝对值化简为本身。 10. 1 解析：$$x-1\geq0$$，$$x\geq1$$，最小整数为1。 三、解答题 11.（1）解：$$x+5\geq0$$，取值范围：$$x\geq-5$$ （2）解：$$3-2x\geq0$$，取值范围：$$x\leq\frac{3}{2}$$ （3）解：分母根号非负且不为0，$$x-2>0$$，取值范围：$$x>2$$ （4）解：$$x^2\geq0$$，故$$x^2+4\geq4>0$$，取值范围：全体实数 12.（1）原式$$=10-3=7$$ （2）原式$$=|\sqrt{2}-1|+2=\sqrt{2}-1+2=\sqrt{2}+1$$ 13.（1）解：由二次根式非负性得：$$x-3=0，y+2=0$$，即$$x=3，y=-2$$，$$x+y=3-2=1$$。 （2）解：$$x<1$$，则$$x-1<0$$，原式$$=|x-1|=1-x$$。 知识点总结与易错提醒：1. 二次根式两大核心：根指数为2、被开方数$$a\geq0$$；2. 双重非负性：$$\sqrt{a}\geq0(a\geq0)$$，是求值题型核心考点；3. 两大公式区分：$$(\sqrt{a})^2=a(a\geq0)$$、$$\sqrt{a^2}=|a|$$，后者必须加绝对值化简；4. 分式+二次根式复合型式子，需同时满足分母不为0、被开方数非负；5. 负数没有算术平方根，含负被开方数的二次根式无意义。 说一说 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数是 a 的一个平方根. 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 表示. 复习导入 平方根的性质 正数有两个平方根且互为相反数 0 有一个平方根就是 0 负数没有平方根 探究新知 思 考 知识点1 二次根式的概念 （1） 2，3，5 的算术平方根分别是怎样表示的？ （2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球的半径R，则第一字宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示） 因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 . 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 根号 被开方数 （3）比较结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 注意： （1） 中的被开方数 a 可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等式子； （2）二次根式具有双重非负性：被开方数 a≥0 且 ≥ 0. （3）形如 （a ≥ 0）的式子也是二次根式，b 与 是相乘关系，要注意当 b 是带分数时要写成假分数的形式. 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. a ≥ 0 当a < 0时， 无意义 知识点2 二次根式有意义的条件 例1 当 x 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？ 解：由 x-1 ≥ 0，解得 x ≥ 1 因此，当 x ≥ 1 时， 在实数范围内有意义. 9 对于非负实数 a，由于 是 a 的一个平方根，因此 一个非负实数的算术平方根的平方等于这个非负实数。 知识点3 二次根式的性质 解 a2 = (-a)2 (ab)2 = a2b2 例2 计算： =__________， =__________， =__________， 2 1.2 填空： =__________， 2 1.2 猜想 由于 a 的平方等于 a2 ，因此 a 是 a2 的一个平方根. 当 a ≥ 0 时，根据算术平方根的意义，有 ，由此得出： 一个非负实数平方的算术平方根等于这个非负实数。 a (a≥0)， a (a＜0). 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 由于 －a 的平方等于 a2 ，因此 －a 是 a2 的一个平方根.当 a ＜ 0 时， －a ＞ 0，根据算术平方根的意义，有 ，综上可得： 例3 计算： 解 思考 与 的区别与联系： 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 1.下列各式中，是二次根式的是( ) A A. B. C.2 D. 返回 中考考法 17 2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( ) D A. B.0 C.1 D.2 返回 中考考法 18 3.［2024烟台中考］若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围 为______. 返回 中考考法 19 知识点2 4.式子 成立的条件是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 20 5.计算： （1） ___； （2） __； （3） ___. 6 5 返回 中考考法 21 6.［教材 例2变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 中考考法 22 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 中考考法 23 知识点3 7.［2024德阳中考］化简： ___. 3 返回 中考考法 24 8.下列计算正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 25 9.如果，那么 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 返回 中考考法 26 10.［教材 例3变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 中考考法 27 （3） ； 解：原式 . （4） . 解：原式 . 返回 中考考法 课堂小结 a (a≥0)， a (a＜0). 我们把形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 二次根式的被开方数(或式)非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 $