3.2.1二次根式的乘法（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 3.2.\(\boldsymbol{1}\) 二次根式的乘法 专项练习 ## 知识点回顾 二次根式乘法法则： $$\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)b\ge0)}$$ 文字表述：两个二次根式相乘\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)把被开方数相乘\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)根指数不变。 逆用（积的算术平方根）：$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a\ge0,b\ge0)}$\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)用于化简二次根式。 解题要点： \(\boldsymbol{1}\). 公式使用前提：被开方数$a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)b\ge0$； 2. 运算顺序：先相乘合并被开方数\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)再化简成最简二次根式； 3. 系数相乘、根式相乘分开计算：$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}$； 4. 结果必须化为最简二次根式。 满分：\(\boldsymbol{1}\)00分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)共20分） \(\boldsymbol{1}\). $\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}$的结果是（） A.$\sqrt{8}$　B.$\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}$　C.$8$　D.$\(\boldsymbol{1}\)5$ 2. 计算$2\sqrt{2}\times3\sqrt{3}$等于（） A.$\(\boldsymbol{6}\)\sqrt{5}$　B.$5\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$　C.$\(\boldsymbol{6}\)\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$　D.$\(\boldsymbol{6}\)\sqrt{3}$ 3. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=4$ C.$\sqrt{-2}\cdot\sqrt{-3}=\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$ D.$3\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=\(\boldsymbol{6}\)\sqrt{2}$ 4. 化简$\sqrt{2}\cdot\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)8}$结果是（） A.$\(\boldsymbol{6}\)$　B.$\sqrt{20}$　C.$2\sqrt{3}$　D.$3\sqrt{2}$ 5. 等式$\sqrt{x-2}\cdot\sqrt{x+3}=\sqrt{(x-2)(x+3)}$成立的条件是（） A.$x\ge2$　B.$x\ge-3$ C.$-3\le x\le2$　D.$x\ge2$或$x\le-3$ ## 二、填空题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)共20分） \(\boldsymbol{1}\).$\sqrt{5}\cdot\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)0}=$________。 2.$\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}\cdot\sqrt{\dfrac\(\boldsymbol{1}\)\(\boldsymbol{6}\)}=$________。 3.$3\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=$________。 4.$\sqrt{2a}\cdot\sqrt{8a}\ (a\ge0)=$________。 5. 计算：$\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)2}\cdot\sqrt{3}=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)共32分） \(\boldsymbol{1}\). 计算： （\(\boldsymbol{1}\)）$\sqrt{7}\times\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)4}$　　（2）$\sqrt{5}\times\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}$ 2. 计算： （\(\boldsymbol{1}\)）$2\sqrt{3}\times 4\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$　　（2）$5\sqrt{2}\times\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)0}$ 3. 计算（$a\ge0,b\ge0$）： （\(\boldsymbol{1}\)）$\sqrt{3a}\cdot\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)a}$　　（2）$\sqrt{2b}\cdot\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)8b}$ 4. 计算：$\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)\frac\(\boldsymbol{1}\)3}\times\sqrt{2\frac\(\boldsymbol{1}\)4}$ ## 四、拓展提升题（每题\(\boldsymbol{1}\)4分\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)共28分） \(\boldsymbol{1}\). 计算：$\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}\times\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)\frac23}\times\sqrt{\dfrac45}$ 2. 一个长方形\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)长$\sqrt{8}\ \text{cm}$\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)宽$\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)2}\ \text{cm}$\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)求长方形面积。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 \(\boldsymbol{1}\). B 解析：$\sqrt{3}\cdot\sqrt{5}=\sqrt{3\times5}=\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5}$ 2. C 解析：$2\times3\cdot\sqrt{2\times3}=\(\boldsymbol{6}\)\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$ 3. B 解析：A被开方数相乘不是相加；C负数不能用根式乘法；D结果$\(\boldsymbol{1}\)2$ 4. A 解析：$\sqrt{2\times\(\boldsymbol{1}\)8}=\sqrt{3\(\boldsymbol{6}\)}=\(\boldsymbol{6}\)$ 5. A 解析：$\begin{cases}x-2\ge0\\x+3\ge0\end{cases}\Rightarrow x\ge2$ ## 二、填空题 \(\boldsymbol{1}\).$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$ 2.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)}$ 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)2}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{4a}\)}$ 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{6}\)}$ ## 三、基础解答题 \(\boldsymbol{1}\).（\(\boldsymbol{1}\)）原式$=\sqrt{7\times\(\boldsymbol{1}\)4}=\sqrt{98}=\boldsymbol{7\sqrt2}$ （2）原式$=\sqrt{5\times\(\boldsymbol{1}\)5}=\sqrt{75}=\boldsymbol{5\sqrt3}$ 2.（\(\boldsymbol{1}\)）原式$=8\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)8}=8\times3\sqrt2=\boldsymbol{24\sqrt2}$ （2）原式$=5\sqrt{20}=5\times2\sqrt5=\boldsymbol{\(\boldsymbol{1}\)0\sqrt5}$ 3.（\(\boldsymbol{1}\)）原式$=\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)8a^2}=\boldsymbol{3a\sqrt2}$ （2）原式$=\sqrt{3\(\boldsymbol{6}\)b^2}=\boldsymbol{\(\boldsymbol{6}\)b}$ 4. 解： 原式$=\sqrt{\dfrac43}\times\sqrt{\dfrac94}=\sqrt{\dfrac43\times\dfrac94}=\sqrt3=\boldsymbol{\sqrt3}$ ## 四、拓展提升题 \(\boldsymbol{1}\). 解： $\begin{align} \text{原式}&=\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)5\times\dfrac53\times\dfrac45}\\ &=\sqrt{20}\\ &=\boldsymbol{2\sqrt5} \end{align}$ 2. 解： $S=\sqrt{8}\times\sqrt{\(\boldsymbol{1}\)2}=\sqrt{9\(\boldsymbol{6}\)}=4\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}$ 答：长方形面积为$\boldsymbol{4\sqrt{\(\boldsymbol{6}\)}}\ \text{cm}^2$ ## 易错警示 \(\boldsymbol{1}\). $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)**必须$a\ge0,b\ge0$**\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)负数不能直接使用公式； 2. 带系数相乘：系数×系数\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)根式×根式\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)不要把系数放进根号里； 3. 带分数要先化成假分数再计算； 4. 算出被开方数后\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)一定要化简成最简二次根式。 下一节：**3.2.2二次根式的除法**\(\boldsymbol{\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\quad(a\ge0\(a\ge0，b\ge0\)b\ge0)}\)继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.2.1二次根式的乘法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 3 掌握二次根式的乘法法则以及应用的条件（重点） 能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法计算（难点） 能逆用二次根式的乘法法则化简二次根式（重点） 学习目标 知识回顾 2.最简二次根式的特点？ 1.积的算术平方根的性质？ = （1） 被开方数不含分母, （2）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）. 02 新知导入 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. =⋅ 化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）. 解：（1） = = ×=2. （2）= = ×=4. （3）= = ×=3. 4 03 新知探究 思考 (1)填空： ①=__________，=__________； ②=__________，=__________； ③=__________，=__________. (2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和的关系，并说明理由. 6 6 12 12 20 20 猜想： ⋅= 03 新知探究 理由：当a≥0，b≥0时, 因为， 又因为 因此=. 二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变. ⋅= 6 03 新知探究 计算：（1）×；（2）×. 例1 解：（1）×= = = 3. （2） = 2. 计算的结果必须化成最简二次根式或整式. 注意 03 新知探究 动脑筋 计算： . 解：= 二次根式的乘法法则的推广： D 2.若是整数，则整数 的值是_______. 3. 若一个无理数与 的积是一个有理数， 写出 的一个值是__________________. 3或12 （答案不唯一） 返回 举一反三 9 返回 ＜ 举一反三 10 5. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 举一反三 11 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 返回 举一反三 12 03 新知探究 例2 解： （1） （2） 计算：（1）2×5；（2）×. . 二次根式的乘法法则的推广： 03 新知探究 计算：（1）×；（2）×. 例1 解：（1）×= = = 3. （2） = 2. 计算的结果必须化成最简二次根式或整式. 注意 03 新知探究 议一议 小玲和小婷两名同学在计算×时，做法分别如下： （1）×= == 6； （2）×=×= 6. 你更喜欢哪种做法？ 更喜欢小玲的做法.因为小玲的做法直接套用二次根式的乘法法则，计算直接,不易出错.（答案不唯一） 15 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.计算的结果为（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2.如果成立，那么x的取值范围是（　　） A．x≥1　　　　B．x≥0　　　　C．0≤x≤1　　　　D．x为任意实数 3.已知，用含的代数式表示，这个代数式是（　　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． B A D 16 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 4.计算：　 　． 5.已知矩形的长为 ，宽为 ，则面积为　 　． 6.能使成立的所有整数a的和是　 　． 10 6 17 新知应用 基础巩固题 2.计算 的结果是( ) . D A.6 B. C. D. 1.计算 的结果是( ) . C A. B.2 C.1 D. 解： = 注意：二次根式运算的最后结果一定要化为最简二次根式或整式． 新知应用 基础巩固题 4.下列各式计算正确的是( ) . C A. B. C. D. 的值是（ ） A 1.系数与系数相乘 2.被开方数与被开方数相乘 新知应用 基础巩固题 5.若 ，则 （　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数 A 6.下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. D = 6. 如图，数轴上有，，，， 五点， 根据图中各点表示的数，则表示数 的点会落在 ( ) B A. 点和之间 B. 点和 之间 C. 点和之间 D. 点和 之间 返回 举一反三 21 返回 7. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之 一.某品牌庐山云雾茶的包装是圆柱形铁盒，若其内部底面半 径为，深，则其容积为________ （结果保留根号和 ）. 举一反三 22 返回 8. 下列式子中与 相等的是( ) D A. B. C. D. 举一反三 23 9.将1，，，按如下方式排列，若规定 表示第 排从左向右第个数，则与 表示的两个数之积是 _____. 举一反三 24 课堂小结 二次根式的乘法 法则 拓展法则 谢谢观看 THANKS 1．下列运算正确的是(　　) A.×＝ B．8×＝1 C.×＝12 D.×＝3 4．比较大小：－6________－7. $