3.1.2积的算术平方根及化简 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 3.1.2 积的算术平方根及化简 专项练习 ## 知识点回顾 积的算术平方根性质： $$\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)b\ge0)}$$ 文字表述：积的算术平方根\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)等于积中各因式算术平方根的积。 二次根式化简要求（最简二次根式）： 1. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 2. 被开方数不含分母； 3. 分母中不含根号。 解题要点： 1. 使用公式前提：$a\ge0,b\ge0$； 2. 化简思路：把被开方数分解因数\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)分离出平方数开方； 3. 根号里的平方因式开出来要加绝对值\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)字母默认非负可直接开出； 4. 化简结果必须化成最简二次根式。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共20分） 1. 等式$\sqrt{xy}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}$成立的条件是（） A.$\(x>0,y>0\)$　B.$x\ge0,y\ge0$ C.$x>0,y\ge0$　D.$\(x,y\)$同号 2. 化简$\sqrt{18}$的结果是（） A.$3\sqrt{2}$　B.$2\sqrt{3}$　C.$\(\boldsymbol{9}\)\sqrt{2}$　D.$3\sqrt{6}$ 3. 下列二次根式属于最简二次根式的是（） A.$\sqrt{20}$　B.$\sqrt{7}$　C.$\sqrt{\dfrac13}$　D.$\sqrt{0.3}$ 4. 化简$\sqrt{4a^3}(a\ge0)$结果正确的是（） A.$2a\sqrt{a}$　B.$2a^2\sqrt{a}$　C.$2\sqrt{a^3}$　D.$4a\sqrt{a}$ 5. 计算$\sqrt{2}\times\sqrt{8}$等于（） A.$4$　B.$\sqrt{10}$　C.$2\sqrt{2}$　D.$16$ ## 二、填空题（每题4分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共20分） 1.$\sqrt{12}=$________。 2.$\sqrt{50}=$________。 3.$\sqrt{3\times27}=$________。 4. 化简$\sqrt{16x^2y}\ (x\ge0,y\ge0)=$________。 5. 若$\sqrt{(x-3)(x-5)}=\sqrt{x-3}\cdot\sqrt{x-5}$\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)则$x$取值范围________。 ## 三、基础解答题（每题8分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共32分） 1. 化简： （1）$\sqrt{28}$　　（2）$\sqrt{45}$ 2. 化简（字母均$\ge0$）： （1）$\sqrt{27a^2}$　　（2）$\sqrt{8b^3}$ 3. 计算： （1）$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$　　（2）$\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$ 4. 判断是否为最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)不是则化简： （1）$\sqrt{52}$　　（2）$\sqrt{125}$ ## 四、拓展提升题（每题14分\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)共28分） 1. 化简：$\sqrt{200a^2b^3}\quad(a\ge0,b\ge0)$ 2. 已知$\sqrt{18}\cdot\sqrt{x}$是最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)写出一个符合条件的正整数$x$。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：积的算术平方根公式要求$a\ge0,b\ge0$。 2. A 解析：$\sqrt{18}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\times2}=\sqrt\(\boldsymbol{9}\)\cdot\sqrt2=3\sqrt2$。 3. B 解析：A可开方；C根号内有分母；D是小数。 4. A 解析：$\sqrt{4a^3}=\sqrt{4a^2\cdot a}=2a\sqrt{a}$。 5. A 解析：$\sqrt{2\times8}=\sqrt{16}=4$。 ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{2\sqrt{3}}$ 2.$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$ 3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{9}\)}$ 4.$\boldsymbol{4x\sqrt{y}}$ 5.$\boldsymbol{x\ge5}$ ## 三、基础解答题 1.（1）$\sqrt{28}=\sqrt{4\times7}=\boldsymbol{2\sqrt7}$ （2）$\sqrt{45}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\times5}=\boldsymbol{3\sqrt5}$ 2.（1）$\sqrt{27a^2}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)a^2\cdot3}=\boldsymbol{3a\sqrt3}$ （2）$\sqrt{8b^3}=\sqrt{4b^2\cdot2b}=\boldsymbol{2b\sqrt{2b}}$ 3.（1）原式$=\sqrt{3\times27}=\sqrt{81}=\boldsymbol{\(\boldsymbol{9}\)}$ （2）原式$=\sqrt{5\times20}=\sqrt{100}=\boldsymbol{10}$ 4.（1）不是最简\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)$\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=\boldsymbol{2\sqrt{13}}$ （2）不是最简\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)$\sqrt{125}=\sqrt{25\times5}=\boldsymbol{5\sqrt5}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： $\begin{align} \sqrt{200a^2b^3}&=\sqrt{100a^2b^2\cdot 2b}\\ &=\boldsymbol{10ab\sqrt{2b}} \end{align}$ 2. 解： $\sqrt{18}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{18x}=\sqrt{\(\boldsymbol{9}\)\cdot2x}=3\sqrt{2x}$ 要求$3\sqrt{2x}$为最简二次根式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)则$2x$不含平方因数。 可取$\boldsymbol{\(\boldsymbol{x=3}\)}$（答案不唯一\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)如$\(x=5,7\)$等均可） ## 易错警示 1. 公式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)**$\(a,b\)$必须同时非负**；负数不能直接拆开； 2. 分解因数优先拆出完全平方数； 3. 开方移出的因式不要漏掉系数； 4. 最简二次根式两个关键点：无开得尽方因式\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)根号内无分母。 下一节：**3.1.3 商的算术平方根及二次根式的除法**\(\boldsymbol{\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\quad(a\ge0，b\ge0)}\)继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.1.2积的算术平方根及化简 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 3 掌握积的算术平方根（重点） 能准确利用积的算术平方根的性质进行化简（难点） 理解最简二次根式的概念（重点） 学习目标 新知探究 思 考 ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； 12 12 6 6 （1）、填空 ① ② （2）、当时，猜想和的关系，并说明理由。 = 你能将它推导出来吗？ 观察计算的结果，你会发现什么？ 02 新知导入 巩固练习 计算：(1)=_____________; (2) =_____________; (3)=_____________; (2) =_____________. 6 3 4 二次根式的性质：（1） （2） 4 03 新知探究 思考 (1)填空： ①=__________，=__________； ②=__________，=__________. (2)当a≥0，b≥ 0时，猜想和⋅的关系，并说明理由. 6 6 12 12 猜想： =⋅ 03 新知探究 理由：当a≥0，b≥0时, 因为， 又因为 因此=⋅. 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积. =⋅ 6 03 新知探究 化简下列二次根式：（1）；（2）；（3）. 例4 解：（1） = = ×=3. （2）= = ×=2. （3）= = ×=6. 03 新知探究 注意事项 化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含开得尽方的因数. 方法 运用积的算术平方根化简二次根式时，要先把被开方数分解因式，尽量分解出完全平方数而且使这个因数尽可能大，然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外. 返回 B 举一反三 9 2. 若,则 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 10 返回 3.已知，，那么用含有， 的式子可以表 示为_____. 举一反三 11 03 新知探究 化简下列二次根式：（1）；（2）. 例5 解： （1） （2）. 注意事项：化简二次根式时，最后结果要求被开方数不含分母. 03 新知探究 方法 若分子分母中不含平方因式，则将分子分母同时乘分子，然后将分子移到根号外，放在分子的位置； 如果分子分母中含平方因式，先将分子分母分解因式，尽量分解出完全平方数，再利用分式的基本性质将分子化成全是完全平方数的乘积，最后然后把能开得尽方的因数用它的算术平方根代替，移到根号外，分别放到分子分母的位置。 03 新知探究 观察从例 4和例 5，二次根式经过化简后的结果具有什么特点？ 1.被开方数中不含分母； 2.被开方数中不含开得尽方的因数(或因式). 二次根式经过化简后的结果，具有以下特点：被开方数不含分母，且不含开得尽方的因数（或因式）. 这样的二次根式叫作最简二次根式. 14 新知应用 基础巩固题 A 2．化简的结果是（    ） A．3 B． C． D．9 C = 关键是找出平方因子 新知应用 基础巩固题 D 3．化简：= . 做题的关键是构造平方因子 新知应用 基础巩固题 5.下列不是最简二次根式的是（ ） 6.下列式子中是最简二次根式的是（ ） A A. B. C. D. C （1） 被开方数不含分母 （2）被开方数中不含开得尽方的因数（或因式）. 把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式 4. 化简： （1） ; 【解】 . （2） ; . 举一反三 （3） ； . （4） . . 返回 举一反三 19 返回 5. 下列各式中：，， ， ， .最简二次根式有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 举一反三 20 举一反三 21 5 返回 举一反三 22 返回 C 举一反三 23 9. 若，，都是整数，且 ， ，，则下列关于，， 的大小 关系，正确的是( ) A A. B. C. D. 举一反三 24 课堂小结 积的算术平方根 → 化简 → 最简二次根式 → （1）被开方数不含分母 （2）被开方数中不含开的尽方的因数（或因式） ↓ 谢谢观看 THANKS 1．下列计算正确的有(　　) ①＝×＝6； ②＝－×＝－6； ③＝×＝6； ④＝×＝3； ⑤＝－＝1. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．若 ，那么（　　） A． B． C． D．a为一切正实数 4．下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知a＞0，那么化为最简二次根式为____________． － 7．若是最简二次根式，则x2 027y2 028的值为____________． 8．已知a＞0，那么可化简为(　　) A．b B．－ C．－ D. $