3.3.1二次根式的加法和减法（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

# 湘教版数学八年级上册 3.3.1 二次根式的加法和减法 专项练习 ## 知识点回顾 **同类二次根式**：化成最简二次根式之后，**被开方数相同**的二次根式，叫做同类二次根式。 二次根式加减法则： 1. 先把所有二次根式化成**最简二次根式**； \(\boldsymbol{2}\). 再合并同类二次根式（合并方法和合并同类项一样，根式部分不变，只合并根号前面的系数）。 公式示例：$a\sqrt{m}\pm b\sqrt{m}=(a\pm b)\sqrt{m}$ 解题要点： 1. 不是同类二次根式不能合并； \(\boldsymbol{2}\). 加减运算第一步必须先化简，不能直接根号里加减； 3. 去括号时注意符号； 4. 结果仍要化为最简二次根式。 满分：100分 时间：40分钟 ## 一、选择题（每题4分，共\(\boldsymbol{2}\)0分） 1. 下列二次根式中，与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是（） A.$\sqrt{6}$　B.$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}$　C.$\sqrt{18}$　D.$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)4}$ \(\boldsymbol{2}\). 计算$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}+3\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}$结果是（） A.$4\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}$　B.$3\sqrt{4}$　C.$4$　D.$\sqrt{8}$ 3. 下列计算正确的是（） A.$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ B.$\(\boldsymbol{2}\)+\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}$ C.$\sqrt{8}-\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}=\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}$ D.$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}-\sqrt{3}=3$ 4. 化简$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}-\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}$等于（） A.$\sqrt{15}$　B.$\sqrt{3}$　C.$3$　D.$1$ 5. 下列各组属于同类二次根式的是（） A.$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}$与$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}$ B.$\sqrt{3}$与$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}$ C.$\sqrt{5}$与$\sqrt{0.5}$ D.$\sqrt{6}$与$\sqrt{18}$ ## 二、填空题（每题4分，共\(\boldsymbol{2}\)0分） 1.$3\sqrt{5}+\(\boldsymbol{2}\)\sqrt{5}=$________。 \(\boldsymbol{2}\).$\sqrt{18}-\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}=$________。 3.$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}+\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}=$________。 4. 二次根式$\sqrt{8}$与$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)a}$是同类二次根式，则正整数$a$最小为________。 5.$\sqrt{50}-\sqrt{3\(\boldsymbol{2}\)}=$________。 ## 三、基础解答题（每题8分，共3\(\boldsymbol{2}\)分） 1. 计算： （1）$5\sqrt{3}-\(\boldsymbol{2}\)\sqrt{3}$　　（\(\boldsymbol{2}\)）$\sqrt{6}+3\sqrt{6}-4\sqrt{6}$ \(\boldsymbol{2}\). 计算： （1）$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}+\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}$　　（\(\boldsymbol{2}\)）$\sqrt{50}-\sqrt{18}$ 3. 计算： （1）$\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{3\(\boldsymbol{2}\)}$　　（\(\boldsymbol{2}\)）$\sqrt{45}-\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)0}+\sqrt{5}$ 4. 计算：$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)4}+\sqrt{\dfrac16}$ ## 四、拓展提升题（每题14分，共\(\boldsymbol{2}\)8分） 1. 计算：$(\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}-\sqrt{\dfrac13})-(\sqrt{\dfrac1{\(\boldsymbol{2}\)7}}-\sqrt{48})$ \(\boldsymbol{2}\). 已知长方形的长为$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}\ \text{cm}$，宽为$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}\ \text{cm}$，求长方形的周长。 --- # 参考答案与解析 ## 一、选择题 1. B 解析：$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3$，化简后被开方数是3，与$\sqrt3$同类。 \(\boldsymbol{2}\). A 解析：$(1+3)\sqrt\(\boldsymbol{2}\)=4\sqrt\(\boldsymbol{2}\)$。 3. C 解析：A、B不是同类根式不能合并；D：$\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}-\sqrt3=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3-\sqrt3=\sqrt3$。 4. B 解析：$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}-\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}=3\sqrt3-\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3=\sqrt3$。 5. B 解析：$\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7}=3\sqrt3$，与$\sqrt3$被开方数相同。 ## 二、填空题 1.$\boldsymbol{5\sqrt{5}}$ \(\boldsymbol{2}\).$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}}$ 3.$\boldsymbol{5\sqrt{3}}$ 4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)}$ 5.$\boldsymbol{\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)}}$ ## 三、基础解答题 1.（1）原式$=(5-\(\boldsymbol{2}\))\sqrt3=\boldsymbol{3\sqrt3}$ （\(\boldsymbol{2}\)）原式$=(1+3-4)\sqrt6=\boldsymbol{0}$ \(\boldsymbol{2}\).（1）原式$=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3+3\sqrt3=\boldsymbol{5\sqrt3}$ （\(\boldsymbol{2}\)）原式$=5\sqrt\(\boldsymbol{2}\)-3\sqrt\(\boldsymbol{2}\)=\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)\sqrt\(\boldsymbol{2}\)}$ 3.（1）原式$=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt\(\boldsymbol{2}\)+3\sqrt\(\boldsymbol{2}\)-4\sqrt\(\boldsymbol{2}\)=\boldsymbol{\sqrt\(\boldsymbol{2}\)}$ （\(\boldsymbol{2}\)）原式$=3\sqrt5-\(\boldsymbol{2}\)\sqrt5+\sqrt5=\boldsymbol{\(\boldsymbol{2}\)\sqrt5}$ 4. 解： $\begin{align} \sqrt{\(\boldsymbol{2}\)4}+\sqrt{\dfrac16}&=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt6+\dfrac{\sqrt6}{6}\\ &=\dfrac{1\(\boldsymbol{2}\)\sqrt6}{6}+\dfrac{\sqrt6}{6}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{13\sqrt6}{6}} \end{align}$ ## 四、拓展提升题 1. 解： $\begin{align} \text{原式}&=\left(\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}\right)-\left(\dfrac{\sqrt3}{9}-4\sqrt3\right)\\ &=\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}-\dfrac{\sqrt3}{9}+4\sqrt3\\ &=6\sqrt3-\dfrac{3\sqrt3}{9}-\dfrac{\sqrt3}{9}\\ &=6\sqrt3-\dfrac{4\sqrt3}{9}\\ &=\boldsymbol{\dfrac{50\sqrt3}{9}} \end{align}$ \(\boldsymbol{2}\). 解： 周长$=\(\boldsymbol{2}\)\times(\text{长}+\text{宽})$ $\begin{align} C&=\(\boldsymbol{2}\)(\sqrt{1\(\boldsymbol{2}\)}+\sqrt{\(\boldsymbol{2}\)7})\\ &=\(\boldsymbol{2}\)(\(\boldsymbol{2}\)\sqrt3+3\sqrt3)\\ &=\(\boldsymbol{2}\)\times5\sqrt3\\ &=\boldsymbol{10\sqrt3}\ \text{cm} \end{align}$ 答：长方形周长$10\sqrt{3}\ \text{cm}$。 ## 易错警示 1. **只有同类二次根式才能合并**，根号里面的数不能直接加减； \(\boldsymbol{2}\). 加减运算必须先化成最简二次根式，再判断是否同类； 3. 去括号时，括号前面是负号，括号内每一项都变号； 4. 合并只改变根号前面系数，被开方数保持不变。 下一节：**3.3.\(\boldsymbol{2}\)二次根式的混合运算**，继续同模板吗？ 湘教版（新教材）数学八年级上册 3.3.1二次根式的加法和减法 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/7 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 二次根式 1 2 1理解和掌握二次根式加减的运算法则（重点） 能根据二次根式加减的运算法则进行二次根式加减运算.（难点） 学习目标 知识回顾 前面我们学了最简二次根式，思考：满足什么条件的根式是最简二次根式？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点? 做一做 化简后被开方数相同 化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式 02 新知导入 解：（1） = = ×=2. （2）= = ×=3. （3）= = ×=4. （4）= = ×=5. 化简：（1）； （2）； （3）； （4）. 观察：这四个二次根式的化简结果有什么共同特征？ 共同特征：化成最简二次根式后，被开方数相同. 4 03 新知探究 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 关键条件：1.必须为最简二次根式（即被开方数无平方因数、分母不含根号）; 2.指数至少需要两个二次根式才能构成同类关系; 3.同类二次根式只与被开方数有关，与根号外的因式无关. 5 03 新知探究 试一试 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为（　　） A．11 B．13 C．3 D．2 D 合并同类项：合并时系数相加减，字母和指数不变 合并同类二次根式：合并时系数相加减，根式部分不变 03 新知探究 我们可以根据实数加法的交换律和结合律，以及实数乘法的结合律和对加法的分配律，对最简二次根式中被开方数相同的实数(即同类二次根式)进行运算. 计算： (1)； (2)2. 做一做 解： (1) = = = 加法结合律 7 03 新知探究 计算： (1)； (2)2. 解： (2)2 =2 = = = 乘法对加法的分配律 加法交换律和结合律， 乘法对加法的分配律 做一做 8 03 新知探究 思考 (1)3等于多少？ (2) 3等于多少？ 被开方数不同应该怎么计算？ 解： (1) = = = = 2 先将每一个二次根式化简. 03 新知探究 思考 (1)3等于多少？ (2) 3等于多少？ 解： (2) = = = 2 最简二次根式的被开方数不同时，不能合并. 03 新知探究 二次根式的加减的一般运算步骤： 1.化：先将每一个二次根式化简. 2.找：找出被开方数相同的二次根式. 3.并：合并同类二次根式，即把系数相加减，根式部分不变. 03 新知探究 计算： . 例1 解： =2 = = 03 新知探究 做一做 先计算，再将你的结果与同学比较. 法一：解：原式 法二：解：原式 13 返回 C 2 举一反三 14 返回 3. 若，则 ( ) A A. B. 5 C. D. 15 举一反三 15 4. 若，则表示实数 的点会落在如图所示的数 轴的( ) B A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 返回 举一反三 03 新知探究 例2 下是一土楼的水平切面图，它由两个同心圆构成 . 已知大圆 和小圆的面积分别为763.02和150.72，求圆环的宽度d(π取3. 14). 17 03 新知探究 解：设大圆和小圆的半径分别为R,r,面积分别为由, 可知，,则 = = ==9=5（m）. 答：圆环的宽度d为5m. 18 新知应用 基础巩固题 1.下列各组二次根式中，化为最简二次根式，被开方数相同的是（ ） B 新知应用 基础巩固题 2.计算 的结果是( ) . B A.3 B. C.2 D.0 解： . 3.下列二次根式能与 合并的是( ) . B A. B. C. D. 系数相加减，二次根式保持不变 新知应用 基础巩固题 4.计算： ___． 解：原式 . <m></m> A 一化二找三合并 返回 举一反三 22 （2） . 举一反三 23 返回 举一反三 24 返回 B 举一反三 25 16 举一反三 26 课堂小结 二次根式加减 一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 谢谢观看 THANKS 1．下列各组二次根式能够合并的是(　　) A．2与 B.与 C．－与 D.与(a＞0) 2.若最简二次根式与可以合并，则a2 028＋b2 028的值为________． 5．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． －(答案不唯一) 5.若1－与＋a的和为有理数，请写出一个符合条件的实数a的值：______________________. 原式＝2＋－－3＝－－. 6．计算： (1)－3＋－2； 【解】原式＝4－＋5－＝7. (3)3－5＋7. 【解】原式＝3－10＋21＝14. 7．如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为π，宽为π的长方形，若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的面积是(　　) A．12π B．18π C．24π D．36π 8.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图①)不重叠地放在一个底面为长方形(长为 cm，宽为4 cm)的盒子底部(如图②)，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是________cm. $