3.3.1二次根式的加减运算（课件）2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的加减运算，涵盖同类二次根式定义、加减法则、运算步骤及注意事项。课堂导入通过类比七年级单项式加法（如2a+3a=5a），引入二次根式合并，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于从具体实例归纳同类二次根式合并条件，强调“一化简二找同类三合并”步骤，结合等腰三角形周长、圆环宽度等应用题，培养运算能力和应用意识。学生能系统掌握方法，教师可高效巩固教学重点。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第3章 二次根式 3.3.1二次根式的加减运算 2026年8月8日 湘教版数学八年级上册3.3.1二次根式的加减运算同步练习题 一、核心知识点梳理 1. 同类二次根式定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。判断核心是先化简、再看被开方数是否一致，与根号外的系数无关。 2. 二次根式加减运算法则：先将所有二次根式化为最简二次根式，再找出其中的同类二次根式，最后合并同类二次根式。合并方式与整式合并同类项一致，只合并根号外的系数，被开方数和根指数保持不变。 3. 运算步骤：一化简、二找同类、三合并。非同类二次根式不能合并，运算结果必须化为最简形式，保证被开方数无分母、无开得尽方的因式。 4. 运算注意事项：加减运算中不能随意去掉根号，不可直接合并非同类二次根式；带有括号的算式，需先去括号再化简计算。 二、基础填空题（每题4分，共20分） 1. 在$$\sqrt{2}、\sqrt{8}、\sqrt{12}、\sqrt{18}$$中，与$$\sqrt{2}$$是同类二次根式的是________。 2. 计算：$$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=$$________。 3. 化简：$$\sqrt{27}-\sqrt{3}=$$________。 4. 若$$a\sqrt{7}+2\sqrt{7}=5\sqrt{7}$$，则$$a=$$________。 5. 计算：$$\sqrt{12}+\sqrt{\frac{1}{3}}=$$________。 三、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ） A. $$\sqrt{3}$$和$$\sqrt{12}$$ B. $$\sqrt{2}$$和$$\sqrt{20}$$ C. $$\sqrt{5}$$和$$\sqrt{0.5}$$ D. $$\sqrt{6}$$和$$\sqrt{18}$$ 2. 下列计算正确的是（ ） A. $$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=2$$ C. $$3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$ D. $$\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{6}$$ 3. 化简$$\sqrt{48}+\sqrt{27}$$的结果是（ ） A. $$7\sqrt{3}$$ B. $$12\sqrt{3}$$ C. $$\sqrt{75}$$ D. $$5\sqrt{3}$$ 4. 计算$$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{9}{2}}$$的结果为（ ） A. $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ B. $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ C. $$3\sqrt{2}$$ D. $$\sqrt{2}$$ 5. 已知最简二次根式$$\sqrt{2a+1}$$与$$\sqrt{7}$$是同类二次根式，则$$a$$的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 四、计算题（每题8分，共32分） 1. $$2\sqrt{12}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{48}$$ 2. $$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{2}}$$ 3. $$(\sqrt{27}+\sqrt{\frac{1}{3}})-(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{4}{3}})$$ 4. $$4\sqrt{0.5}-\sqrt{8}+3\sqrt{\frac{1}{2}}$$ 五、应用题（14分） 已知一个等腰三角形的两边长分别为$$\sqrt{12}\ \mathrm{cm}$$和$$\sqrt{27}\ \mathrm{cm}$$，求该等腰三角形的周长。 六、拓展提升题（14分） 已知$$x=\sqrt{12}+\sqrt{3}$$，$$y=\sqrt{48}-\sqrt{27}$$，求$$x+y$$的值。 七、参考答案与详细解析 （一）填空题答案 1. $$\sqrt{8}、\sqrt{18}$$ 解析：化简得$$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$，$$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$，被开方数为2，与$$\sqrt{2}$$是同类二次根式；$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，不是同类根式。 2. $$5\sqrt{5}$$ 解析：合并同类二次根式，系数相加，$$3\sqrt{5}+2\sqrt{5}=(3+2)\sqrt{5}=5\sqrt{5}$$。 3. $$2\sqrt{3}$$ 解析：先化简，$$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$，原式$$=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$$。 4. $$3$$ 解析：合并同类项得$$(a+2)\sqrt{7}=5\sqrt{7}$$，即$$a+2=5$$，解得$$a=3$$。 5. $$\frac{7\sqrt{3}}{3}$$ 解析：化简得$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，$$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，原式$$=2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$$。 （二）选择题答案 1.A 解析：$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$，与$$\sqrt{3}$$被开方数相同，为同类二次根式，其余选项均不满足。 2.C 解析：非同类二次根式不能直接加减，A、D错误；B化简结果为$$\sqrt{2}$$，错误；C运算正确。 3.A 解析：原式$$=4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}$$。 4.A 解析：原式$$=3\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。 5.B 解析：最简同类二次根式被开方数相等，即$$2a+1=7$$，解得$$a=3$$。 （三）计算题解析 1. 解：原式$$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}=14\sqrt{3}$$ 2. 解：原式$$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$$ 3. 解：原式$$=\left(3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)-\left(2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$ 4. 解：原式$$=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$ （四）应用题解析 解：先化简边长，$$\sqrt{12}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$，$$\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$。分两种情况讨论：①腰长为$$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$，三边长为$$2\sqrt{3}、2\sqrt{3}、3\sqrt{3}$$，满足三角形三边关系，周长$$=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=7\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$；②腰长为$$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$，三边长为$$3\sqrt{3}、3\sqrt{3}、2\sqrt{3}$$，满足三边关系，周长$$=3\sqrt{3}+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$。综上，三角形周长为$$7\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$或$$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$$。 （五）拓展题解析 解：先化简，$$x=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$，$$y=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$$，原式$$=3\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}$$。 本次练习题聚焦二次根式加减运算核心考点，涵盖同类二次根式判断、根式化简、加减运算及几何实际应用，题型梯度清晰，贴合湘教版教材教学要求，可有效巩固二次根式加减运算的解题方法和运算技巧。 a a a a a a a a a a = + 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考. 由上图，易得 2a + 3a = 5a. 当 a = 时，分别代入左右得 ; 当 a = 时，分别代入左右得 ; ...... 你发现了什么？ 在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式 1 a 2a + 3b b = + b b a 这两个二次根式可以合并吗？ 前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程： 因为 ，由前面知两者可以合并. 你又有什么发现吗? 当 a = ， b = 时，得 2a + 3b = . 将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并. 注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断. 合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变. 如： 归纳总结 知识点1 二次根式的加、减法 1.填空： （1）（______） _____； 3 2 （2） . 3 2 3 返回 举一反三 5 2.［2025长沙期末］下列各数不能与 合并的是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 6 例1 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为 2，列关于待定字母的方程或方程组求解即可. 归纳 典例精析 3.计算 的结果是( ) C A. B. C. D.2 返回 举一反三 8 4.下列二次根式化简后可以合并的是( ) C A.和 B.与 C.和 D.和 返回 举一反三 9 想一想： 计算： 二次根式的加减及其应用 (1) 2 解： ＝ ＝ ＝ . ······加法结合律 (2) 2 ＝ 2 ＝ 2 ＝ ＝ . ······乘法对加法的分配律 ······加法交换律和结合律， 乘法对加法的分配律 (2) 2 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 思考 (1) 等于多少？ (2) 等于多少？ 分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算. (1) ＝ ＝ ＝ ＝ . (2) 等于多少？ (2) ＝ ＝ ＝. 例2 计算: . 解 ＝ ＝ ＝. 与 能合并吗？ 二次根式的加减法法则： 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并. (1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简； 加减法的运算步骤： (2) 找——找出同类二次根式； (3) 并——把同类二次根式合并. “一化简二判断三合并” 归纳总结 5.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 15 6.已知正整数,满足等式 ，下列各组数值中符合要求的 是( ) C A.， B.， C.， D.， 返回 举一反三 16 7.若最简二次根式与二次根式可以合并，则 的值为( ) B A.6 B.3 C.4 D.2 返回 举一反三 17 例5 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成. 已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d (π 取 3.14). d 解： 设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 S1，S2，由 S1 = πR2， S2 = πr2，可得 则 答：圆环的宽度d 为 d 则 8.计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 20 知识点2 二次根式的加减混合运算 9.计算 的结果是( ) A A.0 B.2 C. D. 返回 举一反三 21 10.若，，则 的值为____. 返回 举一反三 22 11.［教材P练习T 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 23 知识点3 二次根式加、减法的应用 12.一个三角形的三边长分别是，， ,则此三角形 的周长为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 24 13.数轴上点表示的数是,将点向右平移个单位长度得到点 ,则 点 表示的数是_____. 返回 举一反三 25 14.［2024重庆中考］已知，则实数 的范围是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 26 15.要使算式的运算结果最小，则 中应添加的运算符号是 ( ) B A. B.- C.× D. 返回 举一反三 27 16.已知,则 ___. 6 返回 举一反三 28 17. 我们规定运算符号“ ”的意义是：当 时， ；当时， ，其他运算符号的意义不变， 计算： __________. 返回 举一反三 29 18.计算： （1） ; 解：原式 . （2） ； 解：原式 . 举一反三 30 （3） ； 解：原式 . 举一反三 （4） . 解：原式 . 返回 举一反三 32 19.［2025张家界期末］有一块长方形木板，木 工采用如图的方式，在木板上截出两块面积分 别为和 的正方形木板. （1）截出的两块正方形木板的边长分别为__________________； , （2）求剩余木板的面积. 解：长方形木板的长为，宽为 ，所 以剩余木板的面积为 . 返回 举一反三 33 二次根式的加减 法则 注意 运算顺序 运算原理 一般地，计算二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 运算律仍然适用 与实数的运算顺序一样 课堂小结 谢谢观看 THANKS $