浙江省浙南名校2027届高三上学期数学学科练习试题

高三年级数学学科参考答案 命题学校：永嘉中学审题学校：永康一中、苍南中学 1.D2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.B 9.ABD 10.AC 11.ACD 3π 68n2-61n 24n 12.4 13. 3 14.25 c sin A+sin B c a+b 15.解：(1)因为a-b sin A-sinC,所以a-ba-c, …2分 cosB=a'+c2-b2 ac 1 整理得a2+c2-b2=ac,则 2ac 2ac 2 …4分 B=T 因为0<B<兀，所以3.… …5分 (2)以点B为起点，记BA=a,BC=立，则网=c,问=a, 且由B=60°，有 7:d=accos60°=aC 2, 8D=+Bc=a+2)】 因为AD=2DC,所以3 3 …7分 4=®0=号五+2 由BD=2,得 第用1-写e+c+4-+42a则用+2oc+e=6. 则36-2ac=4a2+c2≥2V4a2×c2=4ac,即ac≤6， 当且仅当4a2=c2,即a=V5,c=25时取等号， …11分 1 33 AABC= -×6= 则 2acsin B= 2 4 2, 3V5 故△4BC面积的最大值为2.… …13分 16.解：(1)函数 I(x)=_ -1的定义域为r≠. …1分 r()-()G-D-eG-I_G-D-e_-2) (x-1)2 (x-1)2(x-10)月 3分 因为e>0且(-旷>0（当x≠1时），所以∫'()的符号完全由分子中的x-2)决定， 所以f(的单调递减区间为(-0,1)和（L,2）, …5分 f()的单调递增区何为(2，+∞) …6分 e (2)解法一：要证当x>a时，f()>a,即证x-之0， ->a 因为x>a>1,所以x-1>0,不等式等价于：e>a(x-）…7分 令8()=e-a(x-l),x∈(a,+o),只需证8()>0 g'(x)=e"-a …9分 因为x>a>l,则8'(r)=e*-a>e-a 设h(a)=e-a,则h(a)=e-l,当a>l时，h(a)>0,h(a)单调递增，所以 (a)>h)=e-l>0,即e>a. 综上，当r>a时，8'(x)=e-a>e”-a>0 即8()在区间(a,+)上单调递增。…。 …11分 因此，对于任意∈(a,+∞)，都有：8()>g(a)=e-a(a-l) 令m(a）=e°-a2+a 则m'(a)=e°-2a+1 …13分 m(a)=e-2,因为a>1,m(a)=e-2>0, m(a)=e-2a+l在区间，to)单调递增，m(a)>e-1>0 所以m(a)=e-a+a>m()=e>0,证毕. …15分 解法二：要证当x>a时，()>0，只需求()的最小值>a7分 当1<a≤2时，f(x)n=f(2)=e2>0显然成立 …10分 ().-(a) ea >a 当a>2时， a-1,只需证a-1“，,即证e°-a2+a>0,方法同法一.…15分 17.解：(1)四边形ABCD为菱形， ∴.CD/AB, ABC平面PAB,CD寸平面PAB .CD∥平面PAB.… …2分 又'CDC平面PCD, 平面PCD∩平面PAB=m. …3分 .CD/m... …4分 (2)解法一：记AD中点为O :平面PAD⊥平面ABCD,且△PAD是等边三角形 PO⊥平面ABCD 以O为坐标原点，分别以O1,0C,0P为x轴，y轴，：轴，如图建系，则D严=(1,0，V) PC=(0,V3,-V5)CB=(2,0,0) 6分 [3y-3z=0 令平面PBC的法向量为i=(比，八2），则2x=0 得m=(0,11) …8分 令直线PD和平面PBC所成角为B ..sin0-cos(P.m)- DP.m -6 DP.m 4 6 ∴.直线PD和平面PBC所成角的正弦值4 。。。。。。。。。。。。。 …10分 解法二：记AD中点O,连接OP,OC,作OH⊥PC, :平面PAD⊥平面ABCD,且△PAD是等边三角形 ·.PO⊥平面ABCD .PO⊥BC 又：BC⊥OC ∴.BC⊥平面POC.. 6分 ∴平面PBC⊥平面POC :AD∥平面PBC d,=d=0H=6 . …8分 ∴.直线PD和平面PBC所成角为8 √6 ∴.sin0= dn=0H=2-6 PD PD 2 4 …10分 (3)假设存在满足条件的点N,令AN=1AB(0≤1≤I) .A=(t,V3t,0 …11分 C=（+l,51-V5.0,令平面NPC的法向量为i=(y2), [5y-V3z=0 则l+1x+5(-0y=0,得i=(5(1-).1+1+ …2分 小-leos(,.m-2N5r-2r+5 2(t+1) 470 35 5 3 .t= t= 得152-341+15=0,3（舍去），或5，…14分 AN 3 ∴满足条件的点N存在，此时WB2 15分 18.解：(1)由题意知A(-a,0),4(a,0),-a<x<a 由△4P吧的面积是△4，P的面积的3倍可得4M=3M4, 即+a=3(a-),解得 …2分 再代入椭圆方程解得 2, 所以PO=2y=V3 …4分 y=-(x+a) y=(x-a) (2)(i)直线AP的方程为x+a ,直线4,0的方程为-a 3=4 =as 联立直线4P与4，Q直线的方程可解得， 0, ……7分 +=>刀 ，代入化简得到a-严=1(a>) …9分 又片≠0，则≠0， 2 即点E的轨迹的方程为一尸=1。 (a>1,y≠0). 10分 《i)当△4EM的面积是△4，EM的面积的2(2>)倍时， 可得4M=MA,, 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 …12分 -1 即+a=(a-x),解得=元+i …14分 代入E的轨迹方程a马 2（ 1,解 22(元>0 即点E的纵坐标为定值入-1 …17分 19.解：1)A={2026,2029}.B={2027,2028} …3分 (2)假设存在M的一个划分A,B,使p(4)=p(B),则(m)=(4)+p(B)=2o(4)为偶数.而 p(m）=2026×2027+2027×1013为奇数，矛盾！… …6分 (M)=n+ln+4052) (3)由于 为偶数，则n=4k或4k+3,k∈N.…8分 1°若n=4k+3,k∈N,构造集合 A={2026+i除以4的余数为0或3,0≤i≤n}B={2026+除以4的余数为1或2,0≤j≤n} 此时0(4)=0(B),满足题意： …10分 2°若n=4k,k∈N,记P为集合P中的元素个数.不妨4>A, 则4≥2k+1,|8≤2k.已知 p(A)≥2026+(2026+1)+…+(2026+2k)=2026(2k+1)+k(2k+1) p(B)≤(2026+2k+1)+(2026+2k+2)++(2026+4k)=2026×2k+k(6k+1) 由(4)=o(B）知2026(2k+1)+k(2k+)≤2026×2k+k(6k+1)即2026≤42，解得k≥23， n≥92. …12分 (i)当n=92时， 令4={2026,2006+1，，2026+46}.B={2026+47,2026+48,,2026+92} 则p(4)=2026×47+47×23.p(B,)=2026×46+(47+92)×23 于是0(4)-p(8)=2026×1-92×23=-90,将4中的2072与B中的2117交换，得到A与B,易知 此时p(4)=p(B) 14分 (ⅱ)当n>92时，将前92个数按照方案(i)来划分，其余的数按照方案1°来划分，也符合题意.…16分 综上所述，n=4k,k之23，k∈N或n=4k+3,k∈N.…17分 绝密★考试结束前 高三年级数学学科练习 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，第5项的系数为（ ） A．15 B．6 C．240 D．192 3．若平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知复数，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．两个线性相关变量与的统计数据如下表： 2 4 5 7 3.5 6 7.5 根据表中数据，得到关于的经验回归直线方程为，则下列说法错误的有（ ） A． B． C．变量和正相关 D．对应的残差为 6．将函数的图象上所有点的横坐标平移个单位，纵坐标保持不变，得到偶函数的图象，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，函数，对任意，恒有成立，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列满足，，则（ ） A． B．为递增数列 C．为等比数列 D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，为的中点，点为线段上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积不是定值 C．三棱锥的外接球的表面积是 D．当直线与平面所成角最大时，线段长为2 11．过抛物线焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限且，已知点，若直线，与分别另外交于，两点，则（ ） A．当时， B．当时， C．当直线与直线平行时，直线的斜率为2 D．当直线的斜率为时，直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的侧面展开图是周长为的半圆，则圆锥的表面积为__________． 13．已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 14．如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为，向左移的概率为，设该质点移动次后在数轴上对应的数为随机变量，则的方差__________（用含的式子表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，内角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若点满足，且，求面积的最大值． 16．（15分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）已知，求证：当时，． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． （1）若平面平面，证明：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）在棱上（含端点）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值．若不存在，说明理由． 18．（17分）已知椭圆的左右顶点分别为，，点与点是椭圆上两个不同的动点，记线段与轴的交点为． （1）若的面积是的面积的3倍，求的值； （2）设直线与直线的交点为． （ⅰ）求点的轨迹方程； （ⅱ）当点在第一象限时，若的面积是的面积的倍，求点的纵坐标（用表示）． 19．（17分）设集合，，若存在非空集合，，满足，，则称，是集合的一个划分．记为任意非空集合的所有元素之和． （1）当时，求集合的一个划分，，使得； （2）当时，是否存在集合的一个划分，，使得．若存在，求出，；若不存在，说明理由； （3）若集合存在一个划分，，使得，求满足条件的所有正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $