精品解析：陕西省渭南高级中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

2025—2026学年（上）高三年级（一） 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知幂函数的图象经过点，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象关于原点对称，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知函数的定义域为，导数为，若有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. 曲线 关于点中心对称 B. 在R上单调递增 C. D. 函数 的所有零点之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则________． 13. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 14. 已知函数，，的定义域均为，，且的图象关于点中心对称，，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数，的值； （2）设函数，求的最大值． 17. 已知，，完成下列各题： （1）若，比较与的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，且恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）已知直线与曲线恰有2个不同的交点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有三个不同的实数根，求的取值范围． 附：． 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的取值范围； （2）当时，证明：； （3）若对任意，不等式恒成立，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）高三年级（一） 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知幂函数的图象经过点，，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义设函数解析式，通过列方程求解. 【详解】设幂函数，则，解得. 故，解得. 故选： 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解. 【详解】命题“，”的否定为：，. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ，， ∴ 分别令等于中各元素，解得，即. ∴ . 4. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐一判断各选项正误，求出结果即可. 【详解】由题意可知，无法确定，所以A错误； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为无法确定，，所以D错误； 故选：C. 5. 已知函数的图象关于原点对称，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数， 又函数的定义域为R，得，解得， 函数，，则是奇函数， 所以. 6. 已知函数的图象如图所示，则实数a，b，c中正数的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据的定义域即可判断，令即可判断，利用的零点即可判断，进而求解. 【详解】由题意有：函数的定义域为，由图可知， 令有：，令 ，由图可知，， 所以，所以有2个是正数， 故选：B. 7. 已知函数的定义域为，导数为，若有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意在上有两个不同的实数根，令，则与有两个交点，数形结合即可求解. 【详解】，若有两个极值点， 则在上有两个不同的实数根，令， 则与有两个交点， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，又， 由图可知，即实数a的取值范围是. 故选：D 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对给定数据合理变形，构造并用导数判断其单调性证明，构造证明，最后得出结论即可. 【详解】由题意得，，， 令，其定义域为， 则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 可得，故C，D错误， 而， 令，则， 令，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 而， 由上知，则， 可得，得到，即，故A正确，B错误. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 10. 已知，，且，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用符号法判断A；利用基本不等式判断C；利用消元法求最值判断B；利用消元法以及作差、基本不等式即可判断D. 【详解】因为，且，所以，即， 又，所以，故A错误； ，，则，得，等号成立时， 故的最大值为，故C正确； 因，则， 当时，的最小值为3，故B正确； 因，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，，且，则（ ） A. 曲线 关于点中心对称 B. 在R上单调递增 C. D. 函数 的所有零点之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过构造新函数，结合导函数求出表达式，对各选项逐项分析判断即可. 【详解】可变形为， 令，可得 设，则①， 则， 令（为任意常数）， 由①式得， 对等式两边同时求导，得，即为常数， 可设（，为常数），则，， 所以，. 所以，所以. 选项A，曲线，关于点中心对称，故A正确； 选项B，， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B错误； 选项C，由选项B可知，故，故C正确; 选项D，令，可得， 即， 当时，解得， 当时，等式可化为，即，解得， 所以的所有零点之和为.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列出方程组，求解并验证即得参数值. 【详解】由可得或，解得或. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足，符合题意. 故答案为：3. 13. 已知，当时，恒成立，则的最小值为________． 【答案】e 【解析】 【分析】由分析得到，再构造函数，，求导，进而分析其单调性即可求出的最小值． 【详解】由，均递增，且与轴均只有一个交点， 要使在上恒成立，只需要，与轴交于同一点， 令，得；令，得， 所以，又，，所以， 则， 令，，则，， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以，即的最小值为． 故答案为：． 14. 已知函数，，的定义域均为，，且的图象关于点中心对称，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用中心对称求出，推出关于轴对称，进而结合题意并利用赋值法求出是周期为的周期函数，再利用赋值法求出，最后求解即可. 【详解】因为的图象关于点中心对称， 所以，则， 令，而， 得到，即， 令，则，即， 可得，则， 即关于轴对称，可得， 由题意得，， 对于，可得， 对于，可得， 两式相加可得， 由已知得，则， 可得，两式相减得， 故，即， 则是周期为的周期函数， 对于，令，可得， 由已知得，，则，解得， 对于，令，可得， 由已知得，解得， 对于，令，可得，解得， 对于，令，可得，解得， 则， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求解一元二次不等式，再利用并集定义求解即得； （2）根据题意，结合数轴表示将问题分成和两类情况讨论求解即得. 【小问1详解】 依题意，当时，，， 故． 【小问2详解】 因即， 当时，，解得； 当时，，此时或， 解得或． 综上，实数m的取值范围为． 16. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数，的值； （2）设函数，求的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据题意建立方程组求解即可； （2）根据导数计算即可求解. 【小问1详解】 求导， 由题意知，1和2是方程的两个根， 则，解得， 检验，当，时，， 当或时，，当时，， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处有极大值，在处有极小值，符合题意. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以，则，， 令，可得， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以时，取得最大值，为． 17. 已知，，完成下列各题： （1）若，比较与的大小； （2）若，求的最小值； （3）若，且恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）利用乘“1”法和基本不等式求最值； （3）将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可得到实数的取值范围． 【小问1详解】 ， 由题意知， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8． 【小问3详解】 ， 当且仅当，且，即，时等号成立， 故实数的取值范围为． 18. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）已知直线与曲线恰有2个不同的交点，求实数的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有三个不同的实数根，求的取值范围． 附：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，由不等式，结合指数函数与对数函数的性质，即可求解； （2）设直线与曲线相切于点，列出方程组，求得和的值，由，得到，分类讨论，即可求解； （3）结合图象，得到有三个不同的实数根，此时且，求得，由和，求得的表达式，进而求得其范围. 【小问1详解】 解：当时，由，可得，解得； 当时，由，可得，即，解得， 综上可得，不等式的解集为． 【小问2详解】 解：作出的大致图象如图所示，由直线过定点， 当时，直线与曲线有2个不同的交点； 当时，曲线在点处的切线的斜率为， 设直线与曲线相切于点， 则，解得， 由，可知， 所以当时，直线与曲线没有交点，与曲线有2个交点，符合题意． 当或时，直线与曲线的交点均不是2个． 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 解：由于在上单调递增，且值域为，在上单调递增， 且值域为，，结合图象可知，有三个不同的实数根， 当且仅当有两个不同的实数根，即． 此时且，可得， 又由方程和， 由，可得，设， 由，可得或， 设，，则， 由于，是关于t的增函数，所以是关于的增函数， 所以的取值范围为． 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的取值范围； （2）当时，证明：； （3）若对任意，不等式恒成立，求证：． 【答案】（1） （2）证明如下： 由（1）可知：在上单调递增， 且，当时，， 所以在上的值域为． 可知存在唯一实数，使得， 当时，，即； 当时，，即； 可知函数在内单调递减， 在内单调递增， 所以的最小值为． 下证，即证， 因为，可得，， 代入可得， 当且仅当，即时等号成立． 所以． （3）证明如下： 因为， 可知 在区间上恒成立，可得， 可得在区间上恒成立，显然． 构建，则， 当时，则，可知在区间上单调递减； 当时，则，可知在区间上单调递增； 可得． 构建，则． ①若，则，可知在区间上单调递增， 可得， 由可得， 则，所以； ②当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 即，可得，即； 综上所述：． 【解析】 【分析】（1）分析可知在上恒成立，构建，结合函数单调性分析求解； （2）分析可知存在唯一实数，使得，进而判断函数的单调性和最值，结合零点代换分析证明； （3）整理可得，构建，利用导数可得，构建，分和两种情况，利用导数分析证明. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， 若函数在上单调递增，则在上恒成立，可得， 构建，则， 可知在上单调递增，则， 可得，所以实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $