浙江省杭州第二中学2026-2027学年高一上学期数学周练3

杭州二中2026学年高一上数学周练3 学校:姓名:班级:考号: 一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知命题:,,命题的否定为( ) A., B., C., D., 2.不等式的解集是( ) A. B. C. D.或 3.已知命题:“,”,命题:“,”.若两个命题中全称量词命题是假命题,另一个命题是真命题,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.甲、乙同去加油站加油两次,两次汽油单价分别为,元/升().甲每次加固定金额的油,乙每次加固定体积的油.哪种方式更经济实惠呢?( ) A.加固定金额的方式 B.加固定体积的方式 C.两种方案一样 D.要视具体价格而定 5.已知实数,,满足,则的最小值是( ) A. B. C. D. 6.某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区,为了保证观演效果,表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区,则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是( ) A. B. C. D. 7.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8.若关于x的不等式的解集中恰有4个整数,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分) 9.下列命题为真命题的是( ) A.若 且,则 的最小值为 8 B.若 且,则 的最小值为 9 C.若,则 的最小值为 2 D.若 ,且 ,则 的最小值为 2 10.下列选项中,正确的是( ) A.不等式的解集为或 B.不等式的解集为 C.不等式的解集为 D.不等式 的解集为 11.已知关于x的一元二次不等式的解集为M,则下列说法正确的有( ) A.若,则关于x的不等式的解集也为M B.若,则的最小值是3 C.若,则关于x的不等式的解集为或 D.若一元二次函数的值域为,且,则的最小值为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知集合,,若,则实数的取值范围为 13.若,且,则的最小值为. 14.已知关于x的不等式的解集是,则实数的取值范围是. 四、解答题(本题共5小题,共77分) 15.求关于的不等式的解集. 16.已知,都是正实数,解决下列问题: (1)若,求的最小值; (2)若,求的最小值. 17.已知正数,满足,求的最大值. 18.设函数,若对于,恒成立,求实数的取值范围. 19.已知函数,. (1)恒成立,求实数的取值范围; (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、,且,求的取值范围; (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根,求实数的取值范围. 试卷第1页(共3页) 试卷第1页(共3页) 学科网(北京)股份有限公司 《杭州二中2026学年高一上数学周练3》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B A C B B A ABD AB 题号 11 答案 BCD 1.C 【详解】命题的否定为,. 2.D 【详解】将不等式移项通分:, 两边同乘,不等号方向改变:,等价于,且, 解得或. 所以原不等式的解集为或. 3.B 【分析】先确定全称量词命题为假、存在量词命题为真,分别求出两个命题对应的取值范围,取交集即可得到结果. 【详解】命题为存在量词命题,命题为全称量词命题,由题意得为假命题,为真命题, ① 当为假命题时,其否定“”为真命题, 即二次方程有两个不相等的实根, 故判别式,得,即,解得或; ② 当为真命题时,因为的取值范围是,的最大值是, 只需即可满足条件,故为真命题时, 取上述两个范围的交集,可得实数的取值范围是. 4.A 【分析】设两次加油的油价分别为,(,且),分别计算两种方案的平均油价,然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为,(,且), 乙方案每次加油的量为;甲方案每次加油的钱数为, 则乙方案的平均油价为, 甲方案的平均油价为, 因为,所以,即甲方案更经济. 5.C 【详解】因为, 所以,当且仅当时等号成立. 6.B 【分析】根据矩形面积公式,结合基本不等式进行求解即可. 【详解】如图所示:设矩形为表演区,,则有, 由题意可知:, 所以, 设矩形的面积为, 所以, 由, 由基本不等式,得, 即,当且仅当时取等号, 所以当时,表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是. 7.B 【详解】由,其中, 所以,可得,故不等式的解集为. 8.A 【分析】根据题意讨论的符号,结合整数解个数构造不等式,解不等式求a的取值范围. 【详解】若时,不等式,解集为,有无数个整数解,不符合题意; 若时,开口向下, 的解集为两侧无限区间,有无穷多个整数解,不符合题意; 故,开口向上, ,对应方程两根为: , 由得,故不等式解集为:, 则4个整数解为,故,解得, 故a的取值范围为. 9.ABD 【分析】逐项利用基本不等式求最小值,并核对等号成立条件是否满足题设约束. 【详解】A、由 ,得 当且仅当 时等号成立. 结合 ,得 ,故最小值为 ,A正确. B、由得 ,即 因为 ,所以 . 令 ,则 ,于是 当且仅当 时等号成立,此时 ,故最小值为 ,B正确. C、由 且 ,得 . 于是 当且仅当 时等号成立,此时 ,故最小值为 ,C错误. D、设 . 由 及 ,得 ,且 又所以即 因为 ,所以 . 当 时满足题设条件,且 ,故最小值为 ,D正确. 10.AB 【详解】不等式,即,解得或, 故不等式的解集为或,A正确; 不等式,即,即, 所以,解得, 故不等式的解集为,B正确; 不等式,即或,解得或, 即不等式的解集为或,C错误; 因为不等式, 所以,即,D选项的解集中包含了,所以D错误. 11.BCD 【分析】根据同号异号可判断A;根据解集可判断出的正负,根据韦达定理可得到它们之间的关系,代入后根据基本不等式可判断B,代入后解不等式可判断C;根据值域为,可得,从而可得的表达式,代入后换元,根据基本不等式可得最值,从而判断D. 【详解】当同号时,,即,亦即,此时解集相同; 当异号时,,即,亦即,显然一元二次不等式与的解集不同,故A错误. 若,即的解集为, 则是方程的两个根,所以, 所以, 所以, 又,所以, 当且仅当,即时等号成立,所以的最小值是3,故B正确. 若,即的解集为, 则是方程的两个根, 所以,所以, 则关于x的不等式,即, 两边同时除以负数a得,即,其解集为或,故C正确. 因为一元二次函数的值域为,且, 所以,所以, 所以,由知, 令,则,所以, 因为,所以, 当且仅当,即时等号成立, 所以的最小值为,故D正确. 12. 【分析】解不等式求得集合,由,可得,求解即可. 【详解】由,得,解得,所以, , 由,所以,解得,所以实数的取值范围为. 故答案为:. 13. 【分析】换元可得,,利用基本不等式“1”的妙用进行求解 【详解】令,则,, 则, 其中, 当且仅当,即,时,等号成立, 所以, 所以的最小值为. 14. 【分析】由条件知与同解,再对分类讨论,结合二次函数的图象和性质求出实数的取值范围. 【详解】由,解得, 由条件知与同解, 当时,显然不符合条件; 所以,或, 即,或, 解得或,综上. 所以的取值范围为. 15.当时,解集为;当时,解集为空集;当时,解集为 【详解】原不等式可化为 , 两边除以得,对应方程的根为, 当即时,不等式解集为; 当即时,不等式化为,解集为空集; 当即时,不等式解集为. 16.(1). (2). 【分析】(1)将化为,利用基本不等式即可求得答案; (2)利用,将化为,展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】(1)由题意,知, 所以, (当且仅当 ,即取等号), 故的最小值为5. (2)因为都是正实数,, 所以 , 当且仅当 ,即时取等号, 故的最小值为18; 17. 【分析】利用条件恒等变形换元,结合基本不等式锁定换元变量范围,再借助二次函数单调性求最值,注意定义域优先. 【详解】,且, ,即. 代入所求代数式: 令,原式. 由基本不等式:, ,当且仅当时取等. 二次函数,开口向下,对称轴 ,在上单调递增, 故当时取得最大值. 此时,解得:,. 代入: 的最大值为. 18. 【分析】整理可得在上恒成立,根据x的范围,可求得的范围,分析即可得答案. 【详解】由题意,可得,即, 当时,,所以在上恒成立, 只需, 当时有最小值为1,则有最大值为3, 则,实数的取值范围是. 19.(1) (2) (3) 【分析】(1)由题意可知,不等式对任意的恒成立,分、两种情况讨论,在时直接检验即可,在时,根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组,综合可得出实数的取值范围; (2)将所求方程变形为,由题意得出,且,结合韦达定理得出,再由韦达定理得出,结合不等式的基本性质可求得的取值范围; (3)令,则,依题意可得关于的方程有四个不等实根,令,则,问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根,利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式,结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】(1)由得恒成立, 故不等式对任意的恒成立, 当时,恒成立,符合题意; 当时,则,解得; 综上所述:实数的取值范围为. (2)由可得,整理得, 由题意可知,且,解得或, 由韦达定理可得,,可得,故, 所以, 因为,所以,所以, 故的取值范围是. (3)当时,令,由基本不等式可得, 当且仅当时,即当时取等号, 依题意可得关于的方程有四个不等实根, 令,则,则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、, 所以, 因为,则,由可得, 由可得或,故, 由知,存在使不等式成立, 把看成主元代入,可得,即, 解得或,综合可得, 故实数的取值范围是. 答案第1页(共2页) 答案第1页(共2页) 学科网(北京)股份有限公司 $